文档文本内容
状元成才路
第一章 勾股定理
１ 探索勾股定理
１
第１课时探索勾股定理
１
第２课时勾股定理的验证及简单应用
２
２ 一定是直角三角形吗
３
３ 勾股定理的应用
４
预习卡参考答案
５
状元成才路
１
第一章 勾股定理
１ 探索勾股定理
第１课时 探索勾股定理
预习
目标
１.结合实例初步掌握勾股定理的内容.
２.会利用勾股定理求直角三角形的边长.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ２~３的内容ꎬ回答下列问题:
１.观察教材Ｐ２的图１－２左图ꎬ可以得到如下信息:
(１)正方形Ａ中有 个小方格ꎬ即Ａ的面积为 个平方单位.
(２)正方形Ｂ中有 个小方格ꎬ即Ｂ的面积为 个平方单位.
(３)正方形Ｃ的面积为 个平方单位.
２.图１－２左图中ꎬＡꎬＢꎬＣ的面积之间有什么关系?
３.图１－３左图中ꎬＡꎬＢꎬＣ的面积之间有什么关系?
４.图１－３右图中ꎬＡꎬＢꎬＣ的面积之间有什么关系?
５.你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗?
６.直角三角形两直角边的
等于斜边的
.这就是著名的“勾股定理”ꎬ
也就是说:如果直角三角形的两直角边为ａꎬｂꎬ斜边为ｃꎬ那么 .
成
果
检
测
１.如图ꎬ在△ＡＢＣ中ꎬ∠Ｃ＝９０°.
(１)若ａ＝３ꎬｂ＝４ꎬ则ｃ＝ ꎻ
(２)若ａ＝６ꎬｃ＝１０ꎬ则ｂ＝ .
２.求下图中各直角三角形中的未知边ｘ的长.
第一章
状元成才路
２
第２课时 勾股定理的验证及简单应用
预习
目标
１.会利用面积法验证勾股定理.
２.能利用勾股定理解决一些简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ４~６的内容ꎬ回答下列问题:
面积法验证勾股定理
方法一:用图甲拼成乙、丙两种大正方形.
在乙图中ꎬＳ大正方形＝ｃ
２＝４× １
２ａｂ＋(ｂ－ａ)
２ꎬ所以ｃ
２＝ａ
２＋ｂ
２ꎻ
在丙图中ꎬＳ大正方形＝ｃ
２＝(ａ＋ｂ)
２－４× １
２ａｂꎬ所以ｃ
２＝ａ
２＋ｂ
２.
方法二:请用上面图甲再拼一个图形ꎬ并写出相应的等式验证勾股定理.
成
果
检
测
１.学校购置了一批长方形黑板ꎬ长方形黑板的商品标签上写着长为１６０ｃｍꎬ宽为
１２０ｃｍ.请你用所学知识计算:这批黑板的对角线的长为( )
Ａ.１６０ｃｍ Ｂ.１８０ｃｍ Ｃ.２００ｃｍ Ｄ.２８０ｃｍ
２.如图ꎬ已知半圆Ａ的面积是３ꎬ半圆Ｂ的面积是４ꎬ则半圆Ｃ的面积是 .
北师八年级数学上
状元成才路
３
２ 一定是直角三角形吗
预习
目标
１.掌握直角三角形的判定条件ꎬ并能进行简单应用.
２.掌握勾股数的概念ꎬ探索常用勾股数的规律.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ９~１１的内容ꎬ回答下列问题:
１.直角三角形的判定:在△ＡＢＣ中ꎬａꎬｂꎬｃ为三边长ꎬ其中ｃ为最长边.若ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２ꎬ则
△ＡＢＣ为 三角形ꎬ且最长边所对的角为 °.
２.判定直角三角形的方法除了利用三边之间的数量关系外ꎬ还可以利用
判定.
３.勾股数:满足 的三个正整数ꎬ称为勾股数.勾股数组应为三个正整数ꎬ且
满足两较小数的平方和 最大数的平方.
４.常见的勾股数有:(１) ꎻ(２) ꎻ(３) .
５.勾股数的正整数倍 勾股数.(填“是”或“不是”)
６.如果三角形的三边长ａꎬｂꎬｃꎬ满足 ꎬ那么这个三角形是直角三角形.可以用它
判断两条直线 .
成
果
检
测
１.下列长度的各组线段能构成直角三角形的一组是( )
Ａ.６ꎬ８ꎬ１０ Ｂ.７ꎬ１２ꎬ１３ Ｃ.５ꎬ９ꎬ１２ Ｄ.３ꎬ４ꎬ６
２.一个零件的形状如图所示ꎬ按规定这个零件中的∠Ａ和∠ＢＤＣ都应为直角ꎬ将量得
的这个零件各边尺寸标注在图中ꎬ由此可知( )
Ａ.∠Ａ符合要求
Ｂ.∠ＢＤＣ符合要求
Ｃ.∠Ａ和∠ＢＤＣ都符合要求
Ｄ.∠Ａ和∠ＢＤＣ都不符合要求
第２题图
第３题图
３.如图ꎬＡＢ＝４ꎬＢＣ＝３ꎬＡＤ＝１３ꎬＤＣ＝１２ꎬ∠Ｂ＝９０°ꎬ则阴影部分的面积是 .
４.根据下列条件ꎬ分别判断以ａꎬｂꎬｃ为边长的三角形的形状.
(１)ａ＝７ꎬｂ＝２４ꎬｃ＝２５ꎻ (２)ａ＝２ꎬｂ＝２ꎬｃ＝３.
第一章
状元成才路
４
３ 勾股定理的应用
预习
目标
１.应用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.
２.应用勾股定理及直角三角形的判定条件解决简单的实际问题.
３.通过解决实际问题ꎬ体会数学来源于生活ꎬ又应用于生活.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１３~１４的内容ꎬ回答下列问题:
图① 图②
探究:蚂蚁怎么走最近?
问题:有一个圆柱ꎬ它的高等于１２ｃｍꎬ底面圆的半径等于３ｃｍ.在圆柱的下底面点Ａ处
有一只蚂蚁ꎬ它想吃到上底面上与点Ａ相对的点Ｂ处的食物ꎬ需要爬行的最短路程是
多少? (π 值取３)
思考:如图①ꎬ将圆柱侧面剪开展开成一个长方形ꎬ从点Ａ到点Ｂ的最短路线是什么?
因为圆柱的侧面展开图是一长方形.可以用剪刀沿ＡＡ′将圆柱的侧面展开(如图②).
不难发现以下几种走法:
(１)Ａ→Ａ′→Ｂꎻ(２)Ａ→Ｂ′→Ｂꎻ(３)Ａ→Ｄ→Ｂꎻ(４)Ａ→Ｂ.
第( )条路线最短.因为 .
成
果
检
测
１.如图ꎬ有一个圆柱ꎬ高为１３ｃｍꎬ底面周长为１０ｃｍꎬ在圆柱的下底面上点Ａ处有一只
蚂蚁想吃到离上底面１ｃｍ的点Ｂ处的食物ꎬ则它需爬行的最短距离为( )
Ａ.６ｃｍ
Ｂ.８ｃｍ
Ｃ.１０ｃｍ
Ｄ.１３ｃｍ
２.一幢建筑发生了火灾ꎬ消防车到达现场后ꎬ发现距离建筑底端５ｍ时就不能再靠近.
若消防车的云梯最大升长为１３ｍꎬ则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )
Ａ.１２ｍ Ｂ.１３ｍ Ｃ.１４ｍ Ｄ.１５ｍ
３.如图ꎬ阴影三角形的面积是多少?
北师八年级数学上
状元成才路
５
预习卡参考答案
第一章 勾股定理
１ 探索勾股定理
第１课时 探索勾股定理
【知识感知】 １.(１)９ ９ (２)９ ９
(３)１８
２.Ｃ的面积等于ＡꎬＢ面积之和.
３.Ｃ的面积等于ＡꎬＢ面积之和.
４.Ｃ的面积等于ＡꎬＢ面积之和.
５.两直角边的平方和等于斜边的平方.
６.平方和 平方 ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２
【成果检测】 １.(１)５ (２)８
２.解:(１)ｘ
２＝５
２＋１２
２＝２５＋１４４＝１６９ꎬ
所以ｘ＝１３.
(２)８
２＋ｘ
２＝１７
２ꎬ即ｘ
２＝１７
２－８
２＝２２５ꎬ所以
ｘ＝１５.
第２课时 勾股定理的验证及简单应用
【知识感知】 解:拼图如图所示.
Ｓ梯形＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)
２
＝ａｂ＋ｃ
２
２ꎬ所以ｃ
２＝ａ
２＋ｂ
２.
【成果检测】 １.Ｃ ２.７
２ 一定是直角三角形吗
【知识感知】 １.直角 ９０ ２.定义法
３.ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２ 等于
４.(１)３ꎬ４ꎬ５ (２)６ꎬ８ꎬ１０ (３)５ꎬ１２ꎬ１３
５.是 ６.ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２ 互相垂直
【成果检测】 １.Ａ ２.Ｄ ３.２４
４.解:(１)因为７
２＋２４
２＝２５
２ꎬ所以以７ꎬ２４ꎬ２５
为边长的三角形是直角三角形.
(２)因为２
２＋２
２≠３
２ꎬ所以以２ꎬ２ꎬ３为边长
的三角形不是直角三角形.
３ 勾股定理的应用
【知识感知】 ４ 两点之间ꎬ线段最短
【成果检测】 １.Ｄ ２.Ａ
３.解:由勾股定理可得ＡＢ
２＝６
２＋８
２ꎬ所以ＡＢ＝
１０(ｃｍ). 所以阴影三角形的面积为１
２×
１０×２.５＝１２.５(ｃｍ
２).
第一章
状元成才路
状元成才路
第二章 实数
１ 认识无理数
１
２ 平方根
２
第１课时算术平方根
２
第２课时平方根
３
３ 立方根
４
４ 估算
５
５ 用计算器开方
６
６ 实数
７
７ 二次根式
８
第１课时二次根式及其性质
８
第２课时二次根式的乘除法和加减法
１０
第３课时二次根式的混合运算
１１
预习卡参考答案
１２
状元成才路
１
第二章 实数
１ 认识无理数
预习
目标
１.了解无理数的概念.
２.会判断一个数是有理数还是无理数.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ２１~２３的内容ꎬ回答下列问题:
１.整数和分数统称为 .但是生活中存在着大量不是有理数的数ꎬ如ｘ
２＝８中的
ｘ既不是整数ꎬ也不是分数.
２.估计非有理数的大小:在探索ｘ
２＝ａ(ａ≥０)中ｘ的值时ꎬ实际是使用夹逼法ꎬ先确定ｘ
的整数部分ꎬ看它在哪两个连续整数之间ꎬ
即为ｘ的整数部分ꎻ然后确定ｘ
的小数部分ꎬ同样寻找它在哪两个连续小数之间ꎬ依次确定ｘ的十分位、百分位等数
位上的数.
３.无理数的概念: 称为无理数.有理数总可以用有限小数或无限循环小
数表示.反过来ꎬ任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.如２.３
是无限循环小
数ꎬ是有理数ꎻ０.５７５７７５７７７５(相邻两个５之间７的个数逐次加１)是无限不循环
小数ꎬ是无理数.
成
果
检
测
１.下列各数中ꎬ是无理数的是( )
Ａ.－２ Ｂ. π
２ Ｃ.２２
７ Ｄ.０.１
２
２.若ｘ
２＝８８ꎬ估计ｘ的大小应该在( )
Ａ.９.１~９.２之间
Ｂ.９.２~９.３之间
Ｃ.９.３~９.４之间
Ｄ.９.４~９.５之间
３.用两个边长为１的小正方形可剪拼成一个边长为ａ的正方形ꎬ得到等式ａ
２＝２ꎬａ既
不是 ꎬ也不是 ꎬ所以ａ不是有理数.我们常用“
法”估算它
的近似值.
４.下列各数:①０.３５１ꎻ②－４.９
６
ꎻ③－２
３ꎻ④３.１４１５９ꎻ⑤６ꎻ
⑥－５.２３２３３２３３３２(相邻两个２之间３的个数逐次加１)ꎻ⑦π
３ꎻ
⑧０.１２３４５６７８９１０１１１２１３１４.
其中是有理数的有 ꎬ是无理数的有 .(填序号)
第二章
状元成才路
２
２ 平方根
第１课时 算术平方根
预习
目标
１.理解算术平方根的概念与性质.
２.会求非负数的算术平方根.
３.会利用算术平方根解决简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ２６的内容ꎬ回答下列问题:
１.算术平方根的概念:一般地ꎬ如果一个正数ｘ的平方等于ａꎬ即ｘ
２＝ａꎬ那么
就叫做ａ的算术平方根ꎬ记作ａꎬ读作“根号ａ”.如４
２＝１６ꎬ那么
就是１６的
算术平方根.
２.特别地ꎬ我们规定:０的算术平方根是 ꎬ即０＝ .
３.负数没有算术平方根.
４. ａ具有双重非负性ꎬ即ａ≥０ꎬａ≥０.
成
果
检
测
１. ４的值是( )
Ａ.４ Ｂ.２ Ｃ.±２ Ｄ.－２
２.求下列各数的算术平方根:
(１)３６ꎻ
(２) ９
６４ꎻ
(３)１５ꎻ
(４)０.０９.
３.八年级(１)班的教室地面恰好由８００块相同的正方形地砖铺成ꎬ地面面积是７２ｍ
２ꎬ
则每一块地砖的边长是多少?
北师八年级数学上
状元成才路
３
第２课时 平方根
预习
目标
１.理解平方根的概念与性质.
２.会求非负数的平方根.
３.了解开平方运算.
４.会利用平方根解决简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ２７~２９的内容ꎬ回答下列问题:
１.６
２＝３６ꎬ(－６)
２＝３６ꎬ３６的算术平方根是６ꎬ那么－６ ３６的算术平方根(填“是”
或“不是”).
填写下表:
ｘ
２
１
４
１６
９
２５
ｘ
２.平方根的概念:一般地ꎬ如果一个数ｘ的平方等于ａꎬ即ｘ
２＝ａꎬ那么这个数ｘ就叫做
ａ的 (也叫做 ).如６和－６是３６的 .
３.平方根的性质:９的平方根是
ꎬ０的平方根是
ꎬ－９
( 填
“有”或“没有”)平方根.因此ꎬ正数有 个平方根ꎬ它们互为
ꎻ０的平
方根是 ꎻ负数 平方根.
４.开平方的概念:求一个数ａ的平方根的运算ꎬ叫做开平方ꎬａ叫做 .
成
果
检
测
１.７的平方根是( )
Ａ. ７ Ｂ.４９ Ｃ.± ７ Ｄ.±４９
２.计算±
８１的值为( )
Ａ.±３
Ｂ.±９
Ｃ.３
Ｄ.９
３.填空:
(１)１２１的平方根是 ꎬ１２１的算术平方根是 ꎻ
(２) 的平方根是８和－８ꎬ 的算术平方根是８.
４.求下列各数的平方根:
(１)１４４ꎻ(２) ４９
１２１ꎻ(３)０.０００４ꎻ(４)(－２５)
２ꎻ(５)１１.
第二章
状元成才路
４
３ 立方根
预习
目标
１.理解立方根的概念与性质.
２.会求一个数的立方根.
３.了解开立方运算.
４.会利用立方根解决简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ３０~３１的内容ꎬ回答下列问题:
１.立方根的概念:一般地ꎬ如果一个数ｘ的立方等于ａꎬ即ｘ
３＝ａꎬ那么 就叫做
的立方根(也叫做三次方根).如(－２)
３＝－８ꎬ那么 是 的立方根.
每个数ａ都有一个立方根ꎬ记作
３ａꎬ读作“ ”.
