解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练
1．（2025·云南·模拟预测）设O 为坐标原点，直线:
1
l y
kx
=
+ 与抛物线
2
:
4
C x
y
=
交于A，B 两点，与C 的准线交
于点M．若
2
MA
AB
=
uuur
uuur ，点F 为C 的焦点，则
OAF
△
与OBF
V
的面积之比为（ ）
A．2
5
B．2
3
C．3
4
D．
1
2
2．（24-25 高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆
2
2
:
1
3
x
C
y
+
= 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，直线y
x
m
=
+
与C 交于点
A，B 两点，若
1F AB
V
面积是
2
F AB
V
的2 倍，则m = （ ）
A．3 2
-
B．
2
3
-
或3 2
-
C．
2
3
-
D．
2
3
-
3．（24-25 高二下·河南漯河·期末）已知点
4,0
A -
，C，D 是
2
2
:
25
O x
y
+
=
e
与x 轴的交点，P 为动点，以PA 为直
径的圆与
O
e
相内切，则
CPD
△
面积的最大值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
4．（2025·江苏·模拟预测·多选）设抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
=
>
的焦点为F ，直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
>
与抛物线相交于
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
两点，与x 轴交于点C ，
5 ,
4
2
AF
BF
=
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
2
2
y y =
B．
4
p =
C．
3 17
2
AB =
D．
AFB
△
与AFC
V
的面积之比为3:1
5．（24-25 高二下·重庆·阶段练习·多选）已知椭圆
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左右焦点为
1
1,0
F -
，
2 1,0
F
，P 为椭圆上一动
点，设点M ，N 是椭圆上位于x 轴上方的点，且
1
2
MF //NF ，则下列说法正确的有（ ）
A．
1
2
PFF
V
面积的最大值为
3
B．存在点M ，使
1
2
MF
MF
^
C．若
1,1
H
，则
1
PF
PH
+
的最大值为5
D．
1
2
MF
NF
×
的最小值为5
2
考点一
三角形的面积问题
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线
2
2
:
4
2
9
M
x
y
-
+
=
的中心为M，过
1,0 的直线交曲线M 于A，B
两点，
3,0
C
，则三角形BCM 面积的最大值为
．
7．（2025·山东日照·二模）已知
2
2
:
16
O x
y
+
=
e
与x 轴相交于C，D 两点，点
( 2 3,0)
A -
，以AB 为直径的圆与
⊙O 内切，则△BCD 面积的最大值为
．
8．（2025·山东临沂·三模）已知O 为坐标原点，点P 为椭圆
2
2
1
9
4
x
y
+
= 上任意一点，PA ，PB 为圆
2
2
2
x
y
+
=
的两
条切线，切点分别为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则
MON
△
面积的最小值为
.
9．（24-25 高二下·广西贵港·阶段练习）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，点
0,3
A
和点
3
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø
在C 上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P 的直线l 与C 交于另一点B ，求ABP
V
的最大面积．
10．（2025·海南·模拟预测）直线l 过抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点F ，与C 交于
,
A B 两点，当线段AB 中点的纵
坐标为2 时，
6
AB =
．
(1)求p ；
(2)证明：直线
,
OA OB 的斜率之积为定值，并求出该定值；
(3)设C 在点
,
A B 处的切线1
2
,
l l 相交于T 点，若
3
AF =
，求ABT
V
的面积．
11．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知点P 是圆
2
2
25
x
y
+
=
上的动点，O 是坐标原点，
5
OP
OQ
=
uuur
uuur
，过P 垂
直于x 轴的直线与过Q 垂直于y 轴的直线交于点M ，点M 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)
0, 1
A
-
，
0,1
B
，点D 是C 上一点，E 在射线
5
0
y
x
=
>
上且BD
BE
=
，
0
BD BE
×
=
uuur uuur
，求
ADE
V
的面积.
