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2023 年岳阳市初中学业水平考试试卷
数学
温馨提示：
1．本试卷共三大题，24 小题，满分120 分，考试时量90 分钟；
2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区
域内；
3，考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场．
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合要求的一项）
1.
的相反数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：
的相反数是
，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
详解】解：A
、
，故该选项正确，符合题意；
B
、
，故该选项不正确，不符合题意；
C
、
，故该选项不正确，不符合题意；
D、
，故该选项不正确，不符合题意；
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故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂
的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
3. 下列几何体的主视图是圆的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可．
【详解】解：A、主视图为圆，符合题意；
B、主视图为正方形，不符合题意；
C、主视图为三角形，不符合题意；
D、主视图为并排的两个长方形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视
图有一定的空间想象能力．
4. 已知
，点
在直线
上，点
在直线
上，
于点
，则
的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵
，
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∴
，
∵
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．
5. 在5 月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：
（单位：次/分钟），
这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义即可得到答案．
【详解】解：数据从小到大排列为
，出现次数最多的是
，共出现2 次，
众数是
，中位数为
．
故选：D
【点睛】此题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按照大小顺序排
列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，熟练掌握定义是解题的关键．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 同位角相等
B. 菱形的四条边相等
C. 正五边形是中心对称图形
D. 单项式
的次数是4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义求解．
【详解】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题；
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D. 单项式
的次数是3，故此命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义，
熟练掌握上述知识是关键．
7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问
广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径
为25 寸，要做成方形板材，使其厚度
达到
7 寸．则
的长是（ ）
A.
寸
B. 25 寸
C. 24 寸
D. 7 寸
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质，勾股定理求解．
【详解】由题意知，四边形
是矩形，
在
中，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得出直角三角形是解题的关键．
8. 若一个点的坐标满足
，我们将这样的点定义为“ 倍值点” ．若关于
的二次函数
（
为常数，
）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】D
【解析】
【分析】利用“倍值点”的定义得到方程
，则方程的
，可得
，
利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围．
【详解】解：由“倍值点”的定义可得：
，
整理得，
∵关于
的二次函数
（
为常数，
）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴
∴
，
∴
，或
当
时，解得
，
当
时，此不等式组无解，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式
的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分）
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9. 函数
中，自变量x 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
10. 近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．
2022 年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达
万只，数据
用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为
，其中
，
为整数．
【详解】解：
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，
为整数．
确定
的值时，要看把原来的数，变成
时，小数点移动了多少位，
的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值
时，
是正数；当原数的绝对值
时，
是负数，确定
与
的值是解题的关键．
11. 有两个女生小合唱队，各由6 名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为
，甲队身高方差
，乙队身高方差
，两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差越小，波动越小，越稳定判断即可．
【详解】∵
，
，且
∴甲队稳定，
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故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差的决策性，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
12. 如图，①在
上分别截取线段
，使
；②分别以
为圆心，以大于
的
长为半径画弧，在
内两弧交于点
；③作射线
．若
，则
_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】由作图可知
是
的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，
是
的角平分线，
∴
．
故答案为：
【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
13. 观察下列式子：
；
；
；
；
；…
依此规律，则第
（
为正整数）个等式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
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【详解】解：∵
；
；
；
；
；…
∴第
（
为正整数）个等式是
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
14. 已知关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，且
，则实数
_________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用一元二次方程
有两个不相等的实数根求出m 的取值范围，由根与
系数关系得到
，代入
，解得
的值，根据求得的m
的取值范围，确定m 的值即可．
【详解】解：∵关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
解得
，
∵
，
，
∴
，
解得
（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系
数关系的内容是解题的关键．
15. 2023 年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在
处用仪器测得赛
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场一宣传气球顶部
处的仰角为
，仪器与气球的水平距离
为20 米，且距地面高度
为1.5 米，
则气球顶部离地面的高度
是_________ 米（结果精确到
0.1
米，
）．
【答案】9.5
【解析】
分析】通过解直角三角形
，求出
，再根据
求出结论即可．
【详解】解：根据题意得，四边形
是矩形，
∴
在
中，
∴
,
∴
故答案为：9.5
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形
并解直角三角形是解此题的关键．
16. 如图，在
中，
为直径，
为弦，点
为
的中点，以点
为切点的切线与
的延长线
交于点
．
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（1）若
，则
的长是_________（结果保留
）；
（2）若
，则
_________．
【答案】 ①.