正数的立方根是正数ꎻ０的立方根是 ꎻ负数的立方根是负数.
２.开立方的概念:求一个数ａ的立方根的运算ꎬ叫做 ꎬａ叫做 .
３－ａ＝－
３ａꎬ(
３ａ)
３＝
３ａ
３＝ .
成
果
检
测
１.２７的立方根是( )
Ａ. ３ Ｂ.３ Ｃ.９ Ｄ.
２７
２.
３－２１６＝ .
３.６４的平方根是 ꎬ立方根是 .
４.求下列各数的立方根:
(１)１２５ꎻ (２)－０.０６４ꎻ (３) ２７
８.
北师八年级数学上
状元成才路
５
４ 估算
预习
目标
１.能通过估算检验计算结果的合理性.
２.能估算一个无理数的大致范围ꎬ并能通过估算比较两个无理数的大小.
３.会利用估算解决一些简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ３３~３４的内容ꎬ回答下列问题:
１.用估算法确定无理数的大小:通过平方运算或立方运算ꎬ采用“ ”ꎬ确定真实
值所在的范围.首先要正确判断出被开方数在哪两个
的平方数或立方数之
间ꎬ确定它的整数部分ꎻ再用同样的方法估算它十分位上的数值及百分位、千分位等
等的值.估算５的值ꎬ易知２
２<５<３
２ꎬ所以５的整数部分是
.因为２.２
２<５<
２.３
２ꎬ所以５的十分位上的数是 .又因为２.２３
２<５<２.２４
２ꎬ所以５的百分位上
的数是
２.用估算法的方法比较两个数的大小时ꎬ若其中有一个是无理数ꎬ一般先采用分析的
方法ꎬ估算出无理数的大致取值范围ꎬ再做具体的比较.
３.比较两数的大小常用的方法:作差法、平方法、作商法、倒数法等.
成
果
检
测
１.估计
１３＋１的值在( )
Ａ.２和３之间 Ｂ.３和４之间 Ｃ.４和５之间 Ｄ.５和６之间
２.估算:
５３≈ (精确到０.１).
３.通过估算ꎬ比较下面各组数的大小:
(１) ７－１
２
与１ꎻ (２) ７与２.６７.
第二章
状元成才路
６
５ 用计算器开方
预习
目标
１.熟悉科学计算器各按键的基本功能及使用说明.
２.会用计算器求平方根和立方根.
３.初步了解用计算器探求数学规律.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ３６~３７的内容ꎬ回答下列问题:
１.用计算器进行开方运算:对于开平方运算ꎬ按键顺序为:先按
■
键ꎬ再输入
ꎬ紧接着按 ꎬ最后按 ꎻ对于开立方运算ꎬ按键顺序为:先按
ꎬ再输入
■ꎬ然后输入被开方数ꎬ最后按
＝
.
２.利用计算器比较数的大小:比较两个无理数的大小ꎬ可以用计算器来辅助解题.用计
算器分别计算两个无理数的结果ꎬ通过比较两个结果的大小ꎬ判断原数的大小.
成
果
检
测
１.用计算器求２０２０的算术平方根时ꎬ下列四个键中ꎬ必须按的键是( )
Ａ.
ｓｉｎ
Ｂ.
ｙ
ｎ
Ｃ.
■ Ｄ.
ｘ
２
２. 在计算器上依次输入
■
１
６
－
７
＝
ꎬ显示的结果
是( )
Ａ.３
Ｂ.－３
Ｃ.－１
Ｄ.１
３.用计算器计算:
３３８１７≈ (精确到０.０１).
４.利用计算器比较下列各组数的大小:
(１)
１４与
３５６ꎻ(２)
３１００与
２１ꎻ(３)－
２１与
３－０.０７.
北师八年级数学上
状元成才路
７
６ 实数
预习
目标
１.了解实数的概念和意义ꎬ能够按照要求对实数进行分类.
２.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义ꎬ以及有理数的运算法则在实数范围内
仍然适用.
３.知道实数与数轴上的点一一对应ꎬ能用数轴上的点来表示任意实数ꎬ并且能比较两
个实数的大小.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ３８~３９的内容ꎬ回答下列问题:
１.实数的概念及分类: 和 统称为实数.实数的分类既可以按照概念分
类ꎬ也可以按照性质分类.
２.实数的相反数、倒数、绝对值:(１)实数ａ的相反数是 ꎻ(２)正实数的绝对值
等于它 ꎬ负实数的绝对值等于它的
ꎬ０的绝对值是
ꎻ(３)
如果ａ表示一个非零实数ꎬ那么ａ与 互为倒数.(４)０没有 (填“相
反数”“倒数”或“绝对值”).
３.实数的运算法则:实数和有理数一样ꎬ可以进行加、减、乘、除、乘方运算ꎬ而且有理数
的运算法则与运算律对实数仍然适用.
４.实数与数轴的关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示ꎻ反过来ꎬ数轴上的
每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是
的.在数轴上ꎬ右边的点
表示的数比左边的点表示的数大.
成
果
检
测
１.下列实数中ꎬ是无理数的是( )
Ａ.１ Ｂ. ３ Ｃ.－３ Ｄ. １
３
２.下列四个数－２ꎬ１ꎬ－３ꎬπꎬ其中最小的数是( )
Ａ.－２
Ｂ.１
Ｃ.－３
Ｄ.π
３.－７的相反数是 ꎻ３
π 的倒数是 ꎻ｜３－２｜＝ .
４.计算:
(１)２３＋４３ꎻ
(２) ｜２－７｜＋２.
５.如图ꎬ数轴上有ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四个点ꎬ它们表示的数为－１.５ꎬπꎬ３ꎬ－５.请指出ＡꎬＢꎬＣꎬ
Ｄ各表示什么数.
第二章
状元成才路
８
７ 二次根式
第１课时 二次根式及其性质
预习
目标
１.了解二次根式和最简二次根式的概念ꎬ能将二次根式化简为最简二次根式或整式.
２.探究并掌握积和商的算术平方根的性质.
３.会利用积和商的算术平方根进行计算.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ４１~４２的内容ꎬ回答下列问题:
１.二次根式的概念:如图ꎬ一个正方形草坪的面积为Ｓꎬ则这个正方形草坪的边长为Ｓ.
像Ｓ这样的式子还有很多ꎬ它们有没有专属“家族”呢?
一般地ꎬ形如ａ(ａ≥０)的式子叫做 ꎬａ叫做 .
２.(１)比一比ꎬ算一算ꎬ你能发现什么?
４×１６＝ ꎻ４×
１６＝ .
９×２５＝ ꎻ９×
２５＝ .
(２)积的算术平方根:积的算术平方根ꎬ等于各因式算术平方根的积.用式子表示为
.
３.(１)计算下列各式ꎬ你有什么发现?
４
２５＝ ꎻ
４
２５
＝ ꎻ
９
１６＝ ꎻ
９
１６
＝ .
(２)商的算术平方根:商的算术平方根ꎬ等于被除式的算术平方根除以除式的算术平
方根.用式子表示为 .
４.(１)最简二次根式:一般地ꎬ被开方数不含分母ꎬ也不含能开得尽方的因数或因式ꎬ这
样的二次根式ꎬ叫做 .
(２)二次根式化简时ꎬ通常要求最终结果中分母不含有根号ꎬ而且各个二次根式是最
简二次根式.
北师八年级数学上
状元成才路
９
成
果
检
测
１.下列各式中ꎬ属于二次根式的是( )
Ａ.
－３ Ｂ.
３３
Ｃ.
２ａ(ａ<０) Ｄ.
１＋ａ
２
２.二次根式
２ｘ＋４中ꎬｘ的取值范围是( )
Ａ.ｘ<－２
Ｂ.ｘ≤－２
Ｃ.ｘ>－２
Ｄ.ｘ≥－２
３.下列计算正确的有( )
①
(－４)×(－９) ＝
－４×
－９＝６ꎻ②
(－４)×(－９) ＝
４× ９＝６ꎻ
③
５
２－４
２＝
５＋４×
５－４＝３ꎻ④
５
２－４
２＝
５
２－
４
２＝１.
Ａ.１个
Ｂ.２个
Ｃ.３个
Ｄ.４个
４.在８ꎬ
１２ꎬ
２７ꎬ
１
２ꎬ７ꎬ３中ꎬ最简二次根式有哪些?
５.化简:
(１)
３６×３ꎻ (２)
１１１
９ꎻ
(３)
２００ꎻ
(４)
４９ｂ
３
１６９ａ
２.
第二章
状元成才路
１０
第２课时 二次根式的乘除法和加减法
预习
目标
１.探究并掌握二次根式的乘除运算法则和加减运算法则.
２.会进行二次根式的乘除及加减运算.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ４３~４５的内容ꎬ回答下列问题:
１.(１)比一比ꎬ算一算ꎬ你能发现什么?
４×
２５＝ ꎻ
４×２５＝ .
９×
１６＝ ꎻ
９×１６＝ .
(２)把
ａｂ＝ａｂ(ａ≥０ꎬｂ≥０)等号的左边与右边对换ꎬ就得到二次根式的乘法法
则:
(ａ≥０ꎬｂ≥０).语言表述为:两个二次根式相乘ꎬ把被开方
数相乘ꎬ根指数不变.
２.(１)比一比ꎬ算一算ꎬ你能发现什么?
４
９
＝ ꎻ
４
９＝ .
１６
２５
＝ ꎻ
１６
２５＝ .
(２)把
ａ
ｂ＝ａ
ｂ
(ａ≥０ꎬｂ>０)等号的左边与右边对换ꎬ就得到二次根式的除法法则:
(ａ≥０ꎬｂ>０).语言表述为:两个二次根式相除ꎬ把被开方数相除ꎬ
根指数不变.
３.二次根式的加减法:二次根式相加减ꎬ可以先将二次根式化成最简二次根式ꎬ再将
相同的二次根式进行合并.
计算:
１２＋
２７＝２３＋ (化成最简二次根式)
＝(２＋ )× ３(分配律)
＝ .
成
果
检
测
１.计算:
(１)
３
５×
２０ꎻ(２)５３×５２ꎻ(３)
５
７÷
１０
２１ꎻ(４)
３×８
－２６
.
２.计算:
(１)
７５－
４８ꎻ(２)３２＋３－(２２＋３３)ꎻ(３) ５＋
４５－
１
５.
北师八年级数学上
状元成才路
１１
第３课时 二次根式的混合运算
预习
目标
１.掌握二次根式加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序ꎬ会利用有关运算公式和运算
律简化运算.
２.能利用二次根式的有关运算解决简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ４６~４７的内容ꎬ回答下列问题:
１.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样:先乘方、再
、最后
加减ꎬ有括号的先算括号里面的(或先去掉括号).
２.下列运算中正确的是( )
Ａ. ５－２＝３ Ｂ.２２＋３２＝６２
Ｃ. ６÷ ２＝３
Ｄ.( ２＋１)( ２－１)＝３
３.计算:(
３２－８)÷ ２＝ .
成
果
检
测
１.计算:６
１
３－( ３＋１)
２＝ .
２.计算:
(１)(４６－４
１
２＋３８)÷２２ꎻ
(２)( ３＋１)(３－３)ꎻ
(３)(－３＋２)
２.
第二章
状元成才路
１２
预习卡参考答案
第二章 实数
１ 认识无理数
【知识感知】 １.有理数 ２.较小的数
３.无限不循环小数
【成果检测】 １.Ｂ ２.Ｃ
３.整数 分数 夹逼
４.①②③④⑤ ⑥⑦⑧
２ 平方根
第１课时 算术平方根
【知识感知】 １.这个正数ｘ ４ ２.０ ０
【成果检测】 １.Ｂ
２.解:(１)６ꎻ(２) ３
８ꎻ(３)
１５ꎻ(４)０.３.
３.解:
７２
８００＝０.３(ｍ).
答:每一块地砖的边长是０.３ｍ.
第２课时 平方根
【知识感知】 １.不是 ±１ ±２ ±４ ± ３
５
２.平方根 二次方根 平方根
３.±３ ０ 没有 两 相反数 ０ 没有
４.被开方数
【成果检测】 １.Ｃ ２.Ｂ
３.(１)±１１ １１ (２)６４ ６４
４.解:(１)因为( ±１２)
２＝１４４ꎬ所以１４４的平
方根是±１２ꎬ即±
１４４＝±１２ꎻ
(２)因为( ± ７
１１)
２
＝４９
１２１ꎬ所以４９
１２１的平方根
是± ７
１１ꎬ即±
４９
１２１＝± ７
１１ꎻ
(３)因为( ±０.０２)
２＝０.０００４ꎬ所以０.０００４
的平方根是±０.０２ꎬ即±
０.０００４＝±０.０２ꎻ
(４)因为(±２５)
２＝(－２５)
２ꎬ所以(－２５)
２的
平方根是±２５ꎬ即±
(－２５)
２＝±２５ꎻ
(５)１１的平方根是±
１１.
３ 立方根
【知识感知】 １.这个数ｘ ａ －２ －８
三次根号ａ ０
２.开立方 被开方数 ａ
【成果检测】 １.Ｂ ２.－６ ３.±８ ４
４.解:(１)５ꎻ(２)－０.４ꎻ(３) ３
２.
４ 估算
【知识感知】 １.夹逼法 相邻整数 ２ ２ ３
【成果检测】 １.Ｃ ２.７.３
３.解:(１)因为７－１
２
－１＝７－３
２
ꎬ而２< ７<３ꎬ
所以７－３
２
<０ꎬ即７－１
２
<１.
(２)因为( ７)
２＝７ꎬ(２.６７)
２＝７.１２８９>７ꎬ
所以７<２.６７.
北师八年级数学上
状元成才路
１３
５ 用计算器开方
【知识感知】 １.被开方数
＝
Ｓ⇔Ｄ
ＳＨＩＦＴ
【成果检测】 １.Ｃ ２.Ｂ ３.１５.６３
４.解:(１)
１４<
３５６ꎻ(２)
３１００>
２１ꎻ
(３)－
２１<
３－０.０７.
６ 实数
【知识感知】 １.有理数 无理数
２.(１)－ａ (２)本身 相反数 ０ (３) １
ａ
(４)倒数
４.一一对应
【成果检测】 １.Ｂ ２.Ａ ３. ７
π
３ ２－３
４.解:(１)原式＝６３ꎻ
(２)原式＝７－２＋２＝７.
５.解:由数轴可知ꎬＡ表示的是πꎬＢ表示的
是－５ꎬＣ表示的是－１.５ꎬＤ表示的是３.
７ 二次根式
第１课时 二次根式及其性质
【知识感知】 １.二次根式 被开方数
２.(１)８ ８ １５ １５
(２)
ａｂ＝ａｂ(ａ≥０ꎬｂ≥０)
３.(１) ２
５
２
５
３
４
３
４
(２)
ａ
ｂ＝ａ
ｂ
(ａ≥０ꎬｂ>０)
４.(１)最简二次根式
【成果检测】 １.Ｄ ２.Ｄ ３.Ｂ
４.解:因为８＝２２ꎬ
１２＝２３ꎬ
２７＝３３ꎬ
１
２＝２
２ꎬ不是最简二次根式的形式ꎬ所
以最简二次根式有７ꎬ３.
５.解:(１)６３ꎻ(２) １０
３ꎻ(３)１０２ꎻ(４) ７ｂｂ
１３｜ａ｜.
第２课时 二次根式的乘除法和加减法
【知识感知】 １.(１)１０ １０ １２ １２
(２) ａｂ＝
ａｂ
２.(１) ２
３
２
３
４
５
４
５ (２) ａ
ｂ
＝
ａ
ｂ
３.被开方数 ３３ ３ ５３
【成果检测】 １.解:(１)２３ꎻ(２)２５６ꎻ
(３) ６
２ꎻ(４)－１.
