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专题21 空间点、直线、平面之间的位置关系
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
空间点、直线、平面之间的位置关系近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023 年全国乙（文科），第16 题,5 分
已知三棱锥外接求半径，求线段长
2023 年全国乙（文科），第19 题,12 分
1、证明线面平行；
2、求三棱锥的体积；
2023 年全国乙（理科），第3 题,5 分
2023 年全国乙（文科），第3 题,5 分
通过三视图求几何体的表面积
2023 年全国乙（理科），第8 题,5 分
圆锥体积相关计算
2023 年全国乙（理科），第9 题,5 分
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
面角的正切值
2023 年全国乙（理科），第19 题,12 分
1、证明线面平行；
2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023 年全国甲（文科），第10 题,5 分
证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023 年全国甲（文科），第16 题,5 分
正方体的外接球、棱切球问题
2023 年全国甲（文科），第18 题,12 分
1、证明面面垂直；
2、求四棱锥的高
2023 年全国甲（理科），第11 题,5 分
四棱锥表面积有关计算
余弦定理解三
角形
2023 年全国甲（理科），第15 题,5 分
正方体的棱切球问题
2023 年全国甲（理科），第18 题,12 分
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题形式出现，偶尔会在解答题中考查证明共面问题；
1
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2.考查判断点、线、面的位置关系；
3.考查基本事实的应用以及共面的条件；
【备考策略】1.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面的位置关系及符号表示；
2.能用基本事实和定理判断或证明位置关系；
3.会求异面直线所成的角；
【命题预测】1.考查判断点、线、面的位置关系；
2.考查基本事实的应用以及共面的条件；
知识讲解
一、平面的基本事实
三个基本事实的“图形语言”“文字语言”“符号语言”
图形语言
文字语言
符号语言
基
本
事
实
1
过不在一条直线上的三点,有且只
有一个平面
A,B,C 不共线⇒A,B,C 确定平面α
基
本
事
实
2
如果一条直线上的两个点在一个
平面内,那么这条直线在这个平面
内
A∈l,B∈l,A∈α,B∈α⇒l⊂α
2
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基
本
事
实
3
如果两个不重合的平面有一个公
共点,那么它们有且只有一条过该
点的公共直线
P∈α,P∈β⇒α∩β=l,P∈l
三个推论:
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二、空间中线、面之间的位置关系
1.空间中两条直线的位
置关系{
共面
直线{
平行 直线:在同一平面内没有公共点.
相交 直线:在同一平面内只有一个公共点.
异面 直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
2.空间中直线与平面的
位置关系{
直线在平面内:直线与平面有 无数个 公共点.
直线与平面相交:直线与平面 只有一个 公共点.
直线与平面平行:直线与平面 没有 公共点.
3.空间中两个平面的
位置关系{
平行平面:两个平面 没有 公共点.
相交平面:两个平面不 重合且有一条公共直线 .
唯一性定理:
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
三、异面直线
1.异面直线
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.异面直线所成的角
过空间任一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线a' 与b' ,那么直线a' 与b' 所成的
锐角或直角
叫作异面
直线a 与b 所成的角,其范围是
(0，π
2
]
.
四、直线与直线平行
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线
平行
.
等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补
.
3
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1.证明线共面或点共面的常用方法
(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.
(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β 重合.
2.证明点共线问题的常用方法
(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质证明这些点都在这两个
平面的交线上.
(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
一、空间中位置关系的判断
空间中点、线、面位置关系的判断,常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用,
特别要注意“构造法”的运用,通过构造长方体等模型,化抽象为直观,快速判断.
二、异面直线的判定方法
(1)定理:平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线.
(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛
盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
求异面直线所成角的步骤
一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角
形,求出所作的角.
常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作
平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角α 的取值范围是0°<α≤90°,故若所作的角为钝角,则其补角为
异面直线所成的角.
确定截面的主要依据:(1)平面的四个公理及推论;(2)直线和平面平行的判定和性质;(3)两个平面平行的性
质;(4)球的截面的性质.
考点一、基本事实的应用
1．如图，在四面体ABCD 中，M，N，P，Q，E 分别是AB，BC，CD，AD，AC 的中点，则下列说法中不
正确的是（ ）
A．M，N，P，Q 四点共面
B．
C．
D．四边形MNPQ 为梯形
【答案】D
4
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【分析】由基本事实4 即可判断A，由等角定理即可判断BC ，由三角形的中位线即可判断D.
【详解】对于A 选项，由条件可得，MQ //BD ,NP // BD ，所以MQ // NP ，所以M ，N ，P ，Q 四
点共面，故A 正确；
对于B 选项，根据等角定理，得∠QME =∠DBC ，故B 正确；
对于C 选项，由等角定理，知∠QME =∠DBC ，∠MEQ =∠BCD ，所以
，故C 正确；
对于D 选项，由三角形中位线的性质知MQ //BD ，
MQ =1
2 BD
，NP //BD ，
NP =1
2 BD
，所以
MQ // NP ,MQ =NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，故D 不正确．
2 ．如图, 已知空间四边形ABCD ,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,G ,H 分别是BC ,CD 上的点, 且
CG =1
3 BC
,
CH =1
3 DC
.求证:
(1)E ,F ,G ,H 四点共面;
(2)直线FH ,EG ,AC 共点.
【详解】(1)连接EF ,GH ,如图所示.
∵E ,F 分别是AB ,AD 的中点,∴EF //BD .
又∵
CG =1
3 BC
,
CH =1
3 DC
,∴GH // BD ,∴EF //GH ,
∴E ,F ,G ,H 四点共面.
