2021 年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）每小题都有代号为A、B、C、D 四个
答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确
记4 分，不涂、错涂或多涂记0 分.
1．（4 分）满足x≤3 的最大整数x 是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（4 分）数轴上表示数m 和m+2 的点到原点的距离相等，则m 为（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
3．（4 分）如图，点O 是▱ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD，BC 于点E，F，下列结
论成立的是（ ）
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
4．
（4 分）据统计，某班7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，
7．下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6
B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6
D．该组数据的方差是6
5．（4 分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1 元，购买10 个肉粽和5 个素粽共用去70 元，设
每个肉粽x 元，则可列方程为（ ）
A．10x+5（x﹣1）＝70
B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70
D．10（x+1）+5x＝70
6．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．
•
＝
B．
÷
＝
C．
+
＝
D．
﹣
＝
7．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，CD＝2OE，则∠BCD 的度数为（ ）
第1页（共26页）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
8．
（4 分）如图，在菱形ABCD 中，∠A＝60°，点E，F 分别在边AB，BC 上，AE＝BF＝2，△DEF
的周长为3
，则AD 的长为（ ）
A．
B．2
C．
+1
D．2
﹣1
9．（4 分）已知方程x2﹣2021x+1＝0 的两根分别为x1，x2，则x1
2﹣
的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2021
D．﹣2021
10．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝15，BC＝20，把边AB 沿对角线BD 平移，点A′，B′
分别对应点A，B 给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D 的图形是平行四边形；
②点C 到它关于直线AA′的对称点的距离为48；
③A′C﹣B′C 的最大值为15；
④A′C+B′C 的最小值为9
．
其中正确结论的个数是（ ）
第2页（共26页）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．（4 分）如果x2＝4，则x＝ ．
12．（4 分）在﹣2，﹣1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是
．
13．（4 分）如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，点F，G，H 分别是BE，BC，CE 的中点，AF
＝3，则GH 的长为 ．
14．（4 分）若
＝3，则
+
＝ ．
15．（4 分）如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，BC＝
AB＝3BD，则AD：AC 的值为
．
16．（4 分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0 时，抛物线与直线y＝2x+2 没有交点；
②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则
a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9 个小题，共86 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（8 分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．
18．（8 分）如图，∠BAC＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点E，
CF⊥AD 于点F．求证：AF＝BE．
第3页（共26页）
19．（8 分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考
试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百
分制）的统计图表如下：
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），
分别计算小红和小强的体育中考成绩．
20．（10 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k 与
都为整数，求k 所有可能的值．
21．（10 分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B 和C．
（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E
第4页（共26页）
的坐标，并求△BCE 的面积．
22．（10 分）如图，A，B 是⊙O 上两点，且AB＝OA，连接OB 并延长到点C，使BC＝OB，连接
AC．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交⊙O 于点F，G，OA＝4，求GF 的长．
23．（10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加2 元/千克要用300 元；如果进价减少2 元/千克，
同样数量的苹果只用200 元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100 千克，超过
部分购进价格减少2 元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函
数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300 千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售
单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣
x+12．在（2）的条件下，要
使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
第5页（共26页）
24．（10 分）如图，点E 在正方形ABCD 边AD 上，点F 是线段AB 上的动点（不与点A 重合），
DF 交AC 于点G，GH⊥AD 于点H，AB＝1，DE＝
．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE 时，判断EG 与AC 的位置关系并说明理由．
25．（12 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和B，与y 轴交于点
C，对称轴为直线x＝
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B，C 重合），过点P 作y 轴的平行线
交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，且∠DQE
＝2∠ODQ．在y 轴上是否存在点F，得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若
不存在，请说明理由．
第6页（共26页）
2021 年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）每小题都有代号为A、B、C、D 四个
答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确
记4 分，不涂、错涂或多涂记0 分.