２.解:(１) ３ꎻ(２) ２－２３ꎻ(３) １９
５
５.
第３课时 二次根式的混合运算
【知识感知】 １.乘除 ２.Ｃ ３.２
【成果检测】 １.－４
２. 解: ( １) 原式＝４
６÷ ２
２－４
１
２÷
２２＋３８÷２２＝２３－２２÷２２＋６２÷２２
＝２３－１＋３＝２３＋２ꎻ
(２)原式＝３３－３＋３－３＝２３ꎻ
(３)原式＝(－３)
２＋２×(－３) × ２＋( ２)
２＝９－
６２＋２＝１１－６２.
第二章
状元成才路
状元成才路
第三章 位置与坐标
１ 确定位置
１
２ 平面直角坐标系
２
第１课时认识平面直角坐标系
２
第２课时平面直角坐标系中点的坐标的特征
３
第３课时建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
４
３ 轴对称与坐标变化
５
预习卡参考答案
６
状元成才路
１
第三章 位置与坐标
１ 确定位置
预习
目标
１.初步了解确定位置的几种方法.
２.掌握并运用不同的方法确定物体的位置.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ５４~５６的内容ꎬ回答下列问题:
１.在平面内ꎬ确定一个物体的位置一般需要 个数据.
２.行列定位法:用 表示位置.
３.方位角加距离定位法:利用“方位角”和“ ”来确定位置.
４.经纬定位法:通过地球上的 可以确定一个地点在地球上的位置.
在地图上水平方向的线是纬线ꎬ表示纬度ꎻ竖直方向的线是 ꎬ表示经度.
指明一点的经度和纬度ꎬ就可以确定这一点在地球上的位置.
５.区域定位法:先将平面划分为横、纵区域ꎬ然后用横、纵区域的编号表示物体的位置.
６.方格定位法:表示方法为(横向格数ꎬ纵向格数)或(横向距离ꎬ纵向距离).
成
果
检
测
１.海事救灾船前去救援某海域着火轮船ꎬ需要确定( )
Ａ.方位角 Ｂ.距离
Ｃ.失火轮船的国籍
Ｄ.方位角和距离
２.第七届世界军人运动会在武汉举行ꎬ能够准确表示这个地点位置的是( )
Ａ.北纬３０.５２度
Ｂ.东经１１４.３１度
Ｃ.湖北东部
Ｄ.北纬３０.５２度ꎬ东经１１４.３１度
３.小明和小兰正在下围棋ꎬ小明想知道某个白棋与黑棋的具体位置ꎬ于是他做了以下
操作:
(１)如图ꎬ选取黑棋为参照点ꎬ过参照点画出表示东西和南北方向的直线ꎻ
(２)用量角器量出白棋相对于黑棋的方位角为北偏西 ꎻ
(３)用刻度尺量出白棋与黑棋之间的距离为 ｃｍꎻ
(４)用方位角和距离表示白棋的位置为 .
第三章
状元成才路
２
２ 平面直角坐标系
第１课时 认识平面直角坐标系
预习
目标
１.理解平面直角坐标系的相关概念ꎬ并能画出平面直角坐标系.
２.在给定的平面直角坐标系中ꎬ会根据坐标描出点的位置ꎬ由点的位置写出它的坐标.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ５８~６０的内容ꎬ回答下列问题:
１.在平面内ꎬ两条 且有 的数轴组成平面直角坐标系.
２.两条数轴分别置于水平位置与铅直位置ꎬ取
的方向分别为两条数轴的
正方向. 的数轴叫做ｘ轴或横轴ꎬ
的数轴叫做ｙ轴或纵轴ꎬｘ轴和
ｙ轴统称 ꎬ它们的公共原点Ｏ称为直角坐标系的 .
３.建立了平面直角坐标系以后ꎬ坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分ꎬ每个部分称
为象限ꎬ在图中分别标出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.
第３题图
第４题图
４.平面内的点可以用一组有序实数对来表示.如图ꎬ点Ｅ在平面直角坐标系中ꎬ点Ｅ的
坐标是 ꎬ点Ｅ到ｘ轴的距离是 ꎬ到ｙ轴的距离是 .
成
果
检
测
１.下列说法错误的是( )
Ａ.平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系
Ｂ.平面直角坐标系中的两条坐标轴是互相垂直的
Ｃ.平面直角坐标系中数轴习惯取向右、向上方向为正方向
Ｄ.平面直角坐标系的原点是两坐标轴的交点
２.如图ꎬ写出点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的坐标.
北师八年级数学上
状元成才路
３
第２课时 平面直角坐标系中点的坐标的特征
预习
目标
１.明确各象限内点的坐标的符号特点及特殊位置的点的坐标特点.
２.能够描出点的位置ꎬ连线构成图形.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ６２~６３的内容ꎬ回答下列问题:
１.点(ａꎬｂ)在平面直角坐标系中的位置决定该点的横、纵坐标的符号.如图ꎬ若点(ａꎬｂ)
在第一象限ꎬ则(＋ꎬ＋)ꎬ即ａ>０ꎬｂ>０.在图中横线上填上相应的符号.
２.特殊点的坐标特征:①ｘ轴上点的 为０ꎬｙ轴上点的
为０ꎬ原点的横
坐标、纵坐标都为０.原点既在ｘ轴上ꎬ又在ｙ轴上.
②与ｘ轴平行的直线上的所有点的 相同ꎬ与ｙ轴平行的直线上的所有点的
相同.
成
果
检
测
１.在平面直角坐标系中ꎬ已知点Ｐ(－４ꎬ－５)ꎬ则点Ｐ在( )
Ａ.第一象限 Ｂ.第二象限
Ｃ.第三象限
Ｄ.第四象限
２.若点Ｍ(４ꎬａ)与点Ｎ(ｂꎬ－３) 的连线平行于ｘ轴ꎬ并且点Ｍ与点Ｎ到ｙ轴的距离相
等ꎬ那么ａꎬｂ的值分别是 ꎬ .
３.在平面直角坐标系中描出下列各点ꎬ并将各点用线段顺次连接起来.
(１)(０ꎬ５)ꎬ(１ꎬ１)ꎬ(３ꎬ０)ꎬ(１ꎬ－１)ꎬ(０ꎬ－５)ꎬ(－１ꎬ－１)ꎬ(－３ꎬ０)ꎬ(－１ꎬ１)ꎬ(０ꎬ５)ꎻ
(２)观察描出的图形ꎬ它像什么?
第三章
状元成才路
４
第３课时 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
预习
目标
１.能根据所给图形的特点建立适当的平面直角坐标系.
２.能根据一些特殊点的坐标复原平面直角坐标系.
３.能建立适当的平面直角坐标系ꎬ描述物体的位置.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ６５~６６的内容ꎬ回答下列问题:
１.建立适当的平面直角坐标系ꎬ求已知点的坐标:
分析条件ꎬ选择适当的点作为
ꎬ过原点在两个互相
的方向上分别
作出ｘ轴与ｙ轴ꎬ确定正方向、单位长度.
建立平面直角坐标系的方法并不唯一ꎬ其原则为:运算简单ꎻ所得坐标简单.
２.根据已知点的坐标求其他点的坐标:
首先根据已知点的坐标确定原点的位置ꎬ然后再建立适当的平面直角坐标系ꎬ确定
正方向和单位长度ꎬ然后确定各点坐标.
成
果
检
测
１.若以Ｂ点为原点ꎬ建立平面直角坐标系ꎬＡ点坐标为(３ꎬ４)ꎬ则以Ａ点为原点ꎬ建立平
面直角坐标系ꎬＢ点坐标为( )
Ａ.(－３ꎬ－４) Ｂ.(－３ꎬ４) Ｃ.(３ꎬ－４) Ｄ.(３ꎬ４)
２.如图为等腰三角形ＡＢＣꎬ现要建立平面直角坐标系求各顶点的坐标ꎬ你认为最合理
的方法是( )
Ａ.以ＢＣ的中点Ｏ为坐标原点ꎬＢＣ所在的直线为ｘ轴ꎬＡＯ所在的直
线为ｙ轴
Ｂ.以点Ｂ为坐标原点ꎬＢＣ所在的直线为ｘ轴ꎬ过点Ｂ作ｘ轴的垂线为ｙ轴
Ｃ.以点Ａ为坐标原点ꎬ平行于ＢＣ的直线为ｘ轴ꎬ过点Ａ作ｘ轴的垂线为ｙ轴
Ｄ.以点Ｃ为坐标原点ꎬ平行于ＢＡ的直线为ｘ轴ꎬ过点Ｃ作ｘ轴的垂线为ｙ轴
３.如图是某乡镇的示意图(图中每个小正方形的边长均为１个单位长度).试建立平面
直角坐标系ꎬ用坐标表示各地的位置:
(１)如果已知王马村的坐标是(０ꎬ０)ꎬ请用坐标表示出大山
镇、爱心中学的位置ꎻ
(２)如果已知映月湖的坐标是(６ꎬ－３)ꎬ请用坐标表示出大
山镇、红旗乡的位置ꎻ
北师八年级数学上
状元成才路
５
３ 轴对称与坐标变化
预习
目标
１.能根据坐标之间的关系确定图形之间的关系.
２.掌握关于ｘ轴对称或关于ｙ轴对称的两个点的坐标之间的关系.
３.在平面直角坐标系中ꎬ以坐标轴为对称轴ꎬ能写出一个已知顶点坐标的多边形的对
称图形的顶点坐标ꎬ并知道对应顶点坐标之间的关系.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ６８~６９的内容ꎬ回答下列问题:
１.如图ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ点Ａ的坐标是
ꎬ点Ｂ
的坐标是 ꎬ点Ｃ的坐标是
ꎬ点Ｄ的坐
标是 .
(１)分别将点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的横坐标不变ꎬ纵坐标乘－１ꎬ所
得到的点Ａ′ꎬＢ′ꎬＣ′ꎬＤ′的坐标依次是 ꎬ
ꎬ
ꎬ
.在右图中描出点Ａ′ꎬＢ′ꎬ
Ｃ′ꎬＤ′ꎬ并顺次连接ꎬ可得长方形ＡＢＣＤ与长方形
Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′关于 对称.
总结:将图形上的每个点的横坐标不变ꎬ纵坐标乘－１ꎬ所得图形与原图形关于
对称.
(２)分别将点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的横坐标乘－１ꎬ纵坐标不变ꎬ所得到的点Ａ″ꎬＢ″ꎬＣ″ꎬＤ″的坐标
依次是 ꎬ ꎬ ꎬ .在上图中描出点Ａ″ꎬＢ″ꎬＣ″ꎬＤ″ꎬ
并顺次连接ꎬ可得长方形ＡＢＣＤ与长方形Ａ″Ｂ″Ｃ″Ｄ″关于 对称.
总结:将图形上的每个点的横坐标乘－１ꎬ纵坐标不变ꎬ所得图形与原图形关于
对称.
２.关于坐标轴对称的点的坐标特征:
①关于ｘ轴对称的两个点的坐标ꎬ横坐标相同ꎬ纵坐标互为相反数ꎬ即点Ｐ(ａꎬｂ)关于
ｘ轴对称的点为
.
②关于ｙ轴对称的两个点的坐标ꎬ纵坐标相同ꎬ横坐标互为相反数ꎬ即点Ｐ(ａꎬｂ)关于
ｙ轴对称的点为
.
成
果
检
测
１.在平面直角坐标系中ꎬ点Ｐ(－３ꎬ－５)关于ｙ轴对称的点的坐标是( )
Ａ.(３ꎬ－５) Ｂ.(－３ꎬ５) Ｃ.(３ꎬ５) Ｄ.(－３ꎬ－５)
２.在平面直角坐标系中ꎬ点Ａ(－３ꎬ８)的横坐标乘－１ꎬ纵坐标不变ꎬ得到点Ａ′ꎬ则点Ａ与
点Ａ′的位置关系是( )
Ａ.关于ｘ轴对称
Ｂ.关于ｙ轴对称
Ｃ.相距１个单位长度
Ｄ.以上都不对
３.如图ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ已知点Ａ( －２ꎬ－１)ꎬＢ(０ꎬ－３)ꎬＣ(１ꎬ－２)ꎬ请在图中画出
△ＡＢＣ和△ＡＢＣ关于ｘ轴对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１.
第三章
状元成才路
６
预习卡参考答案
第三章 位置与坐标
１ 确定位置
【知识感知】 １.两
２.行号和列号 ３.距离
４.经度和纬度 经线
【成果检测】 １.Ｄ ２.Ｄ
３.(２)５０° (３)１
(４)处于黑棋北偏西５０°方向ꎬ距离为１ｃｍ处
２ 平面直角坐标系
第１课时 认识平面直角坐标系
【知识感知】 １.互相垂直 公共原点
２.向右与向上 水平 铅直 坐标轴
原点
３.略 ４.(１ꎬ２) ２ １
【成果检测】 １.Ａ
２.解:Ａ(３ꎬ２)ꎬＢ(２ꎬ３)ꎬＣ(－３ꎬ３)ꎬＤ(－１ꎬ－３).
第２课时 平面直角坐标系中点的
坐标的特征
【知识感知】 １.略
２.①纵坐标 横坐标 ②纵坐标 横坐标
【成果检测】 １.Ｃ ２.－３ －４
３.解:(１)图略.(２)星星.
第３课时 建立适当的平面直角坐标系
描述图形的位置
【知识感知】 １.坐标原点 垂直
【成果检测】 １.Ａ ２.Ａ
３.解:(１) 大山镇的坐标是( －５ꎬ１)ꎬ爱心中
学的坐标是(１ꎬ５).
(２)大山镇的坐标是(０ꎬ－１)ꎬ红旗乡的坐
标是(２ꎬ１).
３ 轴对称与坐标变化
【知识感知】 １.(－４ꎬ３) (－４ꎬ１) (－１ꎬ１)
(－１ꎬ３)
(１)(－４ꎬ－３) (－４ꎬ－１) (－１ꎬ－１)
(－１ꎬ－３) ｘ轴 ｘ轴
(２)(４ꎬ３) (４ꎬ１) (１ꎬ１) (１ꎬ３) ｙ轴
ｙ轴
２.①(ａꎬ－ｂ) ②(－ａꎬｂ)
【成果检测】 １.Ａ ２.Ｂ ３.略
北师八年级数学上
状元成才路
状元成才路
第四章 一次函数
１ 函数
１
２ 一次函数与正比例函数
２
３ 一次函数的图象
３
第１课时正比例函数的图象及性质
３
第２课时一次函数的图象及性质
４
４ 一次函数的应用
５
第１课时借助一次函数表达式解决问题
５
第２课时借助单个一次函数图象解决问题
６
第３课时借助两个一次函数图象解决问题
７
预习卡参考答案
８
状元成才路
１
第四章 一次函数
１ 函数
预习
目标
１.了解函数的相关概念ꎬ并能判断两个变量间的关系是不是函数关系.
２.认识函数的三种表示方法ꎬ会根据两个变量之间的关系式求函数值.
３.能确定简单问题中函数自变量的取值范围.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ７５~７６的内容ꎬ回答下列问题:
１.函数的概念:一般地ꎬ如果在一个变化过程中有两个变量ｘ和ｙꎬ并且对于变量ｘ的
每一个值ꎬ变量ｙ都有唯一的值与它对应ꎬ那么我们称 是
的函数ꎬ
其中 是自变量.例:教材Ｐ７５图４－１中ꎬ当ｔ取定一个值时ꎬｈ
(填
“有”或“没有”)唯一确定的值与其对应ꎻ当ｈ取定一个值时ꎬｔ
(填“有” 或
“没有”)唯一确定的值与其对应ꎬ所以ｈ
( 填“ 是” 或“ 不是”) ｔ的函数ꎬ
ｔ (填“是”或“不是”)ｈ的函数.