(2)易知FH 与直线AC 不平行,但共面,
设FH ∩AC =M ,∴M ∈平面EFHG ,M ∈平面ABC .
又∵平面EFHG ∩¿ ¿平面ABC =EG ,∴M ∈EG ,∴直线FH ,EG ,AC 共点.
3．如图所示,已知在正方体ABCD −A1B1C1 D1中,E ,F 分别是AB ,AA1的中点.求证:
(1)E ,C ,D1,F 四点共面;
(2)CE ,D1F ,DA 三线共点.
5
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【详解】(1)如图,连接EF ,CD 1,A1B .
∵E ,F 分别是AB ,AA1的中点,∴EF //BA1.
又∵A1B// D1C ,∴EF //CD 1,∴E ,C ,D1,F 四点共面.
(2)∵EF //CD 1,EF <CD 1,∴CE 与D1F 必相交,设交点为P ,由P∈直线CE ,PCE ⊂平面ABCD ,
得P∈平面ABCD .同理P∈平面ADD 1 A1.
又平面ABCD ∩¿ ¿平面ADD 1 A1=DA ,∴P∈直线DA ,∴CE ,D1F ,DA 三线共点.
1．（2023 届吉林省适应性测试数学试题）在长方体
中，直线
与平面
的交点为
为线段
的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．
三点共线
B．
四点异不共面
C．
四点共面
D．
四点共面
【答案】C
【分析】由长方体性质易知
四点共面且
是异面直线, 再根据
与
、面
、 面
的位置关系知
在面
与面
的交线上, 同理判断O、A , 即可判断各选
项的正误.
【详解】
因为
, 则
四点共面.
因为
, 则
平面
,
6
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又
平面
,
则点
在平面
与平面
的交线上,
同理,
也在平面
与平面
的交线上,
所以
三点共线;
从而M ,O, A1, A 四点共面,都在平面
内，
而点B 不在平面
内，
所以
四点不共面，故选项B 正确；
三点均在平面
内，
而点A 不在平面
内，
所以直线AO 与平面
相交且点O 是交点，
所以点M 不在平面
内，
即
四点不共面，
故选项C 错误；
，且
，
所以
为平行四边形，
所以
共面，
所以
四点共面.
2．在正方体中，
、
、
、
分别是该点所在棱的中点，则下列图形中
、
、
、
四点共面的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于B，证明
即可；而对于BCD ，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说
明另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项
，如下图，点
、
、
、
确定一个平面，该平面与底面交于
，而点
不在
平面
上，故
、
、
、
四点不共面；
1
1
BB D D
1
1
BB D D
1
1
BB D D
1
,
,
,
B B O M
1
1
BC
D A
1
1
=
BC D A
1
1
BCD A
1
1
,
CA BD
1
,
, ,
B D C M
7
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对于选项
，连结底面对角线
，由中位线定理得
，又
，则
，故
、
、
、
四点共面
对于选项C，显然
、
、
所确定的平面为正方体的底面，而点
不在该平面内，故
、
、
、
四
点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点
、
、
确定的平面，该平面
与正方体正面的交线为
，而点
不在直线
上，故
、
、
、
四点不共面．
3．（2023 年湖北省阶段性测试数学试题）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，AD 的中
点，
分别在BC，CD 上，且
则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H 四点共面；②
③若直线EG 与直线FH 交于点P，则P，A，C 三点共线．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】推导出
，
，从而
，由此能证明E,F ,G,H 四点共面；
，从而
直线EG 与直线FH 必相交，设交点为P ，证明P 点在直线
上．
【详解】如图所示，
8
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E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴
，
，
分别在BC ，CD 上，且
，∴
，
，
∴
，则E ，F ，G ，H 四点共面，说法①正确；
∵
，四边形
是梯形，
不成立，说法②错误；
若直线
与直线
交于点P ，则由
，
平面
，得
平面
，
同理
平面
，又平面
平面
，
∴则P ，A ，C 三点共线，说法③正确；
说法中正确的有2 个.
考点二、空间位置关系的判断
1．（2023 年河南名校联考模拟数学试题）已知空间三条直线l ,m ,n .若l 与m 垂直,l 与n 垂直,则（ ）
A．m 与n 异面
B．m 与n 相交 C．m 与n 平行 D．以上均有可能
【答案】D
9
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【详解】∵l⊥m ,l⊥n ,∴m 与n 既可以相交,也可以异面,还可以平行.
2．如图,两个正方形ABCD ,ADEF 不在同一个平面内,点P ,Q 分别为线段EF ,CD 的中点,则直线FQ 与
PB 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
【答案】C
【详解】如图,
取AB 的中点G ,连接GQ ,GF ,EQ ,则GQ // AD ,又AD //EF ,∴GQ //EF ,
则G ,Q ,E ,F 四点确定平面GQEF .
又FQ ⊂平面GQEF ,P∈平面GQEF ,P∉FQ ,B∉平面GQEF ,∴直线FQ 与PB 是异面直线.
3．已知平面
，直线、
，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若
，且
，则
或
，即“
”
“
”；
若
，且
，则
或、
异面，则“
”
“
”.
因此，“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
4．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））已知m ，n 表示两条不同直线，
表
示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若
则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】B
【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.
