专题五 解析几何
第4 练 离心率的取值与范围问题专项训练
一、单选题：
1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
为F1，F2，若以F1 F2为直径的圆与以点P(√2, 1
2 )为圆心、3
2
为半径的圆相切于点Q，且
点Q在C上，则C的离心率为( )
A. √6
2
B. √6
C. √3
D. 3
2
【答案】A
【解析】解：由两圆的圆心分别为O(0,0), P(√2, 1
2 )，且圆P的半径为3
2
，
|OP|=√2+ 1
4 = 3
2
，
可得点P在以F1 F2为直径的圆内，且两圆内切，所以Q(2√2,1)，圆O的半径为3，即
|O F1|=3，
所以{
a
2+b
2=9,
8
a
2 −1
b
2 =1,
解得a=√6，b=√3，所以C的离心率为3
√6 = √6
2
．
故选A．
2.(2025·全国·模拟)已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)虚轴的两个端点分别为B1
，B2
，左、
右焦点分别为F1，F2，若cos∠F1B1 F2=−5
13
，则双曲线的离心率为( )
A. 3√5
5
B. 3
2
C. √5
D. 5
3
【答案】A
1
【解析】解：设∠F1B1B2=θ，则tanθ = c
b
，
由cos2θ = cos
2θ−sin
2θ
cos
2θ+sin
2θ
= 1−(tanθ)
2
1+(tanθ)
2 =
1−( c
b )
2
1+( c
b )
2 = b
2−c
2
b
2+c
2 =−5
13
，
解得9b
2= 4 c
2，
所以4 c
2=9(c
2−a
2)，
整理得e
2= c
2
a
2 = 9
5
，所以e = 3√5
5
．
故选：A．
3.(2025· 广东省茂名市· 月考) 已知椭圆C : x
2
9 + y
2
6 =1的左右焦点为F1､F2，双曲线
E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线与椭圆C交于第一象限点P，若|P F1|=2|P F2|，则E
的离心率为( )
A. √15
3
B. √21
3
C. √6
2
D. 4
3
【答案】B
【解析】解：在椭圆C : x
2
9 + y
2
6 =1中，| P F1|+| P F2|=6，而| P F1|=2| P F2|，则
| P F1|= 4 ,| P F2|=2，
而| F1 F2|=2√9−6=2√3，则| P F1|
2=16=| P F2|
2+| F1 F2|
2，即P F2⊥F1 F2
，
2
而F2(√3,0)，则P(√3,2)，由点P在双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的渐近线y = b
a x上，
得b
a = 2
√3
，所以E的离心率为e =√
1+ b
2
a
2 = √21
3
．
故选：B．
4.(2025·吉林省松原市·模拟)如图，F1，F2是分别是双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左､
右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与▵P F1 F2三边所在的直线都相切，切点为A，
B，C，若| PB|=2a，则双曲线的离心率为( )
A. √2
B. 2
C. √3
D. 3
【答案】D
【解析】解：连接MA，MC，M F1，
由直线和圆相切的性质，可得| PA |=| PB|=2a，设|F2B|=|F2C|= x，
由双曲线的定义可得，|P F1|−|P F2|=2a，
3
则|P F1|=2a+|P F2|=2a+| PB|+|B F2|= 4 a+ x，
|A F1|=| AP|+|P F1|=6a+ x，|F1C|=|F1 F2|+|F2C|=2c + x，
由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，
即有6a+ x =2c + x，即c =3a，
所以双曲线的离心率e = c
a =3．
故选：D．
5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，直线：l1: y = √2
2 x，
l2: y =−√2
2 x，点P在C上，过P作PM平行于l1交l2于点M，作PN平行于l2交l1于点N，
若MN的长度为定值，则C的离心率为( )
A. √2
4
B. 1
2
C. √2
2
D. √3
2
【答案】D
【解析】解：设P( x0, y0)，则直线MP: y −y0= √2
2 ( x−x0)，
4
联立{
y =−√2
2 x
y −y0= √2
2 ( x−x0)
，解得{
x = x0−√2 y0
2
y = −√2 x0+2 y0
4
,
即M ( x0−√2 y0
2
, −√2 x0+2 y0
4
)，
同理，可得N ( x0+√2 y0
2
, √2 x0+2 y0
4
)，
又点P在椭圆上，故x0
2
a
2 + y0
2
b
2 =1，得y0
2=b
2−b
2 x0
2
a
2
，
所以| MN |=√( x0−√2 y0
2
−x0+√2 y0
2
)
2
+( −√2 x0+2 y0
4
−√2 x0+2 y0
4
)
2
=√2 y0
2+ 1
2 x0
2=√
2b
2+( 1
2 −2b
2
a
2 )x0
2，
若| MN |为定值，则1
2 −2b
2
a
2 =0，∴b
2
a
2 = 1
4
，
∴e
2=1−b
2
a
2 = 3
4
，所以椭圆的离心率为√3
2
．
故选：D．
二、多选题：
6．（2025·河南·三模）已知曲线
是实轴、虚轴分别在直线
和直线
上
5
的双曲线，其焦点分别为
，点
是
上的两个动点，则（ ）
A．
的实轴长为
B．
的离心率为
C．若
，则
的面积为8
D．若线段
的中点为
为坐标原点，则直线
的斜率之积为定值
【答案】BC
【详解】设
的实轴长为
，虚轴长为
，
联立
，解得
或
，
因为实轴在直线
上，则双曲线
的两个顶点分别为
，
所以
，即实轴长
，故A 错误；
易知曲线
的渐近线分别为
轴，
轴，两渐近线的夹角为
，所以
，
所以
的离心率为
，故B 正确；
由双曲线的定义得
，
两边平方得
，
因
，则
，则
，
因
，则
，故
，
所以
，故C 正确；
设
，则
，
6
所以
，
故
，不是定值，故D 错误.