２.(１)三种常用的表示函数的方法为: ꎬ ꎬ .
(２)小亮因感冒发烧住院治疗ꎬ护士为了较直观地反映某天２４小时内小亮的体温与
时间的关系ꎬ应选择( )
Ａ.列表法 Ｂ.图象法
Ｃ.关系式法
Ｄ.以上三种方法都可以
３.函数值:对于自变量在可取值范围内的一个确定的值ａꎬ函数有唯一确定的对应值ꎬ
称为当自变量等于ａ时的函数值.
成
果
检
测
１.若ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝３０ｘ－６ꎬ则当ｘ＝１
３时ꎬｙ的值为( )
Ａ.５ Ｂ.１０ Ｃ.４ Ｄ.－４
２.下列各式中ꎬｙ不是ｘ的函数的是( )
Ａ.ｙ＝｜ｘ｜
Ｂ.ｙ＝ｘ
Ｃ.ｙ＝－ｘ＋１
Ｄ.ｙ＝±ｘ
３.国庆节期间ꎬ妈妈给小明１００元钱ꎬ让他去水果店买苹果.已知苹果的售价为１２元/ ｋｇꎬ
小明购买ｘｋｇ苹果后剩余的钱为ｙ元.
(１)写出ｙ与ｘ之间的关系式ꎻ
(２)当小明购买了５ｋｇ苹果后ꎬ还剩余多少元?
第四章
状元成才路
２
２ 一次函数与正比例函数
预习
目标
１.掌握一次函数和正比例函数的概念.
２.会根据简单实际问题列一次函数关系式.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ７９~８０的内容ꎬ回答下列问题:
１.若两个变量ｘꎬｙ间的对应关系可以表示成ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋꎬｂ是常数ꎬｋ≠０)的形式ꎬ则称ｙ
是ｘ的 .特别地ꎬ当ｂ＝０时ꎬ称ｙ是ｘ的 .
示例:ｙ＝２ｘ＋１→ｋ＝ ꎬｂ＝
→ｙ是ｘ的 ꎻ
ｙ＝２ｘ→ｋ＝ ꎬｂ＝
→ｙ是ｘ的 .
２.正比例函数是特殊的一次函数.正比例函数一定是一次函数ꎻ反之ꎬ一次函数却不一
定是正比例函数.如函数ｙ＝３ｘ是正比例函数ꎬ也是特殊的一次函数ꎻ函数ｙ＝３ｘ＋１是
ꎬ不是 .(填“一次函数”或“正比例函数”)
３.列一次函数关系式并解决简单的问题:
列一次函数关系式的步骤:①认真分析ꎬ理解题意ꎻ②同列方程解应用题的思路一
样ꎬ找出
ꎻ③写出一次函数的关系式ꎻ④注意自变量ｘ的取值范围ꎬ对于
实际问题ꎬ还要考虑
要使实际问题有意义.
成
果
检
测
１.下列式子:①ｙ＝２ｘ－３ꎻ②ｙ＝２ｘꎻ③ｙ－ｘ
２＝ｘ(１－ｘ)ꎻ④ｘｙ＝ｘ－１ꎻ⑤ｙ＝ａｘ＋ａ.其中ｙ是ｘ的
一次函数的有 ꎻｙ是ｘ的正比例函数的有 .(填序号)
２.若ｙ＝ｍｘ＋ｍ－１是关于ｘ的正比例函数ꎬ则ｍ的值为 .
３.一棵树现在高５０ｃｍꎬ每个月长高２ｃｍꎬｘ个月后这棵树的高度为ｙｃｍ.ｙ是ｘ的一次
函数吗? 是正比例函数吗?
北师八年级数学上
状元成才路
３
３ 一次函数的图象
第１课时 正比例函数的图象及性质
预习
目标
１.理解函数图象的概念ꎬ了解作函数图象的一般步骤.
２.熟悉正比例函数的图象与性质.
３.能画出正比例函数的图象.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ８３~８４的内容ꎬ回答下列问题:
１.函数的图象:把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的
坐标和 坐标ꎬ在直角坐标系内描出相应的点ꎬ所有这些点组成的图形叫做
该函数的图象.
２.正比例函数的图象:
(１)正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象是一条经过原点(０ꎬ０)的直线.
(２)画正比例函数ｙ＝ｋｘ(ｋ≠０)的图象的步骤:
①列表:(一般取两点即可)
ｘ
０
１
ｙ
０
②描点:在平面直角坐标系内描出点(０ꎬ０)ꎬ(１ꎬ )ꎻ
③连线:过点(０ꎬ０)ꎬ(１ꎬ )画直线.(图略)
３.正比例函数ｙ＝ｋｘ(ｋ≠０)的性质:
(１)当ｋ>０时ꎬ直线ｙ＝ｋｘ经过第 象限ꎬ从左向右上升ꎬ即ｙ的值随着ｘ值的
增大而 ꎻ
(２)当ｋ<０时ꎬ直线ｙ＝ｋｘ经过第 象限ꎬ从左向右下降ꎬ即ｙ的值随着ｘ值的
增大而 .
成
果
检
测
１.当ｋ>０时ꎬ正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象大致是( )
２.已知正比例函数ｙ＝４ｘꎬ则ｙ的值随着ｘ值的增大而 .
３.画出正比例函数ｙ＝－１
４ｘ的图象.
第四章
状元成才路
４
第２课时 一次函数的图象及性质
预习
目标
１.熟悉一次函数的图象和性质.
２.能画出一次函数的图象.
３.了解一次函数图象的平移.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ８６~８７的内容ꎬ回答下列问题:
１.一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)的图象是一条直线ꎬ通常也称它为 .
２.一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０) 的图象的画法:只要确定两个点ꎬ再过这两点画直线即可ꎬ
一般选取与ｘ轴的交点 ꎬ与ｙ轴的交点 .
３.ｋꎬｂ的符号与一次函数图象的分布:
ｋꎬｂ的符号
ｋ ０
ｋ ０
ｂ>０
ｂ<０
ｂ>０
ｂ<０
直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ
的示意图
直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ
所经过的象限
第一、二、
三象限
第一、三、
四象限
第一、二、
四象限
第二、三、
四象限
４.一次函数的性质:
(１)当ｋ>０时ꎬ直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ从左向右上升ꎬｙ的值随着ｘ值的增大而 ꎻ
(２)当ｋ<０时ꎬ直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ从左向右下降ꎬｙ的值随着ｘ值的增大而 .
５.一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)的图象可以由直线ｙ＝ｋｘ平移｜ｂ｜个单位长度得到.
当ｂ>０时ꎬ向 平移ꎻ当ｂ<０时ꎬ向 平移.
成
果
检
测
１.若ｋ≠０ꎬｂ<０ꎬ则ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象可能是( )
２.要得到函数ｙ＝－６ｘ＋５的图象ꎬ只需将函数ｙ＝－６ｘ的图象( )
Ａ.向左平移５个单位长度 Ｂ.向右平移５个单位长度
Ｃ.向上平移５个单位长度
Ｄ.向下平移５个单位长度
３.已知点(－４ꎬａ)ꎬ(２ꎬｂ)在直线ｙ＝－ｘ＋２上ꎬ则ａꎬｂ的大小关系是 .
北师八年级数学上
状元成才路
５
４ 一次函数的应用
第１课时 借助一次函数表达式解决问题
预习
目标
会求一次函数和正比例函数的表达式.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ８９的内容ꎬ回答下列问题:
１.求函数表达式的步骤:
(１)设:根据已知条件设出含有待定系数的函数表达式.
(２)代:将ｘꎬｙ的几对值或图象上几个点的坐标代入上述函数表达式得到关于待定
系数的方程.
(３)解:解方程得出待定系数的值.
(４)写:将求出的待定系数的值代回ꎬ写出所设函数表达式.
２.已知直线ｌ经过点Ａ(４ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ３)ꎬ求直线ｌ的函数表达式.
(１)设直线ｌ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ.
(２)将点Ａ(４ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ３)代入ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ得
４ｋ＋ｂ＝０ꎬ①
ｂ＝３.②
(３)解方程:将②代入①ꎬ得ｋ＝ .
(４)将ｋꎬｂ的值代回所设函数表达式ꎬ得 .
３.要确定正比例函数的表达式需要知道图象上
个点的坐标ꎻ要确定一次函数
的表达式需要知道图象上 个点的坐标.
成
果
检
测
１.已知正比例函数的图象如图所示ꎬ则这个函数的表达式为( )
Ａ.ｙ＝ｘ
Ｂ.ｙ＝－２ｘ
Ｃ.ｙ＝－ｘ
Ｄ.ｙ＝－１
２ｘ
２.已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象如图所示.
(１)求ｋꎬｂ的值ꎻ
(２)当ｘ＝２时ꎬ求ｙ的值ꎻ当ｙ＝５时ꎬ求ｘ的值.
第四章
状元成才路
６
第２课时 借助单个一次函数图象解决问题
预习
目标
１.掌握一次函数与一元一次方程之间的关系ꎬ并能利用一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象确定
方程ｋｘ＋ｂ＝０的解.
２.会利用单个一次函数的图象解决简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ９１~９２的内容ꎬ回答下列问题:
１.单个一次函数图象与实际问题:
(１)利用一次函数解决实际问题ꎬ关键是分析题中的数量关系ꎬ联系实际生活及以前
学过的内容ꎬ将实际问题抽象、升华为一次函数模型ꎬ即建模ꎬ再利用一次函数的
性质解决问题.
(２)一次函数的应用主要有两种类型:给出了一次函数表达式ꎬ直接应用一次函数的
性质解决问题ꎻ只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的相关信息时ꎬ应先
求出函数表达式ꎬ再利用一次函数的性质解决问题.
２.一次函数与一元一次方程的关系:
由于任何一元一次方程都可以转化为ａｘ＋ｂ＝０(ａꎬｂ为常数ꎬａ≠０)的形式ꎬ所以解一
元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为０时ꎬ求相应的 的值.从图象
上看ꎬ这相当于已知直线ｙ＝ａｘ＋ｂꎬ确定它与ｘ轴的交点的
的值.
成
果
检
测
１.一次函数ｙ＝３ｘ－６的图象与ｘ轴的交点坐标为
ꎬ由此可得方程３ｘ－６＝０的
解为 .
２.一根弹簧原长１０ｃｍꎬ每挂１ｋｇ重物ꎬ弹簧便伸长２
３ｃｍꎬ它能挂的重物不超过１２ｋｇꎬ
写出挂重物后该弹簧的总长ｙ(ｃｍ)与所挂重物质量ｘ(ｋｇ)之间的关系式ꎬ并写出自
变量ｘ的取值范围.
北师八年级数学上
状元成才路
７
第３课时 借助两个一次函数图象解决问题
预习
目标
１.能通过函数图象获取信息ꎬ求出一次函数表达式ꎬ解决简单的实际问题.
２.会解决涉及两个一次函数图象的实际问题和根据函数图象做决策的问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ９３~９５的内容ꎬ回答下列问题:
１.两个一次函数图象与实际问题:
(１)在对两个函数图象共同分析时ꎬ一定要清楚两个函数图象 的意义.
(２)当图中出现两个函数图象时ꎬ要把每个函数图象所表示的意义弄清楚ꎬ不能混淆.
２.用一次函数确定最佳方案的一般步骤:
(１)从数学的角度分析实际问题ꎬ建立函数模型(往往有两个或两个以上的模型)ꎻ
(２)列出不等式(方程)ꎬ求出自变量在不同值时对应的函数值的大小关系ꎻ
(３)结合实际需求ꎬ选择最佳方案.
成
果
检
测
１.某公司准备与汽车租赁公司签订合同ꎬ以每月用车行
驶路程ｘｋｍ计算租赁费用ꎬ甲汽车租赁公司每月收取
的租赁费为ｙ１元ꎬ乙汽车租赁公司每月收取的租赁费
为ｙ２元.若ｙ１ꎬｙ２与ｘ之间的函数关系如图所示ꎬ其中
ｘ＝０时对应的函数值为月固定租赁费ꎬ则下列判断错
误的是( )
Ａ.当月用车行驶路程为２０００ｋｍ时ꎬ两家汽车租赁公司租赁费用相同
Ｂ.当月用车行驶路程为２３００ｋｍ时ꎬ租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
Ｃ.除去月固定租赁费ꎬ甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司多
Ｄ.除去月固定租赁费ꎬ甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司少
２.如图ꎬ已知Ａ地在Ｂ地正南方３ｋｍ处ꎬ甲、乙两人分别从ＡꎬＢ两地同时向正北方向
匀速直行ꎬ他们与Ａ地的距离ｓ(ｋｍ)与所行的时间ｔ(ｈ)之间的函数关系图象分别用
如图所示的ＡＣꎬＢＤ表示.当行走３ｈ后ꎬ甲、乙之间的距离是多少千米?
第四章
状元成才路
８
预习卡参考答案
第四章 一次函数
１ 函数
【知识感知】 １.ｙ ｘ
ｘ
有
没有
是
不是
２.(１)列表法 关系式法 图象法 (２)Ｂ
３.这个对应值
【成果检测】 １.Ｃ ２.Ｄ
３.解:(１)ｙ＝－１２ｘ＋１００ꎻ
(２)当ｘ＝５时ꎬｙ＝－１２×５＋１００＝４０.
答:当小明购买了５ｋｇ苹果后ꎬ还剩余４０元.
２ 一次函数与正比例函数
【知识感知】 １.一次函数 正比例函数
２ １ 一次函数 ２ ０ 正比例函数
２.一次函数 正比例函数
３.等量关系 自变量的取值
【成果检测】 １.①②③ ②③ ２.１
３.解:这棵树每个月长高２ｃｍꎬｘ个月后长高
２ｘｃｍꎬ所以ｙ＝５０＋２ｘ.ｙ是ｘ的一次函数ꎬ
但不是ｘ的正比例函数.
３ 一次函数的图象
第１课时 正比例函数的图象及性质
【知识感知】 １.横 纵 ２.(２)ｋ ｋ ｋ
３.一、三 增大 二、四 减小
【成果检测】 １.Ａ ２.增大
３.解:(１)列表:
ｘ
－２
－１
０
１
２
ｙ
１
２
１
４
０
－１
４－１
２
(２)描点:在平面直角坐标系内描出以表
中各组对应值为坐标的点.
(３)连线:把这些点依次连接起来ꎬ得到
ｙ＝－１
４ｘ的图象(如图)ꎬ它是一条直线.
第２课时 一次函数的图象及性质
【知识感知】 １.直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ
２. －ｂ
ｋꎬ０
(
) (０ꎬｂ) ３.> <
４.(１)增大 (２)减小 ５.上 下
【成果检测】 １.Ｂ ２.Ｃ ３.ａ>ｂ
４ 一次函数的应用
第１课时 借助一次函数表达式解决问题
【知识感知】 ２.(３)－３
４ (４)ｙ＝－３
４ｘ＋３
３.一 两
【成果检测】 １.Ｃ
２.解:(１) 由图象知ꎬ这个函数的图象经过
点(－２ꎬ０)ꎬ(０ꎬ－１).所以由ｘ＝０ꎬｙ＝－１ꎬ
得ｂ＝－１.由ｘ＝－２ꎬｙ＝０ꎬ得－２ｋ＋ｂ＝０ꎬ
解得ｋ＝－１
２.
(２)由(１)ꎬ得ｙ＝－１
２ｘ－１.
所以当ｘ＝２时ꎬｙ＝－１
２×２－１＝－２.
当ｙ＝５时ꎬ５＝－１
２ｘ－１ꎬ解得ｘ＝－１２.
