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第 29 讲 离心率问题速解
【典型例题】
例1．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆 （ ）的左、右焦点为 、 ，圆
与 的一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 ， ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，圆 过椭圆的两个焦点，
因为 为圆与椭圆的交点，所以 ，
因为 ，
设 ，可得 ， ，
所以 ，
所以 ，
在 中， ，
即 ，解得 或 ，
解得 或 （舍去），
此时点 为椭圆短轴的顶点，
又 ，解得 （负值舍去），
且 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ．
故选：B．例2．（2024·广西来宾·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条
直线与C交于A，B两点（不在坐标轴上），坐标原点为O，若 ， ，则C的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆定义得 ，又 ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，
又 ，
故 ，即 ⊥ ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ，则 ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
此时A，B两点不在坐标轴上，满足要求，
当 时， ，则 ，此时A在 轴上，不合要求，舍去，
综上，离心率为 .
故选：C
例3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知斜率为3的直线l过双曲线C 的右焦点，
且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C．（1,3） D．
【答案】B
【解析】法一：设直线方程 ，
与 联立得 ，
设两交点坐标为 ，
则 ， 解得 ，即 ，
离心率 ;
法二：易知渐近线方程为 ,由题意得 ，离心率 ，
故选:B.
例4．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系 中，已知 为双曲线 的右顶点，以
为直径的圆与 的一条渐近线交于另一点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B【解析】由题意得， ⊥ ，双曲线的一条渐近线方程为 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
,
故选：B.
例5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭
圆T上一点，且 ，若 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率
．
【答案】
【解析】
因为 ，且 ， ，
所以
，
所以 ，
所以 的面积 ．
设 的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，由正弦定理可得 ，可得 ．
易知 的周长 ，
利用等面积法可知 ，解得 ．
又 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故离心率 ．
故答案为：
例6．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直
角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由椭圆 可知 ，
易知，直线 与 的斜率存在且不为0，
故可设直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立 消元得 ，
解得 ，
同理，联立 可解得 ，
由题知， ，
所以 ，即 ，
整理得 ，因为 为上述方程的根，
所以，要使满足条件的△ABC有且只有一个，方程 没有实数解，或者有两个相等的根
.
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，此时方程 的根为1.
综上， .
所以， .
故答案为：
例7．（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ，
，点 在 上，点 在 轴上， ， ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【解析】
令椭圆 ： （ ）的半焦距为 ，
设 ，则 ，由点 在 轴上，
，得 ，而 ， ，因此 ，
即 ，解得 ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ， ，
所以椭圆 的离心率为 .
故答案为： .
例8．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过
作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若 ，则双曲线C的离心率为 .
【答案】2
【解析】易知 关于x轴对称，令 ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ．
， ， ，
∴ ，∴ ．故答案为: 2.
例9．（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲
线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它
们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点 且与两个球都相切，切点分别记为 .这个平面截圆
锥面得到交线 是 上任意一点，过点 的母线与两个球分别相切于点 ，因此有
，而 是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线 是一个椭圆.
如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与
轴夹角的正切值为 ，球的半径为4，平面 与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于 两点，记平面
与圆锥侧面相交所得曲线为 ，则曲线 的离心率为 .
【答案】 /
【解析】如图， 是圆锥与球的切点， 是球心，P是截口上任一点，
连接 ， 则 ，所以 ， ，
所以 是矩形，
连接 ，则 ，
因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为 ，即 ，
所以 ，
根据对称性得 ,
所以 ，故两圆的公切线长为6
连接 ，PA，OP，设OP与球 的切线交于K，与球 的切线交于H，则 ，
所以 ，得 ，在 中， ，
所以 ，得
曲线 的离心率为
故答案为：
例10．（2024·福建漳州·模拟预测）点 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作斜
率为 的直线与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，若 为以 为底的等腰三角形，则
的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可得 ，如图，
取 的中点 ，连接 ，则 ．
设 ，则 ，
所以 ，所以 ．
因为直线 的斜率为 ，所以 ．
又 ，所以 ，
则 ，
所以 ．
在 中， ，
即 ，解得 ，
即双曲线 的离心率 ．故答案为： .
