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第二章 函 数
§2.10 函数的零点与方程的解
【高考考向预测】
近三年高考函数零点与方程的解考查频次较高，多以选择填空为主，也常融入函数综合题，
重点考查零点存在定理、零点个数判断、零点区间确定及数形结合转化交点问题，常结合各类基
本函数联合出题；预测2027 年仍为热门考点，命题更侧重含参零点问题、分段函数零点分析与零
点范围探究，强化函数与方程思想运用，注重结合不等式、导数综合设问，侧重逻辑分析与数形
结合解题能力。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( )
(2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0. ( )
(3)连续函数y=f(x)在区间(a，b)上单调，则f(x)在区间(a，b)上有一个零点. ( )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法. ( )
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
【答案】C
【解析】根据函数零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足
f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不
满足f(a)f(b)<0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点近似值.
3.(2026·沈阳模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表.
x 1 1.5 1.75 1.875 2
y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158
则f(x)在[1，2]上的零点( )A.只有1个 B.至少有2个
C.至多有2个 D.只有2个
【答案】B
【解析】因为函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且f(1.75)f(1.875)<0，
所以根据函数零点存在定理，函数f(x)在区间(1.75，1.875)上至少存在一个零点；
同理，由f(1.875)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1.875，2)上至少存在一个零点，
因此函数f(x)在区间[1，2]上至少存在2个零点.
4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 026的所有零点之和为 .
【答案】2
【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示，
根据图象可知y=f(x)-2 026共有2个零点，且2个零点关于直线x=1对称，所以零点之和为2.
【核心梳理●明考点】
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把使 f ( x )=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与 x 轴 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函数y=f(x)
在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c )=0 ，这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，
而是方程f(x)=0的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
【题型突破●明方向】
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2025·天津)函数f(x)=0.3x-❑√x的零点所在区间是 ( )
A.(0，0.3) B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1) D.(1，2)
【答案】B
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3x在R上单调递减，y=❑√x在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=0.3x-❑√x在定义域[0，+∞)上单调递减，又f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0，
f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0，
所以根据函数零点存在定理可知，f(x)的零点所在区间为(0.3，0.5).
(2)用二分法求方程ln x=2-x的近似解，最初选取的区间为[1，2]，要求精确度为0.01，则所需二分
区间的次数最少为 .
【答案】7
【解析】区间[1，2]的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
1
经过n(n∈N*)次此操作后，区间长度变为 .
2n
1
要求精确度为0.01，所以 <0.01，n∈N*.
2n
1 1 1 1
因为 = >0.01， = <0.01，所以n≥7，即所需二分区间的次数最少为7.
26 64 27 128
【思维升华】确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有
f(a)·f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【跟踪训练】1 (1)(2025·随州模拟)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则
m= .
【答案】-2
【解析】因为函数f(x)=e-x-2x-5在R上单调递减，
f(-2)=e2-1>0，f(-1)=e-3<0，
所以f(-2)f(-1)<0，所以函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(-2，-1)上，所以m=-2.
(2)(2025·宣城期末)已知函数f(x)=x3+3x-6，利用二分法求f(x)的零点的近似值x ，若零点的初始区
0
间为[0，2]，精确度为0.3，则x 可以是( )
0
A.0.35 B.0.65 C.1.45 D.1.85【答案】C
【解析】因为f(x)=x3+3x-6，则f(0)=-6<0，f(2)=23+3×2-6=8>0，
(3) (3) 3 3 15
又f(1)=1+3-6=-2<0，f = +3× -6= >0，
2 2 2 8
(5) (5) 3 5 19
f = +3× -6=- <0，
4 4 4 64
(5 3) 3 5
由函数零点存在定理知，f(x)的零点位于区间 ， 上，且 - =0.25<0.3，满足精确度，所以结合
4 2 2 4
选项，x 可以是1.45.
0
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)函数f(x)=❑√36−x2·cos x的零点个数为 .
【答案】6
【解析】令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，
所以f(x)的定义域为[-6，6].
