第一章勾股定理(讲义)(原卷版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(北师大)_第一章勾股定理(讲义)

第一章  勾股定理（举一反三讲义）全章题型归纳
 2024
 ...................................................................................................................................................................3
 1   !"#$% ................................................................................................................3
 2  &'()*+ ........................................................................................................................5
 3  ,-./01 ............................................................................................................................6
 4  234567898# ........................................................................................................................7
:; ...................................................................................................................................................................8
 5  '<=()0>?@-A/ ........................................................................................8
 6  BCDEF ................................................................................................................9
 7  0GH ..................................................................................................................................10
 8  0I ..................................................................................................................................12
 9  'JKLM ..................................................................................................................13
 10 NOP0QR ..............................................................................................................14
知识点1  勾股定理
1.S
7898#<78T0>?@UVWT0>?XYZ aXb @ c [\]^78
98#0<78T@WTX_`𝒂𝟐+ 𝒃𝟐= 𝒄𝟐.
Y"a^X△𝐴𝐵𝐶b7898#XO4cK078T a deXc*078T b deX
WT c def.
知识点2  勾股定理的验证
0gGhijkl"mnoXpq?mbr,#stuvwxyX"#lzu{)X|}[$%
~0€u‚ƒ„…0.<q?†]^"#$%-‡<ˆ‰XŠ‚$%‹ŒŽU€X‘’
U“tŽ†bGH0”•?m.
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
l"mgG0–—˜™
1
	
3 	


2

1
2(𝑎+ 𝑏) × (𝑎+ 𝑏)X
1
2𝑎𝑏+ 1
2𝑐2 + 1
2𝑎𝑏
3
 
1
2 (𝑎+ 𝑏)
2
= 1
2 𝑐2 + 𝑎𝑏
4!"
𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 𝑐2 + 2𝑎𝑏
5#$%&'(
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
知识点3  勾股定理的应用
šrBC›7898#œ0FXhiIY
-1)žŸ7898#0 ¡<T*X'¢9T*£
-2)žŸ7898#0 ¡–T*X¤¥¦<T*0€£
-3)BC§¨>?€0©ªF£
-4)«¬?­®‡œ()0*+FXBC¯°¯±40–²„³F.
知识点4  直角三角形的判别条件
1. ')*+,
-
.𝑎/ 𝑏/ 𝑐01𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2234
5	

´6789:;<
=%&'(->'(
2. 7?@
5A=	

-B*
C
DE7?