北师八年级数学上
状元成才路
９
第２课时 借助单个一次函数图象解决问题
【知识感知】 ２.自变量 横坐标
【成果检测】 １.(２ꎬ０) ｘ＝２
２.解:设ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝
ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０).由题意ꎬ得当ｘ＝０时ꎬｙ＝１０ꎻ
当ｘ＝１时ꎬｙ＝１０２
３. 代入关系式ꎬ得
ｂ＝１０ꎬｋ＋ｂ＝１０２
３ꎬ解得ｋ＝２
３.所以ｙ与ｘ
之间的关系式为ｙ＝２
３ｘ＋１０ꎬ自变量ｘ的
取值范围为０≤ｘ≤１２.
第３课时 借助两个一次函数图象解决问题
【知识感知】 １.交点
【成果检测】 １.Ｄ
２.解:设ＢＤ对应的函数表达式为ｓ１＝ｋｔ＋ｂꎬ
ＡＣ对应的函数表达式为ｓ２＝ｍｔ.
由点(０ꎬ３)ꎬ(２ꎬ４)在ＢＤ上ꎬ得ｂ＝３ꎬ
２ｋ＋ｂ＝４.解得ｋ＝０.５.
则ｓ１＝０.５ｔ＋３.
由点(２ꎬ４)在ＡＣ上ꎬ得２ｍ＝４.解得ｍ＝２.
则ｓ２＝２ｔ.当ｔ＝３时ꎬｓ１＝４.５ꎬｓ２＝６.
ｓ２－ｓ１＝１.５(ｋｍ).
答:当行走３ｈ后ꎬ甲、乙之间的距离为
１.５ｋｍ.
第四章
状元成才路
状元成才路
第五章 二元一次方程组
１ 认识二元一次方程组
１
２ 求解二元一次方程组
２
第１课时用代入消元法解二元一次方程组
２
第２课时用加减消元法解二元一次方程组
３
３ 应用二元一次方程组———鸡兔同笼
４
４ 应用二元一次方程组———增收节支
５
５ 应用二元一次方程组———里程碑上的数
６
６ 二元一次方程与一次函数
７
７ 用二元一次方程组确定一次函数表达式
８
∗
８ 三元一次方程组
９
预习卡参考答案
１０
状元成才路
１
第五章 二元一次方程组
１ 认识二元一次方程组
预习
目标
１.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.
２.会判断一组数是不是某个二元一次方程(组)的解.
３.会列简单的二元一次方程和二元一次方程组ꎬ掌握用方程解决实际问题的方法.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１０３~１０５的内容ꎬ回答下列问题:
１.二元一次方程:情景导引中得到４个方程:ｘ－ｙ＝２ꎬｘ＋１＝２(ｙ－１)ꎬｘ＋ｙ＝８ꎬ５ｘ＋３ｙ＝３４.
上面每个方程含有 未知数ꎬ并且所含未知数的项的次数都是 的方
程叫做二元一次方程.
２.二元一次方程组:将上面两个方程合在一起ꎬ写成ｘ＋ｙ＝８ꎬ
５ｘ＋３ｙ＝３４ꎬ
{
这一组方程中共含有
未知数ꎬ含有未知数的项的次数都是 ꎬ并且一共有两个方程ꎬ像这
样的一组方程叫做二元一次方程组.
３.二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值ꎬ叫做二元一次方程
的一个解.例如ｘ＝２ꎬｙ＝６ (填“是”或“不是”)方程ｘ＋ｙ＝８的一个解.
４.二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的
解ꎬ叫做这个二元一
次方程组的解.
成
果
检
测
１.下列式子:①２ｘ－ｙꎻ②３(ｘ＋２ｙ)＝６ｙꎻ③ｘ＋２ｙ＝３ｚꎻ④ｘ－ｙ＝０ꎻ⑤１
ｘ＋ｙ＝１ꎻ⑥３ｘ－５ｙ
２
＝－１ꎻ
⑦３ｘ－ｙ
２＝１ꎻ⑧２ｘ(ｘ－１)＝ｘ
２＋ｙ.其中二元一次方程有( )
Ａ.２个 Ｂ.３个 Ｃ.４个 Ｄ.５个
２.下列方程组中ꎬ不是二元一次方程组的是( )
Ａ.
ｘ＝２ꎬ
ｙ＝３
{
Ｂ.
ｘ＋３ｙ＝２ꎬ
２ｘ－ｙ＝３
{
Ｃ.
ｘｙ＝４ꎬ
ｘ＋ｙ＝５
{
Ｄ.
ｘ＋ｙ＝２ꎬ
ｙ＝３ｘ
{
３.小明到商店购买班级活动奖品ꎬ购买２０支铅笔和１０本笔记本共需１１０元ꎬ但购买
３０支铅笔和５本笔记本只需８５元.设每支铅笔ｘ元ꎬ每本笔记本ｙ元ꎬ则可列方程组
为( )
Ａ.
２０ｘ＋３０ｙ＝１１０ꎬ
１０ｘ＋５ｙ＝８５
{
Ｂ.
２０ｘ＋１０ｙ＝１１０ꎬ
３０ｘ＋５ｙ＝８５
{
Ｃ.
２０ｘ＋５ｙ＝１１０ꎬ
３０ｘ＋１０ｙ＝８５
{
Ｄ.
ｘ＋２０ｙ＝１１０ꎬ
１０ｘ＋３０ｙ＝８５
{
４.下列各组数中ꎬ是方程３ｘ＋２ｙ＝７的解的是
ꎬ是方程组
３ｘ＋２ｙ＝７ꎬ
ｘ＋ｙ＝４
{
的解的是
.(填序号)
①ｘ＝１ꎬ
ｙ＝２ꎻ
{
②ｘ＝－１ꎬ
ｙ＝２ꎻ
{
③ｘ＝１ꎬ
ｙ＝－２ꎻ
{
④ｘ＝－１ꎬ
ｙ＝５.
{
第五章
状元成才路
２
２ 求解二元一次方程组
第１课时 用代入消元法解二元一次方程组
预习
目标
１.会用代入消元法解二元一次方程组.
２.经历用代入消元法解二元一次方程组的过程ꎬ了解解二元一次方程组的“消元” 思
想ꎬ体会“化未知为已知”的化归思想.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１０８~１０９的内容ꎬ回答下列问题:
１.消元:如果我们将本节引言中第一个方程ｘ－ｙ＝２改写为ｙ＝ ꎬ把改写后的ｙ
代入第二个方程ｘ＋１＝２(ｙ－１)中ꎬ这样我们就消去了未知数 ꎬ将二元一次
方程组转化为一元一次方程.
２.代入消元法:将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出
来ꎬ并代入另一个方程中ꎬ从而消去一个未知数ꎬ化二元一次方程组为一元一次方程.
这种解方程组的方法称为 ꎬ简称 .
３.代入消元法解二元一次方程组的步骤:解方程组:
ｘ－２ｙ＝５ꎬ①
２ｘ－ｙ＝４.②
{
解:由①ꎬ得ｘ＝２ｙ＋５.③
第一步
将③代入②ꎬ得２(２ｙ＋５)－ｙ＝４.
第二步
解所得的一元一次方程ꎬ得ｙ＝－２.
第三步
将ｙ＝－２代入③ꎬ得ｘ＝１.
第四步
所以原方程组的解是
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝－２.
{
第五步
成
果
检
测
１.用代入法解方程组
３ｘ＋４ｙ＝２ꎬ①
２ｘ－ｙ＝５
②
{
时ꎬ能使代入后比较容易的变形是( )
Ａ.由①ꎬ得ｘ＝２－４ｙ
３
Ｂ.由①ꎬ得ｙ＝２－３ｘ
４
Ｃ.由②ꎬ得ｙ＝２ｘ－５
Ｄ.由②ꎬ得ｘ＝ｙ＋５
２
２.方程组
ｘ－ｙ＝２ꎬ
ｘ＋２ｙ＝５
{
的解是 .
３.用代入消元法解下列方程组:(１)
３ｘ＋２ｙ＝８ꎬ
ｘ＝ｙ＋３
２ꎻ
{
(２)
ｘ＋ｙ＝５ꎬ
２ｘ－ｙ＝１.
{
北师八年级数学上
状元成才路
３
第２课时 用加减消元法解二元一次方程组
预习
目标
１.会用加减消元法解二元一次方程组.
２.通过利用加减消元法解二元一次方程组ꎬ进一步了解解二元一次方程组的“消元”思
想ꎬ体会“化未知为已知”的化归思想.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１１０~１１２的内容ꎬ回答下列问题:
用上一课时我们学习的代入消元法可以解二元一次方程组
３ｘ＋５ｙ＝２１ꎬ
２ｘ－５ｙ＝－１１ꎬ
{
那么我们能
用其他方法解这个方程组吗?
１.加减消元法:我们发现ꎬ上面二元一次方程组的两个方程中同一未知数ｙ的系数
ꎬ如果把这两个方程的两边分别相加ꎬ就能消去未知数 ꎬ得到一个
一元一次方程ꎬ这种方法叫做加减消元法ꎬ简称加减法.同样ꎬ如果两个方程中同一未
知数的系数相同时ꎬ把两个方程 可以消去这个未知数.
２.加减消元法解二元一次方程组的步骤:解方程组:
２ｘ＋３ｙ＝２ꎬ①
３ｘ－５ｙ＝３.②
{
解:①×５ꎬ得１０ｘ＋１５ｙ＝１０.③
第一步
②×３ꎬ得９ｘ－１５ｙ＝９.④
第二步
③＋④ꎬ得１９ｘ＝１９.
第三步
解得ｘ＝１.
第四步
将ｘ＝１代入①ꎬ得２＋３ｙ＝２ꎬ解得ｙ＝０.
第五步
所以原方程组的解是
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝０.
{
第六步
成
果
检
测
１.方程组
４ｘ＋１０ｙ＝１１ꎬ①
１５ｘ－１０ｙ＝８②
{
中ꎬ方程①的ｙ的系数与方程②的ｙ的系数 ꎬ由
①＋②可消去未知数 ꎬ从而得到 ꎬ则ｘ＝ ꎬ将其代入
中ꎬ可得ｙ＝ .
２.用加减消元法解下列二元一次方程组:
(１)
ｘ＋ｙ＝２ꎬ
ｘ－２ｙ＝－１ꎻ
{
(２)
ｘ＋３ｙ＝５ꎬ
２ｘ－ｙ＝３ꎻ
{
(３)
１
３ｘ＋１
４ｙ－２＝０ꎬ
５
２ｘ－ｙ
２＝１５.
ì
î
í
ïï
ïï
第五章
状元成才路
４
３ 应用二元一次方程组———鸡兔同笼
预习
目标
１.能分析简单问题中的数量关系ꎬ建立二元一次方程组解决实际问题.
２.掌握列二元一次方程组解古算问题与“和、差、倍、分”问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１１５~１１６的内容ꎬ回答下列问题:
１.阅读引言中的题目:“今有雉(鸡)兔同笼ꎬ上有三十五头ꎬ下有九十四足.问雉兔各几何?”
(１)理解“上有三十五头”ꎬ说的是鸡和兔的头共３５个ꎬ得关系式: ＋
＝３５ꎻ
(２)理解“下有九十四足”ꎬ说的是鸡和兔的脚共有９４只ꎬ注意一只鸡有２只脚ꎬ一只
兔有４只脚ꎬ得关系式: ＋
＝９４.
(３)设笼中有鸡ｘ只、兔ｙ只ꎬ列方程组得
ｘ＋ｙ＝３５ꎬ
.
{
解得
ｘ＝ ꎬ
ｙ＝ .
{
答:笼中有鸡 只、兔 只.
２.“和、差、倍、分”问题:两数和＝较大的数＋较小的数ꎻ较大的数＝较小的数×倍数±增
(或减)数.
成
果
检
测
１.我国古代数学著作«增删算法统宗»记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索ꎬ索比
竿子长一托.折回索子却量竿ꎬ却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索ꎬ
用绳索去量竿ꎬ绳索比竿长５尺ꎻ如果将绳索对半折后再去量竿ꎬ就比竿短５尺.设绳
索长ｘ尺ꎬ竿长ｙ尺ꎬ则符合题意的方程组是( )
Ａ.
ｘ＝ｙ＋５ꎬ
１
２ｘ＝ｙ－５
{
Ｂ.
ｘ＝ｙ－５ꎬ
１
２ｘ＝ｙ＋５
{
Ｃ.
ｘ＝ｙ＋５ꎬ
２ｘ＝ｙ－５
{
Ｄ.
ｘ＝ｙ－５ꎬ
２ｘ＝ｙ＋５
{
２.«九章算术»方程问题:五只雀ꎬ六只燕ꎬ共重１斤(等于１６两)ꎬ雀重燕轻ꎬ互换其中
一只ꎬ恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?
北师八年级数学上
状元成才路
５
４ 应用二元一次方程组———增收节支
预习
目标
１.能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系ꎬ能建立方程组解决销售类问题.
２.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程ꎬ体会方程(组)是刻画实际数量关
系的有效数学模型ꎬ发展模型思想和应用意识.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１１７~１１８的内容ꎬ回答下列问题:
阅读引言中的题目ꎬ弄清题意ꎬ写出等量关系为:
今年总收入＝去年总收入× ꎻ
今年总支出＝去年总支出× ꎻ
利润＝总收入－总支出.
解:设去年的总收入为ｘ万元ꎬ总支出为ｙ万元ꎬ则有
总收入/ 万元
总支出/ 万元
利润/ 万元
去年
ｘ
ｙ
２００
今年
列方程组得: 解得:
因此ꎬ去年总收入是 万元ꎬ总支出是 万元.
成
果
检
测
１.某市现有４２万人口ꎬ预计一年后城镇人口增加０.８％ꎬ农村人口增加１.１％ꎬ这样全市
人口将增加１％ꎬ则这个城镇现有的城镇人口为( )
Ａ.１５万人 Ｂ.１４万人 Ｃ.１３万人 Ｄ.１２万人
２.某公司欲购进甲、乙两种货物ꎬ设甲、乙两种货物的进货价分别为ｘ元、ｙ元.若已知
两种货物的进货价共３００００元ꎬ则可列方程
ꎻ若共获利３１５０元ꎬ已
知甲种货物的利润率是１０％ꎬ乙种货物的利润率是１１％ꎬ则可列方程 ꎬ
由此可得方程组 .
３.用甲、乙两种原料配制某种营养液ꎬ已知这两种原料的维生素Ｃ含量及价格如下表:
甲种原料
乙种原料
维生素Ｃ/ (单位/ ｋｇ)
６００
１００
原料价格/ (元/ ｋｇ)
８
４
现要求用７２元钱配制含５０００单位的维生素Ｃ的一种营养液ꎬ则应买甲种原料
ｋｇꎬ乙种原料 ｋｇ.
第五章
状元成才路
６
５ 应用二元一次方程组———里程碑上的数
预习
目标
１.利用二元一次方程组解决各种行程问题和数字问题.
２.培养分析和解决实际问题的能力.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１２０~１２１的内容ꎬ回答下列问题:
引言中图片的意思是:
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶ꎬ小明每隔一小时看到的里程碑
上的数字情况如下:１２:００时ꎬ是一个两位数ꎬ它的两个数字之和为７ꎻ１３:００时ꎬ十位与
个位数字与１２:００时看到的正好互换了ꎻ１４:００时ꎬ比１２:００时看到的两位数中间多了
个０.你能确定小明在１２:００时看到的里程碑上的数字吗?
１.如果设小明在１２:００时看到的十位数字是ｘꎬ个位数字是ｙꎬ那么１２:００时小明看到
的数可表示为 ꎬ根据两个数字之和是７ꎬ可列出方程 .
２.１３:００时小明看到的数可表示为
ꎻ１２:００~ １３:００间摩托车行驶的路
程是 .