故选：BC.
7.(2025·云南省昆明市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左､右焦点分别为
F1, F2, A ,B为椭圆C上关于原点对称的两点，且|AB|=|F1 F2|，则( )
A. A F1⊥A F2
B. 四边形A F1B F2的周长为4 a
C. 四边形A F1B F2的面积为b
2
D. 椭圆C的离心率的取值范围为[ √2
2 ,1)
【答案】ABD
【解析】解：由题意，AB , F1 F2
互相平分，且|AB|=|F1 F2|，则四边形A F1B F2
是矩形，
令其半焦距为c，
对于A，A F1⊥A F2，A 正确；
对于B，四边形A F1B F2的周长为| A F1|+| A F2|+|B F1|+|B F2|= 4 a，B 正确；
对
于
C，
四
边
形
A F1B F2的
面
积
为
2S▵F1 A F2=| A F1|| A F2|= (|A F1|+|A F2|)
2−(|A F1|
2+|A F2|
2)
2
=2a
2−2c
2=2b
2，C
错误；
对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c⩾b，即c
2⩾b
2=a
2−c
2，
解得c
2
a
2 ⩾1
2
，即离心率e∈[ √2
2 ,1)，D 正确．
故选：ABD．
7
三、填空题：
8.(2025·广东省惠州市·月考)设椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点为F1
，F2
，右顶点
为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1 P F2=90°，∠PA F2= 45°则椭圆的离心率为 ．
【答案】√3−1
【解析】解：如图：由题意不妨设P(x1, y1)在第一象限，作PH ⊥x轴交x轴于点H，
知| P F1|+| P F2|=2a①，
因为∠F1 P F2=90
∘，所以| P F1|
2+| P F2|
2= 4 c
2②，
所以(| P F1|+| P F2|)
2−(| P F1|
2+| P F2|
2)=2| P F1|⋅| P F2|= 4 a
2−4 c
2，
则| P F1|⋅| P F2|=2a
2−2c
2=2b
2，
由S▵F1 P F2= 1
2 P F1⋅P F2= 1
2 ⋅2b
2=b
2，
而S▵F1 P F2= 1
2 ⋅2c⋅y1=b
2，解得y1= b
2
c
，
8
又由∠PA F2= 45
∘，所以| HA |=| PH |= y1
，又|OH |= x1
，即x1+ y1=a，
将y1= b
2
c
代入x1+ y1=a，解得：x1=a−b
2
c
，
把x1=a−b
2
c
，y1= b
2
c
代入x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)中，
(a−b
2
c )
2
a
2
+
( b
2
c )
2
b
2
=1
，
所以−2a⋅b
2
c +( b
2
c )
2
a
2
+ b
2
c
2 =0
，则−2ac +b
2+a
2=0，
整理得−2ac +2a
2−c
2=0，
即e
2+2e−2=0，
解得e =−√3−1(舍)或e =√3−1，
即椭圆的离心率为√3−1．
故答案为：√3−1．
9.(2025·江西省九江市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，
P是C上一点，线段P F1, P F2的中点分别是M , N .若四边形PMON是周长为6、面积为2
的矩形(O为坐标原点)，则C的离心率为 ．
9
【答案】√5
3
【解析】解：因为M，N分别是P F1，P F2的中点，O是F1 F2的中点，
根据三角形中位线定理，可得|OM |= 1
2 | P F2|，|ON |= 1
2 | P F1|，
已知四边形PMON是矩形，其周长为6，则2(|OM |+|ON |)=6，
即|OM |+|ON |=3，所以1
2 | P F2|+ 1
2 | P F1|=3，进而可得| P F1|+| P F2|=6，
由椭圆的定义可知2a=6，则a=3，
又因为四边形PMON的面积为2，所以|OM |×|ON |=2，
即1
4 | P F1|×| P F2|=2，则| P F1|×| P F2|=8，
在▵P F1 F2
中，∠F1 P F2=90
°，根据勾股定理可得| P F1|
2+| P F2|
2=| F1 F2|
2，
对
(| P F1|+| P F2|)
2进
行
展
开
：
(| P F1|+| P F2|)
2=| P F1|
2+| P F2|
2+2| P F1|×| P F2|，
已知| P F1|+| P F2|=6，| P F1|×| P F2|=8，代入上式可得6
2=| F1 F2|
2+2×8，
即36=| F1 F2|
2+16，
解得| F1 F2|
2=20，而| F1 F2|=2c，所以(2c)
2=20，即4 c
2=20，c
2=5，则c =√5，
椭圆的离心率e = c
a，已知a=3，c =√5，所以e = √5
3 .
