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第9讲 外接球、内切球、棱切球问题
一、单选题
1．（2025·高三·安徽·阶段练习）在 中， ， ，E，F，G分别为三边 ， ，
的中点，将 ， ， 分别沿 ， ， 向上折起，使得A，B，C重合，记为 ，
则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面
体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在四面体 中， ，且 与 所成的角为 .若该四面体 的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．（2025·黑龙江·二模）已知正四棱锥 的侧棱长为 ，且二面角 的正切值为 ，则
它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北·二模）已知正方体 的棱长为 为线段 上的动点，则三棱锥
外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，
，点 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 外接球表面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·福建厦门·二模）已知正方体 的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，
且满足 平面 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．（2025·高三·重庆·期末）在正四棱台 中， ，且正四棱台存在内切球，
则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切
球．在四棱锥 中，侧面 是边长为1的等边三角形，底面 为矩形，且平面 平面
．若四棱锥 存在一个内切球，设球的体积为 ，该四棱锥的体积为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大
中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近
似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球 ）.如图：已知粽子三棱锥 中，
， 、 、 分别为所在棱中点， 、 分别为所在棱靠近 端的三等分点，小
玮同学切开后发现，沿平面 或平面 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的
比为（ ）.
A． B． C． D．11．（2025·湖北·模拟预测）已知四棱锥 的底面为矩形， ， ，侧面 为正三
角形且垂直于底面 ，M为四棱锥 内切球表面上一点，则点M到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双
双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某
重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相
切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面
积和为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·四川·一模）一正四棱锥 ， ，当其外接球半径 与内切球半径 之比最小时，
为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
15．（2025·天津·一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒
洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛
四面体中，正四面体 的棱长为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若 、 是勒洛四面体 表面上的任意两点，则 的最大值为
C．勒洛四面体 的体积是
D．勒洛四面体 内切球的半径是
16．（2025·全国·模拟预测）在正三棱锥 中， ， ，若半径为 的球 与三棱锥
的六条棱均相切，则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2025·高三·陕西西安·阶段练习）已知四面体 中， ， ， ，
，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥 的
六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．C． D．
19．（2025·高三·广东茂名·阶段练习）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则
该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
20．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体 中， 、 分别为棱 、 的中
点，过直线 的平面截该正方体外接球所得的截面面积为 .下列选项正确的是（ ）
A． 与 所成的角为
B． 的最大值为
C．当 取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D． 的最小值为
21．（2025·高三·河北邢台·阶段练习）如图，圆锥的底面直径 ，母线 ，点 是母线 的中点．
以下结论正确的是（ ）
A．沿圆锥的侧面从点 到达点 的最短距离为
B．圆锥的外接球表面积为
C．过点 作平行于母线 的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3
D．过点 作动直线 ，满足与母线 成角 ，直线 形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭
圆22．（2025·高三·广东深圳·开学考试）如图，四棱锥 底面 是边长为4的正方形，若点M
在四边形 内（包含边界）运动，N为 的中点， ， ，则（ ）．
A．当M为 的中点时，异面直线 与 所成角为
B．当 平面 时，点M的轨迹长度为
C．当 与平面 所成的角是 时，点M到 的距离可能为
D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则 的最大值是
23．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何
体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图
实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体 ．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙
任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
24．（2025·高三·吉林·期末）如图， 中， ， ， 是 中点， 是 边上
靠近 的四等分点，将 沿着 翻折，使点 到点 处，得到四棱锥 ，则（ ）
A． 到平面 的距离的最小值为
B．存在点 使得平面 平面
C． 中点的运动轨迹长度为
D．四棱锥 外接球表面积的最小值为
25．（2025·四川成都·二模）如图，在直棱柱 中，
， 是 中点.过 作与平面 平行的平面 ，若
平面 平面 ，则（ ）
A． 四点共面
B．棱柱 没有外接球
C．直线 所成的角为D．四面体 与四面体 的公共部分的体积为
26．（2025·陕西咸阳·一模）已知正方体 的棱长为2，点P，Q满足 ，
，则（ ）．
A．存在Q，使得 与平面 所成的角为
B．若 ，则点Q的轨迹长度为
C．平面 截正方体所得截面的面积为
D．直线 被正方体 的外接球所截得的线段长度为
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体 中，E，F分别是棱
A B C D
的中点，P是正方形 1 1 1 1内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若 ，则点P的轨迹长度为
A B C D
1 1 1 1
