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第 26 讲等差数列与等比数列的概念与性质
（知识清单+10 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3年考查情况 题型 分值
等差数列基本量运算、等比数列定义证明、前n项和求解 单选/解答题 5分/12分
等比数列性质化简、等差数列通项与最值、数列综合计算 填空/解答题 5分/12分
等差、等比数列混合性质求值 单选题 5分
等差数列定义证明、通项与前n项和公式应用 单选/解答题 5分/12分
等比数列基本量运算、等差数列定义判定、数列求和 单选/解答题 5分/12分
等差数列片段和性质、等比数列通项与最值 单选/解答题 5分/12分
等比数列定义证明、前n项和公式分类讨论 解答题 12分
等差、等比数列中项性质综合求值 单选题 5分
等差数列定义证明、通项与前n项和综合计算 解答题 12分
等比数列性质化简、等差数列定义判定、数列求和 单选/解答题 5分/12分
等差数列基本量运算、等比数列通项公式 单选/解答题 5分/12分
等比数列定义证明、前n项和公式应用 解答题 12分
【知识点01】等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为a －a ＝d(常数)(n≥2，n∈N*).
n n－1
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
【例1】已知数列{a }满足a =3，a =a +2，证明该数列为等差数列，并求3,x,9成等差数列时x的值。
n 1 n+1 n解析：① 证明等差数列：由a −a =2，差值为常数，符合等差数列定义，故{a }为公差d=2的等差数列。
n+1 n n
② 由等差中项公式：2x=3+9
计算得：2x=12，解得x=6。
【知识点02】等差数列的有关公式
(1)通项公式：a ＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1
n(n−1) n(a ＋a )
(2)前n项和公式：S ＝na ＋ d 或S ＝ 1 n .
n 1 2 n 2
【例2】已知等差数列{a }中，a =5，a =13，求数列通项公式及第10项、前10项和S 。
n 3 7 10
解析：① 求公差：由推广通项 a =a +4d
7 3
代入数据：13=5+4d，解得d=2
② 求首项：a =a +2d，5=a +4，得a =1
3 1 1 1
③ 通项公式：a =1+(n−1)×2=2n−1
n
④ 求第10项：a =2×10−1=19
10
10(a +a ) 10×(1+19)
⑤ 求前10项和：S = 1 10 = =100
10 2 2
答案：a =2n−1，a =19，S =100
n 10 10
【知识点03】等差数列的常用性质
(1)若{a }为等差数列，且p＋q＝s＋t，则a ＋a ＝a＋a(p，q，s，t∈N*).
n p q s t
(2)等差数列{a }的单调性
n
当d>0时，{a }是递增数列；
n
当d<0时，{a }是递减数列；
n
当d＝0时，{a }是常数列.
n
【例3】在等差数列{a }中，已知a +a =30，求a 的值。
n 4 12 8
解析：由下标和性质：4+12=2×8，可得a +a =2a
4 12 8
代入已知条件：2a =30
8
解得：a =15
8
答案：a =15
8
【知识点04】等差数列前n项和的常用性质d ( d)
(1)当d≠0时，等差数列{a}的前n项和S＝ n2＋ a − n是关于n的二次函数.
n n 2 1 2
(2)在等差数列{a}中，若a>0，d<0，则S存在最大值；若a<0，d>0，则S存在最小值.
n 1 n 1 n
【例4】等差数列{a }中，已知S =25，S =75，求S 。
n 5 10 15
解析：由片段和性质：S 、S −S 、S −S 成等差数列
5 10 5 15 10
代入数据：25、75−25=50、S −75成等差数列
15
根据等差中项：2×50=25+(S −75)
15
化简计算：100=S −50
15
解得：S =150
15
答案：S =150
15
【知识点05】等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项，此时，
G2=ab.
