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专题14 平面中的轨迹方程问题
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题型01 直接法..............................................................................................................................................................1
题型02 定义法..............................................................................................................................................................3
题型03 相关点法..........................................................................................................................................................7
题型04 交轨法............................................................................................................................................................11
题型01 直接法
【解题规律·提分快招】
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线
与方程
之间有以下两个关系：
①曲线
上的点的坐标都是方程
的解；
②以方程
的解为坐标的点都是曲线
上的点．
此时，把方程
叫做曲线
的方程，曲线
叫做方程
的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为
；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标
y
x、表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．
3、直接法
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含
的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，
是两个定点，
是动点，若
，则点
的轨迹为
1
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（ ）
A．椭圆
B．抛物线
C．直线
D．圆
【答案】D
【分析】根据题意求出动点
的轨迹方程即可判断.
【详解】设点
，点
，
则
，
.
由
可得：
，即
.
所以点
的轨迹为圆.
故选：D
2．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知两定点
，动点
满足
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.
【详解】动点
满足
，则
，其中
，
化简可得
．
故选：B．
3．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知
是坐标原点，点
满足
，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设点P 坐标，利用平面向量的坐标表示消元化简即可.
【详解】设
，
，由题意可知，
，
所以
，消去参数
，得点
的轨迹方程为
．
故选：D．
2
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二、填空题
4．（24-25 高三上·吉林通化·期中）在
中，
，
，
，则点
的轨迹方程为
．
【答案】
【分析】设点
，分别表示
与
，化简即可.
【详解】设点
，
则
，
，
则
，
化简可得
，
故答案为：
.
5．（24-25 高三上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q，且
，则点P 的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程.
【详解】设
，则
，
又因为
可得
.
则点
的轨迹方程为
.
故答案为：
.
题型02 定义法
【解题规律·提分快招】
1、椭圆定义
如果动点
的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫
做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (0＜e＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，
该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③椭圆第三定义：A,B 为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B 两点的斜率之积为常数e
2−1，当0＜
3
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e
2＜1 时，该动点的轨迹为椭圆。
2、双曲线定义
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这
两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (e＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该
常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③第三定义：A,B 为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B 两点的斜率之积为常数e
2−1，当e
2＞1
时，该动点的轨迹为双曲线。
3、抛物线定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的
焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l 不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·期末）点
的坐标分别是
，直线
相交于点
，且
它们的斜率之积是
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得.
【详解】
设
，因为
，所以
，
由已知，
，化简得
，
故选：B．
4
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2．（24-25 高三上·四川绵阳·期中）已知
，
，直线
相交于点
，且直线
与直
线
的斜率之积为1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
,根据题意建立方程，化简即得点
的轨迹方程，同时要注意条件
的满足即得.
【详解】设点
，则
，
化简即得：
.
即点
的轨迹方程为：
.
故选：B.
3．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离大1，则
动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P 到点
的距离等于它到直线
的距离，
由抛物线的定义可知，点P 在以
为焦点，
为准线的抛物线上，其轨迹方程为
，
故选：D
4．（24-25 高三上·河南南阳·阶段练习）动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离
的比是常数
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】设
是点
到直线
的距离，
根据题意，动点
的轨迹就是集合
.
5
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由此得
，将上式两边平方并化简，得
，
即
.
所以动点
的轨迹方程为
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆
过定点
，且与已知圆
：
外切，
则动圆圆心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心
的轨迹，然后再求方程即可.
【详解】
圆
与圆
外切，如图，
，即
，
，
由双曲线的定义，点
的轨迹是以
为焦点，
为实轴长的双曲线的左支，其中
，
，
．
故所求轨方程为：
．
故选：C．
6．（24-25 高三上·黑龙江·期中）已知圆
和圆
，若动圆P 与这
两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6
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【分析】首先通过半径判断出两圆关系为内含，然后根据
结合椭圆的几
何定义，判断出轨迹为椭圆得解.
【详解】圆
和圆
的圆心、半径分别为
，
，
，
，
由
可知圆
内含于圆
，
设动圆半径为R，由题意可得
，
，两式相加可得
，
故P 点的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
，
，
所以
，
，
所以椭圆方程为
，
故选：D.
