圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练
考点目录
椭圆的定点问题
椭圆的定值问题
椭圆的定直线问题
椭圆的向量问题
1．（24-25 高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
2,0
A
，
3
1, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，过点
2,1
P
的直线交椭圆于
E 、F 两点，过点E 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点Q ，点E 关于点Q 的对称点为N ，则直线NF 一定过点
（ ）
A．
1,0
B．
0,1
C．
0,3
6
-
D．
2,0
2．（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）如图，已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的上顶点为
0,1
A
，离心率为
3
2
，若过点A 作圆
2
2
2
:
1
0
1
M
x
y
r
r
+
+
=
<
<
的两条切线分别与椭圆C 相交于点B，D（不同于点A）．则直线
BD 过定点（ ）
A．
5
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
5
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
0,1
D．
2,0
3．（23-24 高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，且椭圆C 过点
(2,0)
A
，点F
为椭圆C 的左焦点．垂直于x 轴的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点P，Q，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为M
（异于点Q），直线QM 恒过定点B，则点B 的坐标为
．
考点一
椭圆的定点问题
4．（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）设椭圆C 的上顶点为
(0,1)
D
，且长轴长为2 2 ，过D 任作两条互相垂直的
直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 过定点
．
5．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，过点
6
( 2,
)
2
P
-
，
O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
(1,0)
F
的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过点F 与l 垂直的直线交曲线C 于D ，E 两点，其中A ，D 在x 轴
上方，M ，N 分别为AB ，DE 的中点.
（i）证明：直线MN 过定点；
（ii）求FMN
V
面积的最大值.
6．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知离心率为
3
2
的椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1
P
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)不过点P 的直线l 与椭圆C 交于
,
A B 两点，且
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，是否存在直线l ，使得PAB
V
是等腰三角形？若存在，请问这样的直线l 有几条？若不存在，
请说明理由.
7．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
上一点
0
0
,
P x
y
作该
椭圆的切线，切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
+
= ”.已知离心率都为
2
2 的椭圆
1
M ，
2
M 的对称中心都是原点O .焦点都在x 轴
上，且椭圆
1
M 的焦距是椭圆
2
M 的焦距的2 倍，椭圆
1
M 的长轴长为4.
(1)分别求椭圆
1
M ，
2
M 的标准方程；
(2)已知点T 是椭圆
1
M 上的任意一点，过点T 分别作椭圆
2
M 的两条切线.切点分别为A ，B ，直线TA ，TB 分别与
椭圆
1
M 相交于异于点T 的C ，D 两点.
（i）证明：线段AB 是
TCD
△
的中位线：
（ii）证明：直线CD 经过原点O .
8．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个焦点为
10
F
,
，其短轴长为2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过坐标原点O 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点
,
A B .
（i）当直线l 的斜率为1 时，求
ABF
△
的周长；
（ii）若直线
,
AF BF 分别与椭圆E 交于点
,
M N ，证明：直线MN 过定点.
9．（25-26 高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个顶点为
2,0
A
，离心率为
1
2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l 与椭圆E 相交于
,
M N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之积为
3
4
-
，判断直线l 是否过定点，若过定
点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
10．（2025·安徽·模拟预测）已知离心率为
1
2 的椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且C 过点
3
3, 2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，过原点的直线l 与C 交于,
P Q 两点.
(1)求C 的方程；
(2)若点P 在第一象限，过点Q 作直线
1
2
,
PF PF 的垂线，垂足分别为
,
A B ，求证：1
1
3
QA
QB
<
< ；
(3)若点P 关于x 轴的对称点为M ，点D 的坐标为（4，0），直线MD 交C 于点N ，探究：直线PN 是否过定点，若
是，请求出定点，若不是，请说明理由.
1．（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
T a
b
+
=
：
（
0
a
b
>
>
）的离心率为
3
2 ，且经过点
2,0
A -
，
2,0
B
．过
点
1,0
M
，斜率为k （
0
k ¹
）的直线与椭圆交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别与直线
1
x = 交于点E ，G ．
(1)求椭圆T 的方程；
(2)求
EM
GM 的值．
2．（25-26 高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，且C 过点
2,
2 .
(1)求C 的方程；
(2)直线l ：
1
0
y
k x
k
=
-
>
与C 交于A，B 两点，过C 上的点P （与A，B 不重合且不在坐标轴上）作x 轴的平
行线交线段AB 于点Q （与A，B 不重合），直线OP 的斜率为k¢（O 为坐标原点），
APQ
△
的面积为
1S ，
BPQ
V
的
面积为
2S ，若
2
1
AP S
BP S
×
=
×
，直线AP ，BP 的斜率都存在，分别记为
AP
k
，
BP
k
.