考点：空间点线面位置关系．
10
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1．（2023 年广东省模拟数学试题）已知a，b 为不同的两条直线，α，β 为不同的两个平面，则
的一
个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
且
D．
，
，
【答案】C
【分析】根据直线与平面位置关系的判定与性质，结合充分条件，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，若a//α ，b//α ，则直线a 与b 平行、相交或异面，所以A 不符合题意；
对于B 中，若a//α ，b⊂α ，则直线a 与b 平行或异面，所以B 不符合题意；
对于C 中，若a//α ，a⊂β ，α∩β=b ，根据线面平行的性质定理，可得a//b，所以“a//α ，
a⊂β 且α∩β=b ”是“a//b”的充分条件，所以C 符合题意；
对于D 中，若α // β ，a⊂α ，b⊂β ，则直线a 与b 平行或异面，所以D 不符合题意.
2．若直线l1和l2 是异面直线,l1在平面α 内,l2 在平面β 内,l 是平面α 与平面β 的交线,则下列结论正确的
是（ ）.
A.l 与l1,l2 都不相交
B.l 与l1,l2 都相交
C.l 至多与l1,l2 中的一条相交
D.l 至少与l1,l2 中的一条相交
【答案】D
【详解】(法一)由于l 与直线l1,l2 分别共面,故直线l 与l1,l2 要么都不相交,要么至少与l1,l2 中的一条相交.若
l ∥l1,l ∥l2 ,则l1∥l2 ,这与l1,l2 是异面直线矛盾.故l 至少与l1,l2 中的一条相交.
(法二:模型法)如图(1),l1与l2 是异面直线,l1与l 平行,l2 与l 相交,故A,B 不正确;如图(2),l1与l2 是异面直线,l1,
l2 都与l 相交,故C 不正确.
图(1) 图(2)
3．若a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线,则（ ）
A．a//c
B．a,c 是异面直线
C．a,c 相交 D．a,c 平行或相交或异面
【答案】D
【详解】a ,b ,c 的位置关系有下面三种情况,如图,由图形分析可知应选D.
11
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4．（2023 年内蒙古自治区模拟数学试题）已知直线
、
，平面
、
，给出下列命题：
①若
，
，且
，则
②若
，
，则
③若
，
，且
，则
④若
，
，且
，则
其中正确的命題是（ ）
A．①③
B．①②
C．①④
D．③④
【答案】A
【分析】根据线线、线面和面面位置关系的有关知识对各个命题进行分析, 由此确定正确答案.
【详解】对于①, 若
, 则
分别为
一个法向量，由
, 所以①正确；
对于②, 若
, 则可能
是异面直线，所以②错误；
对于③，若
,则
,
由于
,
所以
, 所以③正确；
对于④，若
，
，且
, 此时无法判断
是否与平面
内的两条相交直线垂直；故④错误；
考点三、异面直线所成的角
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】平移直线
至
，将直线
与
所成的角转化为
与
所成的角，解三角形即可.
m
n
m
n
m
n
/ /
m
n
//
m n
m
//
n
//
m n
m
//
n
m
n
,
m
n
,
m n
,
m
n
m
n
,
m
n
∥
,
m n
,
m
m
n
∥
n
n
m
//
n
m
n
m
12
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【详解】
如图，连接
，因为
∥
，
所以
或其补角为直线
与
所成的角，
因为
平面A1B1C1D1，所以
，又
，
，
所以
平面
，所以
，
设正方体棱长为2，则
，
，所以
.
2．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
【答案】D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设
，依题以及长方体的结构特征可知，
与平面
所成角为
，
与平面
所成角为
，所以
，即
，
，解得
．
对于A，
，
，
，A 错误；
13
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对于B，过
作
于
，易知
平面
，所以
与平面
所成角为
，因为
，所以
，B 错误；
对于C，
，
，
，C 错误；
对于D，
与平面
所成角为
，
，而
，所以
．D 正确．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的
圆锥为直角圆锥.如图，若
都是直角圆锥
底面圆的直径，且
，则异面直线
与
所
成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件证明
，得到
或其补角为异面直线
与
所成的角.在
中利用
余弦定理计算可得结果.
【详解】如图，连接
.
因为
为
中点，且
，所以四边形
为矩形，
所以
，所以
或其补角为异面直线
与
所成的角.
设圆
的半径为1，则
.
因为
，所以
.
14
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在直角
中，
，得
.
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
1．在正方体
中，
是正方形
的中心，则直线
与直线
所成角大小为
（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】A
【分析】如图，连接
，
，
，利用余弦定理可求
的值，从而可得直线
与直线
所
成角大小.
【详解】设正方体的棱长为2a ，连接
，
，
，
因为
，故
或其补角为直线
与直线
所成角.
而
，
，
，
故
，所以
，
所以
，因为
为锐角，故
，
2．（2023 年浙江省模拟数学试题）在正方体
中，E 是
的中点，则异面直线DE 与AC
所成角的余弦值是（ ）
A．0
B．1
2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得异面直线DE 与AC 所成角为
（或
的补角），在Δ DEF 中利用
余弦定理运算求解.
15
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【详解】取
的中点
，连接
，
因为AA1//CC 1，且
，则
为平行四边形，可得AC // A1C1，
又因为E,F 分别为
的中点，则EF // A1C1，
所以EF // AC ，
故异面直线DE 与AC 所成角为
（或
的补角），
设正方体的棱长为2，则
，
在Δ DEF 中，由余弦定理
，
所以异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是
.
