函数与导数：恒成立问题、能成立问题、导数新定义问题专项训练
考点目录
恒成立问题
能成立问题
导数新定义问题
1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）若当
0
x >
时，
ln
2
0
ax
x
-
-
³
，则a 的取值范围为（ ）
A．
2e ,
é
+¥
ë
B．
2
4, e
é
ù
ë
û
C．
4,+¥
D．
4,+¥
2．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式e
2
1
4
2ln(4
1)
x
x
ax
ax
+
- ³
+
+
恒成立，则a 的值为（ ）
A．2
B．1
C．
1
2
D．1
4
3．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）已知不等式
e
1
ln
x
ax
x
x
- ³
+
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
,1
-¥
B．
1,+¥
C．
0,+¥
D．1 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
4．（24-25 高二下·陕西榆林·期末）已知函数
e
e
2sin
x
x
f x
x
-
=
-
-
，若
e
1
0
x
f a
f
x
+
-
>
恒成立，则a 的取值范
围是（ ）
A．
2
1
, e
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
B．
1
, e
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
C．
2
1 ,
e
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．1 ,
e
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
5．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）设函数
( )
(
)(ln
)
f x
x
a
x
b
=
-
-
，若
( )
0
f x ³
恒成立，则a
b
- 的最小值是（ ）
A．2
2ln 2
-
B．ln 2
C．1
D．3
2ln 2
-
考点一
恒成立问题
6．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）关于x 的不等式
2
2
e
ln
2
a x
x
x
ax
+
<
×
+
对
(0,1)
x
" Î
恒成立，实数a 的取值范围为
（ ）
A．
1 ,0
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
B．
1 ,
2
¥
é
ö
-
+
÷
êë
ø
C．
,0
¥
-
D．
[0, ¥
+
7．（24-25 高二下·海南海口·期末·多选）若ln
1
0
x
k
x
-
+ £
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，则k 的值可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）若对于
0
x >
，不等式
2
2ln
2
2
2
x
x
a x
x
+
+
£
+
恒成立，则关于整数a
的取值下列正确的有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（24-25 高二下·江苏南京·期中）若
1
e
(0,
),
1
ln
x
x
x
x
a
x
-
Î
+¥
³
+ -
-
恒成立，则实数a 的取值范围为
.
10．（24-25 高二下·河南南阳·期末）设函数
e
ln
x
f x
a
x b
=
-
-
，若
0
f x ³ 恒成立，则
2
2
a
b
- 的最小值
为
.
11．（24-25 高二下·四川自贡·期末）若关于x 的不等式ln(
)
0
x
a
bx
+
-
£
在定义域内恒成立，则a
b 的最大值
为
．
12．（24-25 高二下·甘肃白银·期末）已知函数
1
1
ln
1
2
f x
a x
x x
=
+
-
+
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
0
f x ³ 对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，求a 的取值集合；
(3)设
1
2
1
n
x x
x =
L
，
0
ix >
，
*
nÎN ，
1,2,3,
,
i
n
=
L
，证明：
1
1
1
2
n
i
i
i
n
x
x
=
³
+
å
.
13．（24-25 高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数
( )
ln
(
1)
f x
x
x
a x
=
-
+
.
(1)若直线
3
0
x
y
+
+
=
是函数
( )
f x 的一条切线，求实数a 的值：
(2)对于
0,
x
¥
Î
+
，不等式
( )
ln
³
f x
x 成立，求实数a 的取值范围.
14．（24-25 高二下·福建三明·期末）已知函数
2ln
2
f x
x
ax
=
-
，
2
2
2
R
g x
ax
x
a
=
-
-
Î
.
(1)若
1
2
a =
，求函数
f x 的极值；
(2)若
Z
aÎ ，且不等式
f x
g x
£
在
0, ¥
+
上恒成立，求a 的最小值.
15．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
2
2
1
ln 2
R
f x
a x
x
x
a
=
-
+
-
Î
,
.
(1)当1
2
x
<
<
时，
0
f
x
¢
£
，求a 的最大值；
(2)证明：曲线
y
f x
=
的图象是轴对称图形；
(3)若
0
f x £
，求a 的取值范围.