令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0，
由36-x2=0得x=±6，
π
由cos x=0得x= +kπ，k∈Z，
2
3π π π 3π
又x∈[-6，6]，所以x的取值为- ，- ， ， .
2 2 2 2
故f(x)共有6个零点.
(2)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零
点个数是( )
A.9 B.10 C.11 D.18
【答案】B
【解析】由题意，分别画出函数y=f(x)和y=|lg x|的图象，如图所示，
显然f(x)的值域为[0，1]，易知lg 9<1，lg 10=1，lg 11>1，且当x>11时，两函数图象无交点，
由图可知，y=f(x)与y=|lg x|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点.
【思维升华】求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)=0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.{ x2−1,x≤0,
【跟踪训练】2 (1)函数f(x)= 的零点个数为( )
x−2+lnx,x>0
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】D
【解析】当x≤0时，x2-1=0，解得x=-1；
当x>0时，f(x)=x-2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1-2+ln 1=-1<0，
f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0，
即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)(2026·渭南模拟)函数f(x)=3x|log x|-1的零点个数为( )
2
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】函数f(x)=3x|log x|-1的零点，
2
即3x|log x|-1=0的解，
2
(1) x
即|log x|= 的解，
2 3
(1) x
即y=|log x|与y= 图象的交点，如图所示，
2 3
(1) x
从函数图象可知，y=|log x|与y= 有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
2 3
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
{x2+2x,x≤1,
例3 (2026·西宁期中)已知函数f(x)= 若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的
x+lnx,x>1,
取值范围是( )
A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞)
C.(-1，1] D.[1，+∞)
【答案】B【解析】函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则y=f(x)与y=a的图象有2个交点，
当x>1时，f(x)=x+ln x单调递增，且f(x)>1；
当x≤1时，f(x)=x2+2x在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，1]上单调递增，且f(1)=3，最小值为f(-1)=-1，
可得函数y=f(x)的图象，如图所示，
由图象知实数a的取值范围是(-1，1]∪(3，+∞).
命题点2 根据函数零点的范围求参数
2+ax
例4 已知函数f(x)=3x- .若存在x ∈(1，2)，使得f(x )=0，则实数a的取值范围是
x 0 0
.
【答案】(1，8)
2+ax 2
【解析】令f(x)=3x- =0，可得a=3x- ，
x x
2
令g(x)=3x- ，其中x∈(1，2)，
x
由于存在x ∈(1，2)，使得f(x )=0，
0 0
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(1，2)上的值域.
2
由于函数y=3x，y=- 在区间(1，2)上均单调递增，所以函数g(x)在(1，2)上单调递增.
x
又因为g(1)=1，g(2)=8，
所以函数g(x)在(1，2)上的值域为(1，8).
因此实数a的取值范围是(1，8).
【思维升华】根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求
解.
【跟踪训练】3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲
线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于( )
1
A.-1 B. C.1 D.2
2
【答案】D
【解析】令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)
=ax2+a-1-cos x=h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)=a-2=0，解得a=2.
1
(2)(2025·宁波模拟)已知曲线y= +ax与直线y=x在y轴右侧无交点，则实数a的取值范围是
x2
.
【答案】[1，+∞)
1
【解析】当x>0时，y= +ax与y=x的图象无交点，
x2
1
即方程 +ax=x无正实数解.
x2
1
当a=1时，方程即为 =0，显然无正实数解，符合题意；
x2
1 √ 1
当a≠1时，由 +ax=x，解得x=3 ，
x2 1−a
√ 1
∴3 ≤0，∴1-a<0，即a>1.
1−a
综上，a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞).
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开
区间(a，b)内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，由函数零点存在定理可知，当f(a)·f(b)<0时，函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点，充分性成
立；
而函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点时，f(a)·f(b)<0不一定成立，
则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.
2.在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)=3x+2x-10，依次计算得f(1)<0，
f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是( )
A.(1，1.5) B.(1.5，1.625)
C.(1.625，1.75) D.(1.75，2)
【答案】C
【解析】由f(1)<0，f(1.5)<0，f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(2)>0，根据二分法可知该近似解所在的区间是
(1.625，1.75).
