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疑难压轴2 立体几何中的动态探究问题（小题狂练）
一．单选题．
【2024“T8”第二次联考】
1．已知正方体
的棱长为
为线段
上的动点，则三棱锥
外
接球半径的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 湖南长沙三模】
2．已知正方体
的棱长为
是棱
的中点，空间中的动点
满足
，且
，则动点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【2025 上重庆长寿期末】
3．如图所示，正三棱柱
的底面边长为2，侧棱长为
，
是棱
上的动点，
为棱
的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．当
为
中点时，
四点共面
B．当
为
中点时，直线
与
所成角为
C．三棱锥
的体积为定值1
D．
的最小值为
【2024 下云南昆明阶段练习】
4．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面，已知菱形ABCD 的边长为2，
，P 在菱形ABCD 的内部及边界上运动，空间中的点Q 满足
，则点Q
轨迹所围成的几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上辽宁期中】
5．已知高为
的正四棱台
的所有顶点都在球
的球面上，
，
为
内部（含边界）的动点，则（ ）
A．平面
与平面
的夹角为
B．球
的体积为
C．
的最小值为
D．
与平面
所成角度数的最大值为
【2024 下陕西西安阶段练习】
6．在棱长为2 的正方体
中，P，Q，R 分别为线段
，
，
上的动
点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【2025 上湖南阶段练习】
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学
利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥
，该三棱锥为鳖臑，
，
为半
圆柱的圆心，半径为2，
，
，动点
在
内运动（含边界），且满
足
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上四川内江期中】
8．在正方形
中，
，
为
中点，将
沿直线
翻折至
位置，
点
为线段
中点.在翻折的过程中，若
为线段
的中点，则下列结论中正确的是
（ ）
A．三棱锥
的体积最大值为
B．异面直线
、
所成角始终为
C．翻折过程中存在某个位置，使得
大小为
D．点
在某个圆上运动
【2024 湖北模拟预测】
9．已知四棱锥
的底面为矩形，
，
，侧面
为正三角形且垂直
于底面
，M 为四棱锥
内切球表面上一点，则点M 到直线
距离的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 高三全国专题练习】
10．如图，若P 是棱长为2 的正方体
的表面上一个动点，则下列结论正确
的是（ ）
A．当P 在平面
内运动时，四棱锥
的体积变化
B．当P 在线段
上运动时，
与
所成角的取值范围是
C．使直线
与平面
所成的角为45°的点P 的轨迹长度为
D．若F 是棱
的中点，当P 在底面
内运动，且满足
平面
时，
长度
的最小值是
二．多选题．
11．在矩形
中，
，以对角线
为折痕将
进行翻折，折后为
，连接
得到三棱锥
，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥
体积的最大值为
B．三棱锥
外接球的半径为1
C．点
在某一位置，可使
D．当
时，
【2025 上河北期末】
12．已知棱长为1 的正方体
，空间内的动点
满足
，其中
，
，
，且
到棱
的距离和
到平面
的距离相等，则
（ ）
A．当
时，
的轨迹长度为
B．当
时，四面体
的体积为定值
C．存在点
，使得
D．直线
与平面
所成角的正弦值最大为
13．已知图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球表面积为12π，点P 在正方体的对角面
BDD1B1内（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A．若
平面A1C1D，则P 的轨迹长度为
B．若BP⊥平面A1C1D，则P 的轨迹长度为
C．若点P 到平面A1B1C1D1的距离与到点B 的距离相等，则P 的轨迹是椭圆的一段
D．PA+PA1的最小值为
【2025 上河北廊坊期末】
14．如图所示，棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，则下列结论
中正确的是（ ）
A．点
到平面
的距离是
到平面
的距离的
倍
B．若点
平面
，且
与
所成角是
，则点
的轨迹是双曲线的一支
C．三棱锥
的外接球的表面积为
D．若
线段
，则
的最小值是
15．在正方体
中，点
在线段
上，且
，动点
在线段
上（含端点），则下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．若直线
平面
，则
C．不存在点
使平面
平面
D．存在点
使直线
与平面
所成角为
【2024 广东深圳一模】
16．如图，八面体
的每一个面都是边长为4 的正三角形，且顶点
在同一个
平面内．若点
在四边形
内（包含边界）运动，
为
的中点，则（ ）
A．当
为
的中点时，异面直线
与
所成角为
B．当
平面
时，点
的轨迹长度为
C．当
时，点
到
的距离可能为
D．存在一个体积为
的圆柱体可整体放入
内
【2024 湖南长沙模拟预测】
17．如图，在棱长为4 的正方体
中，E，F 分别是棱
的中点，P
是正方形
内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若
平面CEF，则点P 的轨迹长度为
B．若
，则点P 的轨迹长度为
C．若P 是正方形
的中心，Q 在线段EF 上，则
的最小值为
D．若P 是棱
的中点，三棱锥
的外接球球心为O，则平面
截球O 所得
截面的面积为
【2024 山西临汾二模】
18．在正四面体ABCD 中，P，Q 分别为棱AB 和CD（包括端点）的动点，直线PQ 与平面
ABC、平面ABD 所成角分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的正负与点P，Q 位置都有关系
B．
的正负由点
位置确定，与点
位置无关
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【2024 广东梅州二模】
19．如图，平面
，
，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面
的所
成角大小为30°，点P 为平面
内的动点，则（ ）
A．以
为球心，半径为2 的球面在平面
上的截痕长为
B．若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线
C．若P 到直线MN 的距离为1，则
的最大值为
D．满足
的点P 的轨迹是椭圆
【2025 上江苏苏州期中】
20．如图，正方体
棱长为2，
、
分别是棱
，棱
的中点，点
是其侧面
上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点
到点
的最短距离为
B．过点
，
，
的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当
时，点
的轨迹长度为
D．保持
与
垂直时，点
的运动轨迹长度为
三．填空题．
【2024 安徽合肥八中、屯溪一中等校联考】
21．已知正方体
的体积为8，且
，则当
取得
最小值时，三棱锥
的外接球体积为 .
【2025 上湖北襄阳期末】
22．如图，正方形
和矩形
所在的平面互相垂直．点
在正方形
及其内部
运动，点
在矩形
及其内部运动，设
，若
，则四面体
体积的最大值为 ．
【2025 上广东深圳期末】
23．图1 是由矩形ABFG，直角三角形ABC 和菱形BCDE 组成的平面图形，其中
，
，将矩形ABFG，菱形BCDE 分别沿AB，BC 折起，
使得BE 与BF 重合，连接DG，得到如图2 所示的五面体，则该五面体的体积为 .
【2025 上河北期中】
24．在平行六面体
中，
，若
，其
中
，给出下列四个结论：
①若点
为
的中点，则
；
②若点
在平面
内，则
；
③若
，则三棱锥
的体积为
；
④若点
为
的中点，则异面直线
与
垂直.
所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）.
【2024 河南南阳一模】
25．已知球
是棱长为2 的正方体
的内切球，
是
的中点，
是
的中点，
是球
的球面上任意一点．
①若
，则动点
的轨迹长度为
；②三棱锥
的体积的最大值为
；
③
的取值范围是
；④若
，则
的大小为定值；所有正确
结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
1．试题特点分析：“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透
了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同
时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的
解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．
2．解题方法阐述：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认
知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符
合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹
问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型．
3．解题经验分享：一要根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解；二是
将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；三要通过空间向量的坐标运
算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解．
