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眉山市2023 年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试数学试卷
第I 卷（选择题 共48 分）
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题4 分，共48 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1.
的倒数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的概念，乘积为的两个数互为倒数，由此即可求解．
【详解】解：
的倒数是
，
故选：
．
【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键．
2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为
毫米，数据
用科学记数法表示正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1 的非零数表示成
，其中
，n 是一个
负整数，n 的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可
解答．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1 的数，熟知概念是解题的关键．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据
积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：
，
不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；
，故B 不符合题意；
，故C 不符合题意；
，故D 符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算
的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．
4. 如图，
中，
，则
的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：
，
，
，
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故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
5. 已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先计算这组平均数的平均数，再根据方差公式计算即可．
【详解】解：∵
，
∴
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了方差公式，熟记方差公式是解题的关键．
6. 关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
∴
，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
，若
，则方程有两个不相等的实数根，若
，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
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7. 已知关于
的二元一次方程组
的解满足
，则m 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到
，代入
，即可解答．
【详解】解：
，
得
，
，
代入
，可得
，
解得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
8. 由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（
）
A. 6
B. 9
C. 10
D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图可得底层最少有6 个，再结合左视图可得第二层最少有2 个，即可解答．
【详解】解：根据俯视图可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6 个，
根据左视图第二层有2 个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2 个，
根据左视图第二层有1 个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为1 个，
故搭成该立体图形的小正方体第二层最少为
个，
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故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断小立方体的个数，准确地得出每层最少的小正方体个数是解题的关键．
9. 关于x 的不等式组
的整数解仅有4 个，则m 的取值范围是（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组
解集，根据整数解共有4 个，确定出m 的范围即可．
【详解】解：
，
由②得：
，
解集为
，
由不等式组的整数解只有4 个，得到整数解为2，1，0，
，
∴
，
∴
；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据
不等式组的解集得到
是解此题的关键．
10. 如图，
切
于点B，连接
交
于点C，
交
于点D，连接
，若
，则
的度数为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接
，证明
，
，可得
，从而可得
．
【详解】解：如图，连接
，
∵
切
于点B，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
故选C
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性
质是解本题的关键．
11. 如图，二次函数
的图象与x 轴的一个交点坐标为
，对称轴为直线
，
下列四个结论：①
；②
；③
；④当
时，
；其
中正确结论的个数为（ ）
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A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数开口向上，与y 轴交于y 轴负半轴，
，根据对称轴为直线
可得
，由此即可判断①；求出二次函数与x 轴的另一个交点坐标为
，进而得到当
时，
，由此即可判断②；根据
时，
，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y 轴交于y 轴负半轴，
∴
，
∵二次函数的对称轴为直线
，
∴
，
∴
，
∴
，故①正确；
∵二次函数
的图象与x 轴的一个交点坐标为
，
∴二次函数
的图象与x 轴的另一个交点坐标为
，
∴当
时，
，
∴
，故②正确；
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∵
时，
，
∴
，
∴
，即
，故③正确；
由函数图象可知，当
时，
，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4 个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，
熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
12. 如图，在正方形
中，点E 是
上一点，延长
至点F，使
，连结
，
交
于点K，过点A 作
，垂足为点H，交
于点G，连结
．下列四个结论：
①
；②
；③
；④
．其中正确结论的个数为（
）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形
的性质可由
定理证
，即可判定
是等腰直角三
角形，进而可得
，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得
；由此
即可判断①正确；再根据
，可判断③正确，进而证明
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，可得
，结合
，即可得出结论④正确，由
随
着
长度变化而变化，不固定，可 判断②
不一定成立．
【详解】解：∵正方形
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故①正确；
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又∵
,
,
∴
,
∴
，
∵
，即：
，
∴
，
∴
，故③正确，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，故④正确，
∵若
，则
，
又∵
，
∴
，
而点E 是