３.１４:００时小明看到的数可表示为
ꎻ１３:００~ １４:００间摩托车行驶的路
程是 .
４.１２:００~１３:００与１３:００~１４:００两段时间内摩托车因为都匀速行驶１小时ꎬ所以行驶
路程相等ꎬ列方程组得 ꎬ解这个方程组ꎬ得
.因此ꎬ小
明在１２:００时看到的里程碑上的数是 .
成
果
检
测
１.一个两位数的十位数字与个位数字的和是７ꎬ如果这个两位数加上４５ꎬ则恰好成为个
位数字与十位数字对调后组成的两位数ꎬ则原来的两位数为( )
Ａ.１６ Ｂ.２５ Ｃ.３４ Ｄ.４３
２.甲、乙两人在一个环形场地上从同一地点同时同向匀速跑步ꎬ甲的速度是乙的
２.５倍ꎬ４ｍｉｎ后两人首次相遇ꎬ此时乙还需要跑３００ｍ才跑完第一圈ꎬ求甲、乙两人的
速度及环形场地的周长.
北师八年级数学上
状元成才路
７
６ 二元一次方程与一次函数
预习
目标
１.用数形结合思想领悟二元一次方程与一次函数的关系.
２.了解二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系.
３.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１２３~１２４的内容ꎬ回答下列问题:
自主探索方程的解与图象之间的关系ꎬ探究方程与函数的相互转化.
１.解方程组
ｘ＋ｙ＝５ꎬ
２ｘ－ｙ＝１ꎬ
{
解得 .
２.上述方程移项变形转化为两个一次函数ｙ＝－ｘ＋５和ｙ＝２ｘ－１ꎬ在同一平面直角坐标
系内分别作出这两个函数的图象(教材Ｐ１２３图５－１).
得出交点坐标为 .
３.方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系?
成
果
检
测
１.已知方程ｋｘ＋ｂ＝０的解是ｘ＝２ꎬ则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象可能是( )
２.如图ꎬ函数ｙ＝ｘ
２与ｙ＝－ｘ＋３的图象相交于点Ａꎬ那么方程组
ｘ－２ｙ＝０ꎬ
ｘ＋ｙ＝３
{
的解
为 .
第五章
状元成才路
８
７ 用二元一次方程组确定一次函数表达式
预习
目标
１.进一步理解二元一次方程组与一次函数之间的联系ꎬ体会知识之间的普遍联系和知
识之间的相互转化.
２.了解待定系数法ꎬ会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１２６~１２７的内容ꎬ回答下列问题:
阅读引言中的题目:
ＡꎬＢ两地相距１００ｋｍꎬ甲、乙两人骑车同时分别从ＡꎬＢ两地相向而行.假设他们都
保持匀速行驶ꎬ则他们各自到Ａ地的距离ｓ(ｋｍ)都是骑车时间ｔ(ｈ) 的一次函数ꎬ１ｈ
后乙距离Ａ地８０ｋｍꎻ２ｈ后甲距离Ａ地３０ｋｍ.经过多长时间两人将相遇?
分析:对于乙ꎬｓ是ｔ的一次函数ꎬ可以设ｓ＝ｋｔ＋ｂ.当ｔ＝０时ꎬｓ＝１００ꎻ当ｔ＝１时ꎬｓ＝
８０.将两组数值分别代入ｓ＝ｋｔ＋ｂ中ꎬ得方程组
１００＝ｂꎬ
８０＝ｋ＋ｂ.
{
解得
ｋ＝ ꎬ
ｂ＝ .
{
所以乙对
应的ｓ与ｔ之间的函数表达式为 .
对于甲ꎬｓ是ｔ的正比例函数ꎬ可以设ｓ＝ｋｔ.当ｔ＝２时ꎬｓ＝３０.代入ｓ＝ｋｔ中ꎬ得３０＝
２ｋꎬ解得ｋ＝ ꎬ所以甲对应的ｓ与ｔ之间的函数表达式为 .
联立上述的函数表达式ꎬ组成新的二元一次方程组ꎬ得
ꎬ解得
ꎬ
所以经过 ｈ后甲、乙两人将相遇.
像本例这样ꎬ先设出函数表达式ꎬ再根据所给条件确定表达式中未知的系数ꎬ从而
得到函数表达式的方法ꎬ叫做 .
成
果
检
测
１.已知直线ＡＢ经过点Ａ(１ꎬ－３)ꎬＢ(－２ꎬ－９)ꎬ则直线ＡＢ的表达式为 .
２.在一次蜡烛燃烧实验中ꎬ蜡烛燃烧时剩余部分的高度ｙ(ｃｍ)是燃烧时间ｘ(ｈ)的一次
函数.根据图象提供的信息ꎬ回答下列问题:
(１)求出蜡烛燃烧时ｙ与ｘ之间的函数表达式ꎻ
(２)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间.
北师八年级数学上
状元成才路
９
∗
８ 三元一次方程组
预习
目标
１.了解三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念.
２.能用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组.
３.会列三元一次方程组解决简单的实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１２９~１３０的内容ꎬ回答下列问题:
阅读引言中的题目ꎬ回答问题.
如果设这三个数分别为ｘꎬｙꎬｚꎬ由题意可得方程组
ｘ＋ｙ＋ｚ＝２３ꎬ
ｘ－ｙ＝１ꎬ
２ｘ＋ｙ－ｚ＝２０.
ì
î
í
ïï
ïï
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系?
在这个方程组中ꎬｘ＋ｙ＋ｚ＝２３和２ｘ＋ｙ－ｚ＝２０都含有
个未知数ꎬ并且所含
未知数的项的次数都是 ꎬ这样的方程叫做三元一次方程.
像这样ꎬ共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程ꎬ叫做三元一次方
程组.
三元一次方程组中各个方程的 ꎬ叫做这个三元一次方程组的解.
尝试解这个方程组:基本思路是“消元”———“三元”→“二元”→“一元”.
ｘ＋ｙ＋ｚ＝２３ꎬ
ｘ－ｙ＝１ꎬ
２ｘ＋ｙ－ｚ＝２０.
ì
î
í
ïï
ïï
解得 .
成
果
检
测
１.方程组
ｘ＋ｙ＝１ꎬ
ｙ＋ｚ＝２ꎬ
ｚ＋ｘ＝３
ì
î
í
ïï
ïï
的解是( )
Ａ.
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝２ꎬ
ｚ＝３
ì
î
í
ïï
ïï
Ｂ.
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝０ꎬ
ｚ＝２
ì
î
í
ïï
ïï
Ｃ.
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝－２ꎬ
ｚ＝３
ì
î
í
ïï
ïï
Ｄ.
ｘ＝０ꎬ
ｙ＝２ꎬ
ｚ＝１
ì
î
í
ïï
ïï
２.甲、乙、丙三个班的学生共植树６６棵ꎬ甲班植树的棵数是乙班植树棵数的２倍ꎬ丙班
与乙班植树的棵数的比为２∶３ꎬ则甲班植树
棵ꎬ乙班植树
棵ꎬ丙班植树
棵.
第五章
状元成才路
１０
预习卡参考答案
第五章 二元一次方程组
１ 认识二元一次方程组
【知识感知】 １.两个 １ ２.两个 １
３.是 ４.公共
【成果检测】 １.Ａ ２.Ｃ ３.Ｂ
４.①④ ④
２ 求解二元一次方程组
第１课时 用代入消元法解二元一次方程组
【知识感知】 １.ｘ－２ ｙ
２.代入消元法 代入法
【成果检测】 １.Ｃ ２.
ｘ＝３ꎬ
ｙ＝１
{
３.解:(１)
ｘ＝２ꎬ
ｙ＝１.
{
(２)
ｘ＝２ꎬ
ｙ＝３.
{
第２课时 用加减消元法解二元一次方程组
【知识感知】 １.互为相反数 ｙ 相减
【成果检测】 １.互为相反数 ｙ １９ｘ＝１９
１ ①
７
１０
２.解:(１)
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝１ꎻ
{
(２)
ｘ＝２ꎬ
ｙ＝１ꎻ
{
(３)
ｘ＝６ꎬ
ｙ＝０.
{
３ 应用二元一次方程组———鸡兔同笼
【知识感知】 １.(１)鸡的只数 兔的只数
(２)鸡的只数×２ 兔的只数×４
(３)２ｘ＋４ｙ＝９４ ２３ １２ ２３ １２
【成果检测】 １.Ａ
２.解:设每只雀、燕的重量各为ｘ两、ｙ两ꎬ根
据题意ꎬ得
５ｘ＋６ｙ＝１６ꎬ
４ｘ＋ｙ＝５ｙ＋ｘ.
{
解得
ｘ＝３２
１９ꎬ
ｙ＝２４
１９.
ì
î
í
ïï
ïï
答:每只雀、燕的重量各为３２
１９两、２４
１９两.
４ 应用二元一次方程组———增收节支
【知识感知】 (１＋２０％) (１－１０％)
(１＋２０％)ｘ (１－１０％)ｙ ７８０
ｘ－ｙ＝２００ꎬ
(１＋２０％)ｘ－(１－１０％)ｙ＝７８０
{
ｘ＝２０００ꎬ
ｙ＝１８００
{
２０００ １８００
【成果检测】 １.Ｂ
２.ｘ＋ｙ＝３００００ １０％ｘ＋１１％ｙ＝３１５０
ｘ＋ｙ＝３００００ꎬ
１０％ｘ＋１１％ｙ＝３１５０
{
３.８ ２
５ 应用二元一次方程组———里程碑上的数
【知识感知】 １.１０ｘ＋ｙ ｘ＋ｙ＝７
２.１０ｙ＋ｘ (１０ｙ＋ｘ)－(１０ｘ＋ｙ)
３.１００ｘ＋ｙ (１００ｘ＋ｙ)－(１０ｙ＋ｘ)
４.
ｘ＋ｙ＝７ꎬ
(１００ｘ＋ｙ)－(１０ｙ＋ｘ)＝(１０ｙ＋ｘ)－(１０ｘ＋ｙ)
{
ｘ＝１ꎬ
ｙ＝６
{
１６
【成果检测】 １.Ａ
２.解:设乙的速度为ｘｍ/ ｍｉｎꎬ则甲的速度为
北师八年级数学上
状元成才路
１１
２.５ｘｍ/ ｍｉｎꎬ场地周长为ｙｍꎬ根据题意ꎬ得
４(２.５ｘ－ｘ)＝ｙꎬ
４ｘ＋３００＝ｙ.
{
解得
ｘ＝１５０ꎬ
ｙ＝９００.
{
则２.５ｘ＝２.５×１５０＝３７５.
答:甲的速度为３７５ｍ/ ｍｉｎꎬ乙的速度为
１５０ｍ/ ｍｉｎꎬ环形场地的周长为９００ｍ.
６ 二元一次方程与一次函数
【知识感知】 １.
ｘ＝２ꎬ
ｙ＝３
{
２.(２ꎬ３)
３.解:二元一次方程组的解可以转化为两条
直线的交点的横、纵坐标.
【成果检测】 １.Ｃ ２.
ｘ＝２ꎬ
ｙ＝１
{
７ 用二元一次方程组确定一次函数表达式
【知识感知】 －２０ １００ ｓ＝－２０ｔ＋１００
１５ ｓ＝１５ｔ
ｓ＝－２０ｔ＋１００ꎬ
ｓ＝１５ｔ
{
ｔ＝２０
７ꎬ
ｓ＝３００
７
ì
î
í
ïï
ïï
２０
７ 待定系数法
【成果检测】 １.ｙ＝２ｘ－５
２.解:(１)设ｙ＝ｋｘ＋ｂ.因为图象过点(０ꎬ２４)
与(２ꎬ１２)ꎬ所以
２４＝ｂꎬ
１２＝２ｋ＋ｂ.
{
解得
ｋ＝－６ꎬ
ｂ＝２４.
{
所以蜡烛燃烧时ｙ与ｘ之间的函数表达式
为ｙ＝－６ｘ＋２４.
(２)当ｙ＝０时ꎬ０＝－６ｘ＋２４ꎬ解得ｘ＝４.
答:蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为４ｈ.
∗
８ 三元一次方程组
【知识感知】 区别:未知数个数和方程都比
二元一次方程组多一个.相同之处:未知数
次数都是一次.
三 １ 公共解
ｘ＝９ꎬ
ｙ＝８ꎬ
ｚ＝６
ì
î
í
ïï
ïï
【成果检测】 １.Ｂ
２.３６ １８ １２
第五章
状元成才路
状元成才路
第六章 数据的分析
１ 平均数
１
第１课时平均数
１
第２课时加权平均数的应用
２
２ 中位数与众数
３
３ 从统计图分析数据的集中趋势
４
４ 数据的离散程度
６
第１课时极差、方差和标准差
６
第２课时方差的应用
７
预习卡参考答案
８
状元成才路
１
第六章 数据的分析
１ 平均数
第１课时 平均数
预习
目标
１.掌握算术平均数、加权平均数的概念ꎬ会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
２.体会算术平均数和加权平均数的联系和区别ꎬ并能利用它们解决实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１３６~１３８的内容ꎬ回答下列问题:
１.算术平均数的概念:
一般地ꎬ对于ｎ个数ｘ１ꎬｘ２ꎬꎬｘｎꎬ我们把
叫做这ｎ个数的算
术平均数ꎬ简称平均数ꎬ记为 ꎬ读作“ｘ拔”.
２.求一组数据的算术平均数的方法:
将所有数据加起来求出总和ꎬ再除以
.例:数据－１ꎬ０ꎬ１ꎬ２ꎬ３的平均数ｘ＝
＝ .
３.加权平均数的概念:
若ｎ个数ｘ１ꎬｘ２ꎬꎬｘｎ的权分别是ｗ１ꎬｗ２ꎬꎬｗｎꎬ则
叫做这
ｎ个数的加权平均数.
４.已知一组数据２４ꎬ１２ꎬ４的权分别是１
６ꎬ１
３ꎬ１
２ꎬ则这组数据的加权平均数是
.
成
果
检
测
１.某科普小组有５名成员ꎬ身高分别为１６０ｃｍꎬ１６５ｃｍꎬ１７０ｃｍꎬ１６３ｃｍꎬ１６７ｃｍꎬ这５名
成员的平均身高是( )
Ａ.１６４ｃｍ Ｂ.１６５ｃｍ Ｃ.１６６ｃｍ Ｄ.１６７ｃｍ
２.数学期末总评成绩由作业分数、课堂参与分数、期考分数三部分组成ꎬ并按３∶３∶４的
比例确定.已知小明的期考８０分ꎬ作业９０分ꎬ课堂参与８５分ꎬ则他的总评成绩为
多少?
第六章
状元成才路
２
第２课时 加权平均数的应用
预习
目标
１.会求加权平均数ꎬ体会权的差异对平均数的影响.
２.理解算术平均数和加权平均数的联系与区别ꎬ能利用平均数解决实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１３９~１４０的内容ꎬ回答下列问题:
１.加权平均数的应用:
在实际问题中ꎬ一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同ꎬ即数据的权不一样.
数据的权越大ꎬ其重要性 ꎬ反之则 .
２.某校规定学生的体育成绩由三部分组成ꎬ早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的
１５％ꎬ体育理论测试占３５％ꎬ体育技能测试占５０％ꎬ小刚的上述三项成绩依次是
９４分、９０分、９６分ꎬ则小明这学期的体育成绩是多少分?
成
果
检
测
１.某公司要招聘一名大学应届毕业生ꎬ公司对入围的甲、乙两名候选人进行了三项测
试ꎬ成绩如下:
能力
技能
学业
甲
９５分
８４分
６１分
乙
８７分
８０分
７７分
根据实际需要ꎬ规定能力、技能、学业三项测试得分按５∶３∶２的比例统计个人的测试
成绩ꎬ得分高者被录取ꎬ此时 将被录取.
