专题五 解析几何
微专题4 离心率的取值与范围问题
一、考点透析
考点1 利用定义求离心率的值或范围
1.(2025·山东省泰安市·联考)已知椭圆的左､右焦点分别为F1､F2，过F2的直线交椭圆于
P､Q两点，且PQ⊥F1Q，S▵Q F1F2=2S▵P F1F2
，则椭圆的离心率为( )
A. 1
3
B. √2
3
C. √3
3
D. √5
3
【答案】D
【解析】解：由S▵Q F1F2=2S▵P F1F2
，可得|Q F2|=2|P F2|，
设|P F2|=m，则|Q F2|=2m，|P F1|=2a−m，|Q F1|=2a−2m，
由PQ⊥F1Q，则|P F1|
2=| PQ|
2+|Q F1|
2，即(2a−m)
2=9m
2+(2a−2m)
2，解得
m= a
3
，
所以|Q F1|=2a−2× a
3 = 4 a
3
，|Q F2|= 2
3 a，
∴|F1 F2|
2=|Q F1|
2+|Q F2|
2，即4 c
2= 16a
2
9
+ 4 a
2
9
，解得c
2
a
2 = 5
9
，
所以椭圆的离心率e = c
a = √5
3
．
故选：D．
1
2.已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－y
2
b
2 ＝1（b＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P
在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C 的离心率的取值
范围是（ ）
A.（1，17
9 ］
B.［17
9 ，＋∞）
C.［√17
3 ，＋∞）
D.（1，√17
3 ］
【答案】D
【解析】∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，
记｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a①，
∴2xy＝4c2－4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，
∴x＋y＝2√2c
2－a
2②，由①②得{
x＝√2c
2－a
2＋a，
y ＝√2c
2－a
2－a.
又tan∠PF2F1＝x
y ≥4，即x≥4y，
∴√2c
2－a
2＋a≥4（√2c
2－a
2－a），解得c
2
a
2≤17
9 ，
∴双曲线C 的离心率e＝c
a≤√17
3 ，又e＞1，
∴1＜e≤√17
3 ，故选D.
考点2 利用齐次式求离心率的值或范围
1.(2025·河北省唐山市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点
分别为F1，F2，与直线A F2垂直的直线交C于M，N两点，当△F1 MN的周长最大时，
F1 M ⊥F1 N，则C的离心率为( )
A. 2
3
B. √6
3
C. 1
3
D. √3
3
【答案】D
【解析】解：根据椭圆的定义，| M F1|+| M F2|=2a，| N F1|+| N F2|=2a，
所以△F1 MN的周长
L=| M F1|+| N F1|+| MN |= 4 a+| MN |−| M F2|−| N F2|= 4 a+| MN |−(| M F2|+| N F2|)
⩽4 a+|MN|−|MN|= 4 a，
2
则当直线MN过点F2时，| MN |−| M F2|−| N F2|=0，此时△F1 MN的周长L取得最
大值4 a，
设椭圆的半焦距为c，则F1(−c ,0)，F2(c ,0)，A(0,b)，直线A F2的斜率k A F2=−b
c
，
那么与直线A F2垂直的直线MN斜率k MN = c
b
，
此时直线MN的方程为y = c
b ( x−c)，设M ( x1, y1)，N ( x2, y2)，
由{
x
2
a
2 + y
2
b
2 =1
y = c
b ( x−c)
，得x
2
a
2 +
( c
b x−c
2
b )
2
b
2
=1
，
整理得(a
2c
2+b
4)x
2−2a
2c
3 x +a
4(c
2−b
2)=0，显然Δ>0，
从而x1+ x2= 2a
2c
3
a
2c
2+b
4 , x1 x2= a
4(c
2−b
2)
a
2c
2+b
4
，
已知F1(−c ,0)，则F1 M⃗=( x1+c , y1)，F1 N⃗=( x2+c , y2)，
因为F1 M ⊥F1 N，所以F1 M ⋅F1 N =0，
即( x1+c)( x2+c)+ y1 y2=0，
( x1+c)( x2+c)+ c
2
b
2 ( x1−c)( x2−c)=0，
得(1+ c
2
b
2 )x1 x2+(c−c
3
b
2 )( x1+ x2)+c
2+ c
4
b
2 =0，
两边同时乘以b
2得(b
2+c
2)x1 x2+(b
2c−c
3)( x1+ x2)+b
2c
2+c
4=0，
3
