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2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在
答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分）
1．（3 分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000 人，
24000 用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）（2019•湘潭）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）（2019•湘潭）已知关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根，则
A．4
B．2
C．1
D．
6．（3 分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．
将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3 号线南延至湘潭北站，往返
长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民
进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确
的是
第1页（共26页）
A．平均数是8
B．众数是11
C．中位数是2
D．极差是10
7．（3 分）（2019•湘潭）如图，将
绕点
逆时针旋转
到
的位置，若
，则
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘
潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120 个物件所用
的时间与小江分拣90 个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20 个物件．若
设小江每小时分拣
个物件，则可列方程为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分）
9．（3 分）（2019•湘潭）函数
中，自变量
的取值范围是 ．
10．（3 分）（2019•湘潭）若
，
，则
．
11．（3 分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70 周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主
题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同
学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
12．（3 分）（2019•湘潭）计算：
．
13．
（3 分）
（2019•湘潭）将一次函数
的图象向上平移2 个单位，所得图象的函数表达式
为 ．
14．（3 分）（2019•湘潭）四边形的内角和为
．
第2页（共26页）
15．（3 分）（2019•湘潭）如图，在四边形
中，若
，则添加一个条件 ，能得
到平行四边形
．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
16．（3 分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算
弧田面积所用的经验公式是：弧田面积
（弦
矢
矢
．孤田是由圆弧和其所对的弦围成
（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离
之差，运用垂径定理（当半径
弦
时，
平分
可以求解．现已知弦
米，半
径等于5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
三、解答题（本大题共10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写
在答题卡相应位置上，满分72 分）
17．（6 分）（2019•湘潭）解不等式组
，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6 分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方
公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：
，其中
．
19．（6 分）（2019•湘潭）我国于2019 年6 月5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国
第3页（共26页）
火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点
处垂直海面发射，
当火箭到达点
处时，海岸边
处的雷达站测得点
到点
的距离为8 千米，仰角为
．
火箭继续直线上升到达点
处，此时海岸边
处的雷达测得
处的仰角增加
，求此时火
箭所在点
处与发射站点
处的距离．（结果精确到0.1 千米）（参考数据：
，
20．（6 分）（2019•湘潭）每年5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自
己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000 名师生进行了
心理测评，随机抽取20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20 名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
分数
人数
5
5
2
1
等第
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的
．
（2）心理测评等第
等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）学校决定对
等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需
要参加团队心理辅导？
第4页（共26页）
21．（6 分）（2019•湘潭）如图，将
沿着
边翻折，得到
，且
．
（1）判断四边形
的形状，并说明理由；
（2）若
，
，求四边形
的面积．
22．（6 分）（2019•湘潭）2018 年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“
”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任
选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“
”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；
（选法与顺序无关，例如：
“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他
们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画
树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
