函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练
1．（24-25 高二下·河北承德·期末）若不等式
1
ex a
ax
- £ 对任意xÎR 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
0,1
B．
0,+¥
C．
,0
-¥
D．
,1
-¥
2．（24-25 高二下·贵州黔西·期末）设a ，bÎR ，若对任意
0
x >
不等式
2
1
ln
ax
b
x
x x
+
-
³
恒成立，则下列不等式
一定成立的是（ ）
A．e
1
a
b
£
B．e
1
b
a
£
C．e
1
a
b
³
D．e
1
b
a
³
3．（24-25 高二下·山东菏泽·期末）已知函数
2
ln
2
f x
x
ax
x
=
+
-
在
0, ¥
+
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
1
2
a >
B．
1
2
a ³
C．
1
a >
D．
1
a ³
4．（24-25 高二下·福建泉州·期末）若不等式e
2
2
e
x
x
t
x
x
t +
×
³
+
对任意
[1,
)
xÎ
+¥ 恒成立，则正实数t 的最大值是
（ ）
A．e
2
B．e
C．
2e
2
D．
2e
5．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知不等式
2
1 e
2
2
0
x
k
x
x
-
-
+ ≥恒成立，则实数k 的可能取值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
3
2
1
2e
6．（24-25 高二下·海南海口·期末·多选）若ln
1
0
x
k
x
-
+ £
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，则k 的值可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
考点一
恒成立求参数问题
7．（24-25 高二下·福建泉州·期中）
x a
e
x
a
+ ³
-
若
恒成立，则a 的取值范围是
.．
8．（24-25 高二下·山东泰安·期末）已知ln
e
ln
x
x
a
a
£
+
对任意
(0,
)
xÎ
+¥ 恒成立，则实数a 的取值范围是
.
9．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）若
2
x ³
，不等式
ln 2
ln
2
0
x
ax
x
a
æ
ö
-
-
£
ç
÷
è
ø
恒成立，则实数a 的取值范围是
.
10．（24-25 高二下·辽宁锦州·期末）若
2
2
e ,
,
3
ln
3
ln
2
x
x
a
x
ax
x
é
ö
Î
+¥
+
³
+
÷
êë
ø
，则实数a 的取值范围是
.
（参考数据：ln 2
0.693
»
）
11．（24-25 高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数
eax
f x
x
=
，
ln
1
g x
ax
x
=
-
- .
(1)判断
f x 的单调性；
(2)若
0
f x
g x
+
³
恒成立，求a 的取值范围.
12．（24-25 高二下·广东云浮·期末）已知函数
2
2
3ln
f x
ax
x
=
+
．
(1)当
1
4
a = -
时，求
f x 的极大值；
(2)讨论
f x 的单调性；
(3)若
3
21
2
8
f x
a
£ -
-
，求实数a 的取值范围．
13．（24-25 高二下·福建三明·期末）已知函数
2ln
2
f x
x
ax
=
-
，
2
2
2
R
g x
ax
x
a
=
-
-
Î
.
(1)若
1
2
a =
，求函数
f x 的极值；
(2)若
Z
aÎ ，且不等式
f x
g x
£
在
0, ¥
+
上恒成立，求a 的最小值.
14．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
2
2
1
ln
f x
x
a
x
a x
=
-
+
+
.
(1)若函数
f x 在
1
x = 处的切线斜率为3，求该切线方程；
(2)若
1
a = - 时，
f x
mx
³
恒成立，求m 的取值范围.
15．（24-25 高二下·山东聊城·期末）已知函数
2
e
2
2
x
f x
ax
x
x
=
-
-
-
．
(1)若
1
a = ，求
f x 的单调区间；
(2)若
,0
xÎ -¥
时，
1
f x
f
x
x
¢
<
+
- 恒成立，求实数a 的取值范围．
16．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）已知函数
ln
f x
x
x
=
-
，
e
ln
x
g x
a
x
a
=
-
+
.
(1)求
f x 的极值；
(2)若
0
g x ³
对于xÎR 恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若关于x 的方程
f x
g x
=
有两个不等实根，求实数a 的取值范围.
17．（2025·四川成都·一模）已知函数
ex
x
f x =
.
(1)求
f x 的极值；
(2)若
2
f
x
kx
k
+
≤
恒成立，求k 的取值范围；
(3)证明
*
2
1
!
e
8 e 1
1
n
i
i
i
n
i
+
=
<
Î
-
+
å
N
.