上一动点，
随着
长度变化而变化，不固定，
而
，
则故
不一定成立，故②错误；
综上，正确的有①③④共3 个，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角
形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三
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角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共102 分）
二、填空题：本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分，请将正确答案直接写在答题卡相应
位置上．
13. 分解因式：
______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式
，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为
．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意
分解要彻底．
14. 已知方程
的根为
，则
的值为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】解方程，将解得的
代入
即可解答．
【详解】解：
，
对左边式子因式分解，可得
解得
，
，
将
，
代入
，
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可得原式
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
15. 如图，
中，
是中线，分别以点A，点B 为圆心，大于
长为半径作弧，两孤交于点
M，N．直线
交
于点E．连接
交
于点F．过点D 作
，交
于点G．若
，则
的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由作图方法可知
是线段
的垂直平分线，则
是
的中线，进而得到点F 是
的重心，则
，证明
，利用相似三角形的性质得到
，则
．
【详解】解：由作图方法可知
是线段
的垂直平分线，
∴点E 是
的中点，
∴
是
的中线，
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又∵
是
的中线，且
与
交于点F，
∴点F 是
的重心，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，推
出点F 是
的重心是解题的关键．
16. 关于x 的方程
的解为非负数，则m 的取值范围是____________．
【答案】
且
【解析】
【分析】解分式方程，可用
表示
，再根据题意得到关于
一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解
，可得
，
的方程
的解为非负数，
，
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解得
，
，
，
即
，
的取值范围是
且
，
故答案为：
且
．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
17. 一渔船在海上A 处测得灯塔C 在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12 海里到达点B 处，测得
灯塔C 在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C 的最短距离是____________
海里．
【答案】
##
【解析】
【分析】过点
作
交于点
，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答．
【详解】解：如图，过点
作
交于点
，
由题意可知
,
，
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设
为x，
，
，
根据
，可得方程
，
解得
，
渔船与灯塔C 的最短距离是
海里，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系
中，点B 的坐标为
，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别
为点C、点A，直线
与
交于点D．与y 轴交于点E．动点M 在线段
上，动点N 在直线
上，若
是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________
【答案】
或
．
【解析】
【分析】如图，由
是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得
在以
为直径的圆
上，
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，可得
是圆
与直线
的交点，当
重合时，符合题意，可得
，当
N 在
的上方时，如图，过
作
轴于
，延长
交
于
，则
，
，
证
明
，
设
，
可
得
，
，而
，则
，再解方程可得答案．
【详解】解：如图，∵
是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴
在以
为直径的圆
上，
，
∴
是圆
与直线
的交点，
当
重合时，
∵
，则
，
∴
，符合题意，
∴
，
当N 在
的上方时，如图，过
作
轴于
，延长
交
于
，则
，
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，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，设
，
∴
，
，
而
，
∴
，
解得：
，则
，
∴
，
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∴
；
综上：
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三、解答题：本大题共8 个小题，共78 分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算
法则是解题的关键．
20. 先化简：
，再从
选择中一个合适的数作为x 的值代入求值．
【答案】
；1
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
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，
∵
，
，
∴把
代入得：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
21. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个
活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与
情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角
的度数为____________．
（2）若该校有3600 名学生，估计该校参加E 组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E 组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加
市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）①补全图形见解析；②
；
（2）
人；
（3）
；
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【解析】
【分析】（1）①先求解总人数，再求解D 组人数，再补全统计图即可；②由
乘以D 组的占比即可得
到圆心角的大小；
（2）由3600 乘以E 组人数的占比即可；
（3）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
【小问1 详解】
解：①由题意可得：总人数为：
（人），
∴D 组人数为：
（人），
补全图形如下：
②由题意可得：
；
【小问2 详解】
该校有3600 名学生，估计该校参加E 组（人工智能）的学生人数有：
（人）；
【小问3 详解】
记A，B 表示男生，C，D 表示女生，画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8 种结果，
．
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【点睛】本题考查了从统计图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用画树状图法求概率．树状图
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回
试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，
中，点E 是
的中点，连接
并延长交