16．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知函数
2
ln
x
f x
a
x
x
a
=
+
-
（）
（
0
a >
且
1
a ¹ ）
(1)求
f x 的极小值；
(2)当
1
a > 时，
f x 在
1
x = 处切线的斜率为e+1，函数
3
2
ln x
g x
xf
x
x
x
x
=
-
+
+
（i）判断
g x 零点个数并说明理由；
（ii）函数
1 ln
2
1
x
x
h x
k
x
x
+
=
-
-
+ ，若对任意的正实数x，都有
h x
g x
³
恒成立，求实数k 的取值范围.
17．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
( )
x
f x
a
=
（
0
a >
，且
1
a ¹ ）.
(1)当
e
a =
时，证明：
( )
1
f x
x
³ +
.
(2)若不等式e
1
( )
x
f x
x
- ³
恒成立，求a 的值.
18．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知函数
2
e
1
x
f x
x
=
-
-
(1)若
g x
f x
x
=
+
，求证：
g x 在R 上单调递增；
(2)若
f x
ax
>
在
0, ¥
+
上恒成立，求a 的取值范围；
(3)求证：
f
f x
x
é
ù =
ë
û
在
0, ¥
+
上有且只有1 个解．
19．（2024·河北·模拟预测）已知函数
ln
1
f x
x
x
=
+
- .
(1)若
f x
kx
k
£
-
对
0
x
" >
恒成立，求k 的值；
(2)若
1
2
x
x
$
<
，使
1
2
f x
f x
a
=
=
成立，求证：
2
2
1
e
a
x
x
>
.
1．（24-25 高二下·四川成都·期末）已知函数
( )
e
(
0)
x
f x
ax
a a
=
-
-
>
，若存在唯一的
0x 使得
0
0
f x
=
，则a 的值为
（ ）
A．
1
2
B．1
C．e
2
D．e
2．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知
2
1
e 1
eln
2
f x
x
x
x
=
-
-
-
，
2
1
g x
x
a
= -
+
+
，若
1
0,
x
$
Î
+¥ ，
2x
$
ÎR ，使得
1
2
f x
g x
<
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
2e ,
2
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø
B．
2e
,
2
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
C．
2e ,
2
é
ö
-
+¥÷
êë
ø
D．
2e
,
2
æ
ö
-¥ -
ç
÷
è
ø
3．（24-25 高二下·内蒙古包头·阶段练习）已知不等式
e
2
1(
2)
x
a
x
x
x
+
<
+
> -
恰有1 个整数解，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
1
2
,
3e e
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1
2
,
3e e
é
ö
÷
êë
ø
C．
2
1
,
3e 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
2
1
,
3e 2
é
ö
÷
êë
ø
4．（24-25 高二下·广东广州·期末）设函数
2 ex
f x
x
ax
a
=
-
+
，其中
1
a < ，若存在唯一的整数
0x ，使得
0
0
f
x
<
，则a 的取值范围是（ ）
A．
1 ,1
e
é
ö
-
÷
êë
ø
B．
1 0
e ,
é
ö
-
÷
êë
ø
C．
2
4 ,1
3e
é
ö
÷
êë
ø
D．
2
4
1
,
3
é
ö
÷
êë
ø
e
e
5．（24-25 高二下·北京·期末）若函数
ln
4
f x
x
x
ax
x
=
+
-
存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
2
1 ,
e
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
B．
2
1 ,
e
¥
é
ö
-
+
÷
êë
ø
C．
2
1 ,
2e
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
D．
2
1 ,
2e
¥
é
ö
-
+
÷
êë
ø
考点二
能成立问题
6．（24-25 高二下·陕西商洛·期末）已知存在两个正实数m，n（m
n
>
），使e
n
m
a
m
n
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
e,+¥
B．
,e
-¥
C．
0,e
D．
e,+¥
7．（24-25 高二下·河北石家庄·阶段练习）设函数
3
1
1
( )
4
3
3
f x
x
x
=
-
+
，函数
2
( )
2
1
g x
x
bx
=
-
+ ，若对于
1
2
[1,2],
[0,1]
x
x
"
Î
$
Î
，使
1
2
f x
g x
³
成立，则实数b 的取值范围是
.
8．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知函数
2 1e
x
f x
x
-
=
，
ln
(
0)
g x
a x
x a
=
-
<
，若对任意的
1
1,3
x Î
，总存在
2
1 ,1
e
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，使得
1
2
f x
g x
£
，则a 的取值范围是
.
