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专题 02 平面向量、不等式、数列
5大考点概览
考点01平面向量坐标运算
考点02向量几何运算
考点03不等式
考点04数列小题
考点05数列解答题
考点1 平面向量坐标运算
1．（2026·湖北襄阳·一模）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
由 得 ，故 .
2．（2026·湖北十堰·一模）若向量 ， ，记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得 ，再由二倍角余弦公式求值.
【详解】由题设 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
3．（2026·湖北黄石·一模）已知向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知向量 ，显然 ，
所以 .
考点2 向量几何运算
1．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系 中， ， ， ，则
的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等
分点（靠近点A），通过计算得出 ，通过计算可知 为定值，故知点E在以O
为圆心，以 为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时， 最长，即
取最大值.
【详解】由已知， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，即向量 与 的夹角为 .
取 ，所以 ，所以 .
同理可知， ，
所以 ，
所以点E在以O为圆心，以 为半径的圆上.
如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时， 最大，此时 ，
易知 ，所以 ，即 的最大值为 .
.
2．（2026·湖北·一模）已知等边三角形 的边长是 ， 是三角形 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的减法运算及向量模的不等式，数量积的性质与运算求解.
【详解】 ，
，
因为等边三角形 的边长是 ，
所以 ，所以 ，又 ，
故 ，
即 .
3．（2026·湖北孝感·一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
，则边 上的中线长为（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】B
【分析】根据余弦定理和数量积的定义得 ，然后利用中线向量表示及模的运算求解中
线长即可.
【详解】 中，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，记边 上的中点为M，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：B
4．（2026·湖北荆州·一模）如图，在 中， ， ，D，E分别是边 ， 的中
点，且 .
(1)求 的面积；
(2)求 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设 ，由题意列方程可求出 的值，根据三角形面积
公式，即可求得答案；
（2）求出 ，根据三角形面积求解，即可得答案.
【详解】（1）以点A为坐标原点， 为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，由于 ，则 ，
则 ，故 ，
而 ，故 ，
即 ，即 ，
结合 ，得 ，即得 ，则 ，
故 的面积为 ；
（2）结合（1）的分析可知 ，
的面积为 ,则 ，即 ,故 .
考点3 不等式
1．（2026·湖北十堰·一模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】整理可得 ，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为正数 ， 满足 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
故选：D.
2．（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据指数运算性质得 ，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取等．
故选：B3．（2026·湖北荆州·一模）已知 均为非负数，且 ，则 的最小值为______.
【答案】2
【详解】由题可得 ，所以
,
由于 ,当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，则 的最小值为
考点4 数列小题
1．（2026·湖北襄阳·一模）已知数列 为等差数列，首项 （m为整数），公差 ，前
项和 ，则满足题意的 的所有取值的和为（ ）
A．3720 B．4320 C．2940 D．1736
【答案】D
【分析】通过等差数列前 项和公式， 的取值是700的因数求解.
【详解】 ， ，
所以n的取值为 的所有因数，
所以所求和为 ．
故选D
2．（2026·湖北黄石·一模）已知等比数列 的首项为1，前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4【答案】B
【分析】根据等比数列的前n项和公式，分 和 两种情况计算可得.
【详解】设等比数列 的公比为 ,
当公比 时 等比数列前 项和 ，因此 ，满足 . 此时 ；
当公比 时 等比数列前 项和公式为 ，代入得：
,
整理得 ，令 ，则 ,解得 （对应 舍去）或 ，
因此 .
综上所述， 或 .
3．（2026·湖北孝感·一模）设数列 满足 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ， ，所以数列 的周期为2，故
故选：A
n
a =2 −1
4．（2026·湖北·一模）已知数列 的首项 ，且满足 n ，则数列 （ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减
【答案】B
【分析】由递推关系取倒数，得到 ，构造等比数列，求出 ，即可判断数
列的单调性.
n
a =2 −1
【详解】由 ，可得 ，
n
即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
由指数函数单调性知，数列 单调递增，所以数列 单调递减.
5．（2026·湖北荆州·一模）已知 ，设函数 的零点个数为 ，
则 ＝（ ）
A．120 B．210 C．75 D．240
【答案】A
【分析】先利用图象的交点求出当n＝1时 的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及得出数列 为等差数列即可求出.
【详解】 过点 ，
则可作出 的图象.
当n＝1时，作出 的图象，
因为 ，故 的图象与 图象有3个交点；
注意到 的周期为4， ，
n每增加1个单位， 也增加 个单位（一个周期），则交点增加2个，
故数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 .