23．（8 分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，
与
轴的正半轴交于
、两点，
与
轴的正半轴相切于点
，连接
、
，已知
半径为2，
，双曲线
经过圆心
．
（1）求双曲线
的解析式；
（2）求直线
的解析式．
第5页（共26页）
24．（8 分）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色
农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店
、
两种湘莲礼盒一个月的销售情况，
种湘莲
礼盒进价72 元盒，售价120 元盒，种湘莲礼盒进价40 元盒，售价80 元盒，这两种湘
莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800 元，平均每天的总利润为1280 元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，
种湘莲礼盒售价每降3 元可多卖1 盒．若
种湘莲礼盒的售价和销量
不变，当
种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多
少元？
25．（10 分）（2019•湘潭）如图一，抛物线
过
，
、
三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）
，
、
两点均在该抛物线上，若
，求
点横坐标
的取值范围；
（3）如图二，过点
作
轴的平行线交抛物线于点
，该抛物线的对称轴与
轴交于点
，连
结
、
，点
为线段
的中点，点
、
分别为直线
和
上的动点，求
周
长的最小值．
26．（10 分）（2019•湘潭）如图一，在射线
的一侧以
为一条边作矩形
，
，
，点
是线段
上一动点（不与点
重合），连结
，过点
作
的垂线交射线
于点
，连接
．
第6页（共26页）
（1）求
的大小；
（2）问题探究：动点
在运动的过程中，
①是否能使
为等腰三角形，如果能，求出线段
的长度；如果不能，请说明理由．
②
的大小是否改变？若不改变，请求出
的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点
运动到
的中点时，
与
的交点为
，
的中点为
，求线段
的长度．
第7页（共26页）
2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在
答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分）
1．（3 分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据负数的定义可得
为答案．
【解答】解：
的绝对值
；
；
；
．
故选：
．
2．（3 分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A．
B．
C．
D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：
、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：
．
3．（3 分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000 人，
24000 用科学记数法表示为
第8页（共26页）
A．
B．
C．
D．
【分析】科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，为整数．确定
的值时，
要看把原数变成
时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值
时，
是正数；当原数的绝对值
时，
是负数．
【解答】解：将24000 用科学记数法表示为：
，
故选：
．
4．（3 分）（2019•湘潭）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式
子的值，再判断即可．
【解答】解：
、结果是
，故本选项不符合题意；
、结果是
，故本选项不符合题意；
、结果是
，故本选项不符合题意；
、结果是
，故本选项符合题意；
故选：
．
5．（3 分）（2019•湘潭）已知关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根，则
A．4
B．2
C．1
D．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于
的一元一次方程，解
方程即可得出结论．
【解答】解：
方程
有两个相等的实数根，
△
，
解得：
．
故选：
．
6．（3 分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．
将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3 号线南延至湘潭北站，往返
长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民
进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确
的是
第9页（共26页）
A．平均数是8
B．众数是11
C．中位数是2
D．极差是10
【分析】从条形统计图中可以知道共调查40 人，选择公交7 人，火车2 人，地铁13 人，轻轨11
人，其它7 人，
极差为
，故
不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故
不正确，从小到大
排列，第20、21 个数都是13，即中位数是13，故
是不正确的；
，即平均数是8，故
事正确的．
【解答】解：
，即平均数是8，故
事正确的．
出现次数最多的是13，即众数是13，故
不正确，
从小到大排列，第20、21 个数都是13，即中位数是13，故
是不正确的；
极差为
，故
不正确；
故选：
．
7．（3 分）（2019•湘潭）如图，将
绕点
逆时针旋转
到
的位置，若
，则
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据旋转角定义可以知道
，而
，然后根据图形即可求出
．
【解答】解：
绕点
逆时针旋转
到
的位置，
，
而
，
．
故选：
．
第10页（共26页）
8．（3 分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘
潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120 个物件所用
的时间与小江分拣90 个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20 个物件．若
设小江每小时分拣
个物件，则可列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：
．
二、填空题（本大题共8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分）
9．（3 分）（2019•湘潭）函数
中，自变量
的取值范围是
．
【分析】根据分母不等于0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，
，
解得
．
故答案为：
．
10．（3 分）（2019•湘潭）若
，
，则
15