3．已知直三棱柱
的所有棱长都相等，
为
的中点，则
与
所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】取
的中点
，连接
，则
,所以异面直线
与
所成角就是直线
与
所成角，在
中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】由题意，取
的中点
，连接
，则
,
所以异面直线
与
所成角就是直线
与
所成角，
设正三棱柱的各棱长为
,则
，
设直线
与
所成角为
，
在
中，由余弦定理可得
，
即异面直线
与
所成角的余弦值为
，故选D．
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【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的
角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
考点四、空间几何体的截面问题
1．（2023 年贵州模拟数学试题）在正三棱柱ABC −A1B1C1中,AB =3 ,AA1=√6 ,D ,E 分别在AB ,BC
上,且BD =BE =1,则过D ,E ,C1三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（ ）
A．4
B．2√6 C．6
D．2√10
【答案】 C
【详解】如图,连接A1D ,易知DE //AC // A1C1,
过D ,E ,C1三点的截面的面积,即等腰梯形DEC 1 A1的面积.因为正
三棱柱ABC −A1B1C1中,BD =BE =1,AA1=√6 ,所以DE =1 ,
AD =2 ,A1 D=√10,所以等腰梯形DEC 1 A1的面积为
1
2×(1+3)×√10−1=6
.
2．已知正方体
的棱长为4，E，F 分别是棱
，BC 的中点，则平面
截该正方体所
得的截面图形周长为（ ）
A．6
B．10
C．
D．
【答案】D
【分析】取
的中点
，连接
,则
,取
的中点
，连接
，延长
交于
，连接
交
于点
，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
AA
1
D EF
2
13
2 5
2 13
9 5
25
3
1
CC
G
BG
1
/ /
D E
BG
CG
N
FN
1 ,
D E DA
H
FH
AB
M
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【详解】取
的中点
，连接
,则
,取
的中点
，连接
，则
所以
, 则直线
平面
延长
交于
，连接
交
于点
，连接
,则
为
的中点.
则平面
截该正方体所得的截面图形为
由条件可得
,则
, 则
,
取
的中点
，连接
，则
，所以
所以
,则
则
所以截面图形周长为
3．（2023 年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学试题）如图，在正方体
中，E，
F 分别为棱BC，
的中点，过点A，E，F 作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、
下两部分几何体的体积比为（ ）
1
CC
G
BG
1
/ /
D E
BG
CG
N
FN
/ /
FN
BG
1
/ /
FN
D E
FN
1
D EF
1 ,
D E DA
H
FH
AB
M
ME
A
HD
1
D EF
1
D EMFN
1
2
A E
AE
1
3,
1
C N
CN
2
2
1
4
2
2 5
D E
2
2
1
4
3
5
D N
2
2
1
2
5
FN
AD
Q
QF
/ /
AM
FQ
AM
AH
FQ
HQ
4
8
4
6
3
AH
AM
FQ
HQ
4
3
MB
2
2
2
8
10
4
3
3
ME
AE
AM
2
2
2
4
2 13
4
3
3
MF
MB
BF
1
1
10
2 13
2 13
9 5
25
2 5
5
5
3
3
3
D E
EM
MF
FN
ND
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
CC
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A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得过点A ，E ，F 的截面即为截面
，截面将正方体分成上、下两部分，
其中下部分
为三棱台，结合台体的体积公式分析运算.
【详解】如图，连接
，
，
∵E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点，则
，
又∵
，且
，则
为平行四边形，
∴
，
可得
，
故则过点A ，E ，F 的截面即为截面
，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分
为三棱台，且三棱台
的高为
．
设正方体的棱长为2，则
，
可得正方体的体积
，
三棱台
的体积
，
故分成的上、下两部分几何体的体积比为
．
15
7
17
7
19
7
1
AEFD
1
ADD
ECF
1
AD
1
1
,
D F BC
EF
1
BC
AB
1
1
C D
1
1
AB
C D
1
1
ABC D
1
AD
1
BC
1
EF
AD
∥
1
AEFD
1
ADD
ECF
1
ADD
ECF
DC
1
1
1
1
2 2
2,
1 1
2
2
2
△
△
ADD
ECF
S
S
1 1 1
1
2 2 2
8
ABCD A B C D
V
1
ADD
ECF
1
1
1
1
7
2
2
2
3
2
2
3
ADD
ECF
V
7
8
17
3
7
7
3
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1．如图，在三棱柱
中，过
的截面与AC 交于点D，与BC 交于点E，该截面将三棱柱分成
体积相等的两部分，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用棱柱，棱台的体积公式结合条件即得.
【详解】由题可知平面
与棱柱上，下底面分别交于
，
，
则
∥
，
，
显然
是三棱台，
设
的面积为1，
的面积为S，三棱柱的高为h，
，
解得
，
由
，可得
.
2．在正方体
中，棱长为3，E 为棱
上靠近
的三等分点，则平面
截正方体
的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】延长
交于点
，连接
交
于点
，如图，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
BB
1
B
1
AED
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2 11
4 11
2 22
4 22
1
1
,
AE A B
F
1
D F
1
1
B C
G
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在正方体
中，面
面
，
面
面
，面
面
，又
四边形
是梯形，且为平面
截正方体
的截面.
又
，在等腰梯形
中，过
作
，
.
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知正方体的棱长为1，每条棱所
在直线与平面
所成的角都相等，则
截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先利用正方体的棱是3 组每组有互相平行的4 条棱，所以与12 条棱所成角相等，只需与从同一
个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边
长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体
中，
平面
与线AA1, A1B1, A1D1所成的角是相等的，
所以平面
与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面
也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面
与
中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为
，
所以其面积为S=6×√3
4 ⋅( √2
2 )2=3√3
4
.
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1//
ADD A
1
1
BCC B
1
AFD
1
1
1
ADD A
AD
1
AFD
1
1
BCC B
EG
1//
AD
GE
1
3 2,
2
AD
GE
1
AEGD
1
AED
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
13
D G
AE
1
AEGD
G
1
GH
AD
2
2
1
1
11
GH
D G
D H
1
1
1
2
3 2
11
2 22
2
2
S
AD
EG
GH
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点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位
置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面
积的求法，应用相关的公式求得结果.