.
②
【解析】
【分析】（1）连接
，根据点
为
的中点，根据已知条件得出
，然后根据弧长
公式即可求解；
（2）连接
，根据垂径定理的推论得出
，
是
的切线，则
,得出
，根据平行线分线段成比例得出
，设
，则
，勾股定理求得
,J 进
而即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接
，
∵点
为
的中点，
∴
，
又∵
，
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∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
（2）解：如图，连接
，
∵点
为
中点，
∴
，
∴
，
∵
是
的切线，
∴
,
∴
∴
，
∵
，
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∴
，
设
，则
，
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，
综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8 小题，满分24 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 计算：
．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则
是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】按照解不等式组的基本步骤求解即可．
【详解】∵
，
解①的解集为
；
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解②的解集为
，
∴原不等式组的解集为
．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
19. 如图，反比例函数
（
为常数，
）与正比例函数
（
为常数，
）的图像交
于
两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y 轴上有一点
的面积为4，求点
的坐标．
【答案】（1）
；
（2）
或
【解析】
【分析】（1）把
分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到
，设
，根据
，列式计
算即可．
【小问1 详解】
∵反比例函数
（
为常数，
）与正比例函数
（
为常数，
）的图像交于
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两点，
∴
，
解得
，
故反比例函数的表达式为
，正比例函数的表达式
．
【小问2 详解】
∵反比例函数
（
为常数，
）与正比例函数
（
为常数，
）的图像交于
两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴
，设
，
根据题意，得
，
∴
，
解得
或
，
故点C 的坐标为
或
．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标
表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
20. 为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深
入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A 包粽子，B 腌咸蛋，
C 酿甜酒，D 摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不
完整的统计图：
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（1）本次共调查了_________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A 和
C 两个社团的概率．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）
【解析】
分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，计算即可．
（2）先计算B 的人数，再完善统计图即可．
（3）利用画树状图计算即可．
【小问1 详解】
∵
(人)，
故答案为：100．
【小问2 详解】
B
人数：
（人），
补全统计图如下：
．
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【小问3 详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12 种等可能性，选中A，C 的等可能性有2 种，
故同时选中A 和C 两个社团的概率为
．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图
是解题的关键．
21. 如图，点
在
的边
上，
，请从以下三个选项中①
；②
；
③
，选择一个合适的选项作为已知条件，使
为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明
为矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明
可得
，然后结合平行线的性质求得
，从而得出
为矩形．
【小问1 详解】
解：①或②
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【小问2 详解】
添加条件①，
为矩形，理由如下：
在
中
，
，
在
和
中
，
∴
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
为矩形；
添加条件②，
为矩形，理由如下：
在
中
，
，
在
和
中
，
∴
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
为矩形
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【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有
一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键．
22. 水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾
的总产量是
，今年龙虾的总产量是
，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比
今年少
，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量
．
【解析】
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x
，则去年龙虾的平均亩产量是
，根据去年与今年的