9．（2025·湖南益阳·三模）设实数
( )
2 ln
f x
x
x
=
，( )
4
g x
ax
=
-
，
(0,
)
x
$ Î
+¥ 使
( )
( )
f x
g x
£
成立，则实数α 的取值
范围
．
10．（24-25 高二下·江西·期末）若关于x 的方程
2
2
2 ln
e
1
ax
x
x
ax
+
=
+
在区间
1,+¥ 上有解，则a 的取值范围是
．
11．（24-25 高二下·四川广元·期末）已知函数
3
2
1
3
f x
x
x
=
-
．
(1)求函数
f x 的图象在
3
x =
处的切线方程；
(2)若
f x
m
£
在
0,3
xÎ
上有解，求m 的取值范围．
12．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数
ex
f x
ax
a
=
×
ÎR 的极小值为
1
e
-
．
(1)求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
0
b >
，且存在
0,
x
¥
Î
+
，使得e
ln
bx
b
x
£
成立，求实数b 的取值范围．
13．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
e
e
x
x
f x
m
-
=
+
为偶函数，其中e 是自然对数的底数.
(1)求m 的值及
f x 最小值；
(2)关于x 的不等式
e
1
x
bf x
b
-
£
+
- 在
0, ¥
+
上恒成立，求实数b 取值范围；
(3)存在
0
1,
x Î
+¥ ，使得
3
0
0
0
3ax
f x
ax
<
-
成立，其中
0
a >
，求实数a 的取值范围.
14．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知函数
2
( )
(
2)
ln (
)
f x
ax
a
x
x a
=
-
+
+
ÎR ，
2
( )
g x
x
x
=
-
.
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若
1
(0,
)
x
"
Î
+¥ ，
2
[ 2, 1]
x
$
Î -
-
，使得
1
2
f x
g x
£
，求实数a 的取值范围.
15．（24-25 高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数
2
2
( )
(
2)
ln (
), ( )
f x
ax
a
x
x a
g x
x
x
=
-
+
+
Î
=
-
R
.
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若
1
2
(0,
),
[ 2, 1]
x
x
"
Î
+¥ $
Î -
-
，使得
1
2
f x
g x
£
，求实数a 的取值范围.
16．（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知曲线
3
2
1
1
3
y
f x
x
ax
bx
=
=
-
+
+ 在点
0,
0
f
处的切线的斜率为3，且当
3
x =
时，函数
f x 取得极值.
(1)求函数的极值；
(2)若存在
0,3
xÎ
，使得不等式
0
f x
m
-
£
成立，求m 的取值范围.
17．（24-25 高二下·广东广州·期中）已知函数
2
1
2
2 ln
2
f x
x
a
x
a
x a
=
-
+
+
ÎR ．
(1)若
0
a >
，讨论函数
f x 的单调性；
(2)设函数
2
g x
a
x
= -
+
，若至少存在一个
0
e,4
x Î
，使得
0
0
f
x
g x
>
成立，求实数a 的取值范围．
18．（24-25 高二下·北京延庆·期末）已知函数
ln
f x
x
x
a
=
+
- +
，其中
0
a >
.
(1)当
2
a =
时，写出
f x 的单调递增区间；
(2)若函数
f x 的极大值为0，且对
,0
x
" Î -¥
，
2
0
f x
kx
k
³
<
成立，求实数k 的最大值；
(3)若过原点至少存在1 条直线与曲线
y
f x
=
相切，求a 的取值范围.