6．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码
领域中得到应用．已知大衍数列 满足 ， ，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．数列 的前20项和为110
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可得 ， ， ，，故A正确；
对于B，因为 为偶数，所以 ，
因为 为奇数，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，因为 为偶数，所以 ，
又因为 为奇数， ，
所以 ，所以 ，
所以
，故C错误；
对于D，数列 的前 项的和为 ，
所以
，故D正确.
7．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何
排列，第 行的第 个数可以表示为 时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）
首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这
是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）A．第2026行共有2026个数
B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为
C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D．去除所有为1的项，依次构成数列 ，则此数列前135项的和为
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求
解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，
结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D.
【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，
对于B,由题意可得
,B正确，
对于C, 第48行的所有数字之和为
,由于 能被7整除，
故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确，
对于D,第 行的和为 ，
当 时，第 行中去除为1的项的和为 ， 第0行为1，故前 行中去除为1的项的和为 ，
故前17行中去除为1的项的和为 ，
去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，
可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前 行共有 个数，
当 时， ，
因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为
则此数列前135项的和为 .
8．（2026·湖北襄阳·一模）已知等比数列 满足 ， ，则 _______．
【答案】2
【分析】由等比数列的性质即可求解.
【详解】由 可得 ，
又 ，所以 ，故 ，故 ，其中 为公比.
9．（2026·湖北荆州·一模）已知数列 满足 ，则 ＝______.
【答案】
【分析】利用累加法和等差数列的前 项和公式求解.
【详解】 ，
， ， ， ， ，，
.
10．（2026·湖北孝感·一模）已知数列 为等比数列， ，公比 ， 是数列 的
前n项积．若 ，则n的最小值为______．
【答案】26
【分析】根据等比数列通项公式基本量运算及指数运算法则求得 ，然后解指数不等式
即可求解.
【详解】由题意 ，
所以 ，
由 ，可得 ，则有 ，解得 或 ，
又n为正整数，所以n的最小值是26．
故答案为：26
11．（2026·湖北荆州·一模）已知等差数列 首项为2，公差为2，前 项和为 ，数列 前
项和为 ，且满足 .若对于任意 ， 成立，则 的最小值为______.
【答案】 /
【分析】先根据等差数列的通项公式和前 项和公式求出 ，利用裂项相消法求出 ，再利用导数
求 的最大值即可.
【详解】因为数列 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ， ，所以 ，
所以
，
对于任意 ， 成立，只需 即可，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取最大值，
所以 ，即 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
考点5 数列解答题
1．（2026·湖北黄石·一模）已知数列 满足 .
(1)设 ，证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)判断数列 的单调性.
【答案】(1)证明见解析，
(2)递增数列
【分析】（1）先得 的表达式，即可得 求解，根据等比数列的通项求解 ，（2）代入 的通项，进而利用作差法，即可判断单调性.
【详解】（1）由 ，得：
，
故 ，即 ，
又 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，且 .
（2）由 ，解得
，
即 ，故数列 为递增数列.
2．（2026·湖北十堰·一模）已知数列 的前 项和 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)若 ， 分别是等差数列 的第1项与第3项，求 的公差 .
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用 ，结合等比数列定义推理得证.
（2）由（1）的结论求出 ，进而求出 并求出公差.
【详解】（1）数列 的前 项和 ，当 时， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，则 ， ，
所以等差数列 的公差 .
3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电
池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．
当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第 次时恰好抽
到最后一块干电池的概率为 ，求 ．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）根据条件概率公式计算可得；
（2）方法一：先利用乘法概率公式求得第 次恰好抽到第一块干电池，第 次恰好
抽到第二块干电池的概率 ，然后利用等比数列求和公式求解即可；方法二：根据题意可得递
推关系 ，再用定义法证明等比数列，进而利用等比数列通项公式求解即可.【详解】（1）记第1，2次取出的是干电池的概率分别为 ， ，
， ，
在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为
.
（2）方法一：依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池，
用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变．
记第 次恰好抽到第一块干电池，
第 次恰好抽到第二块干电池的概率为 ，
则 ，
∴ .
方法二：“第 次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类：
第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池．
当第1次抽到充电电池时：
此时“第 次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为 ，
当第1次抽到干电池时，仅第1次与第 次抽到干电池：
此时“第 次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为 ，
∴ ， ． ， ．
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是以 为首项 为公比的等比数列，
∴ ，
∴ ，当 时该式也成立．
故所求概率为 ， ．
4．（2026·湖北孝感·一模）已知定义在 上的函数 满足以下条件：
① ；
②当 时， ；
③对 ，均有 ，且 ．
(1)用 表示 ；
(2)判断 的单调性，并证明你的结论；
(3)已知数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2) 是 上的单调递增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）先令 ， 得 ，再令 即可求得 .（2）先判断 的单调性，再结合函数法则利用单调性定义证明即可.