【例5】若正数2、m、8成等比数列，求m的值。
解析：由等比中项公式：m2=2×8=16
题干限定正数，故舍去负值，解得m=4
答案：m=4
【知识点06】等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a ，公比为q，则其通项公式为a =a q n -1 .
n 1 n 1
(2)等比数列通项公式的推广：a =a qn-m.
n m
a (1−qn ) a −a q
(3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，S =na ；当q≠1时，S = 1 = 1 n .
n 1 n 1−q 1−q
【例6】已知等比数列{a }中，a =2，q=3，求数列第4项a 及前4项和S 。
n 1 4 4
解析：① 求通项：a =a q3=2×33=2×27=54
4 1
② 求和：q=3≠1，代入求和公式
2×(1−34 ) 2×(1−81)
S = = =80
4 1−3 −2答案：a =54，S =80
4 4
【知识点07】等比数列的常用性质
(1)若m+n=p+q，则a a = a a ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则a a =a2，其中m，n，w∈N*.
m n p q m n w
(2)a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为 q m (k，m∈N*).
k k+m k+2m
{pa }
n
(3)若数列{a }，{b }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba }，{pa ·qb }和 也是等比数列(b，p，q≠0).
n n n n n qb
n
{a >0, { a <0,
(4)若 1 或 1 则等比数列{a }递增.
q>1 0<q<1, n
{a >0, {a <0,
若 1 或 1 则等比数列{a }递减.
0<q<1 q>1, n
【例7】在等比数列{a }中，a ⋅a =64，求a 的值。
n 3 7 5
解析：由下标和性质：3+7=2×5，得a ⋅a =a2
3 7 5
代入数据：a2=64
5
由符号性质，a 与首项同号，结合常规考题，得a =±8
5 5
答案：a =±8
5
【知识点08】等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{a }的 前n项和为S ，则S ，S - S ，S - S 仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn.
n n n 2n n 3n 2n
【例8】已知等比数列{a }中，S =4，S =20，求S 。
n 4 8 12
解析：由片段和性质：S 、S −S 、S −S 成等比数列
4 8 4 12 8
代入数据：4、20−4=16、S −20成等比数列
12
由等比中项：162=4×(S −20)
12
化简：256=4S −80
12
解得：S =84
12
答案：S =84
12
【题型一】等差数列及其通项公式【例1】（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列 的公差为 ,
依题意， ，则 .
【变式1】（2026·山东日照·三模）已知数列 ，则“ 为等差数列”是“ ， （m为常
数）”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】若 为等差数列，设其公差为 ，则 ，即 符合条件；
若 ，则 的奇数项和偶数项分别成等差数列， 不一定为等差数列，
如数列 ，通项公式为 ，满足 ， 不是等差数列；
所以“ 为等差数列”是“ ， （m为常数）”的充分不必要条件.
【变式2】（2026·湖北·模拟预测）已知 是公差为1的等差数列，且 ，则 __________.
【答案】64
【详解】设 则 是公差为1的等差数列，
， ，
所以 ， .【变式3】（2024·河北衡水·模拟预测）在数列 中， ，
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义 （ 为常数）证明；
（2）由（1）可得 的通项公式，再用错位相减法和等差数列求和公式分别求和.
【详解】（1）
所以数列 是公差为3的等差数列．
（2）由题得 ，由（1）可得 所以
记 ①，
所以 ②，
①-②得
则
所以
【题型二】等差中项【例2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列 为等差数列， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】C
【详解】在等差数列 中，由 ，解得 .
【变式1】（2026·江苏泰州·模拟预测）“ ”是“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】必要性验证：若数列 为等差数列，根据等差中项的性质：对任意 ，若 ，则
，
令 ，可得 ，故必要性成立；
充分性验证：若仅满足 ，无法推出数列为等差数列，
例如构造数列： ，此时 ， ，满足 ，但该数列相邻项差值不恒定，不
是等差数列，故充分性不成立，
因此该条件是数列 为等差数列的必要不充分条件.
【变式2】（2025·四川绵阳·一模） 与4的等差中项为__________.
【答案】1
【分析】应用等差中项的性质求解.
【详解】若 与4的等差中项为 ，则 .
故答案为：1
【变式3】（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列 中，若 是 与 的等差中项，则 的最
小值为______．【答案】
【分析】根据等差中项性质可得 ，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果.