1．（23-24 高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
=
+
+
+
¹
，给出定义：
f
x
¢
是
y
f x
=
的
导函数，
f
x
¢¢
是
f
x
¢
的导函数，若方程
0
f
x
¢¢
=
有实数解
0x ，则称点
0
0
,
x
f x
为函数
y
f x
=
的“拐点”．经
过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
3
2
1
1
5
3
3
2
12
g x
x
x
x
=
-
+
-
，则
1
2
2023
2024
2024
2024
g
g
g
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
2．（23-24 高二下·江苏常州·期中）设
( )
f x 定义在R 上，若对任意实数t ，存在实数
1
2
,
x x ，使得
1
2
1
2
( )
f x
f x
f t
x
x
-
=
-
¢
成立，则称
( )
f x 满足“性质T ”，下列函数满足“性质T ”的有（ ）
A．
3
( )
3
f x
x
x
=
-
B．
1
( )
ex
f x
-
=
C．
( )
sin 2
f x
x
=
D．
2
( )
1
x
f x
x
=
+
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）定义
f
x
f
x
¢
=
的实数根x 为
f x 的“坚定点”，已知
0
a >
，且
1
a ¹ ，则下列
函数中，不存在“坚定点”的是（ ）
A．
sin
f x
a
x
=
B．
ln
f
x
ax
=
C．
3
2
2
f x
x
x
ax
a
=
+
+
+
D．
eax
f x =
4．（24-25 高二上·陕西榆林·期末）已知函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，若存在
0x 使得
0
0
f
x
f
x
¢
=
，则称
0x 是
f x 的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A．
ln
1
f x
x
=
+
B．
1
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
C．
sin
f x
x
=
D．
cos
f x
x
=
考点三
导数新定义问题
5．（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点
分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知
2
2
1
e
e
1
2
x
f x
x
x
=
-
+
-
，则下列给出的函数其图象与
y
f x
=
的图象“相似”的是（ ）
A．
2
y
x
=
B．
2
y
x
= -
C．
3
3
y
x
x
=
-
D．
3
3
y
x
x
= -
+
6．（24-25 高二下·广东东莞·阶段练习）定义满足方程
1
f
x
f x
¢
+
= 的解
0x 叫做函数
f x 的“自足点”，则下列四
个函数：①
2
3
f
x
x
x
=
-
+ ；②
1
g x
x
x
=
+
；③
ln
h x
x
=
；④
e
sin
3
x
p x
x
=
-
+
，则存在“自足点”的函数共
有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（24-25 高二下·云南·期中·多选）若存在m ，使得
( )
f x
m
³
对任意x
D
Î
恒成立，则函数
( )
f x 在D 上有下界，其
中m 为函数
( )
f x 的一个下界；若存在M ，使得
( )
f x
M
£
对任意x
D
Î
恒成立，则函数
( )
f x 在D 上有上界，其中
M 为函数
( )
f x 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（ ）
A．2
- 是函数
1
( )
(
0)
f x
x
x
x
=
+
<
的一个下界
B．函数
( )
ln
2
f x
x
x
x
=
+
有下界，无上界
C．函数
e
( )
x
f x
x
=
有下界，无上界
D．函数
2
sin
( )
2
x
f x
x
=
+
有界
8．（2025·山东潍坊·二模·多选）曲线的曲率定义如下：若
f
x
¢
是
f x 的导数，
f
x
¢¢
是
f
x
¢
的导数，则曲线
y
f x
=
在点
,x f x
处的曲率
3
2
2
1
f
x
k
f
x
=
é
ù
+
ê
¢
ú
ë
û
¢¢
，则（ ）
A．曲线
cos
y
x
=
上不存在曲率大于1的点
B．曲线
2
y
x
x
=
+
在点
1
1
,
2
4
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø 处的曲率最大
C．曲线
2
2
1
0
4
y
x
y
+
=
>
在点
0,2 处的曲率为
1
2
D．曲线
ln
y
x
=
在点
1
1
, ln
x
x
与
2
2
1
2
, ln
x
x
x
x
¹
处曲率相等，则
1
2
1
2
x x <
9．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）定义：设二元函数
,
z
f
x y
=
在点
0
0
,
x
y
的附近有定义，当y 固定在
0y 而x 在
0x 处有改变量x
D 时，相应的二元函数
,
z
f
x y
=
有改变量
0
0
0
0
Δ
Δ ,
,
z
f x
x y
f x y
=
+
-