（3）先求得 ，然后利用 是 上的单调递增函数得 ，进而结
合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法及错位相减法求和即可.
【详解】（1）对 式，令 ， ，则 ，
③
即 ，又 ， ，
∵ ∴
对 式，令 ，则 ，
③
又 ，即 ， .
∵ ∴
（2） 是 上的单调递增函数，
证明： ，且 ，则
，
， ，
∵ ∴
又 时， ， ，
∵ ∴
当 时， ，则 ， ，
∵ ∴
又 时， ，而 ， ，
∵ ∴
， ，
∴ ∴
，即 ，
∴
是 上的单调递增函数.
∴（3）对 式，令 ，则 ，
③
∴
，
又 是 上的单调递增函数， ，
∵ ∴
，
∴
设 ，
①
则 ，
②
得： ，
.
∴
5．（2026·湖北·一模）已知函数
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时， ，求 的取值范围：
(3)已知点 ，按照如下方式依次构造点 ：过点 作曲线 的切线与 轴
交于点 ，令 为过点 且斜率为0的直线与曲线 的交点，记 的面积
为 ， ，证明： .
【答案】(1)0(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号，则可得函数的单调性；
（2）求出函数的导数，令 ，求出 后先判断 时 的符号可得原
函数的单调性，再求出 的二阶导数，就 、 分类讨论可确定参数的范围，当
时可直接判断 的单调性后得原函数的单调性，从而判断参数的范围；也可以利用放缩法
证明当 不等式恒成立，再结合导数证分类明 不等式不恒成立即可；另外利用换元法可
将原不等式转化为 恒成立，同样可结合导数探求参数的范围；
（3）先利用导数的几何意义求得 ，求出 的通项公式后可求面积，从而得 的通
项，结合（2）的结果可得不等式 ，结合裂项相消法可证不等式，或者证明
，同样可得 ，再结合裂项相消法可证不等式亦可.
【详解】（1） 时， ， ， .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，所以 .
（2）法一： ， ，
其中 ，记 ， ，（i）当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，又 ，所以 恒成立，
故 合题意；
（ii）当 时，设 ，则 ，
故 在 上单调递减，
又 ，所以 时， ，同（i）可得 恒成立，
故 合题意；
（iii）当 时，因为 ，所以 在 上单调递减，
此时 ， ，
所以当 时， ，所以 在 单调递增，
又 ，所以 ， ，即 ，
所以 在 单调递增，
又 ，所以 ， ，不合题意.
（iv）当 时，显然 为 上的增函数，又 ，
所以 时， ，即 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 恒成立，故 不合题意；综上所述，实数 的取值范围为 .
法二：（i）当 时， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 上单调递减，
又 ，所以，当 时， ，即 ，
所以 恒成立，故 合题意；
（ii）当 时， ， （由第（1）问可知），
故 ，不合题意；
（iii）当 时， ，
记 ， ，
为减函数，且 ， ，
所以，当 时， ，所以 在 单调递增，又 ，
所以 ， ，即 ，
所以 在 单调递增，又 ，
所以 ， ，不合题意.综上所述，实数 的取值范围为 .
法三： 恒成立等价于 恒成立.
令 ，则不等式可化为： ，
令 ，则 ，且需 对 恒成立.
求导得 ， ，
令 ， ，
求导得 ，
故 ，
①当 时， ，所以 在 上递减，
又 ，所以 ，即 ，
所以 在 上递减，又 ，从而 ，不满足条件.
②当 且 时，在 时， ，
同上分析可知，在 时， ，不满足条件.
③当 时， ，且对 ， ，
由于 ， ， ，即 恒成立，
故 在 上为增函数，故 ，
即 ，进一步知 为增函数，故 ，合题意.综上所述， 即为所求.
（3）法一：由题意，点 在曲线 上，设 ， ，
已知 ，即 ，过 的切线方程为： .
与 轴交点 的坐标为 ，
过 且斜率为0的直线为 ，
与曲线 的交点 满足 ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，
因此 ， ，
所以 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ，
的底边 的长度为 ，高为1，故面积 ， ，
于是 ，则 ，
所以要证 ，即证 ，
而（2）中 时，任意 时，有 恒成立，
故有 时， 恒成立，
令 ，则有 ，
所以 ， ，…， ，求和得 ，所以原不等式成立.
法二：令 ，
求导得 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
令 可得 恒成立， ，
对 求和得 .