1．（4 分）满足x≤3 的最大整数x 是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：满足x≤3 的最大整数x 是3，
故选：C．
2．（4 分）数轴上表示数m 和m+2 的点到原点的距离相等，则m 为（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|,
∴m＝m+2 或m＝﹣(m+2),
∴m＝﹣1．
故选：C．
3．（4 分）如图，点O 是▱ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD，BC 于点E，F，下列结
论成立的是（ ）
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
第7页（共26页）
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项A 正确，选项B、C、D 不正确，
故选：A．
4．
（4 分）据统计，某班7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，
7．下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6
B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6
D．该组数据的方差是6
【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7．则中位数是6，故本选项说法
正确，不符合题意；
B、∵6 出现了3 次，出现的次数最多，
∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；
D、方差为：×[（5﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2]＝
，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
5．（4 分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1 元，购买10 个肉粽和5 个素粽共用去70 元，设
每个肉粽x 元，则可列方程为（ ）
A．10x+5（x﹣1）＝70
B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70
D．10（x+1）+5x＝70
【解答】解：设每个肉粽x 元，则每个素粽（x﹣1）元，
依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．
故选：A．
6．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．
•
＝
B．
÷
＝
C．
+
＝
D．
﹣
＝
【解答】解：
＝
，故选项A 错误；
＝
＝
，故选项B 错误；
第8页（共26页）
＝
＝
，故选项C 错误；
＝
＝
＝
，故选项D 正确；
故选：D．
7．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，CD＝2OE，则∠BCD 的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝
∠DOE＝22.5°．
故选：B．
8．
（4 分）如图，在菱形ABCD 中，∠A＝60°，点E，F 分别在边AB，BC 上，AE＝BF＝2，△DEF
的周长为3
，则AD 的长为（ ）
A．
B．2
C．
+1
D．2
﹣1
【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD 是菱形，
第9页（共26页）
∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF 是等边三角形，
∵△DEF 的周长是3
，
∴DE＝
,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD,DH⊥AB,
∴∠ADH＝
∠ADB＝30°,
∴AD＝2x,DH＝
x，
在Rt△DHE 中，DH ²+HE ²＝DE ²,
∴（
x）²+(2﹣x)²＝(
)²,
解得：x＝
(负值舍去），
∴AD＝2x＝1+
，
故选：C．
9．（4 分）已知方程x2﹣2021x+1＝0 的两根分别为x1，x2，则x1
2﹣
的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2021
D．﹣2021
【解答】解:∵方程x2﹣2021x+1＝0 的两根分别为x1，x2，
第10页（共26页）
∴x1+x2＝2021,x1
2﹣2021x1+1＝0，x2
2﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0,
∴x2﹣2021+
＝0,
∴﹣
＝x2﹣2021,
∴﹣
,
∴x1
2﹣
＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021(x1+x2)﹣1+20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
故选：B．
10．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝15，BC＝20，把边AB 沿对角线BD 平移，点A′，B′
分别对应点A，B 给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D 的图形是平行四边形；
②点C 到它关于直线AA′的对称点的距离为48；
③A′C﹣B′C 的最大值为15；
④A′C+B′C 的最小值为9
．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：如图1 中，∵AB＝A′B′,AB∥A′B′,AB＝CD,AB∥CD,
∴A′B′＝CD,A′B′∥CD,
∴四边形A′B′CD 是平行四边形，故①正确，
作点C 关于直线AA′的对称点E,连接CE 交AA′于T,交BD 于点O,则CE＝4OC．
第11页（共26页）
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BCD＝90°,CD＝AB＝15,
∴BD＝
＝
＝25,
∵
•BD•CO＝
•BC•CD,
∴OC＝
＝12,
∴EC＝48,故②正确，
∵A′C﹣B′C≤A′B′,
∴A′C﹣B′C≤15,
∴A′C﹣B′C 的最大值为15,故③正确，
如图2 中，∵B′C＝A′D,
∴A′C+B′C＝A′C+A′D,
作点D 关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD 交CD 的
延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′,
由△AJD∽△DAB,可得
＝
,
∴
＝
,
∴DJ＝12,
∴DD′＝24,
由△DEE′∽△DAB,可得
＝
＝
,
∴
＝
＝
,
∴ED′＝
,DE＝
,
∴CE＝CD+DE＝15+
＝
,
∴CD′＝
＝
＝9
,
∴A′C+B′C 的最小值为9
．故④正确，
故选：D．
第12页（共26页）
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．（4 分）如果x2＝4，则x＝
±2
．
【解答】解：x2＝4，
开平方得x＝±2；
故答案为：±2．