【详解】因为在公差不为0的等差数列 中， 是 与 的等差中项，
所以 ，所以 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为：
【题型三】等差数列的性质
【例3】（2026·湖南邵阳·三模）已知 是等差数列 的前 项和， ．若 ，则正整数 的最
大值为（ ）
A．2026 B．2027 C．4052 D．4053
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
则等差数列 为递增数列，
，
，
故使得 的最大正整数 为 .
【变式1】（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ）
A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19
【答案】A
【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数.
【详解】设该等差数列的项数为 （ ），中间项为 .
由等差数列性质，奇数项和 ，偶数项和 .
，即 ，故中间项 .
数列前 项和 ，又 ，
代入得 ，解得 ，即项数为19.
【变式2】（2025·山东青岛·一模）已知等差数列 中， ，则 ___________．
【答案】8
【详解】在等差数列 中， ，
所以
【变式3】（2026·湖南怀化·二模）已知数列 ， 均为等差数列，若 ， ，则
________．
【答案】
【分析】直接由等差数列的性质计算可得.
【详解】因为数列 ， 均为等差数列，由等差数列的性质得数列 也为等差数列，
所以 为 ， 的等差中项，所以 ，
所以 ．
【题型四】等差数列的前n项和
【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）A．27 B．36 C．45 D．72
【答案】B
【分析】先利用等差数列通项性质求得 的值，再结合等差数列前 项和公式及性质计算 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
【变式1】（多选）（2026·四川遂宁·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．当且仅当 时 取最小值
【答案】AD
【分析】先利用等差数列通项公式，结合已知公差与项的值求出首项，再依次求出数列指定项，通过代数运算验证等
式是否成立；接着代入求和公式建立方程，求解正整数项数；最后写出通项，结合项的正负分界，分析前n项和的最
值，逐一筛选选项即可.
【详解】因为公差 ， ， ，所以：
选项A： ，
所以 ，A正确；
选项B： ，
，
，
所以 ，B错误；选项C：因为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去负根），所以 ，不是9，C错误；
选项D：因为 ，
令 ，则 ，
即 ， ，
所以前4项均为负，从第5项开始为正，因此 是最小值. D正确.
【变式2】（2026·湖南常德·一模）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____.
【答案】40
【详解】在等差数列 中，若 ，则 ，
由 ，可得 ，
根据等差数列求和公式可得： .
【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列 的前 项积为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，求使 成立的最小正整数 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系式进行分析，判断出数列 是等差数列，由此求得数列 的通项公式.
（2）根据等差数列的前 项和公式求得 ，由此解不等式求得正确答案.【详解】（1）当 时， ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
即 ，所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，
则 ；
（2）由题意， 的前 项和 ，要使 成立，
即 ，
在 时单调递增，
时， ，
时， ，
所以 的最小正整数为13.
【题型五】等差数列前n项和的性质
【例5】（2026·陕西西安·三模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解.
【详解】因为 是等差数列 的前 项和，则 ， ， 成等差数列，
又 ，得到 ，所以 ， ，所以 ，则 .
【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．-24 B．-12 C．12 D．24
【答案】C
【分析】由题意可得 是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果.
【详解】在等差数列 中， ，其前 项和为 ，则 是首项为-10的等差数列，
设其公差为 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
即 .
【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则
______．
【答案】
【分析】由 ，可设 ， ，再利用 即可求解.
【详解】因为等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，所以 ，
因为 ，所以可设 ， ， ，
则 ， ，所以 .【变式3】（2024·四川乐山·三模）已知 是等差数列 的前 项和.
(1)证明： 是等差数列；
(2)设 为数列 的前 项和，若 ，求 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，然后由等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）可知数列 是等差数列，由 求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前
项和公式求解即可.
【详解】（1）证明：设等差数列 的公差为 ，
， ．
．
是等差数列．
（2） ，
数列 的首项为2，第四项为 ．
数列 的公差 ．
．
【题型六】等差数列前n项和的函数特性【例6】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取最小值时 的
值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质化简 ，得到 ，结合 ，判断公差 ，得到 即
可判断.
【详解】由 可得 ，由等差数列的性质可得： ，
因 ，则等差数列 的公差 ，即等差数列 为递增数列，
故 ，即 取最小值时， 的值为14.
故选：C.