，如果
Δ
0 Δ
l
Δ
im
x
z
x
®
存在，那么
称此极限为二元函数
,
z
f
x y
=
在点
0
0
,
x
y
处对x 的偏导数，记作
0
0
,
xf
x y
．若
,
z
f
x y
=
在区域D 内每一个点
,x y 对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y 的二元函数，它就被称为二元函数
,
z
f
x y
=
对自
变量x 的偏导函数，记作
,
xf
x y ．已知
2
2
,
F x y
x
y
xy
=
+
-
，若
,
1
F x y = ，则
,
,
x
y
F x y
F x y
+
的取值集合为
10．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，对于曲线G 所在平面内的点O，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线
G 上的任意两个不同的点A，B，恒有
AOB
a
Ð
£
成立，则称角α 为曲线G 的相对于点O 的“界角”，并称其中最小
的“界角”为曲线G 的相对于点O 的“确界角”.已知曲线C：
1
2
e
1,
0
1
1,
0
16
x
x
x
y
x
x
-
ì
+
>
ï
= í
+
£
ïî
（其中e是自然对数的底数），O 为坐
标原点，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为b ，则b =
．
11．（2025·河北·模拟预测）若存在正数k ，对任意的
1
2
,
x x
D
Î
，
1
2
1
2
f x
f x
k g x
g x
-
³
-
恒成立，则称函
数
f x ，
g x 在D 上具有性质“
M k ”．
(1)判断函数
2
1
2
f x
x
=
，
4
g x
x
=
在
2 2
- ,
上是否具有性质“
1
16
M æ
ö
ç
÷
è
ø
”，并说明理由；
(2)若函数
2
sin
f x
x
x
=
-
，
cos
g x
x
= -
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上具有性质“
M k ”，求k 的取值范围；
(3)若函数
f x 与
e
ln
x
g x
x
x
x
=
-
-
在
0, ¥
+
上具有性质“
1
M
”，且存在
,
0,
a b
¥
Î
+
，a
b
<
，使得
f a
f b
=
，求证：e
e
2
a
b
a
b
+
>
．
12．（24-25 高二下·江苏常州·期中）在高等数学中，我们将
y
f x
=
在
0
x
x
=
处可以用一个多项式函数近似表示，
具体形式为：
2
0
0
0
0
0
0
0
2!
!
n
n
f
x
f
x
f x
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
n
¢¢
=
+
¢
-
+
-
+×××+
-
+××× （其中
n
f
x 表示
f x 的
n 次导数
*
3,
N
n
n
³
Î
），以上公式我们称为函数
f x 在
0
x
x
=
处的泰勒展开式．当
0
0
x =
时泰勒展开式也称为麦克
劳林公式．比如ex 在
0
x =
处的麦克劳林公式为：
2
2
1
1
1
e
1
2!
3
!
x
n
x
x
x
x
n
= +
+
+
+
+
+
L
L
！
，由此当
0
x ³
时，可以非
常容易得到不等式
2
2
3
1
1
1
e
1
,e
1
,e
1
,
2
2
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
³ +
³ +
+
³ +
+
+
L请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出sin x 在
0
x =
处的泰勒展开式；
(2)根据泰勒公式估算
1
cos 2 的值，精确到小数点后两位；
(3)若
3
0, 2
x
æ
ö
" Îç
÷
è
ø ，
sin
e
1
a
x
x
>
+ 恒成立，求a 的范围．（参考数据
5
ln
0.9
2 »
）
13．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）设函数
y
f x
=
在区间D 上的导函数为
f
x
¢
，且
f
x
¢
在D 上存在导函
数
f
x
¢¢
（其中
'
f
x
f
x
é
¢
¢
ù
= ë
û
¢
.定义：若区间D 上
0
f
x
¢¢
>
恒成立，则称函数
f x 在区间D 上为凹函数．
(1)判断函数
( )
1
x
f x
x
+
=
在区间
0, ¥
+
上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数a ，使得函数
2
2
1
1
3
e
ln
ln
2
2
2
x
g x
a
x
x
a
æ
ö
=
-
-
-
ç
÷
è
ø
在区间
0, ¥
+
上为凹函数？若存在，求实数a 的
取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设k ÎZ 且
0
k >
，对于任意的
0,
xÎ
+¥ ，不等式
1 ln
1
1
x
k
x
x
+
+
>
+
成立，求k 的最大值．
14．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知函数
f x 的导数为
f
x
¢
，
f
x
¢
的导数为
f x 的二阶导数，记作
f
x
¢¢
．若函数
f x 在包含
0x 的某个开区间
,
a b 上具有二阶导数，那么
,
x
a b
" Î
，
2
0
0
0
0
0
1!