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【基础过关】
1．（2023 年贵州省文化水平测试数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个平面
B．两条平行直线一定能确定一个平面
C．两条直线没有公共点则一定平行
D．若直线
不在平面
内，则
与
无交点
【答案】B
【分析】根据空间点线面关系辨析即可；
【详解】选项A: 不共线的三个点可以确定一个平面，选项错误；
选项B: 两条平行直线一定能确定一个平面，选项正确；
选项C: 两条直线没有公共点可以平行或者异面，选项错误；
选项D: 若直线
不在平面
内，则
与
无交点或者有一个交点，选项错误；
2．下列命题中正确的命题为 .
①若
在平面
外，它的三条边所在的直线分别交
于
，则
三点共线；
②若三条直线
互相平行且分别交直线于
三点，则这四条直线共面；
③若直线
异面，
异面，则
异面；
④若
，则
.
【答案】①②
【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.
【详解】对于①，设平面
平面
，因为
，所以
平面
，
所以
，同理
，
，故
三点共线，①正确；
对于②，因为
，所以
可以确定一个平面
，
因为
所以
，所以
，又
，
所以
，因为
，所以
或
，又
，
所以
不成立，所以
，即这四条直线共面，所以②正确；
对于③，直线
异面，
异面，但是
平行，所以③错误，如下右图；
对于④，
，但
，所以④错误，如下左图.
a
a
a
a
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3．（2023 年湖南省模拟数学试题）下列命题正确的为（ ）
①若
在平面
外，它的三条边所在的直线分别交
于P、Q，R，则P，Q，R 三点共线；
②若三条直线a，b、c 互相平行且分别交直线于A、B、C 三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c 为三条直线，若a，b 异面，b，c 异面，则a，c 异面；
④已知a，b，c 为三条直线，若
，
，则
.
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②
【答案】D
【分析】根据基本事实3 可判断①的正误，利用基本事实及3 个推论可判断②的正误，根据可能的反例可
判断③④的正误.
【详解】对于①，设平面
平面
，因为
，
平面
，
所以
，同理
，
，故
、
、
三点共线，①正确；
对于②，因为
，所以
，
可以确定一个平面
，
因为
，
，
，
，所以
，所以
，
又
，所以
.
同理，
也可以确定一个平面
，且
，
，
因为
，故
重合，故这四条直线共面，所以②正确；
对于③，直线
、
异面，
、异面，则
，可能平行、相交或异面，所以③错误；
对于④，
，
，则
，
可能平行、相交或异面，所以④错误.
4．已知
是两个不同的平面，直线
，且
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】解：当直线
，且
，
，则
，或
，与
相交，故充分性不成立，
当直线
，且
，
时，
，故必要性成立，
所以，“
”是“
”的必要而不充分条件.
,
l
//
l
l
l
//
l
l
l//
l
l
l
//
l
//
l
l
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5．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））在正方体
中，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正方体
中，
，将问题转化为求共面直线
与
所成角的正切值，
在
中进行计算即可.
【详解】在正方体
中，
，所以异面直线
与
所成角为
，
设正方体边长为2a ，则由
为棱
的中点，可得
，所以
，
则
.
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角
所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的
余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
6．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2 卷））已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图所示，补成直四棱柱
，
则所求角为
，
易得
，因此
．
1
1
1
1
ABCD
A B C D
E
1
CC
AE
CD
2
2
3
2
5
2
7
2
1
1
1
1
ABCD
A B C D
//
CD AB
AB
AE
ABE
1
1
1
1
ABCD
A B C D
//
CD AB
AE
CD
EAB
E
1
CC
CE
a
5
BE
a
5
5
tan
2
2
BE
a
EAB
AB
a
1
1
1
C
C
C
120
2
1
C
CC
1
1
1
C
3
2
15
5
10
5
3
3
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2
1
1
1
1
,
2,
2
1 2 2 1 cos60
3,
5
BC D
BC
BD
C D
AB
2
2
2
1
1
C D
BD
BC
1
1
1
2
10
cos
5
5
BC
BC D
C D
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平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，
具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直
线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
7．（2023 年江苏省模拟数学试题）正方体
的棱长为1，当
，
，
分别是
，
，
的中点时，平面
截正方体所截面的周长为
.
【答案】
【分析】先作出平面
截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.
【详解】连接
并延长交
延长线于Q ，则
过Q 作
，交
于H ，交
于K ，则
，
过K 作
，交
于T ，连接
，
则六边形
即为平面
截正方体所得截面，
又
均为棱的中点，则截面的周长为
.
(0,
]
2
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8．（2023 届云南省教学质量监测数学试题）如下图所示，在正方体
中，如果点E 是
的中点，那么过点
、B、E 的截面图形为（ ）
A．三角形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
【答案】D
【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.
