四川省自贡市初2021 届毕业学生考试
数学
满分：150 分 时间：120 分钟
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题两部分）
第I卷 选择题（共48 分）
一.选择题（共12 个小题，每小题4 分，共48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87 万人次，
人数88700 用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的
字是（ ）
A.百 B.党 C.年 D.喜
3.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
5.如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，∠ACD 的度数是（ ）
A.72° B.36° C.74° D.88°
6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50 名学生一周参加体育锻炼时间，
数据如下表所示：
人数（人）
9
16
14
11
时间（小时）
7
8
9
10
这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A.16,15 B.11,15 C.8,8.5 D.8,9
7.已知
则代数式
的值是（ ）
A.31 B.-31 C.41 D.-41
8.如图，A（8,0），C（-2,0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交
轴正半轴于点
B，则点B 的坐标为（ ）
A.（0,5） B.（5,0） C.（6,0） D.（0,6）
9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是
反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.函数解析式为
B.蓄电池的电压是18V
C.当
A 时，
D.当
时，
时
10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB
⊥
于点F，OE AC
⊥
于点E，若OE=3，OB=5，则CD
的长度是（ ）
A.9.6 B.
C.
D.10
11.如图，在正方形ABCD 中，AB=6，M 是AD 边上的一动点，AM：MD=1:2,将△BMA 沿
BM 对折至△BMN，连接DN，则DN 的长是（ ）
A.
B.
C.3 D.
12.如图，直线
与坐标轴交于A、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点
P 作
轴的平行线交直线
于点Q，△OPQ 绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区
域（阴影部分）面积的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题 共102 分）
二、填空题（共6 个小题，每小题4 分，共24 分）
13.请写出一个满足不等式
的整数解 .
14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩
占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是 .
15.化简：
.
16.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会
儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是 .
17.如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC 角平
分线BD（不写作法，保留作图痕迹）
18.当自变量
时，函数
（
为常数）的最小值为
，则满足条件的
的值为 .
三.解答题（共8 个题，共78 分）
19.本题满分（8 分）
计算：
.
20.（本题满分8 分）
如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点.求证：DE=BF
21.（本题满分8 分）
在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处
的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24 米.
请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1 ，参考数据tan37°≈0.75 ，
tan53°≈1.33，,1.73）
22.（本题满分8 分）
随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B 两种型号的无人
机都被用来送快递，A 型机比B 型机平均每小时多运送20 件，A 型机运送700 件所有时间
与B 型机运送500 件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、
B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘
制成了如下统计图
（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合
格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.
24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函
数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函
数
的图象，并探究其性质.
列表如下：
（1）直接写出表中a，b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数
的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当
时，函数图象关于直线
对称；
②
时，函数有最小值，最小值为-2
③
时，函数
的值随
的增大而减小.
其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号）
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
-2
…
（3）结合图象，请直接写出不等式
的解集为 .
25.（本题满分12 分）
如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C，AE CD
⊥
于点E，交⊙O 于点F，连接AD，FD.
（1）求证：∠DAE= DAC
∠
；
（2）求证：DF·AC=AD·DC；
（3）若sin C=
∠
，AD=
，求EF 的长.
26.（本题满分14 分）
如图，抛物线
(其中
)与
轴交于A、B 两点，交
轴于点C.
（1）直接写出∠OCA 的度数和线段AB 的长（用a 表示）；
（2）若点D 为△ABC 的外心，且△BCD 与△ACO 的周长之比为
，求此抛物线的
解析式；
（3）在（2 ）的前提下，试探究抛物线
上是否存在一点P ，使得
∠CAP= DBA
∠
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与解析
一.选择题（共12 个小题，每小题4 分，共48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87 万人次，
人数88700 用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】科学记数法表示为a×10
N，其中1≤|a|＜10，故答案为C
2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的
字是（ ）
A.百 B.党 C.年 D.喜
【解析】根据正方体展开图可得，“迎”与“党”相对，故答案为B
3.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】A 正确答案为a
2，B 选项正确，C 选项答案为a
6，D 选项为a
2- 4 ab+ 4 b
2，故答
案为B
4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
【解析】A 选项，对称轴1 条，B 选项和C 选项为中心对称图形，D 选项对称轴两条，故
答案为D
5.如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，∠ACD 的度数是（ ）
A.72° B.36° C.74° D.88°
【解析】正5 边形每一个内角为
，∵AB=BC ，∴∠ACB=36° ，
∴∠ACD=72°，故答案为A
6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50 名学生一周参加体育锻炼时间，
数据如下表所示：
人数（人）
9
16
14
11
时间（小时）
7
8
9
10
这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A.16,15 B.11,15 C.8,8.5 D.8,9
【解析】众数是出现次数最多的数，故众数为8，中位数即将数据排序后，中间两个数（8
和9）的平均数8.5，故答案为C
7.已知
则代数式
的值是（ ）
A.31 B.-31 C.41 D.-41
【解析】
，故答案为B
8.如图，A（8,0），C（-2,0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交
轴正半轴于点
B，则点B 的坐标为（ ）
A.（0,5） B.（5,0） C.（6,0） D.（0,6）
【解析】AB=AC=10，AO=8，在Rt
AOB
△
中，根据勾股定理可得OB=6，故B（0,6），
故答案为D
9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是
反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.函数解析式为
B.蓄电池的电压是18V
C.当
A 时，
D.当
时，
时
【解析】函数解析式为
故A 选项错误，蓄电池电压是
V，D 选项，当
时，
，故答案为C
10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB
⊥
于点F，OE AC
⊥
于点E，若OE=3，OB=5，则CD
的长度是（ ）
A.9.6 B.