２.为了鉴定某种灯泡的质量ꎬ对其中１００只灯泡的使用寿命(单位:ｈ) 进行测试ꎬ结果
如下表:
寿命/ ｈ
４５０
５００
５５０
６００
６５０
７００
只数
１０
１８
２０
３０
１５
７
求这些灯泡的平均使用寿命.
北师八年级数学上
状元成才路
３
２ 中位数与众数
预习
目标
１.掌握中位数与众数的概念ꎬ能根据所给的信息求出相应数据的中位数、众数.
２.能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别ꎬ能选择恰当的数据代表描
述一组数据的集中趋势.
３.能从条形统计图、扇形统计图中获取信息ꎬ并能求出相关数据的平均数、中位数和众数.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１４２~１４３的内容ꎬ回答下列问题:
１.中位数:一般地ꎬｎ个数据按大小顺序排列ꎬ处于最中间位置的一个数据(或最中间两
个数据的平均数)叫做这组数据的 .如果数据的个数是奇数ꎬ那么
位置的数为中位数ꎻ如果数据的个数是偶数ꎬ则称
的平均数为这组数
据的中位数.例如:数据２ꎬ６ꎬ５ꎬ２ꎬ４的中位数是 ꎬ将这组数据新加一个数０ꎬ
新数据组的中位数是 .
２.众数:一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的
.例如:数
据５ꎬ５ꎬ６ꎬ６ꎬ６ꎬ７ꎬ７的众数是 .
３.平均数、中位数、众数都可以反映一组数据的
ꎬ它们各有自己的特点ꎬ能
从不同的角度提供信息.在实际应用中ꎬ需要分析具体问题情况ꎬ选取适当的量反映
数据的集中趋势.
成
果
检
测
１.五名女生的体重(单位:ｋｇ)分别为３７ꎬ４０ꎬ３８ꎬ４２ꎬ４２ꎬ这组数据的众数和中位数分别
是( )
Ａ.２ꎬ４０ Ｂ.４２ꎬ３８ Ｃ.４０ꎬ４２ Ｄ.４２ꎬ４０
２.有１３位同学参加学校组织的才艺表演比赛.已知他们所得的分数互不相同ꎬ共设
７个获奖名额.某同学已知自己的比赛分数后ꎬ要判断自己能否获奖ꎬ在１３名同学成
绩的统计量中只需知道一个量ꎬ它是( )
Ａ.众数
Ｂ.方差
Ｃ.中位数
Ｄ.平均数
３.某公司销售部有销售人员１５人ꎬ销售部为了制定某种商品的月销售量ꎬ统计了这
１５人某月的销售量ꎬ如下表所示:
每人销售件数
１１４０
５２０
４５０
３７０
２１０
１８０
人数
１
１
３
５
３
２
(１)这１５位销售人员该月销售量的平均数为
件ꎬ中位数为
件ꎬ众
数为 件ꎻ
(２)假设销售部经理把每位销售人员的月销售量定为３９０件ꎬ你认为是否合理ꎬ为
什么?
第六章
状元成才路
４
３ 从统计图分析数据的集中趋势
预习
目标
１.能从条形统计图、扇形统计图、折线统计图中获取信息ꎬ求出或估计相关数据的平均
数、中位数、众数.
２.掌握描述一组数据集中趋势的方法ꎬ能用统计知识描述、分析数据及解决实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１４５~１４６的内容ꎬ回答下列问题:
１.从条形统计图分析数据的集中趋势:
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数量ꎬ直条越
( 填“ 高” 或
“低”)对应的具体数量就越多.从条形统计图中可以得出以下结论:
①最高的直条所对的横轴上的数就是 ꎻ
②确定中间位置的数是第ｎ个数ꎬ按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和ꎬ
和为ｎ时对应的横轴上的数就是
(若处于中间位置的数有两个ꎬ则求这
两个数的平均数)
③从统计图中读出各类数据ꎬ按平均数的计算公式计算平均数即可.
例如:如图①是根据某班４０名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图ꎬ那么该
班４０名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 .
图①
图②
图③
２.从扇形统计图分析数据的集中趋势:
扇形统计图能直观、生动地反映各部分在总体中所占比例ꎬ扇形越大ꎬ则对应的部分
所占比例就 ꎬ扇形越小ꎬ则对应的部分所占比例就
.从扇形统计图
中可以得出以下结论:
①从扇形统计图中读取所占比例最大的部分对应的数就是 ꎻ
②按从小到大的顺序计算所占百分比之和ꎬ和为５０％和５１％时对应的部分的平均数
就是 ꎻ
③从统计图中读出各类数据ꎬ按平均数的计算公式计算平均数即可.
例如:在一次爱心捐款中ꎬ某班有４０名学生积极献爱心.有的捐５元ꎬ有的捐１０元ꎬ
有的捐２０元ꎬ有的捐５０元ꎬ如图②反映了不同捐款的人数比例ꎬ那么这个班的学生
捐款的众数是 .
北师八年级数学上
状元成才路
５
３.从折线统计图分析数据的集中趋势:
折线统计图能够清晰地反映数据的变化趋势或情况.从折线统计图中可以直接读取
一组数据ꎬ然后分析这组数据可计算出平均数、中位数、众数.但要注意折线统计图的
横轴和纵轴所代表的意义.
例如:在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中ꎬ某校１０名学生参赛成绩统计如图③
所示.对于这１０名学生的参赛成绩的平均数是 .
成
果
检
测
１.小华班上比赛投篮ꎬ每人投６球ꎬ如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图.根据
图形ꎬ下列关于班上所有学生投进球数的统计量正确的是( )
Ａ.中位数为３ Ｂ.中位数为２.５ Ｃ.众数为５ Ｄ.众数为２
第１题图
第２题图
第３题图
２.某班组织“捐零花钱ꎬ献爱心”活动ꎬ全班５０名学生的捐款情况如图所示ꎬ则本次捐
款金额的众数是 元.
３.某同学在体育训练中统计了自己五次“１分钟跳绳”的成绩ꎬ并绘制了如图所示的折
线统计图ꎬ这五次“１分钟跳绳”成绩的中位数是 个.
４.为了弘扬“中国梦”ꎬ某校八年级(１) 班和八年级(２) 班各５名学生参加以“诚信友
善”为主题的演讲比赛活动ꎬ根据他们的成绩情况绘制了如图所示的条形统计图.求
八年级(１)班５名同学成绩的平均数和八年级(２)班５名同学成绩的众数.
第六章
状元成才路
６
４ 数据的离散程度
第１课时 极差、方差和标准差
预习
目标
１.理解极差、方差和标准差的意义.
２.会根据方差判断数据的稳定性ꎬ并解决一些实际问题.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１４９~１５１的内容ꎬ回答下列问题:
１.极差的概念与计算:
一组数据中最大数据与最小数据的差(称为 )ꎬ就是刻画数据离散程度的一
个统计量.极差越大ꎬ表明数据的离散程度 ꎻ极差越小ꎬ表明数据的离散程度
.
２.方差与标准差的概念与计算:
是各个数据与平均数差的平方的平均数ꎬ即ｓ
２＝ .其中ꎬｘ
是ｘ１ꎬｘ２ꎬꎬｘｎ的平均数ꎬｓ
２是方差.而 就是方差的算术平方根.
３.运用方差判断数据的稳定性:
一般而言ꎬ一组数据的极差、方差或标准差
ꎬ这组数据的离散程度越小ꎬ
这组数据就越稳定.
成
果
检
测
１.在一次专业计算比赛中ꎬ某小组的８名同学成绩(单位:分)为９.２ꎬ９.２ꎬ８.５ꎬ８.７ꎬ８.６ꎬ
９.１ꎬ９.０ꎬ９.７ꎬ则这８名同学成绩的极差为( )
Ａ.９.７分 Ｂ.９.５分 Ｃ.１.２分 Ｄ.９.２分
２.数据－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ２的方差是( )
Ａ.０
Ｂ. ２
Ｃ.２
Ｄ.４
３.某村引进甲、乙两种水稻良种ꎬ各选６块条件相同的试验田ꎬ同时播种并核定亩产ꎬ结
果甲、乙两种水稻的平均产量均为５５０ｋｇ/ 亩ꎬ方差分别为ｓ
２
甲＝１４１.７ꎬｓ
２
乙＝４３３.３ꎬ则产量
较稳定的品种为( )
Ａ.甲和乙一样
Ｂ.甲
Ｃ.乙
Ｄ.无法确定
４.一组数据１１ꎬ１２ꎬ１３ꎬ１４ꎬ１５的方差为 ꎬ标准差为 .
５.甲、乙两名同学的５次射击训练成绩(单位:环)如下表:
甲
７
８
９
８
８
乙
６
１０
９
７
８
比较甲、乙这５次射击成绩的方差ｓ
２
甲ꎬｓ
２
乙ꎬ结果为ｓ
２
甲 ｓ
２
乙.(选填“>”“ ＝”或“<”)
北师八年级数学上
状元成才路
７
第２课时 方差的应用
预习
目标
１.能根据数据的平均数和方差进行决策.
２.会从统计图表中获取信息ꎬ得出数据的稳定情况ꎬ并在具体问题情境中加以应用.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１５２~１５３的内容ꎬ回答下列问题:
１.方差是反映数据
的统计量ꎬ在样本容量相同的情况下ꎬ当两组数据的平
均数相等或比较接近时ꎬ方差越小ꎬ数据越
ꎻ反之ꎬ方差
ꎬ数据越
.
２.在评价一组数据时ꎬ不仅看它的方差ꎬ还应结合其他统计量ꎬ如反映数据平均水平的
来进行综合分析.
成
果
检
测
１.甲、乙两名同学在参加今年体育中考前各做了５次立定跳远测试ꎬ成绩如图所示.根
据分析ꎬ你认为他们中成绩较为稳定的是 .
２.某中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活
动.这两位同学最近四次的数学测验成绩(单位:分)如下表:
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
７５
７０
８５
９０
乙
８５
８２
７５
７８
(１)根据表中数据ꎬ分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分.
(２)经计算ꎬ甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为ｓ
２
甲＝６２.５ꎬｓ
２
乙＝１４.５ꎬ
你认为应该选择哪位同学?
第六章
状元成才路
８
预习卡参考答案
第六章 数据的分析
１ 平均数
第１课时 平均数
【知识感知】 １. １
ｎ(ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ) ｘ
２.数据的总个数
－１＋０＋１＋２＋３
５
１
３.
ｘ１ｗ１＋ｘ２ｗ２＋＋ｘｎｗｎ
ｗ１＋ｗ２＋＋ｗｎ
４.１０
【成果检测】 １.Ｂ
２.解:小明的总评成绩为８０×４＋９０×３＋８５×３
１０
＝
８４.５(分).
答:小明的总评成绩为８４.５分.
第２课时 加权平均数的应用
【知识感知】 １.越大 越小
２.解:小刚这学期的体育成绩为９４× １５％＋
９０×３５％＋９６×５０％＝９３.６(分).
【成果检测】 １.甲
２.解:这些灯泡的平均使用寿命为
４５０×１０＋５００×１８＋５５０×２０＋６００×３０＋６５０×１５＋７００×７
１０＋１８＋２０＋３０＋１５＋７
＝
５７１.５(ｈ).
答:这些灯泡的平均使用寿命为５７１.５ｈ.
２ 中位数与众数
【知识感知】
１.中位数
最中间
最中间
两个数据 ４ ３ ２.众数 ６ ３.集中趋势
【成果检测】 １.Ｄ ２.Ｃ
３.解:(１)３９０ ３７０ ３７０
(２)不合理.因为销售３９０件是所有员工的
平均水平ꎬ不能代表大多数人的销售水平.
３ 从统计图分析数据的集中趋势
【知识感知】 １.高 众数 中位数 ９ｈ
２.越大 越小 众数 中位数 ５元 ３.８９分
【成果检测】 １.Ｄ ２.１０ ３.１８３
４.解:分析条形统计图ꎬ可知八(１)班的５名
同学成绩的平均数是
８５＋７５＋８０＋８５＋１００
５
＝８５(分).
八(２)班５名同学成绩的众数是１００分.
４ 数据的离散程度
第１课时 极差、方差和标准差
【知识感知】 １.极差 越大 越小
２.方差
１
ｎ[(ｘ１－ｘ)
２＋( ｘ２－ｘ)
２＋＋( ｘｎ－
ｘ)
２] 标准差
３.越小
【成果检测】 １.Ｃ ２.Ｃ ３.Ｂ
４.２
２ ５.<
第２课时 方差的应用
【知识感知】 １.离散程度
稳定
越大
不稳定
２.平均数
【成果检测】 １.甲
２.解:(１) 甲同学测验成绩的平均分为ｘ甲＝
１
４(７５＋７０＋８５＋９０)＝８０(分).
乙同学测验成绩的平均分为ｘ乙＝１
４(８５＋
８２＋７５＋７８)＝８０(分).
(２)由(１)知甲、乙二人的四次测验成绩的
平均分相同.又因为ｓ
２
甲＝６２.５ꎬｓ
２
乙＝１４.５ꎬ所
以ｓ
２
甲>ｓ
２
乙ꎬ所以乙的成绩稳定ꎬ应该选择乙
同学代表学校参赛.
北师八年级数学上
状元成才路
状元成才路
第七章 平行线的证明
１ 为什么要证明
１
２ 定义与命题
２
第１课时定义与命题
２
第２课时定理与证明
３
３ 平行线的判定
４
４ 平行线的性质
５
５ 三角形内角和定理
６
第１课时三角形内角和定理
６
第２课时三角形的外角定理
７
预习卡参考答案
８
状元成才路
１
第七章 平行线的证明
１ 为什么要证明
预习
目标
１.认识推理的重要性ꎬ理解推理的意义ꎬ知道要判断一个数学结论是否正确ꎬ仅仅靠实
验、观察、归纳是不够的ꎬ必须进行推理证明.
２.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１６２~１６３的内容ꎬ回答下列问题:
１.证明的必要性:
在日常生活中ꎬ我们经常通过眼睛去观察、动手去实验或依靠经验来感知事物的真
与假、对与错等.但是通过对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论ꎬ并不能保
证一般情况下都成立.所以在数学学习中ꎬ要判断一个数学结论是否正确ꎬ仅仅依靠
实验、观察、归纳是不够的ꎬ必须进行有根有据的 .
２.检验一个数学结论是否正确的常用方法有实验验证、 、 等.
３.(１)图①中三角形的三边是直的还是曲的?
(２)图②的两幅图中中间的两个圆哪个大?
成
果
检
测
１.下列说法正确的是( )
Ａ.今天下雨ꎬ因此明天必然还下雨
Ｂ.三个连续整数的积一定能被６整除
Ｃ.种下一粒种子ꎬ一定会发芽
Ｄ.两张照片看起来很像ꎬ则肯定照的是同一个人
２.有红、黄、蓝三个箱子ꎬ一个苹果放入其中某个箱子内.
①红箱子上写着:“苹果在这个箱子里.”
②黄箱子上写着:“苹果不在这个箱子里.”
③蓝箱子上写着:“苹果不在红箱子里.”
已知①②③中只有一句是真的ꎬ则苹果应在( )
Ａ.红箱子里 Ｂ.黄箱子里 Ｃ.蓝箱子里 Ｄ.不能确定
３.“小王按小丽家的门铃数次ꎬ无人应答ꎬ由此判断小丽家无人”ꎬ这个判断是
(填“正确”或“错误”)的.
第七章
状元成才路
２
２ 定义与命题
第１课时 定义与命题
预习
目标
１.了解定义、命题(真命题、假命题)的概念ꎬ并能从实例中指出它们的区别和联系.
