2021 年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项符合题意．
1．2 的相反数是（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4
B．a2⋅a＝a3
C．（3a）2＝6a2
D．a6+a2＝a3
3．如图是由6 个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小
立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，则∠3 的度数为（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
5．15 名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8 名，则他不仅要
知道自己的成绩（ ）
A．平均数
B．众数
C．方差
D．中位数
6．若a＝
，b＝
，c＝2，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
7．下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2 两部分
8．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角
三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG 并延长交
BC 于点M．若AB＝
，则GM 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600 米/分的速度匀速骑了2.5 分钟，在原地停留了2 分钟，然后以
1000 米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x 分钟；
②有一个容积为1.5 升的开口空瓶，小张以0.6 升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满
后停止，再以1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x 秒，瓶内水的体积为y
升；
③在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝1.5，△ABP 的面积为y．
其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
10．已知A、B 两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB 上有一动点M（m，
n），过点M 作x 轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2 于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两
点．若x1＜m≤x2，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣4≤a＜﹣
B．﹣4≤a≤﹣
C．﹣
≤a＜0
D．﹣
＜a＜0
二、填空题：（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）
11．中国共产党自1921 年诞生以来，仅用了100 年时间，党员人数从建党之初的50 余名
发展到如今约92000000 名 ．
12．将2 本艺术类、4 本文学类、6 本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，
则抽中文学类的概率为 ．
13．若x2+x﹣1＝0，则3x﹣
＝ ．
14．如图，在矩形ABCD 中，AB＝2cm
cm 以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴
影部分的面积为 cm2．
15．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN 对折后，按图1 分成六等份折叠得到图2，
再将△AOB 展开得到如图3 的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA 的度数为
．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝120°，交CD 于点G．FH⊥CD 于点H，连结CF．
有下列结论：①AF＝CF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝
．
三、解答题：（本大题共8 个小题，共86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（9 分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x﹣3＝0．
18．（10 分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗
接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注）、B（关注较多）、C
（关注较少）（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D 类职工中有3 名女士和2 名男士，现从中任意抽取2 人进行随访，请用树状
图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
19．（10 分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并
对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，2 件甲种奖品和3 件乙种奖品共需
70 元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种
奖品数量的
20．（10 分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝
（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）连结AO 并延长交双曲线于点C，连结BC 交x 轴于点D，连结AD
21．（11 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AC 交BA 的延长线于点E，交AC 于点
F．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝
，求AF 的长．
22．（11 分）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020﹣2025 年拟建设5G 基站七千个．如图，
在坡度为i＝1：2.4 的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB，然后她沿坡面CB 行走13 米到
达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53°．（点A、B、C、D 均在同一平面内）（参考
数据：sin53°≈
，cos53°≈
，tan53°≈
）
（1）求D 处的竖直高度；
（2）求基站塔AB 的高．
23．（12 分）已知，在△ABC 中，∠BAC＝90°
（1）如图1，已知点D 在BC 边上，∠DAE＝90°，连结CE．试探究BD 与CE 的关系；