例11．（2024·河南信阳·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在双
曲线C上，且 ， ，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解析】依题意，，而O为线段 的中点，且 ，所以P是 的中点，
所以OP是 中位线，所以 ，又 ，则 ，
由 ，所以点P在双曲线C的右支上，由 ，
令 ，则 ，
又 ，所以点Q在双曲线C的左支上，
由 ，又P是 的中点，
所以 ，所以 ，
在 中，由勾股定理可得， ，
即 ，整理可得，
在 ，由勾股定理可得， ，
即 ，化简 ，又 ，
所以 ，则 ．
故答案为：例12．（2024·山东菏泽·一模）已知斜率为 的直线过双曲线 的右焦点 且交双曲
线右支于A、B两点， 在第一象限，若 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】过 作 轴，垂足为 .如图所示
的斜率为 ，则 , ,
在双曲线 上，
即 ，于是有 ，
进而得出 ，解得 或 （舍），
，即 （负舍），
故 的离心率为 .
故答案为： .
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，若 ， ，则椭圆离心率
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】由于 ， ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
综上得 ，
故选：B．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，直线 与 交于 两点，
且 ．则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，记 ，
设 中点为 ，所以 ，
由题意可知， 中点 是直线 与直线 的交点，
联立 ，解得 ，
另一方面，联立 ，得 ．
易知 ，由韦达定理得 ，解得 ，
所以 ，故离心率 ．
故选：B.3．（2024·天津·一模）已知双曲线 与抛物线 ，抛物线 的准
线过双曲线 的焦点 ，过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为点 ，延长 与抛物线 相
交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的焦距为 ，
抛物线 的准线过双曲线 的焦点 ，
，
又 到 的距离 ，即 ，
， ，
，则 ，
，得 ，
过 作 轴，则 ，
故 ，
因此
由于 在抛物线 上，所以即
，
，故 ，
故 ．
故选：C．4．（2024·四川广安·二模）已知 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左右焦
点，若过 的直线与圆 相切，与 在第一象限交于点 ，且 轴，则 的离心率
为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】如图，设 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
过点 的直线与圆 相切于点 ，则 ， ，
，则 ，所以 ，
因为 轴，所以易得 ， ，
化简得 ，即 ，解得 ，
.
故选：D.
5．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）记椭圆 ： 与圆 ： 的公共点为 ，
，其中 在 的左侧， 是圆 上异于 ， 的点，连接 交 于 ，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
由题意可知点 ， 分别为椭圆的左右顶点，所以 ， ，
设点 在第一象限，设点 ，所以 ，
，
所以 ， .
故选： .
6．（2024·高三·河南·阶段练习）如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、
右顶点分别为 ，过原点的直线与椭圆 交于 两点，椭圆上异于 的点 满足 ，
， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
连接 ，依题意可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
则 的坐标为 ，所以 ，即 ，
可得 ，化简得 ，解得 ，即 ．
故选：A
7．（2024·广东·一模）已知O为双曲线C的中心，F为双曲线C的一个焦点，且C上存在点A，使得
， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【解析】不妨设双曲线焦点在 轴上， ，另一个焦点为 ，
因为 ，所以 为直角三角形，
因为 ， ，
所以由余弦定理可得 ，
所以 ，
由双曲线定义可得， ，
所以 .
故选：C
8．（2024·陕西·模拟预测）直线 过双曲线 的右焦点 ，且与 的左、右两支分别
交于A，B两点，点 关于坐标原点对称的点为 ，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图所示，取双曲线左焦点 ，设 ，则 ，由双曲线定义可得 ，又 、 关于原点对称，
故 ， ， ，
则 ，
由 ，故 ，故有 ，
化简可得 ，即有 ， ，
由 ，则有 ，即 ，
即 .