C．若P是正方形 的中心，Q在线段EF上，则 的最小值为
D．若P是棱 的中点，三棱锥 的外接球球心为O，则平面 截球O所得截面的面积为28．（2025·高三·湖北·阶段练习）如图，长方体 中， ，点 是半圆弧
上的动点（不包括端点），点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 与平面 所成的角为 ，则
C． 的最小值为
D．若三棱锥 的外接球表面积为 ，则
29．（2025·高三·安徽池州·阶段练习）如图，正四棱柱 中， ，动点 满足
，且 ．则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点 的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
30．（2025·湖南长沙·三模）已知四面体ABCD中， 面BCD， ，E、F分别是棱AC、AD上
的点，且 ， .记四面体ABEF、四棱锥 、四面体ABCD的外接球体积分别是 、
、 ，则 的值不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
31．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知圆柱 的高为2， 为下底面圆 的一条直径， 为上底面圆
上任意一点，球 内切于圆柱 ，则（ ）
A．球 的体积为 B．直线 ， 为异面直线
C．直线 与圆柱上底面所成的角为 D．平面 截球 所得截面面积最小值为
32．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如六氟化硫（化学式 ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体
（如图1），已知正八面体 的（如图2）棱长为4，则（ ）A．正八面体 的外接球体积为
B．正八面体 的内切球表面积为
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为棱 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平面ABCD内一动
点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线 ， 所成角为
34．（2025·高一·安徽宣城·期末）如图，在正三棱锥 中， ， 分别是棱的中点， 是棱 上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线 与 所成角的余弦值为
C． 的最小值为
D．三棱锥 内切球的半径是
35．（2025·广东惠州·三模）在四面体 中， ， ， ， ， 分
别是棱 ， ， 上的动点，且满足 均与面 平行，则（ ）
A．直线 与平面 所成的角的余弦值为
B．四面体 被平面 所截得的截面周长为定值1
C．三角形 的面积的最大值为
D．四面体 的内切球的表面积为
36．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体 中，M为 边的中点，下列
结论正确的有（ ）
A． 与 所成角的余弦值为
B．过三点A、M、 的截面面积为C．四面体 的内切球的表面积为
D．E是 边的中点，F是 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
37．（2025·海南·模拟预测）在四面体 中， 都是边长为6的正三角形，棱 与平面
所成角的余弦值为 ，球 与该四面体各棱都相切，则（ ）
A．四面体 为正四面体
B．四面体 的外接球的体积为
C．球 的表面积为
D．球 被四面体 的表面所截得的各截面圆的周长之和为
38．（2025·高三·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体 的棱切球（与正方体的各条
棱都相切）为球 ，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．球 在正方体外部的体积大于
C．球 内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点 在正方体外部（含正方体表面）运动，则
三、填空题
39．（2025·江西·模拟预测）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 是以
为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥 体积的最小值为 ，则二面角 的取值范围是
；该四棱锥外接球表面积的最小值是 .
40．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可
构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全
等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把 按 计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正
二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ．
41．（2025·高三·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3 ，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将
△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且 ，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E
在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 .
42．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿
折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．则三棱锥 的体积
为 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点
的轨迹的周长为 ．
43．（2025·广东茂名·二模）如图，在梯形 中， ，将
沿直线 翻折至 的位置， ，当三棱锥 的体积最大时，过点 的平面
截三棱锥 的外接球所得的截面面积的最小值是 .44．（2025·高二·四川·期中）在三棱锥 中，平面 平面 ，
， ，点 为 的中点， 是 上的一个动点，则三棱锥 外接球表面积的最
小值为 .
45．（2025·高三·河北石家庄·阶段练习）已知球 是正四面体 的外接球， 为棱 的中点，
是棱 上的一点，且 ，则球 与四面体 的体积比为 .
46．（2025·高三·全国·专题练习）已知球 是棱长为2的正方体 的内切球， 是 的中
点， 是 的中点， 是球 的球面上任意一点．
①若 ，则动点 的轨迹长度为 ；②三棱锥 的体积的最大值为 ；③ 的
取值范围是 ；④若 ，则 的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把
所有正确命题的序号都填在横线上）．
47．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱 的底面边长为 ，线段 是该三棱柱内
切球的一条直径，点 是该正三棱柱表面上的动点，则 的取值范围是 .
48．（2025·高三·福建·阶段练习）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为 ，则当圆锥的内切球体积最大时， ．
49．（2025·高三·湖南·期中）三棱锥 中， ，平面 平面 ，且
.记 的体积为 ，内切球半径为 ，则 的最小值为 .
50．（2025·广西·二模）在三棱锥 中， ， ， ， 的面积分别3，4，12，
13，且 ，则其内切球的表面积为 ．
51．（2025·高三·全国·专题练习）有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球 ，内部是8个半径均为
1的小球 （球壁厚度均忽略不计），其中 两两相切， 两两相切，
两两相切， 两两相切， 两两相切，且 ， 均与球 相切，
则球 的半径为 .
52．（2025·高三·四川内江·阶段练习）已知正四棱锥 的底面边长为3，正四棱锥内部的球与其所
有面均相切，若球面上仅有一点 满足 且 ，则球的表面积为 ．