（i）求证：
0
AP
BP
k
k
+
=
；
（ii）判断k k¢
×
是否为定值？并说明理由.
考点二
椭圆的定值问题
3．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为
1
2 ，
AOB
V
的面积为
3 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y
kx
=
（k 存在且不等于0）与椭圆交于P ，Q 两点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线QA与直线y
b
=
交于
点N ，判断
PB
MN
k
k
-
是否为定值并证明．
4．（24-25 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，其短轴长为2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 与椭圆C 交于,
P Q 两点（,
P Q 均在第一象限），且直线
, ,
OP l OQ 的斜率分别为
, ,
OP
OQ
k
k k
，且
2
OP
OQ
k
k
k
=
，证明：直线l 的斜率为定值.
5．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，四点
1
3
1, 2
P æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
3
1, 2
P æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3 0,1
P
，
4 1,1
P
中恰有三点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)过点
4,0
D
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点.
（ⅰ）若O 为原点，求
MON
△
面积的最大值；
（ⅱ）点
2,0
A -
，设点Q 是线段MN 上异于M ，N 的一点，直线QA，QM 的斜率分别为
1k ，
2k ，且
1
2
0
k
k
+
=
，
求
DM
NQ
DN
MQ
×
×
的值.
6．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）在圆
2
2
4
O
x
y
+
=
：
上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段
,
PD D 为垂足．
(1)当点 P 在圆上运动时，求线段 PD 的中点 Q 的轨迹方程． (当点 P 经过圆与 x 轴的交点时，规定点
Q 与点 P 重合)
(2)根据（1）中所得的点 Q 的轨迹方程，若直线 l 与点 Q 的轨迹相交于 M ， N 两点，且
1
4
OM
ON
k
k
×
= -
，试判断OMN
V
的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由．
7．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
：
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，，且
1
2
4
F F =
∣
∣
，
椭圆E 的离心率为
2
2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知直线l 过点
1F ，且与椭圆E 交于点A，B，求证：
1
1
1
1
AF
BF
+
∣
∣∣
∣是定值.
8．（24-25 高二下·上海·期末）已知椭圆M ：
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的焦距为2 3 ，上、下顶点分别为A 、B ，点
0,2
P
关于直线y
x
= - 的对称点在椭圆M 上，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C 、D .
(1)求椭圆M 的方程；
(2)求OC OD
×
uuur uuur
的取值范围；
(3)当AD 与BC 相交于点Q 时，试问点Q 的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由.
1．（25-26 高三上·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知
0,1 ,
0, 1
A
B
-
，直线AP 与BP 相交于点P ，
且两直线的斜率之积为
1
4
-
．
(1)设点P 的轨迹为G ，求曲线G 的方程；
(2)设一组斜率为
1
2 的平行直线与G 均有两个交点，证明这些直线被G 截得的线段的中点在同一条直线上．
2．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，离心率为
1
2 ，
且椭圆上一点M 到
1F 的距离的最大值为3，已知直线l 过
2F 且与椭圆交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
2
2
2
AF
F B
=
uuuur
uuuur
，求直线l 的方程；
(3)设直线AB 与y 轴交于点D，过D 作直线l¢与椭圆C 交于P，Q 两点，且DP
DQ
=
，直线AP 与BQ 交于点
N，探究：点N 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．
考点三
椭圆的定直线问题
3．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，左右顶点为
1
2
,
A A ，
离心率为
3
2
，点
1
( 3, )
2 在椭圆E 上．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线:l x
my
n
=
+
与椭圆E 交于
,
M N 两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x 轴．
（i）设直线
2
A M 和
2
A N 的斜率分别为
1
2
,
k k ，用
,
m n 表示
1
2
1
1
k
k
+
；
（ii）设M 点关于原点的对称点为S 点，直线
1A S 与直线
2
A N 交于T 点，直线OT 与直线l 交于Q 点，其中O 为坐标
原点，证明：点Q 在一条定直线上．
4．（24-25 高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，A，B 分别为椭圆的左，右顶
点，C 为椭圆的上顶点，且
3
CA CB
×
= -
uuur uuur
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
1,0
E
作斜率不为0 的直线交椭圆于M，N 两点，直线MA 与NB 相交于点P .
（i）证明：点P 在定直线上；
（ii）求
APB
Ð
的最大值.
5．（24-25 高二下·广西桂林·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
1,0
F
，左、右顶点分别为A ，
B ，且
3
AF
FB
=
．
(1)求C 的方程；
(2)设过点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点（不与A ，B 两点重合）．
（i）若
APQ
△
的面积为15 ，求l 的方程；
（ii）若直线AP 与直线BQ 交于点T ，证明：T 在一条定直线上．
6．（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
，左右顶点为
1A ，
2
A ，上下顶点为
1B ，
2
B ，若四边形
1
1
2
2
A B A B 面积为4 3 ，周长为4 7 ，过右焦点且斜率为k 的直线l 交椭圆于M ，N ，直线
1A N ，
2
A M 交于点P ，直线
2
B N ，
1
B M 交于点Q .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：点P 在定直线上；
(3)证明：
1
1
A PQ
B PQ
S
S
=
△
△
.