1．（24-25 高二下·山东烟台·期末）若函数
ln
f x
x
x
x
k
=
-
+
存在两个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
,1
-¥
B．
0,1
C．
,e
-¥
D．
0,e
2．（24-25 高二下·安徽阜阳·期末）函数
( )
10(
1)e
1
x
f x
x
=
+
+ 的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）若
e
ln
x
f x
t x
=
-
在
1,3 上存在唯一的零点，则（ ）
A．
e
t
< <
2
B．
2e
ln2
t >
C．
2
t
e
>
D．
3e
ln3
t >
4．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数
2
ln
1
ax
x
f x
x
-
= -
在
0,1 上仅有一个零点，则a 的取值范围为
（ ）
A．
2
4
e
ì
ü
í
ý
î
þ
B．
2
4 ,1
e
é
ö÷
êë
ø
C．
2e
4
ì
ü
í
ý
î
þ
D．
2e
1, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
5．（24-25 高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
( )
e
(1 e)
(e 1)ln
1
ax
f x
x
a
x
x
=
+
-
-
-
- 恰有2 个零点，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．
2
1
1,
e,
e
¥
æ
ö
- -
È
+
ç
÷
è
ø
B．
2
1
1
,
e
e
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
C．
2
1
1,
0,
e
¥
æ
ö
- -
È
+
ç
÷
è
ø
D．
2
1
1
,
0,
e
e
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
考点二
零点问题
6．（24-25 高二下·辽宁抚顺·期末·多选）已知函数
3
2
2
3
9
f x
x
x
a x
=
+
+
+ ，若
f x 有两个极值点，则实数a 的取
值可能是（ ）．
A．2
-
B．1
-
C．0
D．2
7．（24-25 高二下·江西·期末·多选）下列函数中恰有2 个零点的函数是（ ）
A．
1
1
f
x
x
x
=
-
B．
2
ln
2
f
x
x
x
=
-
-
C．
2
3
sin
f
x
x
x
x
=
-
D．
2
2
4
e
2
e
2
x
f
x
x
x
=
-
+
8．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知函数
e
1
x
f
x
m
x
=
-
- 有两个零点，则m 的取值范围是
.
9．（24-25 高二下·北京海淀·期末）已知函数
3
2
4
f
x
x
ax
=
+
+
在区间
0, ¥
+
上没有零点，则实数a 的取值范围
是 ．
10．（24-25 高二下·北京房山·期末）已知函数
3
2
1
3
2
3
f x
x
x
x
=
-
-
-
.
(1)求函数
f x 的单调区间；
(2)求函数
f x 的零点的个数.
11．（24-25 高二下·安徽宣城·期末）已知
0
a >
且
1
a ¹ ，函数
ln 1
1
x
f x
a
x
=
+
+
- .
(1)设
ln
1
na
f n
n
n
=
-
+
+
，
*
N
nÎ
，
n
S 为数列
na
的前n 项和，当
2
a =
时，求
100
S
；
(2)当
1
e
a =
时，证明：
0
xf x ³
；
(3)当
1
e
>
a
且
1
a ¹ 时，讨论函数
f x 的零点个数.
12．（24-25 高二下·山东泰安·期末）已知函数
( )
lg(10
1)
x
f x
mx
=
+
-
为偶函数.
(1)求实数m 的值；
(2)求方程
( )
lg(4 10
2)
mx
f x =
+
的根；
(3)若函数
1
( )
( )
2
g x
f x
x
a
=
-
-
在
(
,0)
xÎ -¥
上有零点，求实数a 的取值范围.
13．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数
3
2
2
2
x
f x
x
mx
=
+
-
+
．
(1)若曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程为3
0
x
y
n
-
+
=
，求m ，n ；
(2)若
f x 有三个零点，求实数m 的取值范围．
14．（24-25 高二下·福建泉州·期末）已知函数
e
sin
1
x
f
x
x
ax
=
+
-
- .
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程；
(2)若
f x 在区间
0, ¥
+
上单调递增，求a 的取值范围；
(3)当1
2
a
£
<
时，讨论
f x 零点的个数.
15．（24-25 高二下·天津西青·期末）已知函数
2
1
1 ln
ln
2
，
f x
x
ax
a
x
g x
b
x
x
=
-
+
-
=
-
的极值为 1.
e
(1)求实数b 的值；
(2)当
1
a > 时，讨论函数
f x 的单调性；
(3)当
1
a = 时，若
2
F x
f x
x
m g x
x
=
-
-
+
在
1,
xÎ
+ ¥ 有两个零点，求m 的取值范围.