的延长线于点F．
（1）求证：
；
（2）点G 是线段
上一点，满足
，
交
于点H，若
，求
的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得
，
，证明
，推出
，即可解答；
（2）通过平行四边形的性质证明
，再通过（1）中的结论得到
，最后
证明
，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
【小问1 详解】
证明：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
是
的中点，
，
，
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，
∴
，
；
【小问2 详解】
解：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
,则
，
可得方程
，
解得
，
即
的长为
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用
上述性质证明三角形相似是解题的关键．
23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为
提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100 本，已知购买2 本甲种书和1 本
乙种书共需100 元，购买3 本甲种书和2 本乙种书共需165 元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200 元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
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【答案】（1）甲种书的单价为35 元，乙种书的单价为30 元
（2）该校最多可以购买甲种书40 本
【解析】
【分析】（1）设甲种书的单价为x 元，乙种书的单价为y 元，利用2 本甲种书的价格
1 本乙种书的价格
；3 本甲种书的价格
2 本乙种书的价格
，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书
本，则购买乙种书
本，根据购买甲种书的总价
购买乙种书的总价
，
列不等式解答即可．
【小问1 详解】
解：设甲种书的单价为x 元，乙种书的单价为y 元，
可得方程
，
解得
，
原方程的解为
，
答：甲种书的单价为35 元，乙种书的单价为30 元．
【小问2 详解】
解：设购买甲种书
本，则购买乙种书
本，
根据题意可得
，
解得
，
故该校最多可以购买甲种书40 本，
答：该校最多可以购买甲种书40 本．
【点睛】本题考查了二元一次方程
实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等
关系是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系
中，直线
与x 轴交于点
，与y 轴交于点
，与
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反比例函数
在第四象限内的图象交于点
．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）当
时，直接写出x 的取值范围；
（3）在双曲线
上是否存在点P，使
是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
或
（3）
或
【解析】
【小问1 详解】
解：把
，
代入
中得：
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
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在
中，当
时，
，
∴
，
把
代入
中得：
，
∴
，
∴反比例函数
表达式
；
【小问2 详解】
解：联立
，解得
或
，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为
，
∴由函数图象可知，当
或
时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当
时，
或
；
【小问3 详解】
解：如图所示，设直线
交y 轴于点
，
∵
，
，
∴
，
，
，
∵
是以点A 为直角顶点的直角三角形，
∴
，
∴
，
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∴
，
解得
，
∴
，
同理可得直线
的解析式为
，
联立
，解得
或
，
∴点P 的坐标为
或
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综
合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
25. 如图，
中，以
为直径的
交
于点E．
平分
，过点E 作
于点
D，延长
交
的延长线于点P．
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（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，求
的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接
，利用角平分线的性质和等边对等角，证明
，即可解答；
（2）根据
，可得
，求出
的长，再利用勾股定理得
的长，即
可得到
的长，最后证明
，即可解答．
【小问1 详解】
证明：如图，连接
，
，
，
平分
，
，
，
，
,
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,
是
的切线；
【小问2 详解】
解：设
，则
，
，解得
，
，
，
根据勾股定理可得
，
,
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
．
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【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和
性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x 轴交于点
两点，与y 轴交于
点
，点P 是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P 在直线
上方的抛物线上时，连接
交
于点D．如图1．当
的值最大时，求点P
的坐标及
的最大值；
（3）过点P 作x 轴的垂线交直线
于点M，连接
，将
沿直线
翻折，当点M 的对应点
恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．
【答案】（1）
（2）点P 的坐标为
；
的最大值为
（3）点M 的坐标为：
，
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【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P 作
轴，交
于点Q，求出直线
的解析式为
，设点P 的坐标为
，则点
，得出
，根据
轴，得
出
，根据
，求出点P 的坐标和最大值即可；
（3）证明
，得出
，设
，
，得出
，
，根据
，得出
，求出
或
或
，根据当
时，
点P、M、C、
四点重合，不存在
舍去，求出点M 的坐标为
，
．
【小问1 详解】
解：把
，
代入
得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为
．
【小问2 详解】
解：过点P 作
轴，交
于点Q，如图所示：
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设直线
的解析式为
，把
，
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
设点P 的坐标为
，则点
，
∵点P 在直线
上方的抛物线上，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴
∵
，
∴
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，
∴当
时，
有最大值
，
此时点P 的坐标为
．
【小问3 详解】
解：根据折叠可知，
，
，
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
整理得：
，
∴
或
，
解得：
或
或
，
∵当
时，点P、M、C、
四点重合，不存在
，
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∴
，
∴点M 的坐标为
，
．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行
线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作
出辅助线或画出图形．