．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】解：
，
，
，
故答案为：15．
11．（3 分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70 周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主
题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同
学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是
．
【分析】随机事件
的概率
（A）
事件
可能出现的结果数
所有可能出现的结果数．
第11页（共26页）
【解答】解：选出的恰为女生的概率为
，
故答案为
．
12．（3 分）（2019•湘潭）计算：
4
．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：
，
故答案为：4．
13．
（3 分）
（2019•湘潭）将一次函数
的图象向上平移2 个单位，所得图象的函数表达式
为
．
【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将正比例函数
的图象向上平移2 个单位后所得函数的解析式为
，
故答案为：
．
14．（3 分）（2019•湘潭）四边形的内角和为
．
【分析】根据
边形的内角和是
，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：
．
故四边形的内角和为
．
故答案为：
．
15．（3 分）（2019•湘潭）如图，在四边形
中，若
，则添加一个条件
，能得到平行四边形
．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
【分析】可再添加一个条件
，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形
是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：
．
故答案为：
（答案不唯一）．
16．（3 分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算
第12页（共26页）
弧田面积所用的经验公式是：弧田面积
（弦
矢
矢
．孤田是由圆弧和其所对的弦围成
（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离
之差，运用垂径定理（当半径
弦
时，
平分
可以求解．现已知弦
米，半
径等于5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为
10
平方米．
【分析】根据垂径定理得到
，由勾股定理得到
，求得
，根据弧田面积
（弦
矢
矢
即可得到结论．
【解答】解：
弦
米，半径
弦
，
，
，
，
弧田面积
（弦
矢
矢
，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写
在答题卡相应位置上，满分72 分）
17．（6 分）（2019•湘潭）解不等式组
，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
，
解不等式①得，
，
第13页（共26页）
解不等式②，
，
所以，原不等式组的解集为
，
在数轴上表示如下：
．
18．（6 分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方
公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：
，其中
．
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将
的值代入化简后的式子即可解
答本题．
【解答】解：
，
当
时，原式
．
19．（6 分）（2019•湘潭）我国于2019 年6 月5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国
火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点
处垂直海面发射，
当火箭到达点
处时，海岸边
处的雷达站测得点
到点
的距离为8 千米，仰角为
．
火箭继续直线上升到达点
处，此时海岸边
处的雷达测得
处的仰角增加
，求此时火
箭所在点
处与发射站点
处的距离．（结果精确到0.1 千米）（参考数据：
，
第14页（共26页）
【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出
的长．
【解答】解：如图所示：连接
，由题意可得：
，
，
，
，
在直角
中，
．
在直角
中，
．
答：此时火箭所在点
处与发射站点
处的距离约为
．
20．（6 分）（2019•湘潭）每年5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自
己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000 名师生进行了
心理测评，随机抽取20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20 名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
分数
人数
5
5
2
1
等第
第15页（共26页）
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的
7
．
（2）心理测评等第
等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）学校决定对
等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需
要参加团队心理辅导？
【分析】（1）根据
组人数以及百分比求出总人数，再求出
即可．
（2）根据圆心角
百分比计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）总人数
（人，
，
故答案为7．
（2）
所占的圆心角
，
故答案为
．
（3）
（人，
答：估计有100 名师生需要参加团队心理辅导．
21．（6 分）（2019•湘潭）如图，将
沿着
边翻折，得到
，且
．
（1）判断四边形
的形状，并说明理由；
（2）若
，
，求四边形
的面积．
【分析】（1）由折叠的性质得出
，
，
，
，由平
第16页（共26页）
行线的性质得出
，得出
，证出
，
，即可得出结论；
（2）连接
交
于
，由菱形的性质得出
，
，
，由勾
股定理求出
，得出
，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形
是菱形；理由如下：
沿着
边翻折，得到
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是菱形；
（2）连接
交
于
，如图所示：
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
四边形
的面积
．
22．（6 分）（2019•湘潭）2018 年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“
”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任