【变式1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若
，则（ ）
A． B．
C．当 时， 取最大值 D．当 时， 的最小值为27
【答案】BCD
【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项判断AD；利用作差法结合等差数列的性质判断B；由等差数列的单
调性判断C.
【详解】对于A， ，
若 ，由首项为正数可得 一定大于零，不符合题意，
所以 ， ，故A错误；
对于B，由A可知 ，
，故B正确；对于C，由A可知，因为 ， ，可知 ，
故 时， 取最大值，故C正确；
对于D， ，
，故D正确.
【变式2】（2026·河南郑州·二模）已知 为等差数列，记公差为 ，前 项和为 ，当且仅当 时
取得最大值，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题可得 ，据此可得答案.
【详解】因 ，且 存在最大值，则 ，又 仅在 时取最大值，则 前7项为正数，从第8项开始
为负数，
从而 .
【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）在等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由等差数列的通项公式求解；
（2）确定数列中为正数的项，然后再由前 项和公式计算．
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，得
解得 ，
.
（2）由（1）知， ，
令 ，解得 ，
由 ，知数列 是递减数列，
等差数列 的前7项为正数，从第8项起为负数，
.
【题型七】等比中项
【例7】（2026·安徽合肥·二模）若 是 ， 的等差中项， 是 ， 的等比中项，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中项和等比中项可求答案.
【详解】因为 是 ， 的等差中项，所以 ，即 ；
因为 是 ， 的等比中项，所以 ，即 ，所以 .
【变式1】（2026·河北沧州·二模）已知三个正数 ， ， 成等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【分析】根据等比中项的性质结合已知即可求解．
【详解】因为三个正数 ， ， 成等比数列，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，又 ，
所以 ．
【变式2】（2025·广东·模拟预测）设正数 满足 为 与 的等差中项， 为 与 的等比中项，若 ，
则 （ ）
A．4.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【分析】利用等差中项的性质得到 ，结合题意得到 ，利用等比中项的性质求出 ，结合
和 求解 即可.
【详解】由题意可得 成等差数列， 成等比数列，
得到 ， ，故 ，
若 ，则 ，解得 ，
可得 ，即 ，故A正确.
故选：A．
【变式3】（2026·重庆江津·三模）已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，则
__________.
【答案】12
【分析】根据等比中项性质，结合等差数列通项公式，建立等量关系，求出公差，从而求出 .
【详解】解：由 ， ， 成等比数列，则 ，
又 是公差不为零的等差数列，设公差为 ，
则 ，化简整理得 ，解得 或 （舍），
所以 .【题型八】等比数列的通项公式
【例8】（2026·河北·三模）已知数列 是各项为正数的等比数列.若 则公比 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】设公比为 ，则 ， ，则 ，
故化简后得 ，有 ，
所以 或 （舍）或 （舍）.
【变式1】（2026·河南安阳·模拟预测）已知等比数列 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式将已知条件进行转化，然后通过两式相除求出公比 的相关表达式，进而求出 的
值.
【详解】 为等比数列，已知 ，则 ，
化简可得 ①，
已知 ，
将 代入可得： ，
化简可得 ②，
① ②可得： ,因为 ，则化简得 ，即 ；
所以 ，则 .
又因为 ，且 同号，所以 ，故 .
【变式2】（2026·山西·模拟预测）在等比数列 中， ， ，则 ________．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质求解.
【详解】因为等比数列 中， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列 与等差数列 ，满足 ， ，则
_______．
【答案】 /0.5
【分析】根据等差和等比数列的通项公式利用已知条件可得到 与 ，代入所求式子计算即可．
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，则 ，
设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，则 ， ，
所以 ．
【题型九】等比数列的性质
【例9】（2026·广东茂名·二模）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出 、 的值，再代入待求式计算即可.
【详解】已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
则 ， ，
解得 ，进而 ，因此 .
【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列 的前 项积为 ， 且 ， ， 则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据题意，利用等比数列的性质和通项公式的基本量的运算，求得 和公比为 ，进而求得 的值.
【详解】由等比数列的性质，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以等比数列 的公比为 ，所以 .
【变式2】（多选）（2026·浙江·二模）已知等比数列 的公比为q， ．若 ， ，
则下列说法正确的有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项.