3.已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】方程f(x)=2x即为2x=3x-4，即3x=2x+4，
则方程f(x)=2x的根的个数，即为函数y=3x和y=2x+4的图象交点的个数，
作出函数y=3x和y=2x+4的图象，如图，
由图可知，两个图象有2个交点，所以方程f(x)=2x有2个根.
4.(2026·武汉期中)函数f(x)=cos 2x·(ln x-2π+1)，x∈(0，2π]的零点个数为( )
A.4 B.5 C.3 D.2
【答案】A
【解析】f(x)=0 cos 2x=0或ln x-2π+1=0.
π kπ π
若cos 2x=0 2x⇒=kπ+ ，k∈Z x= + ，k∈Z，
2 2 4
⇒ π 3π ⇒5π 7π
∵x∈(0，2π]，∴x= 或 或 或 ；
4 4 4 4
若ln x-2π+1=0，解得x=e2π-1>e5>2π，舍去，
故函数f(x)只有4个零点.
5.函数f(x)=❑√x+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A.(-∞，-18) B.(4+❑√2，+∞)
C.(4+❑√2，18) D.(-18，-4-❑√2)【答案】D
【解析】函数f(x)=❑√x+x2+m在(2，4)上的图象连续不断，且f(x)单调递增，
若f(x)=❑√x+x2+m在区间(2，4)上存在零点，
根据函数零点存在定理可知，只需满足f(2)f(4)<0，
即(m+4+❑√2)(m+18)<0，
解得-18<m<-4-❑√2，
所以实数m的取值范围是(-18，-4-❑√2).
{2−x+1,x≤0,
6.已知函数f(x)= 1 g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是( )
ln ,x>0,
x
A.[-1，0) B.[1，+∞)
C.(-∞，1] D.[2，+∞)
【答案】D
{2−x+1,x≤0,
【解析】由函数f(x)= 1
ln ,x>0,
x
因为g(x)=f(x)-x-a，令g(x)=0，
即f(x)=x+a，由函数g(x)有2个零点，即y=f(x)和y=x+a的图象有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示，
结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，+∞).
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是( )
A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
【答案】AC
【解析】因为f(x)的定义域为(0，+∞)，分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象，如图所示，结合图象可知两函数图象的交点有2个，
易知f(x)在(0，1)内有零点，
又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0，
f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0，
所以f(3)f(4)<0，所以f(x)在(3，4)内有零点.
1 1
8.(2025·大连模拟)已知x ，x 分别是函数f(x)=2x- 和g(x)=log x- 的零点，则( )
1 2 x 2 x
A.2x 1-x
2
=0
B.log x +log x =0
2 1 2 2
C.x >2
2
D.2x 1·log
2
x
2
=1
【答案】ABD
1
【解析】由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y= 图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y=log x
x 2
1 1
与函数y= 图象交点的横坐标，由y=2x与y=log x的图象关于直线y=x对称，y= 的图象关于直线y=x
x 2 x
对称，
1
所以x ，x 关于直线y=x对称，y=2x，y=log x，y= 的图象如图所示，
1 2 2 x
所以点(x ，2x 1)与点(x ，log x )关于直线y=x对称，
1 2 2 2
1
{x =log x = ,
1 2 2 x
即 2
1
x =2x 1= ,
2 x
1
故2x 1-x =0，2x 1·log x =1，
2 2 2
log x +log x =log (x x )=0，A，B，D对；
2 1 2 2 2 1 2
若x >2，即x =2x 1>2 x >1，此时x x >2，与x x =1矛盾，C错.
2 2 1 1 2 1 2
三、填空题(每小题5分，共10分)
⇒
{ ln(−x),x<0,
9.已知函数f(x)= 则函数y=f(x)的零点是 .
x2−3x−4,x>0,
【答案】-1和4{ x<0, { x>0,
【解析】依题意， 或
ln(−x)=0 x2−3x−4=0,
解得x=-1或x=4.
