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专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运算
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运
算
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量基本定理与坐标
表示及运算是高考的一个热
门考点，对于平面向量的考
察主要从这方面出题，尤其
是数量积的运算是考察的重
中之重，题目的难易度适
中，以选择或者填空为主，
出多项选择题的机率也是比
较大的，总体来说还是学生
比较好得分的。
预计2024 年的高考平面向量
基本定理与坐标表示及运算
还是以选择题或者填空题为
主，难易度以中等难度为
主，数量积的运算考察机率
大。
集合复习策略：
1.理解平面向量基本定理及
其意义；
2.掌握平面向量的正交分解
和坐标表示；
3.理解平面向量的数量积运
算；
4.掌握运用坐标进行平面向
量的加法、减法、数乘与数
量积的运算。
→➊考点精析←
一、 平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有
且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所
有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
a=（x1，y1） b=（x2，y2）
a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
(2)向量的坐标求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⃗AB=(x2-x1，y2-y1)，
|⃗AB|=√( x2- x1)
2+( y2- y1)
2.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ x1y2-x2y1=0.
二、 平面向量的数量积及坐标运算
1.平面向量的数量积
(1)概念
2
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已知两个非零向量a 和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内
积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(2)几何意义
①向量的投影: a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.
②向量的数量积:数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
(3)向量的夹角
已知两个非零向量a 和b,作⃗OA=a,⃗OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角.如
果向量a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a⊥b.
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c 和实数λ.
①
交换律: a·b=b·a;
②
数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)= a·(λb) (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= a·c+b·c.
3.平面向量数量积的性质
设a,b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量,θ 是a 与e 的夹角.
②
e·a=a·e=|a|cos θ.
③
a⊥b⇔ a·b=0.
④
当a 与b 同向时,a·b=|a||b|;当a 与b 反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=√a·a
⑤
cos θ= a·b
|a||b|
.
⑤|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为a 与b 的夹角.
|a|=√x1
2+ y1
2
a·b= x1x2+y1y2
a⊥b⇔ x1x2+y1y2=0
cos θ=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2√x2
2+ y2
2
→➋真题精讲←
3
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1. （2023 全国理科甲卷3）已知向量
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2. （2023 北京卷3）已知向量
满足
，则
（
）
A.
B.
C. 0
D. 1
3. （2023 全国Ⅰ卷3）已知向量
，若
，则（
）
A.
B.
C.
D.
4. （2023 天津卷14）在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，
则
的最大值为_________．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量，
满足
，
则
的最小值为（ ）
A．-1
B．0
C．
D．
2．（2023·广东佛山·统考一模）已知单位向量
，
满足
，若向量
，则
4
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（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量
满足
，
，
且
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山东日照·三模）已知向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
5．（2023·江苏·统考二模）已知向量，的夹角为60°，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·广东深圳·统考一模）已知
，
为单位向量，且
，则
与
的夹
角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·山东德州·三模）已知
，
：向量
与
共线，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5
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8．（2023·广东广州·统考二模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（2023·重庆·统考三模）已知
是单位向量，向量
满足
与
成角
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量
与
的夹角是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023 春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知向量
、
满足
，
，则
（ ）
A．－2
B．
C．
D．
12．（2023 春·广东·高三校联考阶段练习）已知边长为1 的正五边形
，则
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
→➍专题训练←
1．（2023·江苏·二模）在
所在平面内，
是
延长线上一点且
，
是
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·广东揭阳·高三统考期末）已知
，
为单位向量，向量
满足
.若
与
的夹角为60°，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
3．（2023 秋·广东·高三统考期末）已知平面向量
满足
，
则向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山西晋中·统考三模）设向量
与向量
的夹角为
，定义
与
的向量积：
是一个向量，它的模
．若
，
，则
（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
7
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5．（2023·湖北·校联考三模）正
的边长为2，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
6．（2023·山东青岛·统考三模）已知向量
，
，满足：
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
7．（2023·山西运城·统考三模）已知向量
满足
，且
，则
实数
（ ）
A．1 或
B．-1 或
C．1 或
D．-1 或
8．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知
，
，
是单位圆上的三点，满足
，
，且
，其中
为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
10．（2023 春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O 为坐标原点，点
，
，
，则（ ）
A．
B．
8
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C．
D．
11．（2023·辽宁·校联考三模）已知向量
，
，且
，则
______.
12．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量
，
若
，则
__________.
13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知平面向量
，
，若
与
垂直，
则实数
__________．
14．（2023·广东肇庆·统考二模）设
是平面直角坐标系中关于
轴对称的两点，且
.若存在
，使得
与
垂直，且
，则
的最小值为__________.
15．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量
，
，则向量
在
上的投影向量为_____ .
16．（2023 春·广东汕头·高三统考开学考试）已知向量
，若
在
方向上
的投影向量为
，则
的值为__________.
17．（2023 春·广东江门·高三校联考开学考试）已知向量
，且
，
则m=______.
18．（2023 春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知向量
，
，若
，则
_____．
19．（2023 春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，则在上的投影向量为________．
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