养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x
，则去年龙虾的平均亩产量是
，
由题意得，
，
解得
，
经检验，
是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量
．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
23. 如图1，在
中，
，点
分别为边
的中点，连接
．
初步尝试：（1）
与
的数量关系是_________，
与
的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若
，先将
绕点
顺时针旋转
（
为锐角），
得到
，当点
在同一直线上时，
与
相交于点
，连接
．
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（1）求
的度数；
（2）求
的长．
深入探究：（3）若
，将
绕点
顺时针旋转
，得到
，连接
，
．当
旋转角
满足
，点
在同一直线上时，利用所提供的备用图探究
与
的
数量关系，并说明理由．
【答案】初步尝试：（1）
；
；（2）特例研讨：（1）
；（2）
；（3）
或
【解析】
【分析】（1）
，点
分别为边
的中点，则
是
的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：（1）连接
，
，证明
是等边三角形，
是等边三角形，得出
；（2）连接
，证明
，则
，设
，则
，在
中，
，则
，在
中，
，勾股定理求得
，则
；
（3）当点
在同一直线上时，且点
在
上时，设
，则
，
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得出
，则
在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出
，表示
与
，即可求解；当
在
上时，可得
在同一
个圆上，设
，则
，设
，则
，
则
，表示
与
，即可求解．
【详解】初步尝试：（1）∵
，点
分别为边
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
；
；
故答案是：
；
（2）特例研讨：（1）如图所示，连接
，
，
∵
是
的中位线，
∴
，
∴
∵将
绕点
顺时针旋转
（
为锐角），得到
，
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∴
；
∵点
在同一直线上时，
∴
又∵在
中，
是斜边
的中点，
∴
∴
∴
是等边三角形，
∴
，即旋转角
∴
∴
是等边三角形，
又∵
，
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
（2）如图所示，连接
，
∵
，
，
∴
，
,
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∵
,
∴
,
∴
,
设
，则
，
在
中，
，则
，
在
中，
,
∴
,
解得：
或
（舍去）
∴
,
（3）如图所示，当点
在同一直线上时，且点
在
上时，
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∵
，
∴
，
设
，则
，
∵
是
的中位线，
∴
∴
，
∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
，
，
∴
∴
，
∵点
在同一直线上，
∴
∴
，
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∴
在同一个圆上，
∴
∴
∵
，
∴
；
如图所示，当
在
上时，
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∵
∴
在同一个圆上，
设
，则
，
将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
设
，则
，则
，
∴
，
∵
,
∴
，
∵
∴
∴
综上所述，
或
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位
线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌
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握以上知识是解题的关键．
24. 已知抛物线
与
轴交于
两点，交
轴于点
．
（1）请求出抛物线
的表达式．
（2）如图1，在
轴上有一点
，点
在抛物线
上，点
为坐标平面内一点，是否存在点
使得四边形
为正方形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线
向右平移2 个单位，得到抛物线
，抛物线
的顶点为
，与
轴正半轴交于
点
，抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）
（2）
；
（3）点P 的坐标为
【解析】
【分析】（1）把
代入
，求出
即可；
（2 ）假设存在这样的正方形，过点E 作
于点R ，过点F 作
轴于点I ，证明
可得
故可得
，
；
（3）先求出平移后的抛物线的解析式
，得
，
，求出
为
，
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分别求出
，根据
证明
，得
，可知当点P 与点B 重合时可得结论．
【小问1 详解】
∵抛物线
与
轴交于
两点，交
轴于点
，
∴把
代入
，得，
解得，
∴解析式为：
；
【小问2 详解】
假设存在这样的正方形
，如图，过点E 作
于点R，过点F 作
轴于点I，
∴
∵四边形
是正方形，
∴
∴
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∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
；
同理可证明：
∴
∴
∴
；
【小问3 详解】
∵
∴抛物线的顶点坐标为
，对称轴为直线
，
令
则
，
解得，
∴
∴将抛物线的图象右平移2 个单位后，则有：
，对称轴为直线
，即
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∴点B 在平移后的抛物线的对称轴上，
∴
∴
设直线
的解析式为
，
把
代入得，
解得，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
∴
此时
∴
∴
又
∴
，
∴
∴
所以，当点P 与点B 重合时，即点P 的坐标为
，则有
．
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【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性
质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