FG@
5	
/HI
FG
JK
C.LE7?
9MN.-OPQRL.-O
知识点5  勾股数
1. %&S
')
01𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2-
TUS/<=%&S
019:
①
SV5TUS
②MWUS-OPQRXUS-O
YZ
%&S-US[\=%&S/+ 3/4/5 - 2 [ 6/8/10 \
=%&S.
]^
①𝑛2−1/2𝑛/𝑛2 +1𝑛XQ 1 -_`Sa
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
②4𝑛/4𝑛2−1/4𝑛2 +1n =TUS
2. 7?%&S-Bbc:
(1)d'
5TUSa
(2)d'RX-SefghMW-S/i8jkRX-S-OfghMW-S-OPa
(3)lmnM/oRXS-OQghMWS-OP/p5%&S,Apq5´
【培优篇】
【题型1  利用勾股定理探究图形面积】
µ 1-24-25 ¶·¸·¹º»¼·½¾/Y"X¿Rt △𝐴𝐵𝐶4X∠𝐴𝐶𝐵= 90∘X[\rT𝐴𝐶À𝐵𝐶Á¦ÂÃ
?#𝐴𝐶𝐷𝐸@Ã?#𝐵𝐹𝐺𝐶XÄÅ𝐸𝐹À𝐴𝐹´ÆžŸ𝐴𝐵2−𝐴𝐶20ÇXÈÉ'Ê098#$%b-   /
A´98#𝐴𝐵𝐹
B´98#𝐴𝐶𝐹
C´98#𝐴𝐸𝐹
D´98#𝐴𝐵𝐶
“† 1-1-24-25 ¶·¸·ËÌÍη½4/Y"b¶ÏÐU07898#Ño0“f"”´Ò"4Ã?
#𝐴𝐵𝐶𝐷XÃ?#𝐸𝐹𝐺𝐻XÃ?#𝑀𝑁𝐾𝑇0$%[\u𝑆1X𝑆2X𝑆3XÆÃ?#𝐸𝐹𝐺𝐻0T*u 6XÈ𝑆1 + 𝑆2 +
𝑆30Ç-    /
A´16
B´17
C´18
D´20
“† 1-2-24-25 ¶·¸·ÓÔÕÖ·½¾/¿Rt △𝐴𝐵𝐶4X∠𝐶= 90°X𝐴𝐶≥𝐵𝐶Xr𝐴𝐵uT¿98#¦
}ÂÃ?#𝐴𝐵𝐷𝐸´¿Ã?#𝐴𝐵𝐷𝐸×}ÂÃ?#𝐴𝐿𝐾𝐽ÀÃ?#𝐷𝑃𝑄𝑅X𝐴𝐿= 𝐴𝐶X𝐷𝑃= 𝐵𝐶X𝑆1À𝑆2À𝑆3[
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
\]^ØT#𝐸𝑃𝑀𝐽ÀØT#𝐵𝐿𝑁𝑅ÀØT#𝐾𝑀𝑄𝑁0$%X𝑆1À𝑆2À𝑆3~0,€        
´
“† 1-3-24-25 ¶·¸·ÙÚÛη½4/ÜÝ9ÝÞ½0,ßàáØÏÐU07898#lo
Y" 1 a^0"#XO4ØT#𝐴𝐵𝐸𝐷@ØT#𝐶𝐹𝐺𝐻âbÃ?#Xãäå$%mÊæ7898#9T
* aXbXc ~0–Ïçièé
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2´
(1)êëì,ßàá0ík­zînï
žŸ
¿Rt △𝐴𝐵𝐶4X∠𝐴𝐶𝐵= 90°X𝐵𝐶= 𝑎X𝐴𝐶= 𝑏X𝐴𝐵= 𝑐´'G
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2´
GH
&" 1 šŸ𝑆正方形𝐴𝐵𝐸𝐷= 4𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆正方形𝐶𝐹𝐺𝐻X
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐸𝐷= 𝑐2X𝑆△𝐴𝐵𝐶= ______X
Ã?#𝐶𝐹𝐺𝐻T*u______X
∴𝑐2 = 4 ×
1
2𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 = 2𝑎𝑏+ 𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2X
ð𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2´
(2)Y" 2X¿ △𝐴𝐵𝐶4X∠𝐶= 90°X𝐵𝐶= 𝑎X𝐴𝐶= 𝑏X𝐴𝐵= 𝑐Xr𝐴𝐵u78T¿𝐴𝐵0ñòÂUó78
△𝐴𝐵𝐷XO4𝐴𝐵= 𝐵𝐷X∠𝐴𝐵𝐷= 90°Xkô D Â𝐷𝐸⊥𝐶𝐵Xõöuô E´ë<q÷Œ0?m]^ø#𝐴𝐶𝐸𝐷
0$%XùGH𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2£
(3)ì" 1 40ØÏ7898#4cK078T[\Á¦ú*‹Œ0*+XŽY" 3 a^0“,ûü”´ Æ
𝑎= 12X𝑏= 9X“,ûü”¦ýþÿ-"4„(}[/0Ā*+u 108X'pÏûü"ā0$%´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
【题型2  由勾股定理求线段长度】
µ 2-24-25 Ă·¸·ăĄąĆ·ć)Ĉĉ/Y"X¿T*u 8 0Ã?#𝐴𝐵𝐶𝐷4X𝐸b𝐵𝐶Ċ–ôX𝐹b𝐶𝐷
0ú*(Ċ–ôXÄÅ𝐴𝐸X𝐴𝐹X𝐴𝑀>[∠𝐸𝐴𝐹ċ𝐶𝐷Vô𝑀´Æ𝐵𝐸= 𝐷𝐹= 2XÈ𝐹𝑀0*+u-ČČ/
A´
24
5
B´
34
5
C´
48
5
D´
12
5
“† 2-1-24-25 č·¸·ÓÌĎď·½¾/Y"X¿ △𝐴𝐵𝐶4X𝐴𝐵T0õ7>[(𝐷𝐸[\ċ𝐴𝐵À𝐴𝐶
TVô𝐷@ô𝐸XĐ𝐵𝐶2 +𝐶𝐸2 = 𝐴𝐸2´
(1)ÄÅ𝐵𝐸X'G
∠𝐶= 90°£
(2)Æ𝐴𝐶= 4,𝐵𝐶= 2X'𝐶𝐸0*´
“† 2-2-25-26 ¶·¸Ċ·ÐÝ·đĒĈĉ/Y"X¿ △𝐴𝐵𝐶4X𝐴𝐵= 5,𝐴𝐶= 4,𝐵𝐶= 3X𝐷𝐸b𝐴𝐵0õ
7>[(X𝐷𝐸[\ċ𝐴𝐶À𝐴𝐵Vô EÀD´
(1)'G
 △𝐴𝐵𝐶b7898#£
(2)'𝐴𝐸0*´
“† 2-3-24-25 Ă·¸·ºÔēĔ·ć)Ĉĉ/Y"X¿UT98#𝐴𝐵𝐶4Xô P ¿O×}XĐ
𝐵𝑃= 12X𝐶𝑃= 5X∠𝐶𝑃𝐵= 150°Xì △𝐴𝐵𝑃ĕô B ĖPÞė?ÁĘs60°Ž △𝐶𝐵𝐷´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
                                                                           