故答案为√5
3
．
10.(2025·甘肃省白银市·模拟)已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点F，过点F作
直线l交双曲线C左右两支于A ,B两点，且AB⃗=2BF⃗
，过点F作直线l的垂线交双曲线C于
点M，若点A、M两点关于原点对称，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】√5
10
【解析】解：设另一个焦点为F1，连接F1 A , F1B , F1 M，设|BF|=m，则|AB|=2m，
由双曲线的定义可得|B F1|=|BF|+2a=m+2a,|A F1|=|AF|−2a=3m−2a，
由双曲线的对称性可得O是AM的中点，也是F1 F的中点，
所以四边形A F1 MF是平行四边形，
因为AF ⊥FM，所以四边形A F1 MF为矩形，
所以A F1⊥AB，
所以在Rt ▵F1 AB中，|B F1|
2=|AB|
2+|A F1|
2，
所以(m+2a)
2=(3m−2a)
2+ 4 m
2，化简得m= 4
3 a，
在Rt △F1 AF中，|F F1|
2=|AF|
2+|A F1|
2，则4 c
2=9m
2+(3m−2a)
2，
所以4 c
2=9× 16
9 a
2+(4 a−2a)
2=20a
2，得c
2=5a
2，
所以c =√5a，
所以离心率e = c
a =√5．
故答案为：√5
四、解答题：
11.已知F1，F2是椭圆C：x
2
a
2＋y
2
b
2 ＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原
点.
（1）若△POF2为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
【答案】(1)√3－1.
(2)[4√2，＋∞）
11
【解析】解：（1）连接PF1（图略）.由△POF2为等边三角形可知，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝√3c，
于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（√3＋1）c，故C 的离心率为e＝c
a＝√3－1.
（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在，
且1
2｜y｜·2c＝16，
y
x＋c ·
y
x－c ＝－1，x
2
a
2＋y
2
b
2 ＝1，
即c｜y｜＝16， ①
x2＋y2＝c2， ②
x
2
a
2＋y
2
b
2 ＝1. ③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b
4
c
2 .
又由①知y2＝16
2
c
2 ，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a
2
c
2（c2－b2），
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4√2.
当b＝4，a≥4√2时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a 的取值范围为[4√2，＋∞）.
12.(2025·四川省乐山市·月考)已知A(2,3)和P(4,0)为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过点A的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为12，求直线l的方程．
【答案】(1) 1
2
(2)x−2 y + 4 =0或3 x−2 y =0
【解析】解：(1)由题意得{
a= 4
4
a
2 + 9
b
2 =1
，解得{
b
2=12
a
2=16 ,
所以e =√
1−b
2
a
2 =√1−12
16 = 1
2
；
(2)如图，
12
当l的斜率不存在时，l: x =2，B(2,−3)，| AB|=6，P到AB距离d =2，
此时S△ABP= 1
2 ×2×6=6≠12，不满足条件；
当直线l的斜率存在时，设l: y =k( x−2)+3，设A( x1, y1)，B( x2, y2)，
则{
y =k( x−2)+3
x
2
16 + y
2
12 =1
，消y可得(4 k
2+3)x
2−(16 k
2−24 k )x +16 k
2−48k −12=0，
当
时，
x1+ x2= 16 k
2−24 k
4 k
2+3
，又x1=2，所以x2= 16 k
2−24 k
4 k
2+3
−2，
∴| AB|=√1+k
2·| x1−x2|=√1+k
2·| 12+24 k
3+ 4 k
2 |，
又P点到直线l的距离d =|2k +3|
√1+ k
2
，
所以S△PAB= 1
2 | AB|⋅d = 1
2 ×|2k +3|⋅| 12+24 k
3+ 4 k
2 |=6×|(2k +3)(1+2k )|
3+ 4 k
2
=12，
整理可得4 k
2−8k +3=0或12k
2+8k +9=0(无解)，
即(2k −3)(2k −1)=0，解得k = 1
2
或k = 3
2
，
此时代入检验，均满足Δ>0，
∴l: y = 1
2 ( x−2)+3或y = 3
2 ( x−2)+3，即x−2 y + 4 =0或3 x−2 y =0．
13
14
