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第二章 函 数
§2.3 函数的奇偶性
【高考考向预测】
近三年高考函数奇偶性考查频次较高，多以小题为主也常融入大题，重点考查奇偶性判
定、奇偶函数图像性质、利用奇偶性化简求值与对称分析，常搭配单调性综合出题；预测2027 年
依旧保持高频考查，命题更侧重奇偶性与周期性、对称性结合考查，强化抽象函数性质运用及含
参奇偶问题分析，注重数形结合，侧重综合性质灵活运用。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. ( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. ( )
(3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数. ( )
(4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数. ( )
2.下列函数中是偶函数的是( )
1
A.f(x)=x+1 B.f(x)=
x2
C.f(x)=(❑√x)2 D.f(x)=sin x
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是( )
A.f(x)+f(-x)=0
B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0
f(x)
D. =-1
f(−x)
(1) x
4.(2025·湛江期末)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x- ，则f(2)= .
3
【核心梳理●明考点】
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且 f (-
偶函数 关于 y 轴 对称
x )= f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且 f (- x )=-
奇函数 关于原点对称
f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
1.理解函数奇偶性的常用结论
(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有
相反的单调性.
2.灵活应用奇函数的两个特殊性质
(1)若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x) +f(x) =0.
min max
(2)若F(x)=f(x)+c，f(x)为奇函数，则F(-x)+F(x)=2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x) +F(x) =2c.
min max
3.谨防两个易误点
(1)求奇函数的解析式时，忽略x=0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么
在x=0处的函数值为0，即f(0)=0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
【题型突破●明方向】
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (1)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)=❑√3−x2+❑√x2−3；
②f(x)=ex+e-x；
{ x2+x,x<0,
③f(x)=
−x2+x,x>0;
④f(x)=log (x+❑√x2+1).
2
(2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 ( )
A.函数f(-|x|)是奇函数
B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数
C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数
D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数
【跟踪训练】1 (1)(2024·天津)下列函数是偶函数的是( )
ex−x2 cosx+x2
A.f(x)= B.f(x)=
x2+1 x2+1ex−x sinx+4x
C.f(x)= D.f(x)=
x+1 e|x|
(2)若定义在R上的函数f(x)满足对任意x ，x ∈R有f(x +x )=f(x )+f(x )+1，则下列说法一定正确的
1 2 1 2 1 2
是( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
题型二 函数的奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求解析式
例2 (1)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当
x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为 .
(2)已知定义域为R的函数f(x)和g(x)，函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)满足g(x)-g(-x)=0，
若f(x)+g(x)=2x+x3-1，则f(1)与g(-2)的大小关系为( )
A.f(1)>g(-2) B.f(1)<g(-2)
C.f(1)=g(-2) D.不确定
命题点2 利用奇偶性求值
xex
例3 (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)= 是偶函数，则a等于( )
eax−1
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)(人教B版必修第一册P115练习BT2改编)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)= .
命题点3 利用奇偶性解不等式
1
例4 (2025·广西名校调研)设函数f(x)=ln(1+x4)- ，则不等式f(2x)>f(x+1)的解集为( )
1+3|x|
( 1 )
A. − ，1
3
( 1)
B. −∞，− ∪(1，+∞)
3
( 1 1)
C. − ，
3 3
( 1) (1 )
D. −∞，− ∪ ，+∞
3 3
2+x
【跟踪训练】2 (1)若函数f(x)=(x2+ax)lg 为奇函数，则a的值为( )
2−x
A.-1 B.0 C.1 D.2
f(x )−f(x )
(2)(2025·湖北联考)定义在R上的奇函数f(x)满足∀x ，x ∈(0，+∞)且x ≠x ，都有 1 2
1 2 1 2 x −x
1 2
<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为( )A.(-∞，-3)∪(3，+∞)
B.(-3，0)∪(3，+∞)
C.(-∞，-3)∪(0，3)
D.(-3，0)∪(0，3)
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x
C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x
2.(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则( )
A.f(π)<f(-3)<f(-2)
B.f(π)<f(-2)<f(-3)
C.f(-2)<f(-3)<f(π)
D.f(-3)<f(-2)<f(π)
3
3.(2025·赤峰模拟)若函数f(x)=a- 是奇函数，则实数a的值为( )
3x+1
1 3
A. B.1 C. D.3
2 2
4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(
)
A.8 B.0 C.4 D.2
1−x
5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是( )
1+x
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
6.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则
f(ln 3)的值为( )
7 10 11
A. B.3 C. D.
3 3 3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则( )
A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数
8.(2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(
)
A.f(0)=0
(1) 1
B.xf + f(x)=2(x≠0)
x x
C.f(x)为减函数
D.f(x)为奇函数
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)= .
10.若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3.
(1)求函数f(x)的解析式；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分)
12.(15分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)
+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数).
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分)
(2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分)
[每小题5分，共10分]ex−1
13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)= 的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值
ex+1
范围是 .
| 1 |
14.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln a+ +b是奇函数，则a= ，b= .
1−x