2!
f
x
f
x
g x
f x
x
x
x
x
¢
¢¢
=
+
-
+
-
，我们把
g x 称为函数
f x 在
0
x
x
=
处的二阶拟合函数．
(1)写出函数
ex
y =
在
0
x =
处的二阶拟合函数
x
j
，并证明
ex
x
j
³
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立；
(2)若e
cos
2
x
x
ax
+
³
+
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，求a 的取值范围；
(3)设函数
2
2 e
1
0
x
g x
x
m x
m
=
-
+
-
>
的两个零点为
1
x ，
2x ，
g x 在
1
x = 处的二阶拟合函数为
h x ，证
明：
h x 有两个零点
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
+
<
+
．
15．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）设函数
( )
f x 定义在区间I 上，若对任意
1
2
,
,
,
n
x x
x
I
Î
L
，有
1
1
(
)
n
n
i
i
i
i
x
f x
f
n
n
=
=
£
å
å
，则称
( )
f x 为I 上的下凸函数，等号成立当且仅当
1
2
n
x
x
x
=
=
=
L
．若函数
( )
f x 在区间I 上存
在二阶可导函数，则
( )
f x 为区间I 上的下凸函数的充要条件是
( )
0
f
x
¢¢
³
．
(1)若
2
( )
ln
f x
x
ax
=
+
是
1,2 上的下凸函数，求实数a 的取值范围；
(2)在锐角三角形ABC 中，求sin
sin
sin
A
B
C
+
+
最大值；
(3)已知正实数
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
满足
1
2
1
n
x
x
x
+
+
+
=
L
，求
1
2
1
2
1
1
1
n
n
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
öæ
ö
+
+
+
ç
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø
è
ø
L
的最小值．
16．（2024·江西·模拟预测）已知定义在正整数集
+
N 上的函数
f n ，若函数
f n 同时具有性质：①对任意
n
+
ÎN ，
e
f n £
；②存在实数a，使得对任意n
+
ÎN ，
1
1
2
!
n a
n
f
f
f n
n
+
+
=
L
，则称函数
f n 为“可积函
数”，此时a 称为
f n 的“可积指标”.（e 是自然对数的底数）
(1)判断函数
e
f n
n
=
，n
+
ÎN 是否“可积函数”，若是，求出
f n 的“可积指标”；若不是，请说明理由；
(2)若定义在正整数集
+
N 上的函数
f n 是“可积指标”为a 的“可积函数”，求
f n 的解析式，及“可积指标”a 的最
大值.
17．（2025·湖北宜昌·二模）定义：若函数
( )
f x 图象上恰好存在相异的两点,
P Q ，满足曲线
( )
y
f x
=
在P 和Q 处的
切线重合，则称,
P Q 为曲线
( )
y
f x
=
的“双重切点”，直线PQ为曲线
( )
y
f x
=
的“双重切线”.已知函数
( )
sin
cos
f x
ax
x
b
x
=
+
.
(1)当
1,
0
a
b
=
=
时
（i）判断
( )
f x 的奇偶性，并求
( )
f x 在
π π
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 的极值；
（ii）设
( )
f x 在(0,
)
+¥ 内的全部极值点按从小到大的顺序排列
1
2
,
,
,
n
a a
a
×××
，求证：
1
π
π
2
n
n
a
a
+
<
-
<
；
(2)当
0,
1
a
b
=
= 时，直线PQ为曲线
y
f x
=
的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为
1
2
,
,
,
n
k k
k
L
，若
1
2
3,4,5,
,
i
k
k
k i
n
>
>
=
L
，证明：
1
2
15
8
k
k <
.
18．（24-25 高二下·山东·期中）已知函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，我们称函数
f
x
¢
的导函数
f
x
¢¢
为函数
f x
的二阶导函数，若一个连续函数
f x 在区间I 上的二阶导函数
0
f
x
¢¢
³
，则称
f x 为I 上的凹函数，若二阶导
函数
0
f
x
¢¢
£
，则称
f x 为I 上的凸函数.
(1)若函数
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
ax
ax
ax x
= -
+
+
-
是
0, ¥
+
上的凸函数，求实数a 的取值范围.
(2)已知函数
e
sin ,
0,π
x
f x
x x
a
=
+
Î
.
①若
f x 是
0,π 上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②若
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
.