                                                                       
(1)'ô P ›ô D ~0LM£
(2)'()𝐴𝑃0*´
【题型3  勾股数（树）的运用】
µ 3-24-25 ¶·¸·ÓÌęη½4/œ–ÏT*u 1 0Ã?#XĚk 1 ˆ“¯*”ěX¿Ĝ0ĝñĞ
Ċ¯Ê<ÏğÃ?#XO49ÏÃ?#ýo098#b7898#XĠĚk 1 ˆ“¯*”ěX#o0"#Y" 1
a^´YZġĢ“¯*”ģXĜ쓍“ĤĥĦħ”Y" 2 a^XÆ“¯*”æ 2025 ˆěX#o0"#4aœ0
Ã?#0$%@b-    /
A´2026
B´2025
C´22025
D´22022−1
“† 3-1-24-25 ¶·¸Ċ·ºĨĩη½¾/ĪØī,4b,0–īb-ČČ/
A´
1
3X
1
4X
1
5
B´0.3X0.4X0.5
C´5X12X13
D´32X42X52
“† 3-2-24-25 ¶·¸·ĬĭĮ·½4/𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2įİıb–ÏV𝑎X𝑏X𝑐0?­XIJ
öpÏ?­0Ãï,B(𝑎,𝑏,𝑐)j”de,ī´ijĴĵĶķĸĹÊæ–Ï«¬,ī0†XŠ‚ĺ
†šr«¬ÊY,ī
(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),⋯´[ĻĊ$,īšrļ…X4 = 1 × (3 + 1)
,12 = 2 × (5 + 1),24 = 3 × (7 + 1),⋯X[ĻĊ$ĽľX¢ 9 Ï,īu           
´
“† 3-3-24-25 č·¸Ċ·ÓÌĿÙ·½4/Y"b–ŀŁł0.XO4aœ0ØT#âbÃ?#X
aœ098âb7898#´Æ𝐴X𝐵X𝐶X𝐷0T[\b5X4X3X2XÈJ0Ã?#𝐹0$%u      
´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
【题型4  网格中判断直角三角形】
µ 4-24-25 ¶·¸·ĬĭĮ·½4/Y"X¿4 × 4234XŃÏğÃ?#0T*â‹UX23(0
ċôńu3ô.3ô𝐶›"403ô𝐴X𝐵š«o7898#XÈpŅ03ô𝐶œ-   /
A´2 Ï
B´3 Ï
C´4 Ï
D´5 Ï
“† 4-1-24-25 ¶·¸Ċ·ăĄįņ·½4/Y"X △𝐴𝐵𝐷@ △𝐴𝐵𝐶0Ňôň¿T*u 1 0ğÃ?#2
33ôĊXÈ∠𝐵𝐴𝐶0+,u-   /
A´120°
B´135°
C´150°
D´165°
“† 4-2-24-25 ¶·¸·ʼnďŊŋ·½¾/Y"Xô AXBXCXD ň¿Ã?#233ôĊXÈ
∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐶=        
°´
“† 4-3-24-25 ¶·¸·ŌōŌη½4/Y"X∠1X∠2¿23ĊŎŏXÈ∠1 + ∠2 =     °´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
                                                                           