故选：B.
二、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作直线 与 及其
渐近线在第一象限内分别交于点 ．若 为线段 的中点，则 的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题， ，
设 ，由中点坐标公式得 ，
代入 中，得 ，整理得 ，
又 ，得 ，得 ．
故答案为： .
10．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦
点分别为 ，过 分别作倾斜角为 的直线，分别交双曲线 的左、右两支于点 （ 均在
轴上方），过 与 的交点 作倾斜角为 的直线与 轴交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，设 ，由双曲线的定义，得 .
在 中， ，
由余弦定理得 ，
解得 ，即 .
在 中， ，
由余弦定理得 ，
解得 ，即 .
因为 ，所以 ， ，
则 ，所以 ，
即 ，解得 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
由 ，得 ，整理得 ，又 ，所以 .
故答案为：
11．（2024·全国·模拟预测）已知 轴上的点 是椭圆 的长轴顶点， 也在双曲线 上，设过坐标
原点且斜率互为相反数的两条直线与椭圆 的四个交点构成的四边形面积为 ，双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点构成的四边形面积为 ，若 恒成立，椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，
，则 ．
【答案】2
【解析】设椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ，
故双曲线 渐近线的斜率为 ，
所以 ，
设过坐标原点的直线与椭圆 的一个交点为 ，则 ，且 ．
由于 ，即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 ，
联立 ，可得 ，所以 ．
因为 恒成立，所以 ，
整理得 ，故 ，故 ．
故答案为：
12．（2024·贵州毕节·模拟预测）双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过
点 直线 与双曲线右支交于 ， 两点，点 是 轴上一点， ， ，则双曲线 的离
心率为 ．
【答案】2
【解析】设双曲线 的半焦距为 ，则 的坐标为 ，
因为直线 过点 ，与双曲线右支交于 ， 两点，
故直线 不为 ，所以可设直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
由已知 ，方程 的判别式 ，
设
则 ， ，
所以 ，
因为 ，点 是 轴上一点，
所以点 为线段 的垂直平分线和 轴的交点，
设线段 的中点 的坐标为 ，
则 ， ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
令 可得， ，
由已知点 的坐标为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线 的离心率 ，
故答案为：2.
13．（2024·辽宁鞍山·二模）已知双曲线 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ，
， 轴于点 ，且 ．当 最大时，点 恰好在双曲线 上，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图：
因为 轴，且 在双曲线上，所以 ，
又 ，所以 为 中点.
因为 最大，所以经过 ， 两点的圆与 相切于 ，此时 点坐标为 ，
圆心 ，
由
.
故答案为：
14．（2024·山东临沂·一模）已知 是双曲线 的左､右焦点，点 在
上. ，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】过点 作 轴的垂线垂足为 ，由已知得 ， ，
则 ， ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，
将点 的坐标代入双曲线方程得 ，
整理得 ，将 代入得 ，
即 ，解得 或
∵ ，∴ 舍去，
∴ ，
故答案为： .
15．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆 的右焦点，点A，B
在C上，AB的中点为F， ，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的对称性可知， 垂直于x轴，
又 ，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ，即 ，
所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），
故 .
故答案为：16．（2024·高二·山东青岛·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到
圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的
底面直径均为2，侧面积均为 ，记过两个圆锥轴的截面为平面 ，平面 与两个圆锥侧面的交线为
．已知平面 平行于平面 ，平面 与两个圆锥侧面的交线为双曲线 的一部分，且 的两条渐
近线分别平行于 ，则该双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】以矩形 的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为
，
由圆锥的底面直径为2，侧面积为 ，得 ，
显然 ，即 ，
所以双曲线的离心率 .故答案为：
17．（2024·广东湛江·一模）已知 ， 分别为椭圆C： 的左、右焦点，
过点 的直线l交椭圆C于A，B两点，若 ， ，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 为线段 的中点，且点 在椭圆外，所以 ，
则 ，又 ，所以 为线段 的中点，所以 ，
设 ，则 ，又 ，所以 ，
由椭圆的定义可知： ，得 ，
如图，延长 交椭圆C于点 ，连接 ，则由椭圆的对称性可知，
，又 ，故 ，
由余弦定理可得： ，
在 中， ，由余弦定理可得 ，
即 ，
所以椭圆C的离心率为 .