（2）如图2，已知点D 在BC 下方，∠DAE＝90°，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2
，AD 交BC 于点F，求AF 的长；
（3）如图3，已知点D 在BC 下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，AB2＝6，
AD2＝4+
，求sin∠BCD 的值．
24．（13 分）抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，且B（﹣1，
0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E，求点P
的坐标；
（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD，点M 是
平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN．当
D'N+CN 的值最小时
2021 年四川省资阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项符合题意．
1．2 的相反数是（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：2 的相反数是﹣2．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4
B．a2⋅a＝a3
C．（3a）2＝6a2
D．a6+a2＝a3
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
【解答】解：A.a2+a2＝3a2，因此选项A 不正确；
B.a2•a＝a7+1＝a3，因此选项B 正确；
C.（4a）2＝9a4，因此选项C 不正确；
D.a6与a2不是同类项，不能合并计算；
故选：B．
3．如图是由6 个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小
立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出
答案．
【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为3 个正方形，
因此选项C 中的图形符合题意，
故选：C．
4．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，则∠3 的度数为（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠4＝40°，在根据三角形的外角性质即可得解．
【解答】解：如图，
∵直线m∥n，∠1＝40°，
∴∠4＝∠7＝40°，
∵∠3＝∠2+∠2，∠2＝30°，
∴∠3＝30°+40°＝70°，
故选：B．
5．15 名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8 名，则他不仅要
知道自己的成绩（ ）
A．平均数
B．众数
C．方差
D．中位数
【分析】15 人成绩的中位数是第8 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8 名，
只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有15 个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前8 名．
故选：D．
6．若a＝
，b＝
，c＝2，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b 的近似值，再进行比较即可．
【解答】解：∵
＜
＜
，
∴1＜
＜2，
即1＜a＜3，
又∵2＜
＜6，
∴2＜b＜3，
∴a＜c＜b，
故选：C．
7．下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2 两部分
【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线
定理进行判断即可选出正确答案．
【解答】解：A、每条边，故错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
C、过线段中点，故错误；
D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3 两部分，是假命题．
（∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DE＝
，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1:7，
∴S△ADE：S△ABC＝1:4，
∴S△ADE：S 四边形DECB＝4：3．）
故选：B．
8．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角
三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG 并延长交
BC 于点M．若AB＝
，则GM 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由大正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，在
直角三角形AEB 中使用勾股定理可求出BF＝AE＝GC＝DH＝2，过点M 作MN⊥FC 于
点N，由三角形EFG 为等腰直角三角形可证得三角形GNM 也为等腰直角三角形，设
GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，由tan∠FCB＝
＝
＝
＝
，可解得a
＝
．进而可得GM＝
＝
．
【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1
，
∵大正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，
故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，
则在Rt△AEB 中，有AB2＝AE4+BE2，
即13＝x2+(2+x)2，解得：x＝2．
过点M 作MN⊥FC 于点N，如图所示．
∵四边形EFGH 为正方形，EG 为对角线，
∴△EFG 为等腰直角三角形，
∴∠EGF＝∠NGM＝45°，
故△GNM 为等腰直角三角形．
设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝5﹣a，
∵tan∠FCB＝
＝
＝
＝
，
解得：a＝
．
∴GM＝
＝
＝
．
故选：D．
9．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600 米/分的速度匀速骑了2.5 分钟，在原地停留了2 分钟，然后以
1000 米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x 分钟；
②有一个容积为1.5 升的开口空瓶，小张以0.6 升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满
后停止，再以1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x 秒，瓶内水的体积为y
升；
③在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝1.5，△ABP 的面积为y．
其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可．