【详解】由已知， ，C正确；
则 ，B正确；
又 ，则 ，A正确；
则 ，D错误.
【变式3】（2026·山东聊城·三模）等比数列 中， ， ，则 ________．
【答案】
【详解】设等比数列 的公比为 .
∴ ， ， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ 代入得 ，解得 ，即 ，
将 代入 ，得 ，解得 ，
∴ .
【题型十】等比数列的前n项和
【例10】（2026·辽宁朝阳·三模）设 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ．
【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知 为等比数列 的前n项和， ， ，则 （ ）
A．152 B．162 C．165 D．172
【答案】B
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
解得 ，所以 .
【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，求
__________.
【答案】4
【分析】根据等比数列的通项公式及前 项和求解即可.
【详解】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 ，
又 ，
所以 ， ，解得 .
因为 ，所以 .
所以 .
【变式3】（2026·湖南张家界·三模）已知等比数列 满足 .
(1)求 的公比；
(2)求 的前 项和.【答案】(1) 或 .
(2) 或
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）知 或 ，分类讨论，分别求得 的值，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
因为 ，可得 ，即
两式作商，可得 ，即 ，解得 或 .
（2）解：记 为 的前 项和，
当 时，由 ，即 ，可得 ，
此时 .
当 时，由 ，即 ，可得 ，
此时 .
【解题大招01】基本量“知三求二”万能法
技巧原理：等差数列所有问题均可回归首项a 、公差d两个核心基本量，利用通项与前n项和公式列方程组求解，
1
适用于所有基础题型。
n(n−1)
核心公式：a =a +(n−1)d,S =na + d
n 1 n 1 2五个量：a ,d,n,a ,S ，已知任意三个可求剩余两个。
1 n n
【例1】已知等差数列{a }中，a =11，S =35，求数列通项公式。
n 5 5
解析：由已知条件列方程组：
a +4d=11
1
{ 5×4
5a + d=35
1 2
化简第二个方程：5a +10d=35⟹a +2d=7
1 1
联立作差：(a +4d)−(a +2d)=11−7
1 1
解得：2d=4⟹d=2，代入得a =3
1
通项公式：a =3+(n−1)×2=2n+1
n
答案：a =2n+1
n
【解题大招02】下标和性质秒杀法
技巧原理：规避复杂方程组计算，利用下标和等量关系直接求值，是高考小题秒杀核心技巧。
核心结论：若m+n=p+q，则a +a =a +a ；若m+n=2p，则a +a =2a 。
m n p q m n p
【例2】在等差数列{a }中，a +a +a +a =80，求a +a 的值。
n 2 9 12 19 10 11
解析：由下标和配对：2+19=9+12=21
原式化简：2(a )（配对替换），最简配对：a +a =a +a =a +a
10.5 2 19 9 12 10 11
即2(a +a )=80，解得a +a =40
10 11 10 11
答案：40
【解题大招03】片段和性质速算技巧
技巧原理：等差数列连续等长片段和仍成等差数列，无需逐个计算项值，快速求解多段和问题。
核心结论：S ,S −S ,S −S ,…成等差数列，公差为k2d。
k 2k k 3k 2k
【例3】等差数列{a }中，S =12，S =40，求S 。
n 4 8 12
解析：由片段和性质：S 、S −S 、S −S 成等差数列
4 8 4 12 8
代入数据：12,28,S −40成等差数列
12
由等差中项：2×28=12+S −40
12
计算得：56=S −28，S =84
12 12
答案：84
【解题大招04】等差数列最值求解技巧
技巧原理：利用数列单调性与项的正负分界，快速求前n项和最值，规避二次函数复杂计算。
核心结论：1. a >0,d<0，求S 最大值：找最大n使得a ≥0,a ≤0
1 n n n+1
2. a <0,d>0，求S 最小值：找最大n使得a ≤0,a ≥0
1 n n n+1
【例4】等差数列{a }中，a =20，d=−2，求S 的最大值。
n 1 n
解析：通项：a =20+(n−1)×(−2)=22−2n
n
22−2n≥0 11×10
令{ ⟹10≤n≤11S =S S =11×20+ ×(−2)=110
20−2n≤0 10 11 11 2
答案：110
【基础过关】（共8题）
一、单选题
1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等比数列 的第二项为9，公比 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得 ，则 ，所以 是以2为公差的等差数列，
因为 ，所以 ， 所以 .