２.能判断一个命题的真假ꎬ能区分命题的条件和结论.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１６５~１６６的内容ꎬ回答下列问题:
１.定义与命题的概念:
定义:对名称和术语的含义加以描述ꎬ作出明确的规定ꎬ也就是给出它们的 .
命题:判断一件事情的句子ꎬ叫做 .
２.命题的结构:一般地ꎬ每个命题都由 和 两部分组成.条件是已知的事
项ꎬ结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果那么”的形式ꎬ
其中“如果”引出的部分是条件ꎬ“那么”引出的部分是结论.
３.命题的真假:正确的命题称为
ꎬ不正确的命题称为假命题.
４.反例:要说明一个命题是假命题ꎬ常常可以举出一个例子ꎬ使它具备命题的条件ꎬ而不
具有命题的结论ꎬ这种例子称为
.
成
果
检
测
１.下列描述不属于定义的是( )
Ａ.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
Ｂ.在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形
Ｃ.含未知数的等式叫做方程
Ｄ.直角三角形是特殊的三角形
２.下列命题是假命题的是( )
Ａ.互为相反数的两个数之和等于０ Ｂ.同旁内角互补
Ｃ.垂线段最短
Ｄ.两点确定一条直线
３.把“直角三角形的两锐角互余”改写成“如果那么”的形式是
.
４.下列语句中ꎬ哪些是命题? 哪些不是命题? 如果是命题ꎬ写出其条件和结论.
(１)相等的角是直角ꎻ(２)同旁内角相等吗ꎻ(３)猴子属于爬行动物.
北师八年级数学上
状元成才路
３
第２课时 定理与证明
预习
目标
１.了解公理、定理等概念ꎬ并能运用一些公理证明一些定理.
２.通过实例感受证明的过程.
３.初步感受公理化思想ꎬ并了解本套教材所采用的基本事实.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１６８~１７０的内容ꎬ回答下列问题:
１.公理、定理与证明的概念:
①公理:公认的真命题称为公理.除了公理外ꎬ其他命题的真假都需要通过演绎推理的
方法进行判断.
②
的过程称为证明ꎬ经过证明的真命题称为 .每个定理都只能用
、 和已经证明为真的命题来证明.
③并不是所有的真命题都是定理ꎬ定理可以作为判定其他命题真假的依据.
２.命题的证明:要证明命题是
ꎬ必须从条件出发ꎬ根据公理、定义和已学过的
定理ꎬ进行一步步推理ꎬ直至推出结论为止.一般是“因为所以”的形式.
３.定理:同角(等角)的补角 ꎻ同角(等角)的余角 ꎻ三角形的任意两边
之和 第三边ꎻ对顶角 .
４.了解本套教材所采用的基本事实.
成
果
检
测
１.下列命题ꎬ不能作为公理的是( )
Ａ.两点之间线段最短 Ｂ.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
Ｃ.全等三角形的面积相等
Ｄ.同位角相等ꎬ两直线平行
２.下列叙述错误的是( )
Ａ.所有的命题都有条件和结论
Ｂ.所有的命题都是定理
Ｃ.所有的定理都是命题
Ｄ.所有的公理都是真命题
３.写出下列命题的已知、求证ꎬ并完成证明过程.
命题:如果一个三角形的两个角相等ꎬ那么这两个角所对的边也相等.
第七章
状元成才路
４
３ 平行线的判定
预习
目标
１.了解证明的基本步骤和书写格式.
２.会根据基本事实“同位角相等ꎬ两直线平行”来证明“内错角相等ꎬ两直线平行”“同旁
内角互补ꎬ两直线平行”ꎬ并能简单应用这些结论.
３.在证明过程中ꎬ发展初步的演绎推理能力.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１７２~１７３的内容ꎬ回答下列问题:
１.平行线的判定的基本事实:两条直线被第三条直线所截ꎬ如果同位角 ꎬ那么这
两条直线平行.简述为:同位角 ꎬ两直线平行.
如图ꎬ∠１与∠３是 角ꎬ若∠１与∠３ ꎬ则直线ＡＢꎬＣＤ平行.
２.平行线的判定定理１:两条直线被第三条直线所截ꎬ如果 相等ꎬ那么这两条直
线平行.简述为: 相等ꎬ两直线平行.如图ꎬ∠３与∠５是 角ꎬ若∠５与
∠３ ꎬ则直线ＡＢꎬＣＤ平行.
３.平行线的判定定理２:两条直线被第三条直线所截ꎬ如果同旁内角 ꎬ那么这两
条直线平行.简述为:同旁内角 ꎬ两直线平行.如图ꎬ∠２与∠３是 角ꎬ
若∠２与∠３ ꎬ则直线ＡＢꎬＣＤ平行.
成
果
检
测
１.如图ꎬ能使ＢＦ∥ＤＧ的条件是( )
Ａ.∠１＝∠３ Ｂ.∠１＝∠２ Ｃ.∠２＝∠３ Ｄ.∠２＝∠４
第１题图
第２题图
２.如图ꎬ∠１＝５０°ꎬ要使ａ∥ｂꎬ则∠２＝ .
３.如图ꎬＡＢ与ＢＦ相交于点ＢꎬＣＥ与ＢＦ相交于点Ｄ.若∠Ｂ＝４５°ꎬ∠ＣＤＦ＝１３５°ꎬ试问ＡＢ
与ＣＥ是否平行? 并证明你的结论.
北师八年级数学上
状元成才路
５
４ 平行线的性质
预习
目标
１.掌握平行线的性质定理及定理的证明ꎬ总结文字证明题的步骤、格式、方法.
２.能熟练运用平行线的性质定理进行简单的证明或计算.
３.通过“两直线平行ꎬ同位角相等”的证明ꎬ体会反证法ꎬ进一步学习和掌握证明的方法和
步骤.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１７５~１７７的内容ꎬ回答下列问题:
１.平行线的性质定理１:两条平行直线被第三条直线所截ꎬ .
简述为:两直线平行ꎬ同位角 .如图ꎬ若ａ∥ｂꎬ则∠１与∠２
.
２.平行线的性质定理２:两条平行直线被第三条直线所截ꎬ .
简述为:两直线平行ꎬ内错角 .如图ꎬ若ａ∥ｂꎬ则∠７与∠２ .
３.平行线的性质定理３:两条平行直线被第三条直线所截ꎬ同旁内角 .
简述为:两直线平行ꎬ同旁内角 .如图ꎬ若ａ∥ｂꎬ则∠３与∠２ .
４.平行于同一条直线的两条直线平行.
５.证明的一般步骤:要完成一个命题的证明ꎬ主要环节如下:
①根据题意画出图形ꎬ标上必要的字母ꎻ②用字母、符号表示命题的条件(已知)和结论
(求证)ꎻ③用“∵”“∴”写出证明过程ꎬ再标明相应的依据(合理即可).
成
果
检
测
１.如图ꎬＡＢ∥ＣＤꎬＡＢ∥ＥＦꎬ则下列各式正确的是( )
Ａ.∠１＋∠２＋∠３＝１８０° Ｂ.∠１－∠２＋∠３＝１８０°
Ｃ.∠１＋∠２＋∠３＝３６０°
Ｄ.∠２＋∠３－∠１＝１８０°
第１题图
第２题图
２.如图ꎬ直线ａꎬｂ被直线ｃ所截ꎬａ∥ｂꎬ∠１＝∠２.若∠３＝４０°ꎬ则∠４等于 .
３.如图ꎬ已知∠１＋∠２＝１８０°ꎬ求证:∠３＝∠４.
第七章
状元成才路
６
５ 三角形内角和定理
第１课时 三角形内角和定理
预习
目标
１.理解三角形内角和定理的证明.
２.熟记并掌握三角形内角和定理ꎬ能利用三角形的内角和定理求角的度数或进行有关证
明.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１７８~１７９的内容ꎬ回答下列问题:
１.三角形内角和定理:三角形的内角和等于 .
２.三角形内角和定理的证明:构造平行线ꎬ利用平行线的性质说明三角形的内角和是
１８０°.如图所示:
ＣＥ∥ＡＢ
图①
ＦＧ∥ＢＣ
图②
ＭＤ∥ＡＣꎬＮＤ∥ＡＢ
图③
在图①中ꎬ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝∠１＋∠２＋∠ＡＣＢ＝ ꎻ
在图②中ꎬ∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠ＢＡＣ＋∠１＋∠２＝ ꎻ
在图③中ꎬ∠Ｃ＋∠Ａ＋∠Ｂ＝∠１＋∠２＋∠３＝ .
成
果
检
测
１.如图ꎬ一个长方形纸片ꎬ剪去部分后得到一个三角形ꎬ则图中∠１＋∠２的度数是( )
Ａ.３０° Ｂ.６０° Ｃ.９０° Ｄ.１２０°
第１题图
第２题图
第３题图
２.如图ꎬ在△ＡＢＣ中ꎬ∠Ｃ＝９０°ꎬＥＦ∥ＡＢꎬ∠１＝５０°ꎬ则∠Ｂ的度数为( )
Ａ.５０°
Ｂ.６０°
Ｃ.３０°
Ｄ.４０°
３.如图ꎬ直线ａ∥ｂꎬ∠１＝６０°ꎬ∠２＝４０°ꎬ则∠３＝ .
４.如图ꎬ在△ＡＢＣ中ꎬ∠Ａ＝７０°ꎬ∠Ｂ＝５０°ꎬＣＤ平分∠ＡＣＢꎬ求∠ＡＣＤ的度数.
北师八年级数学上
状元成才路
７
第２课时 三角形的外角定理
预习
目标
１.熟记三角形的外角以及推论的概念ꎬ会区分三角形的外角.
２.掌握三角形内角和定理的两条推论ꎬ会运用这两条推论进行计算或证明.
知
识
感
知
阅读教材Ｐ１８１~１８２的内容ꎬ回答下列问题:
１.三角形内角的一条边与另一条边的延长线组成的角ꎬ称为三角形的
.如
图①ꎬ把△ＡＢＣ的一边ＢＣ延长ꎬ得到的 即为△ＡＢＣ的外角.如图②ꎬ一个三
角形有 个外角.每个顶点处有 个外角ꎬ这两个外角是 .
２.推论:由一个基本事实或定理直接推出的定理ꎬ叫做这个基本事实或定理的
.
３.三角形内角和定理的推论:
推论１:三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和.
推论２:三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
在图①中ꎬ∠ＡＣＤ是△ＡＢＣ的一个外角ꎬ则∠ＡＣＤ与∠Ａꎬ∠Ｂ的关系是∠ＡＣＤ
∠Ａ＋∠Ｂꎬ∠ＡＣＤ ∠Ａꎬ∠ＡＣＤ ∠Ｂ.(填“>”“ ＝”或“<”)
成
果
检
测
１.如图ꎬ∠１＝１２５°ꎬ∠Ｃ＝６５°ꎬ则∠Ａ的大小为( )
Ａ.１２５° Ｂ.６５° Ｃ.７０° Ｄ.６０°
第１题图
第２题图
第３题图
第４题图
第５题图
２.如图ꎬ∠Ａꎬ∠１ꎬ∠２的大小关系是( )
Ａ.∠Ａ>∠１>∠２
Ｂ.∠２>∠１>∠Ａ
Ｃ.∠Ａ>∠２>∠１
Ｄ.∠２>∠Ａ>∠１
３.如图ꎬ已知ＡＢ∥ＣＤꎬ则( )
Ａ.∠１＝∠２＋∠３ Ｂ.∠１＝２∠２＋∠３
Ｃ.∠１＝２∠２－∠３
Ｄ.∠１＝１８０°－∠２－∠３
４.如图ꎬ∠Ａ＝５０°ꎬ∠ＡＢＯ＝２８°ꎬ∠ＡＣＯ＝３２°ꎬ则∠ＢＤＣ＝ ꎬ∠ＢＯＣ＝ .
５.如图ꎬＣＥ是△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＤ的平分线ꎬ交ＢＡ的延长线于点Ｅ.若∠ＢＡＣ＝１００°ꎬ
∠Ｂ＝４２°ꎬ则∠Ｅ的度数为 .
第七章
状元成才路
８
预习卡参考答案
第七章 平行线的证明
１ 为什么要证明
【知识感知】 １.证明
２.举反例法 推理论证(或证明法)
３.解:(１)直的ꎻ(２)一样大.
【成果检测】 １.Ｂ ２.Ｂ ３.错误
２ 定义与命题
第１课时 定义与命题
【知识感知】 １.定义 命题
２.条件 结论
３.真命题
４.反例
【成果检测】 １.Ｄ ２.Ｂ
３.如果一个三角形是直角三角形ꎬ那么它的
两个锐角互余
４.解:(１)(３)是命题ꎬ(２)不是命题.
命题(１)“相等的角是直角”的条件是两个
角相等ꎻ结论是它们是直角.
命题(３)“猴子属于爬行动物”的条件是猴
子ꎻ结论是爬行动物.
第２课时 定理与证明
【知识感知】 １.②演绎推理 定理 公理
定义
２.正确的
３.相等 相等 大于 相等
【成果检测】 １.Ｃ ２.Ｂ
３.解:已知:如图ꎬ在△ＡＢＣ
中ꎬ∠Ｂ＝∠Ｃ.
求证:ＡＢ＝ＡＣ.
证明: 如图ꎬ过点Ａ作
ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄꎬ
则∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°.
在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中ꎬ
∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣꎬ
∠Ｂ＝∠Ｃꎬ
ＡＤ＝ＡＤꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
所以△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ(ＡＡＳ).
所以ＡＢ＝ＡＣ.
３ 平行线的判定
【知识感知】 １.相等 相等 同位 相等
２.内错角 内错角 内错 相等
３.互补 互补 同旁内 互补
【成果检测】 １.Ａ ２.１３０°
３.解:ＡＢ与ＣＥ平行.证明如下:
∵∠ＣＤＦ＝１３５°ꎬ
ＣＥ与ＢＦ相交于点Ｄ(已知)ꎬ
∴∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝１３５°(对顶角相等).
∵∠Ｂ＝４５°(已知)ꎬ
∴∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝４５°＋１３５° ＝１８０°(等式的
性质).
∴ＡＢ∥ＣＥ(同旁内角互补ꎬ两直线平行).
４ 平行线的性质
【知识感知】 １.同位角相等 相等 相等
２.内错角相等 相等 相等
３.互补 互补 互补
【成果检测】 １.Ｃ ２.７０°
３.证明:∵∠２＝∠５(对顶角相等)ꎬ
∠１＋∠２＝１８０°(已知)ꎬ
∴∠１＋∠５＝１８０°(等量代换).
∴ａ∥ｂ(同旁内角互补ꎬ两直线平行).
∴∠３＝∠４(两直线平行ꎬ同位角相等).
北师八年级数学上
状元成才路
９
５ 三角形内角和定理
第１课时 三角形内角和定理
【知识感知】 １.１８０°
２.１８０° １８０° １８０°
【成果检测】 １.Ｃ ２.Ｄ ３.８０°
４.解:在△ＡＢＣ中ꎬ∠Ｂ＋∠Ａ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
(三角形内角和定理).
∵∠Ａ＝７０°ꎬ∠Ｂ＝５０°(已知)ꎬ
∴∠ＡＣＢ＝１８０°－７０°－５０°＝６０°(等式的性质).
∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ(已知)ꎬ
∴∠ＡＣＤ＝１
２∠ＡＣＢ＝１
２×６０° ＝３０°(角平
分线的定义).
第２课时 三角形的外角定理
【知识感知】 １.外角 ∠ＡＣＤ ６ ２
对顶角 ２.推论
３.等于 大于
＝ > >
【成果检测】 １.Ｄ ２.Ｂ ３.Ａ
４.７８° １１０° ５.２９°
第七章
状元成才路