【解答】解：①小明从家骑车以600 米/分的速度匀速骑了2.5 分钟，离家的距离＝
600×5.5＝1500（米）＝1.4（千米），
原地停留＝4.5﹣3.5＝2（分），
返回需要的时间＝1500÷1000＝7.5（分），4.3+1.5＝3（分），
故①符合题意；
②1.5÷7.6＝2.4（秒），2.5+6＝4.5（秒），5.5+1.6＝6（秒），
故②符合题意；
③根据勾股定理得：AC＝
＝
＝7.5,
当点P 在AC 上运动时，y 随x 增大而增大，y＝
,
当点P 在CD 上运动时，y 不变，
当点P 在AD 上运动时，y 随x 增大而减小，
故③符合题意；
故选：A．
10．已知A、B 两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB 上有一动点M（m，
n），过点M 作x 轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2 于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两
点．若x1＜m≤x2，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣4≤a＜﹣
B．﹣4≤a≤﹣
C．﹣
≤a＜0
D．﹣
＜a＜0
【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．求出抛物线经过点A 时a 的值即可．
【解答】解：如图，由题意，a<0．
当抛物线y＝a（x﹣1）5+2 经过点A(3,﹣5)时,
∴a＝﹣
,
观察图象可知，当抛物线与线段AB 没有交点或经过点A 时,
∴﹣
≤a<0．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）
11．中国共产党自1921 年诞生以来，仅用了100 年时间，党员人数从建党之初的50 余名
发展到如今约92000000 名
9.2×10
7
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：92000000＝9.2×108．
故答案为：9.2×107．
12．将2 本艺术类、4 本文学类、6 本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，
则抽中文学类的概率为
．
【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可．
【解答】解：∵一共有2+4+8＝12 本书籍，其中文学类有4 本，
∴小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为
＝
，
故答案为：
．
13．若x2+x﹣1＝0，则3x﹣
＝ ﹣
3
．
【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据x2+x﹣1＝0，可以得到x﹣
的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：3x﹣
＝2（x﹣
），
∵x2+x﹣5＝0，
x+1﹣
＝0，
∴x﹣
＝﹣7，
当x﹣
＝﹣1 时，
故答案为：﹣6．
14．如图，在矩形ABCD 中，AB＝2cm
cm 以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴
影部分的面积为
(2
﹣
﹣
π )
cm2．
【分析】连接BE．首先证明∠EBC＝30°，根据S 阴＝S 矩形ABCD﹣S△EBC﹣S 扇形AEB计算即
可．
【解答】解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD＝BC＝
cm，CD∥AB，
在Rt△BCE 中，
∵AE＝BE＝2cm，BC＝
，
∴EC＝
＝6cm，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠BEC＝60°,
∴S 阴＝S 矩形ABCD﹣S△BEC﹣S 扇形AEB,
＝2﹣
×1×
﹣
8,
＝(2﹣
﹣
π)cm ²．
故答案为:(6﹣
﹣
π)．
15．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN 对折后，按图1 分成六等份折叠得到图2，
再将△AOB 展开得到如图3 的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA 的度数为
135°
．
【分析】根据翻折可以知道∠OAB＝
∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB
和∠OAB 的度数即可求∠OBA 的度数．
【解答】解：由题知，∠AOB＝
，
有翻折知∠OAB＝
∠DCE，
∵∠CDE＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠OAB＝
∠DCE＝
，
∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，
故答案为：135°．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝120°，交CD 于点G．FH⊥CD 于点H，连结CF．
有下列结论：①AF＝CF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝
①②③④
．
【分析】由菱形ABCD 的对称性可判断①正确，利用△CFG∽△EFC,可得CF2＝
EF•GF,从而判断②正确，设AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE 中，CE＝CD•cos60°＝
CD＝
m,BE＝
m,可得
＝
＝
＝
,设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n,可得FG＝
n,EG＝EF﹣FG＝
n,从而FG:EG＝(
n):（
n)＝4:5,可判断③正确，设CE＝
t,Rt△CDE 中，CD＝2t＝AD,DE＝
t,Rt△BDE 中，BD＝2DE＝2
t,可求出DF＝
BD
＝
t,Rt△DFH 中，FH ＝
DF ＝
t,Rt△ADE 中，AE ＝
＝
＝
t,即可得EF＝
AE＝
t,FG＝
EF＝
t,Rt△FHG 中，
cos∠GFH＝
＝
＝
,即可判断④正确，
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴对角线BD 所在直线是菱形ABCD 的对称轴，沿直线BD 对折，
∴AF＝CF,故①正确，
∠FAD＝∠FCD,
∵AD∥BC,
∴∠FAD＝∠FEC,
∴∠FCD＝∠FEC,
又∠CFG＝∠EFC,
∴△CFG∽△EFC,
∴
＝
,
∴CF2＝EF•GF,
∴AF2＝EF•GF,故②正确，
∵菱形ABCD 中，∠BAD＝120°，
∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，AD＝CD＝BC,
设AD＝CD＝BC＝m,
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
Rt△CDE 中，CE＝CD•cos60°＝
m,
∴BE＝
m,
∵AD∥BE,
∴
＝
＝
＝
,
设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,
又CF7＝FG•EF,
∴(2n)2＝FG•8n,
∴FG＝
n,
∴EG＝EF﹣FG＝
n,
∴FG:EG＝(
n):（
,故③正确，
设CE＝t,
Rt△CDE 中，CD＝3t＝AD
t,
Rt△BDE 中，BD＝2DE＝3
t,
∵AD∥BE,