选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“
”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；
（选法与顺序无关，例如：
“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
第17页（共26页）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他
们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画
树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；
（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）画树状图如下，
由树状图知，共有12 种等可能结果；
（2）画树状图如下
由树状图知，共有9 种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1 种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为
．
23．（8 分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，
与
轴的正半轴交于
、两点，
与
轴的正半轴相切于点
，连接
、
，已知
半径为2，
，双曲线
经过圆心
．
（1）求双曲线
的解析式；
（2）求直线
的解析式．
【分析】（1）先求出
，再判断出四边形
是矩形，得出
，进而求出点
的坐
标，即可得出结论；
第18页（共26页）
（2）先求出点
的坐标，再用三角函数求出
，进而求出点
的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点
作
轴于
，
，
切
轴于
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
在
中，
，
，
双曲线
经过圆心
，
，
双曲线的解析式为
；
（2）如图，过点
，
作直线，
由（1）知，四边形
是矩形，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
设直线
的解析式为
，
第19页（共26页）
，
，
直线
的解析式为
．
24．（8 分）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色
农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店
、
两种湘莲礼盒一个月的销售情况，
种湘莲
礼盒进价72 元盒，售价120 元盒，种湘莲礼盒进价40 元盒，售价80 元盒，这两种湘
莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800 元，平均每天的总利润为1280 元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，
种湘莲礼盒售价每降3 元可多卖1 盒．若
种湘莲礼盒的售价和销量
不变，当
种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多
少元？
【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售
礼盒
盒，种礼盒为
盒，列二元一次方程组
即可解题
（2）根据题意，可设
种礼盒降价
元盒，则
种礼盒的销售量为：
盒，再列出关
系式即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售
礼盒
盒，
种礼盒为
盒，
则有
，解得
故该店平均每天销售
礼盒10 盒，
种礼盒为20 盒．
（2）设
种湘莲礼盒降价
元盒，利润为
元，依题意
第20页（共26页）
总利润
化简得
当
时，取得最大值为1307，
故当
种湘莲礼盒降价9 元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307 元．
25．（10 分）（2019•湘潭）如图一，抛物线
过
，
、
三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）
，
、
两点均在该抛物线上，若
，求
点横坐标
的取值范围；
（3）如图二，过点
作
轴的平行线交抛物线于点
，该抛物线的对称轴与
轴交于点
，连
结
、
，点
为线段
的中点，点
、
分别为直线
和
上的动点，求
周
长的最小值．
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出
、
、
，即可求出关系式；
（2）可以求出点
关于对称轴的对称点的横坐标为：
，根据函数的增减性，可以
求出当
时
点横坐标
的取值范围；
（3）由于点
是
的中点，可求出点
的坐标，根据对称找出
关于直线
、
的对称
点，连接两个对称点的直线与
、
的交点
、
，此时三角形的周长最小，周长就等于
这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【解答】解：（1）
抛物线
过
，
、
三点
第21页（共26页）
解得：
，
，
；
抛物线的解析式为：
．
（2）抛物线的对称轴为
，抛物线上与
相对称的点
，
在该抛物线上，
，根据抛物线的增减性得：
或
答：
点横坐标
的取值范围：
或
．
（3）
，
，
，
，
，
，
是
的中点，
，
当点
关于直线
的对称点为
，关于直线
的对称点为
，直线
与
、
交
点为
、
，此时
的周长最小，周长为
的长，由对称可得到：
，
，
即点
，
，
即：
的周长最小值为3，
第22页（共26页）
26．（10 分）（2019•湘潭）如图一，在射线
的一侧以
为一条边作矩形
，
，
，点
是线段
上一动点（不与点
重合），连结
，过点
作
的垂线交射线
于点
，连接
．
（1）求
的大小；
（2）问题探究：动点
在运动的过程中，
①是否能使
为等腰三角形，如果能，求出线段
的长度；如果不能，请说明理由．
②
的大小是否改变？若不改变，请求出
的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点
运动到
的中点时，
与
的交点为
，
的中点为
，求线段
的长度．
【分析】（1）在
中，求出
的正切值即可解决问题．
（2）①分两种情形：当
时，当
时，分别求解即可．
②
．利用四点共圆解决问题即可．
（3）首先证明
是等边三角形，再证明
垂直平分线段
，解直角三角形即可解决
问题．
第23页（共26页）
【解答】解：（1）如图一（1）中，
四边形
是矩形，
，
，
．
（2）①如图一（1）中，当
时，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
如图一（2）中，当
时，易证
，
第24页（共26页）
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的
的值为5 或
．
②结论：
大小不变．
理由：如图一（1）中，
，
，
，
，
四点共圆，
．
如图一（2）中，
，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，
综上所述，
．
（3）如图二中，
，
，
，
，
第25页（共26页）
是等边三角形，
，
，
，
，
，
垂直平分线段
，
，
，
，
，
．
第26页（共26页）