将x1+ x2= 2a
2c
3
a
2c
2+b
4 , x1 x2= a
4(c
2−b
2)
a
2c
2+b
4
代入得：
(b
2+c
2)· a
4(c
2−b
2)
b
4+a
2c
2 +(b
2c−c
3)· 2a
2c
3
b
4+a
2c
2 +a
2c
2=0，
去分母并整理得3c
6−a
2c
4−3a
4c
2+a
6=0，
两边同时除以a
6得，3e
6−e
4−3e
2+1=0，
变形得e
4(3e
2−1)−(3e
2−1)=0，
得(e
4−1)(3e
2−1)=0，
从而e
4−1=0或3e
2−1=0，
又0<e<1，所以3e
2−1=0，
解得e = √3
3
．
故选：D．
2.(2025·天津市市辖区·联考)过曲线C1
：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点F1
作曲线C2
：
x
2+ y
2=a
2的切线，设切点为M，延长F1 M交曲线C3
：y
2=2 px( p>0)于点N，其中
C1､C3有一个共同的焦点，若| M F1|=| MN |，则曲线C1的离心率为( )
A. √5−1
B. √5+1
2
C. √5
D. √5+1
【答案】B
【知识点】直线与双曲线的位置关系及其应用、求双曲线的离心率（或取值范围）
【解析】解：
4
设曲线C1右焦点为F2(c ,0)，又曲线C1与C2有一个公共焦点，则C3：y
2= 4 cx，
连接OM ､N F2，
∵O为F1 F2中点，M为F1 N中点，
∴OM为△N F1 F2中位线，则OM // N F2，|OM |=a，
∴| N F2|=2a，OM ⊥N F1，N F2⊥N F1，
∴| F1 F2|=2c，| N F1|=2b，
设N ( x , y)，则由抛物线的定义可得x +c =2a，
∴x =2a−c
过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，
由勾股定理y
2+ 4 a
2= 4 b
2，
即4 c(2a−c)+ 4 a
2= 4(c
2−a
2)，
得e
2−e−1=0，
所以e = 1+√5
2
或1−√5
2
(舍)．
故选：B．
3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知直线y = x +1与曲线m x
2+n y
2=0(m>0,n<0)交于A，
B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为3
2，则双曲线x
2
m + y
2
n =1的离心率为
( )
A. 5
2
B. √10
2
C. 5
3
D. √15
3
5
【答案】D
【解析】解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则m x1
2+n y1
2=0，①
m x2
2+n y2
2=0，②
因为同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为3
2
，
所以{
y = x +1
y = 3
2 x
得：A ,B中点坐标为(2,3)，
所以{
x1+ x2= 4
y1+ y2=6 ,
且k AB= y1−y2
x1−x2
=1．
①−②可得m(x1
2−x2
2)+n( y1
2−y2
2)=0，
则−m
n = y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 = y1+ y2
x1+ x2
⋅y1−y2
x1−x2
= 3
2 ⋅1= 3
2
，
e = √m+(−n)
√m
=√1−n
m =√1+ 2
3 = √15
3
．
故选：D．
考点3 利用公式求离心率的值或范围
1.(2025·安徽省阜阳市·模拟)如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M
与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若SO =√3OB，
则该双曲线的离心率为( )
6
A. √3
B. √6
3
C. 2√3
3
D. 2√6
3
【答案】C
【解析】解：设OB =2m(m>0)，该曲线与圆锥的底面圆交于点H、P，
因为SO =√3OB =2√3m，所以SB = SA = AB = 4 m，即▵SAB为等边三角形，
又M为SB的中点，取OB的中点Q，过S作SN // AB，交直线MQ于点N，过点N作y轴
// HP，
以直线QN为x轴，N为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0, x<0)，
所以a= MN =√3m，又HP⊥OB，所以PQ =√O P
2−OQ
2=√4 m
2−m
2=√3m
，
则点P(−2√3m,√3m)，
所以(−2√3m)
2
3m
2
−3m
2