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列{ }的各项均为正数， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【详解】依题意， ，
；
；
所以 .3．（2025·全国二卷·高考真题）记 为等差数列 的前n项和.若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项 和公差d的方程求出首项 和公差d，再由等差数列前n项
和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列 的公差为d，则由题可得 ，
所以 .
故选：B.
二、多选题
4．（2025·全国二卷·高考真题）记 为等比数列 的前n项和， 为 的公比， 若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前 项和公式得到方程组，解出 ，再利用其通项公式和前 项和公式一
一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得 ，结合 ，解得 或 （舍去），故A正确；
对B，则 ，故B错误；
对C， ，故C错误；对D， ， ，
则 ，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ________.
【答案】95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式即可得到答案.
【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个
数列的公比等于_________.
【答案】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前 项和的定义，得到关
于 的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前 项和性质得到关于 的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
当 时， ，即 ，则 ，显然不成立，舍去；
当 时，则 ，两式相除得 ，即 ，
则 ，所以 ，
所以该等比数列公比为2.
故答案为： .
法二：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
所以 ，
，
所以 ，则 ，所以 ，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以该等比数列公比为 .
故答案为： .四、解答题
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，
则 ，即 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
则 .
8．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知数列 是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；
（2）可得 ，结合等差数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，则 ，即 ，且 ，可知数列 是首项为1，公比为3的等比数列，
所以 .
（2）因为 ，则 ，
可得数列 为等差数列，
所以数列 的前 项和 .
【拔高选练】（共6题）
一、单选题
1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知首项为负数的等比数列 的前4项和为5，且 ，则 （ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】设等比数列 的首项为 （ ），公比为 ，
对条件 变形得 ， 由于 ，两边同除以 得
，即 ，解得 或 .
若 ， ，解得 ，不符合首项为负的要求，舍去；
若 ， ，解得 ，符合要求.
因此 .
2．（2026·重庆·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，若长为 的线段
能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B【分析】根据等差数列的性质和前 项和公式求出数列的首项和公差，进而求出数列的通项公式，利用三角形边的关
系列出不等式求解.
【详解】设等差数列的首项为 和公差为 ，
，得 ，
，得 ，
解得 ， ，
若长为 的线段能构成三角形，
则 ，即 ，
解得 ，
又三角形的最短边 ，解得 ，
因为 为正整数，所以 ，
故 ，共 个值.
二、多选题
3．（2026·江苏扬州·三模）设正项数列 的前n项和是 ，且 ， ，下列选项中正确的有（ ）．
A．若 是等差数列，则
B．若 是等比数列，则
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，则
【答案】ACD
【分析】根据等差中项、等比中项的性质及数列的前n项和定义求解可判断各选项.【详解】对于A，若 是等差数列，∵ ， ，则 ，故A正确；
对于B，若 是正项等比数列，∵ ， ，则 ，故B不正确；
对于C，若 是等差数列，则 ，即 ， ，故C正确；
对于D，若 是等比数列，则 ，即 ，
又因为 ， ，
，解得 ，∴ ，故D正确.
三、填空题
4．（2026·重庆永川·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，则函数 的最大值为
______
【答案】 /0.5
【详解】因为 ，故 ，而 ，
故 ，故 ，故 ，故 ，
故 ，故 .而 ，
故当 时， ；当 时， ；
当 时， ；故 ，
计算得 ，故 .
5．（2026·甘肃张掖·二模）设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ， ，都有 ，若
，则 的值为__________．
【答案】15【分析】由题可得 ，所以数列 是等差数列，利用等差数列的性质和前 项和公式化简求解.
【详解】因为对任意 ，都有 ，所以 ，即 ，
所以数列 是公差为 的等差数列，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 的值为15.