                                                                       
【拔尖篇】
【题型5  利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
µ 5Y"X△𝐴𝐵𝐶@ △𝐸𝐶𝐷âbUó7898#X△𝐴𝐵𝐶0Ňô A ¿ △𝐸𝐶𝐷0WT DE Ċ´Īèé
O4ä0œ-    /
①△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷        ②𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐷𝐸
③∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷        ④𝐴𝐸2 +𝐴𝐷2 = 2𝐵𝐶2
A´1 Ï
B´2 Ï
C´3 Ï
D´4 Ï
“† 5-1Ő8(ő‹õ70ØT#de“õŁ”ØT#X…œY"a^0“õŁ”ØT#𝐴𝐵𝐶𝐷XŐ8(𝐴𝐶,𝐵𝐷
ċVô𝑂´Æ𝐴𝐷= 1,𝐵𝐶= 4XÈ𝐴𝐵2 +𝐶𝐷2 =                
´
  
“† 5-2-24-25 č·¸·ÓÌĿÙ·½¾/Y" 1X𝐴𝐵∥𝐶𝐷Xô𝐸X𝐹[\¿7(𝐴𝐵X𝐶𝐷ĊXÄÅ𝐸𝐹X
∠𝑀𝐸𝑁= 90°Xô𝑁¿𝐶𝐷Ċ´
(1)Æ∠𝐵𝐸𝑁= 20°X'∠𝐴𝐸𝑀0+,£
教辅资源，关注公众号★全科AA+
(2)Æ𝐸𝑁>[∠𝐵𝐸𝐹ċ𝐶𝐷Vô𝑁X'G
ô𝐹b𝑀𝑁04ô£
(3)Y" 2Xkô𝐹Â𝐹𝐻⊥𝐶𝐷ċ𝐸𝑁Vô𝐻XŒy()𝐸𝑀X𝐸𝐻X𝐻𝑁œª,€XùíH&´
“† 5-3-24-25 ¶·¸·ËÌÌœ·ć)Ĉĉ/ÜŔŕŐ8(ő‹õ70ØT#deõŁØT#´
-1/Y"①XžŸØT#𝐴𝐵𝐶𝐷bõŁØT#Xê !<īŐT𝐴𝐵2 +𝐶𝐷2›𝐴𝐷2 +𝐵𝐶2~0,€X
ùíH&£
-2/Y"②X[\rRt △𝐴𝐶𝐵078T𝐴𝐶@WT𝐴𝐵uTÁ¦ÂÃ?#𝐴𝐶𝐹𝐺@Ã?#𝐴𝐵𝐷𝐸XÄÅ
𝐵𝐸,𝐶𝐺,𝐸𝐺XžŸ𝐴𝐶= 4,𝐴𝐵= 5X'𝐺𝐸2´
【题型6  利用勾股定理解决折叠问题】
µ 6-24-25 ¶·¸·ÙÚRŖ·½4/Y"X¿Rt △𝐴𝐵𝐶4X∠𝐶= 90°X𝐴𝐶= 4,𝐵𝐶= 6XìĜ0ŗ8 A
ŘDXřô A Ś¿T𝐵𝐶04ô D śXDŜċ𝐴𝐶TVô EXċ𝐴𝐵TVô FXÈ𝐷𝐸0*u-   /
A´2
B´3
C´
25
9
D´
25
8
“† 6-1-24-25 ¶·¸·ŌōŝŞ·ć)Ĉĉ/Y"¿ş#𝐴𝐵𝐶𝐷4X𝐵𝐶= 8X𝐶𝐷= 6Xì △𝐵𝐶𝐷ŠŐ
8(𝐵𝐷ŘDXô𝐶Ś¿ô𝐶′śX𝐵𝐶′ċ𝐴𝐷Vô𝐸XÈ △𝐵𝐷𝐸0$%u          
 ´
“† 6-2-24-25 ¶·¸·ºĨšŢ·½4/Y"X¿ş#𝐴𝐵𝐶𝐷4X𝐴𝐵= 12X𝐵𝐶= 10Xô EÀF [\
¿𝐴𝐵À𝐷𝐶ĊXĐ𝐴𝐵= 3𝐵𝐸X𝐶𝐷= 3𝐶𝐹Xô P u7(𝐴𝐵Ċ–ţôXÄÅ𝐷𝑃Xì △𝐷𝐴𝑃Š𝐷𝑃a¿7(ŘD
Ž △𝐷𝐴′𝑃XŤô𝐴′ťŦŚ¿7(𝐸𝐹ĊÞX𝐴𝑃0*u    ´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
                                                                           