C.
D.10
【解析】在Rt
ACF
△
中，sin BAC=
∠
CF
AC
，在Rt
AOE
△
中，sin BAC=
∠
OE
OA = 3
5
，故CD 的
长度为24
5 = 4.8，故答案为A
11.如图，在正方形ABCD 中，AB=6，M 是AD 边上的一动点，AM：MD=1:2,将△BMA 沿
BM 对折至△BMN，连接DN，则DN 的长是（ ）
A.
B.
C.3 D.
【解析】过N 作直线∥AB，交AD 于H，交BC 于G，由翻折性质可知△AMB
NMB
△
≌
，
∴∠BNM=90°，进而可得△MNH
NBG
△
∽
，∴MN
NB = NH
BG
=1
3
，设NH=y，则BG=3y，
MH=3y-2 ，在Rt
MHN
△
中，MH
2+ NH
2= MN
2，∴(3 y -2)
2+ y
2=2
2,∴y = 6
5
，
∴DH=CG=12
5
，在Rt
DNH
△
中，DH ²+ NH
2= DN
2，∴DN = 6√5
5
，故答案为D
12.如图，直线
与坐标轴交于A、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点
P 作
轴的平行线交直线
于点Q，△OPQ 绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区
域（阴影部分）面积的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】由旋转性质可知，该阴影部分的的面积等于以OQ 为大圆半径R，OP 为小圆半径
r 且圆心角为45° 的扇形环的面积，即S阴影=S环=π R
2
8
- π r
2
8
，由题意可得，
R
2= x
2+(- x +3)²
r
2=x
2+(-2 x +2)²，且0< x<1,∴R
2-r
2=-3（x -3）
2+ 16
3
,当x = 1
3
时，取得最大值16
3
，
故阴影部分面积最大值为2π
3
，故答案选A.
第II卷（非选择题 共102 分）
二、填空题（共6 个小题，每小题4 分，共24 分）
13.请写出一个满足不等式
的整数解 .
【解析】x>7 -√2,故答案很多，最小整数为6，只需填6 以上整数即可，答案不唯一
14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩
占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是 .
【解析】加权平均数计算方法为90×30%+80×70%=83，故答案为83
15.化简：
.
【解析】2(a+2)
a
2- 4
-
8
a
2- 4
=
2(a-2)
(a+2)(a-2) =
2
a+2
,故答案为2
a+2
16.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会
儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是 .
【解析】根据观察a*b
6=ac，bc，c（a+b）运算的结果进行的顺序排列，故密码为
244872.
17.如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC 角平
分线BD（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】根据网格图，可算出AB=5，所以在BC 延长线上取长度为5 的格点D，连接
AD，E 为AD 中点，利用等腰三角形三线合一的性质可推出BE 即为∠ABC 的角平分线
18.当自变量
时，函数
（
为常数）的最小值为
，则满足条件的
的值为 .
【解析】当k≥3 时，x=3 时函数取得最小值，∴k-3=k+3，不成立，当k≤-1 时，x=-1 取得最
小值，此时-k-1=k+3，∴k=-2 满足题意，当-1＜k＜3 时，x=k 时取得最小值，∴k+3=0，
k=-3 不满足题意，综上所述，k=-2
三.解答题（共8 个题，共78 分）
19.本题满分（8 分）
计算：
.
【解析】5-7+1=-1
20.（本题满分8 分）
如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点.求证：DE=BF
【解析】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴DC AB
∥
且DC=AB，
E
∵、F 分别为AB、CD 的中点，∴BE=1
2
AB，DF=1
2
CD，∴DF BE
∥
且DF=BE，∴四边形
EBFD 为平行四边形，∴DE=BF.
21.（本题满分8 分）
在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处
的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24 米.
请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1 ，参考数据tan37°≈0.75 ，
tan53°≈1.33，,1.73）
【解析】∵在B 处测得D 处的俯角为53°，∴∠BDA=53°，在Rt
BAD
△
中，tan BDA=
∠
BA
AD
，∴AD =
24
tan53°
，在Rt
CAD
△
中，tan CAD=
∠
CD
AD
，且∠CAD=30°，CD = AD
√3
∴
米
22.（本题满分8 分）
随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B 两种型号的无人
机都被用来送快递，A 型机比B 型机平均每小时多运送20 件，A 型机运送700 件所有时间
与B 型机运送500 件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【解析】设B 型机每小时运送x 件，则A 型机每小时运送x+20 件
根据题意可得700
x +20 = 500
x
，解之可得x =50，经检验x =50是方程的根，也符合实际意义，
A
∴
型机每小时运送70 件，B 型机每小时运送50 件
23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、
B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘
制成了如下统计图
（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合
格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.