7．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知曲线
2
2
1 :
4
C
x
y
+
=
，从
1
C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP¢ ，P¢ 为垂足，
记线段PP¢ 的中点M 的轨迹为曲线
2
C ．过M 作直线l 与曲线
2
C 交于另一点N ．
(1)求曲线
2
C 的轨迹方程；
(2)若P 在第一象限，且直线l 的斜率为1，PMN
V
的面积为3
5 ，求此时P 的坐标；
(3)若
0,2
P
，
4,0
A
，直线
,
AM AN 与曲线
2
C 的另一个交点分别为
,
D E ，直线
,
MN DE 交于点B ．问：点B 是否
在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由．
8．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知点A 是圆O：
2
2
8
x
y
+
= 上的动点，点A 在x 轴上的射影为B ，点P 满足
2
2
PB
AB
=
uuur
uuur
，记动点P 的轨迹为E ．
(1)求E 的方程；
(2)设
,
C D 分别是E 与y 轴的交点，（C 点在y 轴正半轴上），过点
2 2
0,
3
Qæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的直线l 与E 分别交于点
,
M N （异于
点
,
C D ），直线MC 与直线ND 交于点G ，证明：点G 在定直线上．
1．（24-25 高二下·重庆·期末）已知曲线C 到两个定点
1,0
-
和
1,0 的距离和为定值4.
(1)求C 的方程；
(2)过点
10
F
,
的直线l（斜率存在且不为0）与C 交于M，N 两点，N 关于x 轴的对称点为P.已知
4,0
Q
.
（ⅰ）证明：P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）求MQ NQ
×
u
uu ur uu r
u
的取值范围.
2．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
F
F
、
，点( 2 5,1)
T -
在椭圆
G 上，且
1
2
10
TF
TF
+
=
．
(1)求椭圆G 的标准方程．
(2)点P、Q 在椭圆G 上，O 为坐标原点，且直线OP、OQ 的斜率之积为1
5 ，求证：
2
2
|
|
|
|
OP
OQ
+
为定值；
(3)直线l 过点( 1,0)
-
且与椭圆G 交于A、B 两点，问在x 轴上是否存在定点M，使得MA MB
×
uuur uuur 为常数？若存在，求
出点M 坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
考点四
椭圆的向量问题
3．（23-24 高二下·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为
6
3
，且椭圆M 过
点
3,1 ．
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若过点
1,0
C
的直线l 与椭圆M 交于A，B 两点，
2
AC
CB
=
uuur
uuur
，求直线l 的方程．
4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知点
3,0
F
，以线段FG 为直径的圆内切于圆
2
2
:
4
O x
y
+
=
．
(1)求点G 的轨迹C 的方程；
(2)当过点
2,1
P
的动直线l 与轨迹C 相交于两点
,
A B （可以相同）时，PA
PB
l
=
uuur
uuur
，AD
DB
l
=
uuur
uuur
．求动点D 的轨迹
长度．
5．（24-25 高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上右顶点到左焦点的距离为2
2
+
，上顶点
的坐标为
0,
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
4,0
P
，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE
与x 轴相交于定点Q ；
(3)在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，求OM ON
×
uuuur uuur
的取值范围.
6．（2025·云南昆明·二模）已知
2,0
A -
，
2,0
B
，动点M 满足直线AM 与直线BM 斜率之积为
1
2
-
．记M 的轨
迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)过点
1,0
D
作直线l 与C 相交于P ，Q 两点，与y 轴交于点E ，若
0
DP
EQ
+
=
r
uuur
uuur
，求直线l 的方程．
7．（2025·贵州铜仁·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，短轴长为6，过右焦点的直线与C 交
于
,
M N 两点．
(1)求C 的标准方程；
(2)已知点
0
8,
Q
y
，
（ⅰ）当
0
0
y =
时，求QMN
V
面积的取值范围；
（ⅱ）当
0y ÎR 时，证明：
0
QM QN
×
>
uuuur uuur
．
8．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知动圆M 与圆
2
2
1
1
:(
2)
12
C
x
y
+
+
=
外切，与圆
2
2
2
121
:(
2)
12
C
x
y
-
+
=
内
切，记动圆M 圆心的运动轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若
,
A B 分别是C 的左､右顶点，P 是圆
2
2
:
4
O x
y
+
=
上一点，设PA
uuur 和PB
uuur 的夹角为q ，求tan 2
q 的取值范围.