{ x2,x≥a,
10.(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)= 若∃m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取
2x+3,x<a,
值范围是 .
( 3 )
【答案】 − ，0
2
【解析】当a≥0时，函数y=x2在[a，+∞)上单调递增，且最小值为a2，函数y=2x+3在(-∞，a)上单调
递增，且y<2a+3，如图1所示，
由图象可知，无论2a+3≥a2，还是2a+3<a2，函数f(x)的图象与直线y=m都不可能有三个交点，不符
合题意；
当a<0时，函数y=x2在(0，+∞)上单调递增，在[a，0)上单调递减，则有y≥0，
函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图2所示，
要想函数f(x)的图象与直线y=m可能有三个交点，
3
只需2a+3>0，即- <a<0.
2
( 3 )
综上，实数a的取值范围为 − ，0 .
2
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)求c；(6分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分)
【解析】(1)由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，
b
可得 =2，解得b=4.
2又因为f(x)有一个零点为c，
则f(c)=c2-4c+c=0，
解得c=3或c=0(舍去).
故c=3.
(2)由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1
=x2-(4+m)x+4，
因为g(x)在(1，3)上有两个零点，
4+m
{ 1< <3,
2
则满足
g(1)=1−m>0,
g(3)=−3m+1>0,
Δ=(4+m) 2−16>0,
1
解得0<m< ，
3
( 1)
所以实数m的取值范围为 0， .
3
12.(15分)(2025·天水模拟)已知函数f(x)=log (2+x)-log (2-x).
2 2
(1)判断f(x)的奇偶性；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=log (a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分)
2
【解析】(1)f(x)为奇函数，理由如下：
{2+x>0,
由题意得 解得-2<x<2，即函数f(x)的定义域为(-2，2)，故定义域关于原点对称.
2−x>0,
又f(-x)=log (2-x)-log (2+x)=-f(x)，
2 2
故f(x)为奇函数.
(2)由f(x)=log (a+x)，
2
得log (2+x)-log (2-x)=log (a+x)，
2 2 2
2+x
所以 =a+x，
2−x
2+x 4−(2−x)
所以a= -x= -x
2−x 2−x
4
= +(2-x)-3，
2−x
4
故方程f(x)=log (a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a= +(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的
2 2−x
4
实数根，即函数y=a与y= +(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点.
2−x4
设t=2-x，x∈(-2，2)，则y= +t-3，t∈(0，4).
t
4
作出函数y= +t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示.
t
4
当1<a<2时，函数y=a与y= +t-3，t∈(0，4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)=log (a+x)有两
t 2
个不同的实数根，
故实数a的取值范围是(1，2).
[每小题5分，共10分]
( 1) ( 1 )
13.(2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin x+ 在 ，10 上的零点个数为( )
x 10
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
1 1 ( 1 )
【解析】令t=x+ ，根据对勾函数的性质可知，函数t=x+ 在 ，1 上单调递减，在(1，10)上单调
x x 10
( 1 ) 101
递增，且t(1)=2，t =t(10)= .
10 10
( 1 ) [ 101)
所以当x∈ ，10 时，t∈ 2， ，
10 10
由y=sin t=0 t=kπ，k∈Z.
只有当k=1， ⇒ 2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈ [ 2， 101) .
10
1 ( 1 )
又因为x+ =π，2π，3π在 ，10 上各有2个解，
x 10
( 1 )
所以f(x)在 ，10 上有6个零点.
10
14.(2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值
为 .
1
【答案】
2
【解析】当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，
则关于x的方程2x-2+mx2=4mx-2-x+2在[0，4]上有唯一解，即f(x)=2x-2+2-x+2+mx2-4mx在[0，4]上有唯一零点，
因为f(x)=2x-2+2-x+2+m(x-2)2-4m，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
又f(x)在[0，4]上存在唯一零点，
1
所以f(2)=0，解得m= .
2