12．（4 分）在﹣2，﹣1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是
．
【解答】解：在﹣2，﹣1，1，2 这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1 和1 这两个数，
所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是
＝
，
故答案为：
．
13．（4 分）如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，点F，G，H 分别是BE，BC，CE 的中点，AF
＝3，则GH 的长为
3
．
第13页（共26页）
【解答】解：在矩形ABCD 中，∠BAD＝90°，
∵F 为BE 的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H 分别为BC，EC 的中点，
∴GH＝
BE＝3，
故答案为3．
14．（4 分）若
＝3，则
+
＝
．
【解答】解：∵
,
∴n＝2m,
∴
+
＝
+
＝
+4＝
,
故答案为：
．
15．（4 分）如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，BC＝
AB＝3BD，则AD：AC 的值为
．
【解答】解：∵BC＝
AB＝3BD，
∴
，
∵∠B＝∠B，
第14页（共26页）
∴△ABC∽△DBA，
∴
,
∴AD:AC＝
,
故答案为：
．
16．（4 分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0 时，抛物线与直线y＝2x+2 没有交点；
②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则
a≥1．
其中正确结论的序号是
②③
．
【解答】解：由
,消去y 得到，ax2﹣4x﹣1＝0,
∵△＝16+4a,a＜0,
∴△的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2 可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x 轴有两个交点,
∴△＝4﹣4a＞0,
∴a＜1,
∵抛物线经过(0,1),且x＝1 时，y＝a﹣1＜0,
∴抛物线与x 轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴﹣
＞0,
∴a＞0,
∴1＞
≥0,
解得，a≥1,故③正确，
故答案为：②③．
三、解答题（本大题共9 个小题，共86 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
第15页（共26页）
17．（8 分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣(4x2﹣12x+9)
＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9
＝12x﹣10．
∵x＝﹣1,
∴12x﹣10＝12×(﹣1)﹣10＝﹣22．
故答案为：12x﹣10,﹣22．
18．（8 分）如图，∠BAC＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点E，
CF⊥AD 于点F．求证：AF＝BE．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC,
在△ACF 和△BAE 中，
,
∴△ACF≌△BAE(AAS),
∴AF＝BE．
19．（8 分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考
试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百
分制）的统计图表如下：
第16页（共26页）
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），
分别计算小红和小强的体育中考成绩．
【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知共有9 种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3 种结果，
所以小红和小强自选项目相同的概率为
＝
；
（2）①补全条形统计图如下：
②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%＝93.5（分），
小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%＝92.5（分）．
20．（10 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
第17页（共26页）
（1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k 与
都为整数，求k 所有可能的值．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k 取何值,方程有两个不相等的实数根．
(2)解:∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k 或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0 的两根为k,k+1,
∴
或
,
如果1+
为整数,则k 为1 的约数,
∴k＝±1,
如果1﹣
为整数,则k+1 为1 的约数,
∴k+1＝±1,
则k 为0 或﹣2．
∴整数k 的所有可能的值为±1,0 或﹣2．
21．（10 分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B 和C．
（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E
的坐标，并求△BCE 的面积．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝
,直线AB 解析式为y＝ax+b,
∵反比例函数的图象过点B（4，1）,
第18页（共26页）
∴k＝4×1＝4,
把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b 得
,
解得
,
∴直线AB 为y＝
,反比例函数的解析式为y＝
；
(2)解
得
或
,
∴C(﹣2,﹣2),
设直线CD 为y＝mx+n,
把C(﹣2,﹣2),D(﹣1,0)代入得
,
解得
,
∴直线CD 为y＝2x+2,
由
得
或
,
∴E(1,4),
∴S△BCE＝6×6﹣
×3﹣
﹣
＝
．
22．（10 分）如图，A，B 是⊙O 上两点，且AB＝OA，连接OB 并延长到点C，使BC＝OB，连接
AC．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交⊙O 于点F，G，OA＝4，求GF 的长．
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【解答】(1)证明:∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB 是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C,
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∴点A 在⊙O 上，