                                                                       
“† 6-3-24-25 Ă·¸·ËÌŧŨ·ć)Ĉĉ/Y"X¿Rt △𝐴𝐵𝐶4X∠𝐵= 90°X𝐴𝐵= 5X𝐵𝐶= 8X
ô𝐷u𝐴𝐵Ċ–ôXÄÅ𝐶𝐷Xì △𝐵𝐶𝐷Š𝐶𝐷ŘDŽ △𝐵′𝐶𝐷Xkô A Â𝐴𝐹∥𝐵𝐶ċ𝐷𝐵′Vô EXċ𝐶𝐵′Vô
FXÆ𝐴𝐸= 𝐵′𝐸XÈ𝐵𝐷0*u      
´
【题型7  勾股定理的证明】
µ 7-24-25 ¶·¸·ŌōŌη½4/¿0ĉk­4XÜŔžĚũæ1"#gGŪū0
XĪŬŭ40"#XÉGH0b-   /
A´①②③
B´①②④
C´②③④
D´①②③④
“† 7-1-24-25 ¶·¸Ċ·ʼnŮη½¾/Y"a^X¡ŪūůßĴ▪Űű–ŲųŴŵlÊ÷–
Ņ0ŶŷXGHæ´ÆŸ" 1 4ŶŹ}[-<ÏÃ?#@<Ï7898#īo/0$%u𝑆1XĚ
krźŵXŘsXlÊ" 2XO4ŶŹ}[0$%u𝑆2XŻżŒÊærØÏèé
①𝑆1 = 𝑎2 + 𝑏2
+𝑎𝑏£②𝑆2 = 𝑐2 +𝑎𝑏£③𝑆1 = 𝑆2£④𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2´ÈO4ä0œ-   /
教辅资源，关注公众号★全科AA+
A´1 Ï
B´2 Ï
C´3 Ï
D´4 Ï
“† 7-2Y"Xŕ*ÀŽÀŐ8(0*[\b aÀbÀc 0ş#ŠŐ8(ŵžX›–Ï78T*u c 0U
ó7898#lÅoñT0"#X$%ſzmÉƀŽ0–ÏU†b  ´
“† 7-3-24-25 č·¸·ºĨĿηć)Ĉĉ/Ɓï†0Ƃm‰–ƃĉ4XÜŔƄgæ“r#ƅ,X
r,B#”0Ɔ!Ƈ´pî[Ƅ…æ,4“,#èR”p–,xy?m0çiƈ´ƉƊč·¸,ƊƋ
ğījk$%ƌU0?mŐ7898#9T€
．．．．．．．．．’æ !´
ƍ˜ !
  
-1/Y"-1/X7898#ųŴ9=T*[\u aXbXc-𝑏< 𝑎< 𝑐/XğīŒØÏpŅ0ųŴlo
æ–ÏÃ?#X4Ŷ–ÏğÃ?#-ƎƏ}[/´
①–Ï7898#ųŴ0$%u____XğÃ?#T*u_____´-¨ aXb 0Ɛ,†]^/
②ê<q÷Œ0?m]^ÊƎƏ}[-ğÃ?#/0$%XƑ‘ !Ê aXbXc 9ƒ~0€´-Ɠ．
Ɣƕ
．．/
èé1
-2/Y" 2XžŸX △𝐴𝐵𝐶b7898#X∠𝐶= 90°´êĊ$Ž0èé'B´
①Æ𝐴𝐶= 3X𝐵𝐶= 4X'𝐴𝐵0*´
②Æ𝐴𝐶= 6X𝐴𝐵0*Ɩ𝐵𝐶0* 2X'𝐴𝐵0*´
IƗƘ
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
                                                                           