题型03 相关点法
【解题规律·提分快招】
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即
可得到动点
的轨迹方程。
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式{
x1= f ( x , y)
y1= g( x , y)
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，将圆
上所有点的横坐标伸长到原
来的2 倍，纵坐标缩短为原来的
，则得到的新曲线的曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
7
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【分析】设
为
上任意一点，通过变换后得
，根据点在圆上代入化简即可.
【详解】设
为
上任意一点，
将点
的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标压缩到原来的
得到点
，
则
，所以
，
因为
，所以
，所以新的曲线方程为
．
故选：D．
2．（24-25 高三上·福建莆田·期末）在圆
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段
，D 为垂足，
M 是线段
上的点，且
，当点P 在圆上运动时，则点M 的轨迹方程是（ ）
A．
+
=1(y
)
B．
+
=1(y
)
C．
+
=1(y
)
D．
+
=1(y
)
【答案】A
【分析】设点
，
，则
，因点
在圆
上 ，利用相关点法即可求得点M
的轨迹方程.
【详解】
如图，设点
，
，则
，
因点
在圆
上 ，则
（*），
又因
轴，且M 是线段
上的点，
，则
，
则得
，即
，
8
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将其代入（*），即得
是点M 的轨迹方程.
故选：A.
3．（24-25 高三上·海南·阶段练习）已知椭圆
的短轴的两个端点分别为
、
，
为椭圆上一动
点，则
的重心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用三角形重心坐标公式可得
，代入椭圆方程中化简即可.
【详解】由题意知
、
是椭圆
的短轴的两个端点，
所以
，
设
，
由
为
的重心，
所以
，
又
为椭圆上一动点，
所以
即
，
所以有：
，
又
为
的重心，
所以
，即
的轨迹方程为
.
故选：B.
二、填空题
4．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）如图，
轴，垂足为
，点
在
的延长线上，且
，当点
在圆
上运动时，点
的轨迹方程为 ．
9
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【答案】
【分析】设点
的坐标为
，点
，可得
，根据点
在圆上即可求出．
【详解】解：设点
的坐标为
，点
，由题意可知
，
则由题可得
，即
，
点
在圆
上运动，
，
即点
的轨迹方程为
．
故答案为：
5．（23-24 高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A 在圆x2＋y2＝1 上运动，∠AOB 的平分线
交线段AB 于点M，则点M 的轨迹方程是 ．
【答案】
．
【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程．
【详解】设
，则
，
设
，
由
为
的角平分线，
可得
，
即有
，
可得
,
，
10
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即
，
，
可得
，
，
则
，
即为
．
故答案为：
．
题型04 交轨法
【解题规律·提分快招】
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来
得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可
以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系
中，
，动点
和
分别位
于
正半轴和负半轴上，若
，则
和
的交点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过设出交点
的坐标，利用
、
、
、
的坐标关系以及已知条件
来建立等
式，从而求出
的轨迹方程.
【详解】设
，
，
.
因为
，所以
.
已知
，
，根据直线的截距式方程
（
为
轴上的截距，
为
轴上的截距），可得
直线
的方程：
.
已知
，
，则直线
的方程为
.
因为
是
和
的交点，所以
的坐标满足
和
的方程.
11
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对于直线
的方程
，可得
.
对于直线
的方程
，可得
.
又因为
，所以
，即
.
故选：D.
2．（2024 高三上·全国·专题练习）设
是椭圆
与x 轴的两个交点，
是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线
与
交点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先设出
和
根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点
在椭圆上，代入消元即得点
的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线
与
的交点为
，则
∵
共线，故
①，又∵
共线，故
②.
由①，② 两式相乘得
（*）,
因
在椭圆
上，则
，可得：
将其代入（*）式，即得：
，
化简得：
，即P 的轨迹方程为
.
12
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故选：C.
二、填空题
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知
是椭圆
中垂直于长轴的动弦，
是椭圆
长轴的两个端点，则直线
和
的交点
的轨迹方程为 ．
【答案】
（
）．
【分析】设
，直线
和
的交点为
，根据
三点共线及
三点共线，
可得两个式子，两式相乘，再结合
在椭圆上即可得出答案.