∴
＝
＝
＝
,
∴DF＝
BD＝
t,
Rt△DFH 中，FH＝
t,
Rt△ADE 中，AE＝
＝
＝
t,
∴EF＝
AE＝
t,
∵FG:EG＝4:8,
∴FG＝
EF＝
t,
Rt△FHG 中，cos∠GFH＝
＝
＝
，
故答案为：①②③④．
三、解答题：（本大题共8 个小题，共86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（9 分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x﹣3＝0．
【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x 的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝（
﹣
）•
＝
•
＝
•
＝
,
∵x﹣3＝0,
∴x＝7,
此时，原式＝
．
18．（10 分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗
接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注）、B（关注较多）、C
（关注较少）（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D 类职工中有3 名女士和2 名男士，现从中任意抽取2 人进行随访，请用树状
图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
【分析】（1）由B 类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20 种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的职工人数为：150÷75%＝200（人），
∴C 类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°×
＝27°，
A 类的人数为200﹣150﹣15﹣5＝30（人），
补全条形统计图如下：
（2）画树状图如图：
共有20 种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12 种，
∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率为
＝
．
19．（10 分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并
对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，2 件甲种奖品和3 件乙种奖品共需
70 元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种
奖品数量的
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，根据“购买1
件甲种奖品和2 件乙种奖品共需40 元，购买2 件甲种奖品和3 件乙种奖品共需70 元”，
即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用
为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的
，可得出关于m 的一元一次不等式，
解之可得出m 的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w 关于m 的函数关系式，利
用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，
依题意，得：
，
解得
，
答：甲种奖品的单价为20 元/件，乙种奖品的单价为10 元/件．
（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2 倍，
∴m
(60﹣m)，
∴m≥20．
依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w 随m 值的增大而增大，
∴当学习购买20 件甲种奖品、40 件乙种奖品时，最小费用是800 元．
20．（10 分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝
（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）连结AO 并延长交双曲线于点C，连结BC 交x 轴于点D，连结AD
【分析】(1)由反比例函数解析式求得A、B 点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直
线AB 的解析式；
（2）根据反比例函数的对称性求得C 的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC 的解析
式，从而求得D 的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3,根据勾股定
理求得CD、BD 的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD 的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝
相交于A（m、B（6．
∴3m＝3n＝7,
∴m＝n＝2,
∴A(2,5),2),
把A(2,7),2)代入y＝kx+b 得
,
解得
,
∴直线AB 的解析式为y＝﹣x+5；
(2)∵AC 经过原点O,
∴A、C 关于原点对称，
∵A(6,3),
∴C(﹣2,﹣4),
设直线CB 的解析式为y＝mx+n,
∴
,解得
,
∴直线BC 为y＝x﹣1,
令y＝0,则x＝4,
∴D(1,0),
∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝8×
×2×3＝3,
∵BC＝
＝5
＝2
,
∴CD＝BC﹣BD＝8
,
∴
＝
,
∴S△ABD＝
S△ACD＝3．
21．（11 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AC 交BA 的延长线于点E，交AC 于点
F．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝
，求AF 的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠OBD＝∠ODB，可证
OD∥AC，可得OD⊥DE，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求DE＝4，在直角三角形ODE 中，由勾股定理可求OE＝5，通
过证明△AEF∽△OED，可得
，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝
，
∴
＝
，
∴DE＝4，
∴OE＝
＝
＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴
，
∴
，
∴AF＝
．
22．（11 分）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020﹣2025 年拟建设5G 基站七千个．如图，
在坡度为i＝1：2.4 的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB，然后她沿坡面CB 行走13 米到
达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53°．（点A、B、C、D 均在同一平面内）（参考