【详解】分别取
的中点
，连接
，
如图
即为过点D1、B、E 截正方体所得的截面图形，
由题意可知：
且
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又因为
且
，
且
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
,
所以
，同理
，所以四边形
为平行四边形，
又因为
，所以平行四边形
为菱形，
9．如图，在正四棱柱
中，
，点
为棱
的中点，过
，
，
三点的平
面截正四棱柱
所得的截面面积为（ ）
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
AA
1
D
1
1
,
BB CC
,
G F
1
1
,
,
,
AG BF D F GF
1
D EBF
1
/ /
A E
GB
1
A E
GB
1A EBG
1
/ /
AG
EB
1
1
//
GF
B C
1
1
GF
B C
1
1
1
1
/ /
A D
B C
1
1
1
1
A D
B C
1
1 / /
A D
GF
1
1
A D
GF
1
1
AGFD
1
1
/ /
D F
AG
1
/ /
D F
EB
1 / /
ED
BF
1
D EBF
EB
BF
1
D EBF
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
2
2
AA
AD
E
1
BB
A
E
1
C
1
1
1
1
ABCD
A B C D
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A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形
，从而可求出截面的面积.
【详解】取
的中点
，
的中点
，连接
，
因为该几何体为正四棱柱，
∴
故四边形
为平行四边形，
所以
，又
，
∴
，同理
，且
，
所以过
，
，
三点的平面截正四棱柱
所得的截面为菱形
，
所以该菱形
的面积为
.
10．正方体
的棱长为2，E 是棱
的中点，则平面
截该正方体所得的截面面积为
（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出示意图，设
为
的中点，连接
，易得平面
截该正方体所得的截面为
，再计算其面积.
【详解】如图所示，设
为
的中点，连接
，设
为
的中点，连接
，
2 2
2 3
3
1
AEC F
1
DD
F
1
CC
G
1
,
,
,
,
AF FC BG FG EF
/ /
/ /
,
,
AB
CD
FG AB
CD
FG
ABGF
/ /
AF
BG
1
/ /
BG
EC
1
/ /
AF
EC
1
/ /
AE
FC
1
1
2
AF
EC
AE
FC
EF
A
E
1
C
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
AEC F
1
AEC F
2
3
2
2
3
4
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
DD
1
AC E
2 5
4 6
2 6
F
1
BB
1
,
,
AF FC EF
1
AC E
1
AFC E
F
1
BB
1
,
AF FC
G
1
CC
,
EG GB
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由
且
，得
是平行四边形，则
且
，
又
且
，得
且
，则
共面，
故平面
截该正方体所得的截面为
.
又正方体
的棱长为2，
，
，
，
，
故
的面积为
.
11．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点
为正方形
的中心，
为正三角形，平面
平面
是线段
的中点，则（ ）
A．
，且直线
是相交直线
B．
，且直线
是相交直线
C．
，且直线
是异面直线
D．
，且直线
是异面直线
【答案】B
【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示， 作
于
，连接
，过
作
于
．
连
，
平面
平面
．
平面
，
平面
，
平面
，
与
均为直角三角形．设正方形边长为2，易知
，
．
．
【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．
//
EG AB
EG
AB
ABGE
//
AE
BG
AE
BG
1
//
BG C F
1
BG
C F
1
//
AE C F
1
AE
C F
1
,
,
,
A E C F
1
AC E
1
AFC E
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AF
FC
EC
EA
1
2 3
AC
2 2
EF
1
EF
AC
1
AFC E
1
2 2
2 3
2 6
2
S
N
ABCD
ECD
ECD
,
ABCD M
ED
BM
EN
,
BM EN
BM
EN
,
BM EN
BM
EN
,
BM EN
BM
EN
,
BM EN
EO
CD
O
ON
M
MF
OD
F
BF
CDE
ABCD
,
EO
CD EO
CDE
EO
ABCD
MF
ABCD
MFB
EON
3,
1
2
EO
ON
EN
3
5
,
,
7
2
2
MF
BF
BM
BM
EN
29
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【能力提升】
1．（2023 年河北省模拟数学试题）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q 分别为
，
，
，
，
的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线
与直线
是异面直线；②直线
与直线
是异面直线；
③直线
与直线MN 共面；④直线
与直线
是异面直线.
其中正确结论的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可.
【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对②，因为F ,M ,N ,Q 分别为
，
，
，
的中点，所以
，又
，则
，
故F ,N , A ,B 四点共面，故直线
与直线
是共面直线，①错误；
对②，E 在过F ,N , A ,B 四点的平面外，故直线
与直线
是异面直线，②正确；
对③，N N，Q 重合，故直线
与直线
共面，③正确；
对④，E 在过F ,N , A ,B 四点的平面外，故直线
与直线
是异面直线，④正确；
综上有②③④正确.
2．已知
、
表示两条不同的直线，
表示平面，则下面四个命题正确的是（ ）
①若
，
，则
； ②若
，
，则
；
2P A
1PD
4P D
4PC
3C
P
AF
BQ
BE
MN
BQ
BE
AF
1PD
4P D
4PC
3PC
FN
CD
AB
CD
FN
AB
AF
BQ
BE
MN
BQ
MN
BE
AF
a
b
/ /
a
b
b
/ /
a
a
b
r
r
a
/ /
b
30
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③若
，
，则
； ④若
，
，则
．
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
【答案】D
【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答.
【详解】长方体
中，平面
为平面
，直线BC 为直线b ，如图，
当直线AD 为直线a 时，满足
，
，而
，①不正确；
当直线
为直线a 时，满足
，
，而
，②不正确；
在平面
内取两条相交直线m,n ，如图，因
，则
，
而
，则
，又
，m,n 是相交直线，所以
，③正确；
因
，过直线b 作平面
，如图，
则有
，又
，
，于是得
，从而得
，④正确，
所以给定命题正确的是③④.