故答案为：
18．（2024·辽宁·一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点
作斜率为 的直线与 的右支交于点 ，且点 满足 ，且 ，则 的离心率是
.【答案】 /
【解析】如图，直线 的斜率为 .
由 ，得点 为 的中点，
又 ，所以 是线段 的垂直平分线，所以 ，
过点 作 于点 ，由已知得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ， 为 的中点，所以 ，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又题中直线与 的右支有交点，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 的离心率为 .
故答案为： .
19．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若 ， ，则C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】设双曲线的右焦点为 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ⊥ ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 为 的中点，所以 ⊥ ，且 ，
因为 ，所以 ， ，
由勾股定理得 ，即 ①，
由垂径定理得 ，
即 ，即 ②，
联立①②得 ，
又由双曲线定义可得 ，即 ，
化简得 ，
方程两边同除以 得， ，
解得 或1（舍去），
故离心率 .
故答案为：
20．（2024·云南贵州·二模）已知 分别是双曲线 的左、右焦点，经过点 且与轴垂直的直线与 交于点 ，且 ，则该双曲线离心率的取值范围是
.
【答案】
【解析】设双曲线的焦距为 ，
如图，
由题意， ， ，
则 ．
由 ，得 ，
即 ．
．
故答案为：
21．（2024·云南·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传
统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，
如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地面形成了
一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则
该椭圆的离心率为 .
【答案】 /
【解析】如图，伞的伞沿与地面接触点 是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为 为伞的圆心， 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为 ，半焦距为 ，由 ，
得 ，
在 中， ，
则 ，
由正弦定理得， ，解得 ，则 ，
所以该椭圆的离心率 .
故答案为： .
22．（2024·浙江·模拟预测）已知正方形 的四个顶点均在椭圆 上， 的两个焦点
分别是 的中点，则 的离心率是 .
【答案】
【解析】不妨设 为椭圆 的左、右焦点，由题意知 轴， 轴，
且 经过椭圆焦点， ，
则 ，将 代入椭圆方程 ，得 ，
故 ，由 ，得 ，
结合 ，得 ，即 ，解得 （负值舍），
故 的离心率是 ，
故答案为：
23．（2024·吉林白山·二模）已知点 是椭圆 上关于原点对称的两个点，点 是
椭圆 上异于 ， 的一点，且以 为直径的圆过点 ，点 在 轴上，且 三点共线， 为坐
标原点，若 成等比数列，则椭圆 的离心率为 .
【答案】
【解析】
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，
由题意设直线 （斜率显然存在，否则点 就不存在了），不妨设点 分别在第一象限、
第三象限，
则直线 的斜率 ；
联立 ，解得 ，
则 ，
而 ， 成等比数列，
则 ，
设 ，则 ，从而 ，而 不重合，也就是 ，
解得 ，则 ，
故直线 的斜率 ，
设 ，
所以 ，
所以 ，故所求离心率 .
故答案为： .
24．（2024·江苏·一模）设双曲线C： ( ， )的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂
线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】直线EF与渐近线方程联立得 解得 ， ，
∴EF中点M的坐标为 ，
又M点在双曲线上，代入其标准方程，得 ，
化简得 ，∴ ， ．
故答案为： ．
25．（2024·高三·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左焦点为 ，
点 在椭圆上， 的中点为 ，若 ， ，则椭圆离心率的值为 ．
【答案】 /
【解析】取右焦点 ，∵ 为 中点， ，则 为等腰三角形， ，
∴ 为直角三角形， ， ，
， ．
故答案为： .