1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
ln
1
f x
x
ax
=
+ -
有两个零点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
<
，则下列命题正确的是
（ ）
A．
1
a >
B．
1
2
2
x
x
a
+
<
C．
1
2
1
x
x
×
<
D．
2
1
1
1
x
x
a
-
>
-
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习·多选）若函数
2
1
( )
ln
,(
R)
2
f x
x
a
x a
=
-
Î
有两个极值点
1
x ，
2x ，（
1
2
x
x
<
）则下列
说法正确的是（ ）
A．
e
a >
B．
1
1
f x
<
C．
2
e
2
f x
<
D．
1
2
2e
x
x
+
>
3．（24-25 高二下·四川成都·期中）函数
ln
,
ex
a
f x
x
b a
b
=
+
+
Î
Î
R
R 的两个极值点
1
x 、
2x 满足
1
2
1
2
x
x
x
<
£
，则
1
2
2
x
x
+
的最大值为
.
4．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB
V
的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数
lnx
f x
x
=
图象上
(1)当顶点B 在x 轴上方时，求 Rt OAB
V
以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积
的最大值；
(2)已知函数
2
2
e
e
1
ax
x
ax
g x
x
-
+
-
=
，关于x 的方程
f x
g x
=
有两个不等实根
1
2
x
x
，
1
2
x
x
<
.
（i）求实数a 的取值范围;
（ii）证明：
2
2
1
2
2
e
x
x
+
>
.
考点三
极值点偏移问题
5．（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数
( )
ln , ( )
ln
2
a
f x
x g x
ax
x
x
=
+
=
-
-
.
(1)若
0
a >
，当
( )
f x 与( )
g x 的极小值之和为0 时，求正实数a 的值；
(2)若
1
2
1
2
2
f x
f x
x
x
=
=
¹
，求证：
1
2
1
1
2
x
x
a
+
>
.
6．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数
2
ln
ln ,
0
f x
x
mx
m m
=
-
+
>
．
(1)讨论函数
f x 的单调性．
(2)假设存在正实数
1
2
1
2
,
x x
x
x
¹
，满足
1
2
2
2
1
1
2
2
e
e
,
x
x
f x
mx
f x
mx
m
m
=
-
=
-
．
（i）求实数m 的取值范围；
（ii）证明：
1
2
2
x
x
+
>
．
7．（24-25 高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数
ln
2
f x
x
ax
=
-
-
，
R
a Î
，e是自然对数的底数.
(1)讨论函数
y
f x
=
的极值；
(2)当
1
e
a =
时，若
1
x ，
2x （其中
1
2
x
x
<
）满足
1
2
f x
f x
=
，求证：
1
2
2e
x
x
+
>
.
8．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知函数
2
( )
e
(
2)e
x
x
f x
a
a
x
=
+
-
-
(1)令
1
,
e
2
x
h x
f
x
h x
x
æ
ö
=
¢
£
+
×
ç
÷
è
ø
对
3 ,0
2
x
é
ù
" Î -
ê
ú
ë
û 恒成立，求a 的最大值.
(2)若
( )
f x 有两个零点
1
2
,
x x ，求a 的范围，并证明：
1
2
1
2 ln
x
x
a
+
<
9．（24-25 高二下·湖南·期末）已知函数
e
cos
1
x
f x
x
ax
=
+
-
，aÎR .
(1)若
1
a = ，求曲线
y
f x
=
在
π
x =
处的切线方程；
(2)若
0
a =
，求
y
f x
=
在
0,π 内的极值；
(3)设
e cos
x
g x
f x
x
=
-
，若
g x 有2 个零点
1
x ，
2x ，且
1
2
x
x
<
，求证：
1
2
2ln
x
x
a
+
<
.
10．（24-25 高三上·河南三门峡·期中）若函数
( )
f x 对其定义域内任意
1
2
1
2
,
x x
x
x
¹
满足：当
1
2
f x
f x
=
时，恒
有
1
2
x x
m
=
，其中常数m ，则称函数
( )
f x 具有性质
( )
V m .
(1)函数
1
( )
2
=
+
g x
x
x 具有性质
( )
V m ，求m .
(2)设函数
1
2
2
1
( )
ln ,
0
h x
x
x h x
h x
x
x
=
-
=
>
>
，
（ⅰ）判断函数( )
h x 是否具有性质
( )
V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；
（ⅱ）证明：
2
1
2
2
x x <
.