3．如图正方体
，棱长为1，P 为
中点，Q 为线段
上的动点，过A､P､Q 的平面截该
正方体所得的截面记为
.若
，则下列结论错误的是（ ）
/ /
a
b
a
b
a
/ /
b
a
b
r
r
1
1
1
1
ABCD
A B C D
ABCD
/ /
a
b
b
a
1
AA
a
b
r
r
a
b
a
,
a
m a
n
/ /
a
b
,
b
m b
n
,
m n
b
/ /
b
c
/ /
b
c
a
c
a
c
a
b
r
r
1
1
1
1
ABCD
A B C D
BC
1
CC
1
CQ
CC
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A．当
时，
为四边形
B．当
时，
为等腰梯形
C．当
时，
为六边形
D．当
时，
的面积为
【答案】C
【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.
【详解】解：当
时，如下图1，
是四边形，故A 正确；
当
时，如下图2，
为等腰梯形，B 正确：
当
时，如下图3，
是五边形，C 错误；
当
时，Q 与
重合，取
的中点F ，连接
，如下图4，由正方体的性质易得
，
且
，截面
为
为菱形，其面积为
.
4．在长方体
中，点
，
分别是棱
，
的中点，点
为对角线
，
的交点，
若平面
平面
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交的
延长线于
，利用平面的基本性质可得直线
即为直线，然后利用正方体的
1
0
2
,
1
2
3 ,1
4
1
6
2
1
0
2
1
2
3
1
4
1
1
C
1
1
A D
AF
1 / /
/ /
BM
PC
AF
1
PC
AF
1
APC F
1
1
6
2
2
AC
PF
1
1
1
1
ABCD
A B C D
E
F
1
1
A D
1A A
O
AC
BD
EOF
ABCD
l
l
AB
G
AG
kGB
k
1
4
1
3
1
2
2
3
EF
DA
H
OH
l
32
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性质可得
，即得.
【详解】延长
交的
延长线于
，连接交
于
，
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，
∴
，故直线
即为直线，
取
的中点
，连接
，又点
，
分别是棱
，
的中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
.
5．如图，在边长为
的正方体
中，
、
分别为棱
、
的中点，则平面
截该
正方体所得截面的面积为 .
1
4
AG
AB
EF
DA
H
AB
G
,
H
EF EF
EOF
,
H
AD AD
ABCD
EOF
ABCD
l
H
l
OH
l
AD
M
,
MO ME
E
F
1
1
A D
1A A
1
AH
A E
AM
1
1
2
4
AG
MO
AB
3
4
BG
AB
1
3
AG
GB
1
3
k
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【答案】
/
【分析】连接
、
、
，分析可知平面
截正方体
所得截面为梯形
，计
算出梯形
的面积，即可得解.
【详解】连接
、
、
，如下图所示：
在正方体
中，
且
，故四边形
为平行四边形，
所以，
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
，
因为平面
平面
，平面
平面
，设平面
平面
，则
，
因为
为平面
与平面
的一个公共点，且
，
，故直线
与直线重合，
且
，故梯形
为截面
截正方体
所得截面，
过点
、
在平面
内作
，
，垂足点分别为
、
，
因为
，同理可得
，则梯形
为等腰梯形，
因为
，
，
，则
，
所以，
，
在平面
内，
，
，
，则
，故四边形
为矩形，
所以，
，则
，
，
因此，截面面积为
.
34
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6．（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体
中，E，F 分别为
的中点，
则（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】A
【分析】证明
平面
，即可判断A；如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，设
，分
别求出平面
，
，
的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体
中，
且
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
分别为
的中点，
所以
，所以
，
又
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
，故A 正确；
选项BCD 解法一：
如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，设
，
则
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
， 则有
，可取
，
同理可得平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
则
，所以平面
与平面
不垂直，故B 错误；
因为
与⃗n2 不平行，
所以平面
与平面
不平行，故C 错误；
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因为
与
不平行，
所以平面
与平面
不平行，故D 错误.
选项BCD 解法二：
解：对于选项B，如图所示，设
，
，则
为平面
与平面
的交线，
在
内，作
于点
，在
内，作
，交
于点
，连结
，
则
或其补角为平面
与平面
所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：
，
，
底面正方形
中，
为中点，则
，
由勾股定理可得
，
从而有：
，
据此可得
，即
，
据此可得平面
平面
不成立，选项B 错误；
对于选项C，取
的中点
，则
，
由于
与平面
相交，故平面
平面
不成立，选项C 错误；
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对于选项D，取
的中点
，很明显四边形
为平行四边形，则
，
由于
与平面
相交，故平面
平面
不成立，选项D 错误；
7．如图，正方体
的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，点P 是底面ABCD 内的动点，且P
到平面
的距离等于线段PM 的长度，则线段
长度的最小值为
．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，可知点
是以
为焦点，以
为准线的抛物线，然后根据空间中两点的
距离来求解.
【详解】由P 到平面
的距离等于线段
的长度，可知点
是以
为焦点，以
为准线的抛物
线.以
中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
，设
点
的方程为：
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
ADD A
1
B P
2 6
P
M
AD
1
1
ADD A
PM
P
M
AD
AM
1,0,0
M
1 3,0,4
B
,
0
P x y，
P
2
4 , 0
3
y
x
x
2
2
2
1 =
3
16=
2
25
B P
x
y
x
x
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当
时，
长度最小为
8．如图所示，在棱长为的正方体
中，
、
分别是
、
的中点，过直线
的
平面
平面
，则平面
截该正方体所得截面的面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】如图1，取B1C1的中点E ，C1D1的中点F ，连接EF ，BE ，DF ，B1D1，则EF //B1D1，
B1 D1//BD ，所以EF //BD ，故EF ，BD 在同一平面内，然后利用面面平行的判定定理可证得平面
AMN // 平面BDFE ，所以平面α 截该正方体所得截面为平面BDFE ，然后在图2 中的图形计算即可.