                                                                       
-3/Y" 3XžŸX¿ △𝐴𝐵𝐶4X𝐴𝐵= 13X𝐴𝐶= 15X𝐵𝐶= 14Xê'Ê △𝐴𝐵𝐶0$%´
  
【题型8  勾股定理的应用】
µ 8-24-25 ¶·¸·ƙƚºƛƜƝ·ć)Ĉĉ/ƞƟƠbŧơßƢƣ0–ŭ±ţXƤƟƠõ7å$Þ
ƥƦMå$0LM𝐴𝐶u0.5ƧXìƥƦƨ>Ʃţ 3 Ƨ-𝐵𝐸= 3Ƨ/XƪÞƥƦ›å$0LM𝐵𝐷u1.5ƧXÆ
Ʃţk­4ĶƫƬƭĶƮ7XÈƟƠ0Ķƫ𝑂𝐴0*+u     Ƨ´
“† 8-1Y"a^XƤƯưŎVÌÔ?Á0ƱƲ(Ċ´“Ƴƴ”	À“ƱƵ”	þƶŒÞMžƯưX|ƷŠ
–Ƹ?Áƴ’X“Ƴƴ”	ŃğÞƴ’16ƱƹX“ƱƵ”	ŃğÞƴ’12Ʊƹ´ĜŔMžƯư
3
2ğÞě‹L30
Ʊƹ´YZŸƺ“Ƴƴ”	ŠÌ?Áƴ’Xɟƺ“ƱƵ”	ŠƻÏ?Áƴ’Ƽƽ
“† 8-2-24-25 ¶·¸·ƾÎƿÌď·ć)Ĉĉ/Ƥǀǁǂ¿ǃDŽ𝐴𝐵ĊDžōdžüLJ𝐸Xr?LjǃDŽ𝐴𝐵<
lj0𝐶X𝐷<Ţ0NJƉʒ´Y"X𝐶ގǃDŽ𝐴𝐵0LM𝐴𝐶= 20kmX𝐷ގǃDŽ𝐴𝐵0LM𝐷𝐵= 60kmX
𝐴𝐵= 100kmXĚǀNjnj›ǃDŽ}ŞǍŊJě¤¿Ž𝐶X𝐷<ŢLM‹U0𝐸śDžōdžüLJX'𝐴𝐸X𝐵𝐸0
*´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
“† 8-3-24-25 ¶·¸·ºÔǎη½¾/kƁ‰ěXǏ,ƊƋğī0ǐǑŔƒŽǒǓ
ĊǔǕǖ𝐴𝐵0Ǘ+XjkǔŽYǘ
①ǔƑǕǖŇǙõ7ǚƒ0ǛǕ0ƫǜƖǕǖ* 3 Ƨ-Y" 1/£
②ŤìƫǜĶ7ÞXǔƪÞĶƫǜ0{Žå$0LM𝐶𝐷u 1 ƧXŽǕǖ0LM𝐶𝐸u 12 Ƨ-Y" 2/´
Š‚rĊǘXBǝĪF
(1)ŸǕǖ𝐴𝐵= 𝑥ƧXÈ𝐴𝐶= ______ƧX𝐴𝐸= ______Ƨ-¨𝑥0†ǜ]^/
(2)'Ǖǖ𝑥0Ç´
【题型9  利用勾股定理求最短距离】
µ 9-2025 ¶·¸·ÐÝ·ǞĈĉ/Y"XǟǠ"#Bǝ$0F
(1)ƪ"#0ūńu_______£
(2)ê뛌ǡ–Ǣe–ÏpŅ0ǣƄ"#XùŕĜ0ò$Š𝐴𝑆ŵžXǤ¿ǥ$ĊXÈĜ0ò$Ƙž"b–
Ï_______£
(3)YZô𝐶b𝑆𝐴04ôX¿𝐴śœ–ǦǧǨX¿𝐶śťŦœǧǨyǩ0ǪǫXĐĜǦÉĕƪǣƄ"#0ò$
Ǭ’–ǭŽ𝐶ś´ëÉ¿ò$Ƙž"4ůÊǧǨǬ’0JKDŽ(Ƽƽ
教辅资源，关注公众号★全科AA+