b
2 =1，解得b=m(负值舍去)，
所以双曲线的离心率e = c
a =√
1+ b
2
a
2 =√
1+ m
2
3m
2 = 2√3
3
．
故选：C．
7
2.(2025·云南省曲靖市·模拟)如图，圆柱的轴O1O2与一平面所成角为60
∘，该平面截圆柱侧
面所得的图形为椭圆，则此椭圆的离心率为( )
A. √3
2
B. √2
2
C. √3
3
D. 1
2
【答案】D
【解析】解：设圆柱半径为r，平面与圆柱轴线夹角为θ =60
∘，则椭圆的短轴b=r，
椭圆的长轴a=
r
sinθ ，e =√1−( b
a )
2=√1−sin
2θ =cosθ = 1
2
．
故选：D．
3.(2025·河南省开封市·模拟)将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的
函数图象，比如反比例函数y = 1
x
，“对勾”函数y = x + 1
x
，“飘带”函数y = x−1
x
等等，
它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得．现将双曲线C1
：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1绕原点旋转一
个合适的角度，得到“飘带”函数y =
x
4√3 −1
x 的图象C2，则双曲线C1的离心率为( )
8
A. 2√3
3
B. √21
3
C. √21
4
D. 2√3
【答案】B
【解析】解：易知函数y =
x
4√3 −1
x 的渐近线为y =
x
4√3
和y轴，
设y =
x
4√3
的倾斜角为θ，
则y =
x
4√3
和y轴的夹角为π
2 −θ，
则旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为tan
π −( π
2 −θ)
2
= tan ( π
4 + θ
2 )，
因为tanθ =
1
4√3
，
所以
2tan θ
2
1−tan
2 θ
2
=
1
4√3
，即tan
2 θ
2 +8√3 tan θ
2 −1=0，
解得tan θ
2 =7−4√3或tan θ
2 =−7−4√3(舍去)，
所以tan ( π
4 + θ
2 )=
1+ tan θ
2
1−tan θ
2
= 8−4√3
4√3−6
= 4−2√3
2√3−3 = (4−2√3)(4+2√3)
(2√3−3)(4+2√3)
=
4
8√3+12−12−6√3 = 2
√3
，
9
所以b
a = 2
√3
，
所以e =√
1+(
b
a)
2
=√1+ 4
3 = √21
3
．
故选：B．
考点4 利用性质求离心率的值或范围
1.(2025·山西省太原市·模拟)已知双曲线E的中心为原点，焦点在x轴上，两条渐近线夹角
为60
∘，且点(1,1)在E上，则E的离心率为( )
A. √3
B. 2√3
3
C. 2
D. 2√3
3
或2
【答案】C
【解析】解：由题意可设双曲线的标准方程为：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0，b>0，
可得双曲线的渐近线方程为y =± b
a x，
∵两条渐近线的夹角为60
∘，
∴b
a =√3或√3
3
，
∵点(1,1)在E上，
∴1
a
2 −1
b
2 =1，
当b
a =√3，即b=√3a时，1
a
2 −1
3a
2 =1，
解得a
2= 2
3
，b
2=2，
则c
2=a
2+b
2= 2
3 +2= 8
3
，
10
所以e =√
c
2
a
2 =√
8
3
2
3
=2;
当b
a = √3
3 ，即b= √3
3 a时，1
a
2 −3
a
2 <0，舍去，
所以e =2．
故选C．
2.已知F 是椭圆x
2
a
2＋y
2
b
2 ＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于A，B
两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.［√3
2 ，1）
B.（0，√3
2 ］
C.［1
2，1）
D.（0，1
2］
【答案】C
【解析】设F 为椭圆的左焦点，F'为椭圆的右焦点，连接AF，BF，AF'，BF'（图略），
由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF'为平行四边形，
又∠AFB＝120°，则∠FAF'＝60°，
在△AFF'中，｜FF'｜2＝｜AF｜2＋｜AF'｜2－2｜AF｜·｜AF'｜cos∠FAF'
＝（｜AF｜＋｜AF'｜）2－3｜AF｜·｜AF'｜，
∴（｜AF｜＋｜AF'｜）2－｜FF'｜2＝3｜AF｜·｜AF'｜≤3（｜AF ｜＋｜AF '|
2
）2，
可得1
4 （｜AF｜＋｜AF'｜）2≤｜FF'｜2，即a2≤4c2，则e＝c
a≥1
2，
∴椭圆的离心率e∈［1
2，1），故选C.