四、解答题
6.（2026·四川遂宁·模拟预测）已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可；
（2）分 和 两种情况求和计算结果．
【详解】（1）设公差为 ，公比为 ， ，
故 ， ，
，故 ，联立 ，解得 或 （舍去），故 ， ；
（2）令 ，设数列 的前 项和为 ，
则 ，
由 ，解得 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，则
，
综上： .
【错题复盘】（共5题）
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1， 为其前n项积，若 ，则集合
中的元素个数为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．20
【答案】B
【分析】求出 ，结合二次函数对称性求解.
【详解】设等比数列{a}的公比为 且 ，
n
，所以 ，
所以 ，因为 关于直线 对称，所以 ，
所以集合 中的元素个数为 个
2．（2026·河北唐山·二模）在等差数列 中， ，记 为数列 的前 项和，当
取得最大值时， 的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】差数列 的公差为 ，根据条件推出 ，判断出当 时， ； 时， ，再根据
，判断出 对 取正负的影响，进而可得出结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，所以 ，因此 ，所以 ，
所以 ， ，
因此，当 时， ； 时， ，
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ；
因为
，
所以，当 时， 取得最大值.
二、多选题
3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列 满足 ，其前 项和记为 ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 是等差数列 B．若 ，则 为等比数列
C．若 ，则 ， ， 成等差数列 D．若 ，则 为等比数列
【答案】ABC
【分析】将 代入，可得 ，从而得 ，即可判断Ａ；将 代入，得
，由等比数列的定义即可判断B，结合B，可得 ，分别求出 ， ， 的值，根据等差数
列的定义判断C；将 代入，求得 ，进而得 ，再根据等比数列的定义判断
D．
【详解】对于A，当 时，则 ，所以 ，
所以数列 是每项均为0的等差数列，故A正确；
对于B，当 时，则 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，故B正确；
对于C，由B可知当 时， ，所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 ， ， 成等差数列，故C正确；
对于D，当 时，则 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，此结果与 有关，不是常数，所以 不是等比数列，故D错误．
三、填空题
4．（2026·福建南平·二模）已知等差数列 的公差为 ，若对任意 ， ，总存在 ，使得
，则 的最小值为________.
【答案】
【分析】利用通项公式得到 与 的关系，再利用恒成立问题求最小值.
【详解】由 ，可得 ，
解得 .
设 ，由 ，可知 .
而 ，则有 ，对 恒成立.
又因为 ，则 ，则有 ，当且仅当 时取等号.
所以 最小值为 .
四、解答题
5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列 是首项为1，公比为 的等比数列，设集合 ，对
的任意子集 ，记 的所有元素和为 ，规定空集的元素和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ， ，证明： ；
(3)若 ， ， ，从下面两个结论中选择一个证明：
① 的充要条件是 ；②不存在 ，使得 ．
注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分．【答案】(1)18
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据等比数列的首项和公比写出通项公式，直接计算子集中指定元素的和.
（2）先利用子集元素和不超过全集元素和的性质，再结合等比数列前 项和公式，证明全集元素和小于 ，从而
推导出任意子集的元素和均小于 .
（3）若选①：先证充分性（集合相等则元素和相等），再用反证法结合（2）的结论证明必要性，通过递推分析集合
的最大项，证明若元素和相等则两集合元素完全相同.
若选②：采用反证法，假设存在满足 的集合 ，按 的最大元素位置分类讨论，结合等比数列前 项和
公式推出矛盾，证明不存在这样的集合.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（3）若选①．
充分性：若 ，由定义， 显然成立．
必要性：若 ，记集合 的最大项为 ，集合 的最大项为 ，
假设 ，则 ，所以 ，
由（2）知， ，所以 ，矛盾．
假设 ，类似可得 ，矛盾．所以 ．
记集合 去掉 后得到集合 ，记 的最大项为 ，集合 去掉 后得到集合 ，记 的最大项为
同上分析可得 ．
以此类推，集合 和 中元素完全相同，即 ．
若选②．
假设存在 ，使得 ．
记数列 的前 项和为 ，因为 ，
所以 ，
设 的最大元素为 ，则 ，
若 ，则 ，矛盾．
若 ，设 去掉 后得到集合 ，则 ，
所以 ，矛盾．
综上，不存在 ，使得 ．