(4)𝑆𝐴0*u 10Xò$Ƙž"0Ǯǯ8u90°Xêë'ÊǧǨǬ’0JKDŽ­0>?´
“† 9-1Y"a^b–Ï9¸ǰćXĜ0і¸0*ÀŽÀǗ[\UV 7cmÀ6cmÀ2cmXA @ B bp
<Ïǰć0<ϋŐ0ǙôXȖǦDZDzƑô A ÊļĚkǰćǬŽô B 0JKDŽ(œdz*ƽ
“† 9-2-24-25 ¶·¸·ÐÝ·Ǵ½Âǵ/Y"X*?Ƅ0Ƕ*𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 6cmX𝐴𝐴1 = 𝐵𝐵1 = 𝐶𝐶1 = 14
cmXǴŸǷǸǹƑ*?Ƅ×Ňô𝐶1r2cm/s0Ǻ+¿*?Ƅ0×}ŠǶ𝐶1𝐶ÁǬ’´ŒÞXǷǸǻƑ*?
Ƅ×Ňô𝐴r‹Œ0Ǻ+¿*?Ƅ0ò$ĊǬ’X_`ǷǸǻǼǽƓidz*ÞǾÉǿȀŽǷǸǹƽ
“† 9-3-24-25 Ă·¸·ÐÝ·đĒĈĉ/Y"u–Ï*4cmXŽ2cmXǗ1cm0„ǯ*?ƄX–ǦDZ
DzƑ„ǯ*?Ƅ0Ňô A ÊļXŠ*?Ƅ0]$ǬŽŐ$Ňô𝐶1śXFȁŅȂDŽ(JKƽJKDŽ(*udz
ǽƽ
【题型10  勾股定理及其逆定理的综合】
µ 10-24-25 ¶·¸·ʼnďȃηć)Ĉĉ/FȄȅY"X¿ △𝐴𝐵𝐶4X𝐴𝐷u𝐵𝐶TĊ0Ǘ´
ȆµƆ!-1/Æ𝐶𝐷= 1X𝐴𝐷= 2X𝐵𝐷= 4X'G
𝐴𝐵⊥𝐴𝐶£
ŒyGH-2/Š‚-1/40èéXğHŒy
ŤIJö𝐴𝐷2 = 𝐵𝐷⋅𝐶𝐷XNOPXš
GH △𝐴𝐵𝐶b7898#XêëgGğH0Œybȇä´
教辅资源，关注公众号★全科AA+
教辅资源,关注公众号•全科AA+
“† 10-1-24-25 ¶·¸·ØȈȉȊ·ć)Ĉĉ/Y" 1XØT#𝐴𝐵𝐶𝐷X∠𝐴= 90°X𝐴𝐵= 3X𝐵𝐶= 12X
𝐶𝐷= 13X𝐷𝐴= 4´
(1)'ØT#𝐴𝐵𝐶𝐷0$%£
(2)Y" 2Xr𝐴uȋȌȍôXr𝐴𝐵À𝐴𝐷a¿7(u𝑥ȎÀ𝑦Ȏōǣ78ȋȌ€Xô𝑃¿𝑦ȎĊXÆ𝑆△𝑃𝐵𝐷=
1
6
𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷X'𝑃0ȋȌ´
“† 10-2-24-25 ¶·¸·ȏď·½¾/Y"X¿ △𝐴𝐵𝐶4X𝐴𝐵= 𝐴𝐶X𝐵𝐶= 10Xô𝐷bT𝐴𝐶Ċ0
–ôX𝐵𝐷= 8X𝐶𝐷= 6´
(1)'G
 △𝐵𝐷𝐶b7898#£
(2)'()𝐴𝐷0*´
“† 10-3-24-25 č·¸·ØȈoâ·½¾/Y"X¿ △𝐴𝐵𝐶4X𝐶𝐷b𝐴𝐵TĊ0ǗXžŸ𝐴𝐶= 9X
𝐵𝐶= 12X𝐴𝐵= 15´
(1)'𝐶𝐷0*£
(2)kô A Â∠𝐶𝐴𝐵08>[(ċ𝐵𝐶TVô EX' △𝐴𝐸𝐵0$%´
教辅资源，关注公众号★全科AA+