3.(2025·湖北省襄阳市·模拟)过双曲线C ：x
2
a
2 −y
2=1(a>0)右支上的点P作C的切线l，F1
F2为双曲线C的左右焦点,N为切线l上的一点,且ON // F1 P.若|ON |=2,则双曲线的离
心率为( )
A. √2
B. 2
C. √5
2
D. √5
【答案】C
11
【解析】解：因为点P在双曲线C ：x
2
a
2 −y
2=1(a>0)右支上，
设P( x0, y0)，x0>0，
则双曲线在点P( x0, y0)的切线方程为
x0 x
a
2 −y0 y =1，
令
x0 x
a
2 −y0 y =1中y =0，
得x = a
2
x0
，故B( a
2
x0
,0)，
故|OB|= a
2
x0
，又|O F1|=c =√a
2+1，
故|B F1|= a
2
x0
+√a
2+1，
其中| F1 P|=√( x0+c)
2+ y0
2=√( x0+√a
2+1)
2+ y0
2，
12
又x0
2
a
2 −y0
2=1，故| F1 P|=√
( x0+√a
2+1)
2+ x0
2
a
2 −1=√
(a
2+1)x0
2
a
2
+2√a
2+1 x0+a
2
=√( √a
2+1 x0
a
+a)
2= √a
2+1 x0
a
+a，
因为ON // F1 P，所以|ON |
| F1 P| =|OB|
|B F1| ，
即
2
√a
2+1 x0
a
+a
=
a
2
x0
a
2
x0
+√a
2+1
，
整理得(a−2)(a
2+√a
2+1 x0)=0，
显然a
2+√a
2+1 x0>0，
故a−2=0，故a=2，
所以c =√a
2+1=√5，
所以双曲线的离心率为√5
2 ．
故选：C．
二、跟踪练习
1.(2025·陕西省咸阳市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1
，A2
，
左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1 F2为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且
M A
→
1⋅M A
→
2=−1
4 a
2，则C的离心率为( )．
13
A. √3
2
B. √2
2
C. 1
2
D. 2
5
【答案】A
【解析】解：因为M A1⃗= MO⃗+O A1⃗, M A2⃗= MO⃗+O A2⃗= MO⃗−O A1⃗
，
则M A
→
1⋅M A
→
2=( MO
→
+O A
→
1)⋅( MO
→
−O A
→
1)= MO
→
2−O A
→
1
2，
即c
2−a
2=−1
4 a
2，可得c
2
a
2 = 3
4
，
所以C的离心率e = c
a =√
c
2
a
2 = √3
2
．
故选：A．
2.(2025·浙江省杭州市·模拟)已知椭圆T : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率
为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x +2 y =0上，则T的离心率为
( )
A. √2
4
B. √5
3
C. √3
5
D. √2
2
【答案】D
【解析】解：设A( x1, y1)，B( x2, y2)，
由题意可知，线段AB的中点M是直线l与直线x +2 y =0的交点，
联立{
y = x−c ,
x +2 y =0,解得M ( 2
3 c ,−1
3 c)，
另一方面，联立{
x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,
y = x−c ,
得(a
2+b
2)x
2−2a
2cx +a
2c
2−a
2b
2=0．
易知△>0，由韦达定理得x1+ x2= 2a
2c
a
2+b
2 = 4
3 c，解得a
2=2b
2，
14
所以a
2=2(a
2−c
2)，故离心率e = c
a = √2
2 ．
故选D．
3.(2025·湖南省长沙市·模拟)如下图，椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)与双曲线x
2
m
2 −y
2
n
2 =1有共
同的右焦点F，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线AF与双曲线右支的
另一个交点为C，△BFC形成以BC为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. √5−1
2
B. √2
2
C. √10
4
D. √3
2
【答案】C
【解析】解：设左焦点为F ′，
根据椭圆和双曲线的定义可得：
15
| AF ′ |=a+m，| AF |=a−m，|CF |=|BF |=| AF ′ |=a+m，|CF ′ |=a+3m，
在△AF ′ C中用勾股定理得| AF ′ |
2+| AC |
2=|CF ′ |
2，
即(a+m)
2+(2a)
2=(a+3m)
2，则m= a
2
，
则| AF ′ |= 3a
2
，| AF |= a
2
，
所以| FF ′ |==√|AF ′|
2+|AF|
2= √10