数据：sin53°≈
，cos53°≈
，tan53°≈
）
（1）求D 处的竖直高度；
（2）求基站塔AB 的高．
【分析】（1）通过作垂线，利用斜坡CB 的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可
求出答案；
（2）设出DE 的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF 是等腰直角三角形，
可表示BE，在△ADE 中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点C，交AB 的延长线于点E、F，垂足为M，
∵斜坡CB 的坡度为i＝1：2.5，
∴
＝
，
即
＝
，
设DM＝5k，则CM＝12k，
在Rt△CDM 中，CD＝13，
CM4+DM2＝CD2，
即（3k）2+（12k）2＝137，
解得k＝1，
∴DM＝5，CM＝12，
答：D 处的竖直高度为8 米；
（2）斜坡CB 的坡度为i＝1：2.7，
设DE＝12a 米，则BE＝5a 米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（6+12a）米，
在Rt△ADE 中，DE＝12a，
∵tan∠ADE＝tan53°≈
，
∴
＝
，
解得m＝
，
∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），
BE＝5a＝
（米），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣
＝
（米），
答：基站塔AB 的高为
米．
23．（12 分）已知，在△ABC 中，∠BAC＝90°
（1）如图1，已知点D 在BC 边上，∠DAE＝90°，连结CE．试探究BD 与CE 的关系；
（2）如图2，已知点D 在BC 下方，∠DAE＝90°，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2
，AD 交BC 于点F，求AF 的长；
（3）如图3，已知点D 在BC 下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，AB2＝6，
AD2＝4+
，求sin∠BCD 的值．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），进而求解；
（2）证明四边形ADHE 为正方形，则BH＝BD+DH＝2+6＝8,CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4,
在Rt△BCH 中，tan∠CBH＝
,在Rt△BDF 中，DF＝BDtan∠CBH＝2×
＝1，
进而求解；
（3）由DE2＝2AD2＝DH2+EH2，得到（3﹣x）2+（
+x）2＝2×（4+
），求出BD＝
x＝1，在Rt△BCD 中，∠CBD＝30°，BC＝2
，BD＝1，用解直角三角形的方法，即
可求解．
【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°,BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴BD＝CE 且BD⊥CE；
（2）延长BD 和CE 交于点H，
由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，
而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°,
故四边形ADHE 为矩形，
而AD＝AE，
故四边形ADHE 为正方形，
在Rt△ACE 中,AE＝
＝
＝
，
则BH＝BD+DH＝8+6＝8,CH＝HE﹣CE＝7﹣2＝4,
在Rt△BCH 中，tan∠CBH＝
,
在Rt△BDF 中，DF＝BDtan∠CBH＝2×
，
故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝7；
（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，延长EC 和BD 交于点H，
由（1）BD＝CE 且BD⊥CE，即∠H＝90°，
由作图知，△ADE 为等腰直角三角形，
设CE＝BD＝x，
在Rt△BHC 中，∠HBC＝30°
AB＝
，
则CH＝
BC，
则DH＝BH﹣x＝3﹣x,EH＝CH+CE＝x+
，
则DE7＝2AD2＝DH7+EH2，
即（3﹣x）7+（
+x）2＝7×（4+
），
解得x＝5﹣
（舍去）或1，
即BD＝x＝4，
过点D 作DN⊥BC 于点N，
在Rt△BCD 中，∠CBD＝30°
，BD＝1，
则ND＝
BD＝1
，
则CN＝CB﹣BN＝2
﹣
＝
,
则tan∠BCD＝
，
则sin∠BCD＝
．
24．（13 分）抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，且B（﹣1，
0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E，求点P
的坐标；
（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD，点M 是
平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN．当
D'N+CN 的值最小时
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决．
(2)如图1 中，过点B 作BT∥y 轴交AC 于T,过点P 作PQ∥OC 交AC 于Q．设P(m,﹣
m2+2m+3),求出BT,PQ,利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可．
（3）如图2 中，连接AD,过点N 作NJ⊥AD 于J,过点C 作CT⊥AD 于T．证明AD′⊥x
轴，由OD′ ＝
＝3
, 推出sin∠OD′ A ＝
＝
, 推出NJ ＝
ND′•sin∠OD′A＝
D′N,可得
D'N+CN＝CN+NJ,根据CN+NJ≥CT,可得结论．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c 经过B（﹣1，6），3），
∴
,
解得
,
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+7．
(2)如图1 中，过点B 作BT∥y 轴交AC 于T．
设P(m,﹣m2+2m+3),
对于抛物线y＝﹣x2+5x+3，令y＝0，
∴A(2,0),
∵C(0,8),
∴直线AC 的解析式为y＝﹣x+3,
∵B(﹣1,2),
∴T(﹣1,4),
∴BT＝3,
∵PQ∥OC,
∴Q(m,﹣m+3),
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m3+3m,
∵PQ∥BT,
∴
＝
＝
,
∴﹣m2+3m＝4,
解得m＝1 或2，
∴P(4,4)或（2．
（3）如图8 中，连接AD,过点C 作CT⊥AD 于T．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣(x﹣1)2+3,
∴顶点D(1,4),
∵C(8,3),
∴直线CD 的解析式为y＝x+3,CD＝
,
∵DD′＝2CD,
∵DD′＝2
,CD′＝3
,
∴D′(4,6),
∵A(3,2),
∴AD′⊥x 轴，
∴OD′＝
＝
＝3
,
∴sin∠OD′A＝
＝
,
∵CT⊥AD′,
∴CT＝3,
∵NJ⊥AD′,
∴NJ＝ND′•sin∠OD′A＝
D′N,
∴
D'N+CN＝CN+NJ,
∵CN+NJ≥CT,
∴
D'N+CN≥7,
∴
D'N+CN 的最小值为8．