【解析】（1）100，补全图形如下：
（2）作出树状图如下所示：
随机回访两位竞赛成绩合格的同学共20 种情况，其中一男一女共12 种情况，所以恰好回
访到一男一女的概率为12
20 = 3
5
（3）2000×0.35=700 人，估计该校竞赛成绩“优秀”人数为700 人
24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函
数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函
数
的图象，并探究其性质.
列表如下：
（3）直接写出表中a，b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
-2
…
（4）观察函数
的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当
时，函数图象关于直线
对称；
②
时，函数有最小值，最小值为-2
③
时，函数
的值随
的增大而减小.
其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式
的解集为 .
【解析】（1）作出函数图象如图所示
（2）②③
（3）将不等式
两边同时乘以-1 可得
可得不等式的解集为
或
25.（本题满分12 分）
如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C，AE CD
⊥
于点E，交⊙O 于点F，连接AD，FD.
（4）求证：∠DAE= DAC
∠
；
（5）求证：DF·AC=AD·DC；
（6）若sin C=
∠
，AD=
，求EF 的长.
【解析】（1）连接OD，∵DC 为⊙O 的切线，∴OD CD
⊥
，即∠ODC=90°
AE
CD
∵
⊥
，∴∠AED=90°，∴∠AED= ODC=90°
∠
，∴AE OD
∥
，∴∠ODA= DAE
∠
又∵OD=OA=r，∴∠ODA= DAC
∠
，∴∠DAE= DAC
∠
（2）证明：连接BD，设∠DAE=α，又（1）可知∠CAD= DAE=α
∠
，∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，在Rt
ADB
△
中，∠BAD+ ABD=90°
∠
，∴∠ABD=90°-α，
又∵四边形ABDF 为⊙O 的内接四边形，∴∠AFD+ ABD=180°
∠
，∴∠AFD=90°+α
CDO=90°
∵∠
，∴∠ADC=90°+α
在△AFD 和△ADC 中有∠AFD= ADC
∠
，∠FAD= DAC
∠
，∴△AFD
ADC
∽△
∴DF
DC = AD
AC
，即DF·AC=AD·DC
（3）设OD=x，在Rt
COD
△
中sin C=
∠
1
4
，∴OC=4x，根据勾股定理可得CD=√15 x，
OA
∵
、OB 、OD 均为⊙O 的半径，∴OA=x ，∵OD AE
∥
，∴△COD
CAE
∽△
，∴
OD
AE = OC
CA = CD
CE ，∴AE=5
4 x，CE = 5√15
4
x，故DE = √15
4
x.
由（2）可知△AFD
ADC
∽△
，∴AD
AC = AF
AD
，且AD = 4√10，可得AF = 32
x
在Rt
ADE
△
中，AE
2+ DE
2= AD
2，∴25
16 x
2+ 15
16 x
2=160，∴x =8
∴AF = 32
x
=4，AE = 5
4 x=10，∴EF=AE-AF=10-4=6
26.（本题满分14 分）
如图，抛物线
(其中
)与
轴交于A、B 两点，交
轴于点C.
（4）直接写出∠OCA 的度数和线段AB 的长（用a 表示）；
（5）若点D 为△ABC 的外心，且△BCD 与△ACO 的周长之比为
，求此抛物线的
解析式；
（6）在（2 ）的前提下，试探究抛物线
上是否存在一点P ，使得
∠CAP= DBA
∠
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）A（a，0），C（0，-a），可得OC=OA=a，∴△AOC 为等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，
AB=a+1.
（2）∵D 为△ABC 的外心，∴∠BAC 为⊙D 中弧BC 所对的圆周角，∠BDC 为弧BC 所
对圆心角，∴∠BDC=2 BAC=90°
∠
，∴△BDC 和△AOC 均为等腰直角三角形，故
△BCD
ACO
∽△
BCD
∴△
与△ACO 的周长之比等于相似比，记⊙D 半径为R，∴R
a = √10
4
，∴R = √10
4 a
∵在等腰直角△BCD 中，BC =√1+a
2，且BC =√2R，∴R = √1+a
2
√2
∴√1+a
2
√2
=√10
4 a，解得a
2= 4
，又a>1, a=2
∴
，，故二次函数的解析式为y = x
2- x -2
（3）当P 在AC 下方时，∠CBD= CAD=45°
∠
，且∠CAP= DBA
∠
，∴∠PAO= CBO.
∠
tan CBO=
∠
，作PF x
⊥轴于F，∴
，设AF=m，则PF=2m，∴
代
入二次函数可得
，∴
当P 在AC 上方时，作
关于直线
对称点
，∴直线AM 的方程为
，联立
得
，∴此时P 点横坐标为
，将
代入抛物线可得，P 点纵坐标为
，所以此时P
综上所述，存在P 点的坐标为
和