2 a，即2c = √10
2 a，
故离心率为e = c
a = √10
4
．
故选：C．
4.（2025·黄山质量检测）已知双曲线C：x
2
a
2－y
2
b
2 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别
为F1，F2，过点F1与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C 于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M
｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C 离心率的最大值为（ ）
A.√3
B.√21
3
C.2
D.√5
【答案】D
【解析】如图所示，不妨取渐近线方程为y＝b
ax，又易知F1（－c，0），
则直线l 的方程为y＝b
a（x＋c），联立直线l 与双曲线方程{
x
2
a
2 －y
2
b
2 =1，
y ＝b
a （x＋c ),
可得M（－a
2＋c
2
2c
，b
3
2ac
），
所以｜F1M ｜＝√（c－a
2＋c
2
2c
）
2＋（b
3
2ac ）
2＝√（b
2
2c ）
2＋（b
3
2ac ）
2＝
√a
2b
4＋b
6
2ac
＝b
2c
2ac ＝b
2
2a；且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜
＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝4 a
2
b
2 ＝
4 a
2
c
2－a
2＝
4
e
2－1
∈[1，3]，
16
所以e2－1∈［4
3 ，4］，解得√21
3 ≤e≤√5；
因此双曲线C 离心率的最大值为√5.故选D.
5.(2025·湖南省长沙市·模拟)已如双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1
，
F2
，过F2
的直线交双曲线的右支于A，B两点，若A F1⊥AB，且4|A F1|=3| AB|，则
该双曲线的离心率为( )
A. √10
2
B. √10
C. √5
2
D. √5
【答案】A
【解析】解：连接F1B，设|A F1|=3 x，则根据4|A F1|=3| AB|可知，| AB|= 4 x，
因为A F1⊥AB，由勾股定理得：| F1B|=5 x，
由双曲线定义可知：| A F1|−| A F2|=2a，|B F1|−|B F2|=2a，
解得：| A F2|=3 x−2a，|B F2|=5 x−2a，从而3 x−2a+5 x−2a= 4 x，
解得：x =a，所以| A F1|=3a，| A F2|=a，由勾股定理得：9a
2+a
2= 4 c
2，
从而c
a = √10
2
，即该双曲线的离心率为√10
2
．
故选：A．
17
6.(2025·浙江省绍兴市·模拟)已知双曲线E：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2 F2 A⃗= AB⃗，
OA ⊥AB，则E的离心率为( )
A. √2
B. √3
C. √5
D. √10
2
【答案】B
【解析】解：由双曲线渐近线的几何意义可知：| A F2|=b，|O F2|=c，| AO|=a，
∴可得A( a
2
c , ab
c )
∵2 F2 A⃗= AB⃗
∴yB=3 y A，
由{
y =−b
a x
y =−a
b ( x−c)
⇒xB=−a
2c
b
2−a
2 ,
可推出yB= abc
b
2−a
2
∴abc
b
2−a
2 =3 ab
c ⇒c
2=3a
2，
可得e =√3;
故选B．
7.(2025·河南省·模拟)如图，过原点O的直线AB交椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)于A，B
两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于
18
点M，若AM⃗= 3
4 AP⃗，则椭圆C的离心率为( )
A. 1
3
B. √3
3
C. 1
2
D. √3
2
【答案】D
【解析】解：设A( x1, y1)，Q( x2, y2)，
则B(−x1,−y1)，P( x1,−y1)，M ( x1,−y1
2 )，
由AB⊥AQ，则y1
x1
· y2−y1
x2−x1
=−1，可得y2−y1
x2−x1
=−x1
y1
①，
由B，M，Q三点共线，则k BQ=k BM，即y1+ y2
x1+ x2
=
1
2 y1
2 x1
= y1
4 x1
②，
又因为x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1，x2
2
a
2 + y2
2
b
2 =1，
即x1
2−x2
2
a
2
+ y1
2−y2
2
b
2
=0，即y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 =−b
2
a
2 ③，
将①②代入③得b
2
a
2 = 1
4
，可得e =√
1−b
2
a
2 = √3
2
．
19
故选：D．
20