【详解】设
，
因为椭圆
的长轴端点为
，
设直线
和
的交点为
，
因为
三点共线，所以
，
，
因为
三点共线，所以
，
两式相乘得
，（
）,
因为
，所以
，即
，
所以
，整理得
（
），
所以直线
和
的交点
的轨迹方程
（
）.
故答案为：
（
）.
一、单选题
1．（24-25 高三上·福建福州·期末）已知
两点的坐标分别是
，直线
相交于点
，且
它们的斜率之和是2，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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【答案】D
【分析】设
点坐标，根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去掉部分点.
【详解】设
，则
，
，又因为
，
.
故选：D.
2．（2024 高三·全国·专题练习）若动点
满足方程
，则动点P 的轨
迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线定义得到点P 的轨迹方程是以
与
为焦点的双曲线，得到答案.
【详解】由题意得点
到点
与点
的距离之差的绝对值为3，且
，
故动点P 的轨迹方程是以
与
为焦点的双曲线，
故
，
所以
，
所以双曲线的方程为
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·广西南宁·开学考试）已知
，
，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率
与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可.
【详解】设动点
，
由于
，
，根据直线
与
的斜率之积为
．
14
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整理得
，化简得：
．
故选：B
4．（24-25 高三上·山东菏泽·期中）已知曲线
，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为
，
且
，则点N 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量找到三点的关系，设所求点
的坐标，由三点关系得到
的坐标，然后代入曲线
，得到点N 的轨迹方程.
【详解】∵
，∴
三点共线，且
又∵
轴，
∴设
，则
，
，
∵点
在
上，
∴
，即
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）当点
在圆
上运动时，它与定点
相连，则线段PQ
的中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出M 点坐标，根据M 是线段PQ 中点可表示出P 点坐标，再根据P 在圆上可建立关于M 横纵
坐标的关系式，即可得出M 轨迹方程.
【详解】如图所示，
设
，因为M 是线段PQ 中点，
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所以由中点坐标公式可得，
，所以
，
又因为P 在圆上，所以
，
于是可得M 的轨迹方程为：
，
故选：B.
6．（2024·广西·模拟预测）已知
，
分别为
轴、
轴上的动点，若以线段
为直径的圆过点
，
则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出
点坐标，根据中点坐标公式得到
、
两点的坐标，结合已知条件利用
垂直关系，
分直线
斜率不存在，和直线
斜率存在两种情况求解即可.
【详解】设
点的坐标为
，则
点的坐标为
，
点的坐标为
，
由圆的性质可知
，
当
时，直线
斜率不存在，
此时直线
斜率为
，所以
，
，
，
当
时，有
，即
，
整理得：
，
经检验
在直线
上，
所以
的轨迹方程为：
.
故选：B.
7．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知等腰
底边两端点的坐标分别为
，
，则
顶点A 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，可得顶点A 的轨迹是
的垂直平分线（除去垂直平分线与线段
的交点），
利用斜率关系与点斜式方程可得．
【详解】
，且
三点不共线，
顶点A 的轨迹是线段
的垂直平分线（除去垂直平分线与线段
的交点，即除去
的中点），
16
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，
，
，所以与直线BC 垂直的直线的斜率为
，
又BC 的中点
，
则线段
的垂直平分线的方程为
，即
.
顶点A 的轨迹方程是
，
故选：D.
8．（24-25 高三上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
是一个
动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则点
的轨迹为椭圆
B．若
，则点
的轨迹为圆
C．若
，则点
的轨迹为双曲线
D．若
，则点
的轨迹为一条线段
【答案】B
【分析】令
，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判
断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D.
【详解】令
，则：
A：由
，结合椭圆定义，显然
轨迹不是椭圆，错；
B：由
，则
，
所以
，即点
的轨迹为圆，对；
C：由
，根据双曲线定义，
轨迹为双曲线的右支，错；
D：由题设
，整理得
，即点
的轨迹为一条直线，错.
故选：B
17
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9．（24-25 高三上·河北·期中）已知圆
，点
，点
在圆
上运动，线段
的中垂线与
交于点
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件得到
，从而点
的轨迹是以
为焦点，
且长轴长为
，焦距为的椭圆，即可求解.