【详解】如图1，取B1C1的中点E ，C1D1的中点F ，连接EF ，BE ，DF ，B1D1，则EF //B1D1，
B1 D1//BD ，所以EF //BD ，故EF ，BD 在同一平面内，
连接ME ，因为M ，E 分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME // AB ，且ME =AB ，
所以四边形ABEM 是平行四边形，所以AM // BE ，
又因为BE ⊂平面BDFE ，
平面BDFE ，
所以AM // 平面BDFE ，同理AN //平面BDFE ，
因为
，
、
平面
，
所以平面
平面BDFE ，
，
，
，等腰梯形BDFE 如图2，
过E ，F 作BD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则四边形EFGH 为矩形，
1
x
1
B P
2 6
38
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所以
，
故所得截面的面积为
.
9．已知长方体
中
，
，M 为
的中点，N 为
的中点，过
的平
面
与DM，
都平行，则平面
截长方体所得截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】过
作
交
延长线于
，
为
中点，连接
，利用长方体性质及线面平行的
判定证
面
、
面
，即面
为平面
，再延长
交
于
，连接
，利用线
线、线面的性质确定面
为平面
截长方体所得截面，最后延长
分别交
于一点并判断交
于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及
求截面面积即可.
【详解】过
作
交
延长线于
，
则
，若
为
中点，连接
，
而M 为
的中点，在长方体中
，
而
且
面
，
由
面
，则
面
，由
面
，则
面
，
所以面
即为平面
，延长
交
于
，
易知：
为
中点，则
且
，又
且
，
故
为平行四边形，则
且
，故
共面，
连接
，即面
为平面
截长方体所得截面，
延长
分别交
于一点，而在
中
都为中位线，
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由
，
，则
，故
交
于同一点
，
易知：△
为等腰三角形且
，
，则
，可得
，
又
.
【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面
，再根据平面的基本性质找到平面
截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.
10．a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a，b 都垂直，斜
边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1 的正方体，
|AC|=1,|AB|=√2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，
1 为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法
能求出结果．
【详解】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1,|AB|=√2，
斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，
B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，
以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则D(1,0,0), A(0,0,1)，直线a 的方向单位向量⃗a=(0,1,0)，|⃗a|=1，
直线b 的方向单位向量⃗b=(1,0,0)，|⃗b|=1，
设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B
'（cosθ,sinθ,0），
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其中θ 为B' C 与CD 的夹角，θ∈[0,2π)，
∴A B' 在运动过程中的向量，⃗A B
'=(cosθ,sinθ,−1)，|⃗A B
'|=√2，
设
与
所成夹角为α ∈[0, π
2]，
则cosα=|(cosθ,sinθ,−1)⋅(0,1,0)|
|⃗a|⋅|⃗A B
'|
=√2
2
|sinθ|∈[0, √2
2 ]，
∴α ∈[
π
4 , π
2]，∴③正确，④错误．
设
与
所成夹角为β∈[0，π
2]，
cosβ= |⃗A B
'⋅⃗b|
|⃗A B
'|⋅|⃗b|
=|(cosθ,sinθ,−1)⋅(1,0,0)|
|⃗b|⋅|⃗A B
'|
=√2
2
|cosθ|，
当
与
夹角为60°时，即α= π
3 ，
|sinθ|=√2cosα=√2cos π
3 =√2
2
，
∵cos2θ+sin2θ=1
，∴cos β=√2
2 |cosθ|=1
2
，
∵β∈[0，π
2]，∴β= π
3
，此时
与
的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问
题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
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④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是
，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异
面直线所成的角.
（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.
【真题感知】
1．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三
角形，若二面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取
的中点
，连接
，因为
是等腰直角三角形，且
为斜边，则有
，
又
是等边三角形，则
，从而
为二面角
的平面角，即
，
显然
平面
，于是
平面
，又
平面
，
因此平面
平面
，显然平面
平面
，
直线
平面
，则直线
在平面
内的射影为直线
，
从而
为直线
与平面
所成的角，令
，则
，在
中，由余弦定理得：
，
42
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由正弦定理得
，即
，
显然
是锐角，
，
所以直线
与平面
所成的角的正切为
.
2．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】证明
平面
，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.
【详解】取
中点
，连接
，如图，
是边长为2 的等边三角形，
，
，又
平面
，
，
平面
，
又
，
，
故
，即
，
所以
，
3．（2023 年新高考天津数学高考真题）在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别过
作
,垂足分别为
.过
作
平面
，垂足为
，连接
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,过
作
,垂足为
.先证
平面
，则可得到
，再证
.由三角形相
似得到
，
，再由
即可求出体积比.
【详解】如图，分别过
作
,垂足分别为
.过
作
平面
，垂足为
，
连接
,过
作
,垂足为
.
因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
.
又因为平面
平面
，
，
平面
，所以
平面
，且
.
在
中，因为
，所以
，所以
，
在
中，因为
，所以
，
所以
.
4．（2023 年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可
以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，
两个面是全等的等腰三角形．若
，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平
面与平面
的夹角的正切值均为
，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得
，从而依次求
，
，
，
，再把所
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有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过
做
平面
，垂足为
，过
分别做
，
，垂足分别为
，
，连接
，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为
和
，
所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，.
同理：
，又
，故四边形
是矩形，
所以由
得
，所以
，所以
，
所以在直角三角形
中，
在直角三角形
中，
，
，
又因为EF =AB −5−5=25−5−5=15，
所有棱长之和为.
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