∴AC 是⊙O 的切线；
(2)解:如图，连结OF,过点O 作OH⊥GF 于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D,E 分别是AC，OA 的中点，
∴OE＝AE＝
OA＝
×4＝2,DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°,OH＝OEsin∠OEH＝
．
∴HF＝
＝
＝
．
∴GF＝2HF＝2
．
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23．（10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加2 元/千克要用300 元；如果进价减少2 元/千克，
同样数量的苹果只用200 元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100 千克，超过
部分购进价格减少2 元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函
数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300 千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售
单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣
x+12．在（2）的条件下，要
使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
【解答】(1)解：设苹果的进价为x 元/千克，
根据题意得：
，
解得：x＝10，
经检验x＝10 是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为10 元/千克．
(2)解：当0≤x≤100 时，y＝10x；
当x＞100 时，y＝10×100+(x﹣100)(10﹣2)＝8x+200；
∴y＝
．
(3)解：当0≤x≤100 时，
w＝(z﹣10)x
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＝(
)x
＝
，
∴当x＝100 时，w 有最大值为100；
当100＜x≤300 时，
w＝(z﹣10)×100+(z﹣8)(x﹣100)
＝(
)×100+(
)(x﹣100)
＝
＝
，
∴当x＝200 时，w 有最大值为200；
∵200＞100，
∴一天购进苹果数量为200 千克时，超市销售苹果利润最大为200 元．
答：一天购进苹果数量为200 千克时，超市销售苹果利润最大．
24．（10 分）如图，点E 在正方形ABCD 边AD 上，点F 是线段AB 上的动点（不与点A 重合），
DF 交AC 于点G，GH⊥AD 于点H，AB＝1，DE＝
．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE 时，判断EG 与AC 的位置关系并说明理由．
【解答】解:(1)过点E 作EM⊥AC 于点M,
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∴∠AME＝∠EMC＝90°,
∵四边形ABCD 是边长为1 的正方形,DE＝
,
∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1﹣
＝
,
∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD＝
,AC＝
,
∴CM＝AC﹣AM＝
﹣
＝
,
∴tan∠ACE＝
＝
＝
；
(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,
∴GH∥AB,
∴△DHG∽△DAF,
∴
,
∴
,
∴y＝x﹣xy,
∴y＝
(0＜x≤1)；
(3)当∠ADF＝∠ACE 时,EG⊥AC,
理由如下:
∵tan∠ADF＝tan∠ACE＝
,
∴
,
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∴x＝
,y＝
,
∴HA＝GH＝
,
∴EH＝AD﹣DE﹣AH＝
,
∴EG＝
＝
＝
,
∴EG＝EM,
又∵EM⊥AC,
∴点G 与点M 重合,
∴EG⊥AC．
25．（12 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和B，与y 轴交于点
C，对称轴为直线x＝
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B，C 重合），过点P 作y 轴的平行线
交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，且∠DQE
＝2∠ODQ．在y 轴上是否存在点F，得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若
不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）由题意得：
，解得
，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4 ①；
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1 或4，令x＝0，则y＝4，
故点B 的坐标为（4,0），点C（0,4），
设直线BC 的表达式为y＝kx+t，则
，解得
，
故直线BC 的表达式为y＝﹣x+4，
设点P 的坐标为（x，﹣x+4），则点Q 的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ 有最大值，当x＝2 时，PQ 的最大值为4＝CO，
此时点Q 的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ 为平行四边形；
（3）∵D 是OC 的中点，则点D（0,2），
由点D、Q 的坐标，同理可得，直线DQ 的表达式为y＝﹣2x﹣2，
过点Q 作QH⊥x 轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，
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故设直线QE 的表达式为y＝2x+r，
将点Q 的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE 的表达式为y＝2x﹣6 ②，
联立①②并解得
（不合题意的值已舍去），
故点E 的坐标为（5,4），
设点F 的坐标为（0，m），
由点B、E 的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF 时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF 时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF 时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝
；
故点F 的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，
）．
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