【详解】如图，易知
，所以
，
由椭圆的定义知，点
的轨迹是以
为焦点，且长轴长为
，焦距为的椭圆，
而焦点在
上，长轴长为
，焦距为的椭圆的标准方程为
，
又点
的轨迹的中心为
，所以
的轨迹方程为
，
故选：C.
10．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是椭圆
的长轴上的两个顶点，点
是椭圆上异于长轴
顶点的任意一点，点
与点
关于
轴对称，则直线
与直线
的交点
所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线
B．抛物线
C．椭圆
D．两条互相垂直的直线
【答案】A
【分析】由题意设出点
，
坐标，然后求出直线
与直线
的方程，根据直线方程的特点，两方程
相乘，从而得到点
的轨迹方程，进而得解.
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【详解】
由于
是椭圆
的长轴上的两个顶点，所以
，
设
，则
，
所以直线
的方程为
①，直线
的方程为
②，
①②得
，
又因为
在椭圆
上，所以
，即
，
所以
，即
，
即直线
与直线
的交点
在双曲线
上.
故选：A.
二、填空题
11．（24-25 高三上·山西晋城·期中）已知平面内点
，
，平面内满足
的动点
的轨迹方程为 ．（化简成最简形式）
【答案】
【分析】设
坐标为
，由题意得
，化简得到答案.
【详解】设
坐标为
，由题意得
，
变形为
，两边平方得
，
化简得
，
两边平方得
，
化简得
.
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故答案为：
12．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）已知点
是椭圆的一个焦点，且椭圆经过
，
两点，则椭圆的另一个焦点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可求
的轨迹方程.
【详解】由椭圆的定义可知
，
所以
，
因此点
的轨迹是以
、
为焦点，实轴长为2 的双曲线的左支，
故它的轨迹方程为
．
故答案为：
.
13．（24-25 高三上·河北承德·期中）过曲线C 上一点P 作圆
的两条切线，切点分别为A，B，若
，则曲线C 的方程为 ．
【答案】
（
且
）
【分析】设
及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k 的方程，由判别式得出
，再由斜率关
系计算即可.
【详解】设
，则过点
的切线方程为
，即
，
所以
，得
，
则
，
是此方程的两根，
，
，
即
，
所以
，得
，又
，所以
，
即曲线
的方程为
（
且
）．
故答案为：
（
且
）.
14．（24-25 高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知
分别是直线
和
上的两个动点，线段
的长为
，
是
的中点，则动点
的轨迹方程是 .
【答案】
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【分析】根据中点关系以及两点距离公式，即可化简求解.
【详解】设
，
，则
，则
在
，
故
，或
，
根据
，
故
，进而可得
，
即
，
故答案为：
15．（24-25 高三上·山西·期末）在平面直角坐标系
中，已知点
，
在椭圆
：
上，且直线
，
的斜率之积为
，则
中点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】将点
，
代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得
，再代入中点的坐标公式化简即可求解.
【详解】因为点
，
在椭圆
：
上，所以
，
两式相加可得
，即
，
又因为直线
，
的斜率之积为
，所以
，可得
，
所以
，
设
中点为
，则
，
，
所以
，即
，
即
中点
的轨迹方程为
，
故答案为：
16．（23-24 高三上·四川成都·期中）关于直线
，有下列说法:
①对任意
，直线
不过定点；
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②平面内任给一点，总存在
，使得直线
经过该点；
③当
时，点
到直线
的距离最小值为
；
④对任意
，且有
，则直线
与
的交点轨迹为一直线.
其中正确的是 .
【答案】①③
【分析】①
变形为
，可得到直线
不过定点；
②可举出反例；
③利用点到直线距离公式和基本不等式进行求解；
④联立两直线方程，求出交点坐标
，结合
，得到交点轨迹方程.
【详解】①对任意
，
随着的变化，
也随之变化，故直线
不
过定点，①正确；
平面内取点
，则
，即
，无解，故②错误；
点
到直线
的距离
，令
，
则
，
因此
，
当且仅当
，即
时，等号成立，③正确；
联立直线
与
，得到
，
故交点坐标为
，
又因为
，
所以交点坐标满足方程
，
但当
时，
，不合题意，所以交点取不到
，
所以交点轨迹为一直线的一部分，④错误.
故答案为：①③.
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