12．（24-25 高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，
( 2,0),
(2,0)
A
B
-
，动点P 与
,
A B 两点连线斜率乘积为
1
2
-
．
(1)记动点P 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程；
(2)过点
(1,0)
E
的直线l 与曲线C 交于
,
M N 两点，且
NOE
△
的面积是
MBE
△
的面积的2 倍，求直线l 的斜率．
13．（24-25 高二下·甘肃甘南·期末）已知
2 3,0
A
和
3
3, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上两点．
(1)求C 的方程；
(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线AP 交y 轴于点Q，
1F ，
2F 为椭圆C 的左、右焦点，若
1F PQ
V
的面积是
2
F PA
△
面积的3 倍，求直线PQ的方程．
14．（24-25 高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
6
3
，且点
3,1
A
在椭圆上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的左焦点为F，若T 为直线
3
x = - 上一点，过点F 且与TF 垂直的直线交椭圆C 于P，Q 两点，线段PQ
的中点为M.
（ⅰ）证明：点M 在直线OT 上（O 为原点）；
（ⅱ）求
OPQ
△
的面积的最大值，以及此时点T 的坐标.
1．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是双曲线
2
2
1
3
x
y
-
= 上任意一点，过点P 所作的
两条渐近线的平行线与渐近线的交点分别为,
A B ，则四边形OAPB 的面积（ ）
A．为定值
3
B．最大值为
3
C．为定值
3
2
D．最大值为
3
2
2．（24-25 高三下·云南德宏·阶段练习）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= (
0
a
b
>
>
)的上、下顶点分别为
1B ，
2
B ，左、右
焦点分别为
1F ，
2F ，点P 在C 上，且C 的离心率为1
4 ，
1
2
PFF
V
的周长为10，则四边形
1
1
2
2
B F B F 的面积为（ ）
A．5
B．2 15
C．4 5
D．6 3
3．（24-25 高二下·安徽宣城·期末·多选）已知点F 是抛物线
2
8
y
x
=
的焦点，
,
AC BD 是过点F 的弦且AC
BD
^
，
直线AC 的斜率为k ，
0
k >
，且
,
A B 两点在第一象限，则（ ）
A．
12
OB OD
×
= -
uuur uuur
B．四边形ABCD 面积的最小值为64
C．
1
1
1
8
AC
BD
+
=
D．若
64
AF
CF
×
=
，则直线BD 的斜率为
3
-
4．（24-25 高二下·四川凉山·期末·多选）双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，左、
右顶点分别为
1A ，
2
A ，以
1
2
F F 为直径的圆与曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，且
1
2
π
4
A MA
Ð
=
，则下列说法
一定正确的是（ ）
A．C 的离心率为
5
B．
2
3π
4
MA N
Ð
=
C．
1
2
2
MA
MA
=
D．当
5
a =
时，四边形
1
2
NF MF 的面积为20 5
考点二
四边形的面积问题
5．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）已知
1F ，
2F 为椭圆
2
2
:
1
16
6
x
y
C
+
= 的两个焦点，,
P Q 为C 上关于坐标原点对
称的两点，且
1
2
PQ
F F
=
，则四边形
1
2
PFQF 的面积为
．
6．（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
2
2
:
1
0
8
y
E x
b
-
=
>
的左､右焦点，,
,
P Q R 在E
上，其中Q 在第一象限，R 在第二象限，直线PQ过
1F ，且
2,
F R 关于直线PQ对称，则四边形
2
PRQF 的面积
为
.
7．（2025·浙江金华·三模）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
¢
-
=
>
>
的离心率为
3 ，过左焦点F 的直线l 与双曲线的左
支、右支分别交于点
,
A B ，当直线l 与y 轴垂直时，
2 3
AB =
.
(1)求双曲线C¢ 的方程；
(2)点
12,0
C
满足CB
OA
∥
，其中O 是坐标原点，求四边形OABC 的面积.
8．（24-25 高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的长轴长为4，焦距为2 3 .
(1)求C 的方程.
(2)若A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点
3,0 的直线l 与C 交于与A ，B 不重合的E ，F 两点.
①求四边形AEBF 面积的最大值.
②设直线AE ，BE ，BF 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k ，判断
2
1
3
k
k
k
+
是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请
说明理由.
9．（24-25 高二下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的点均在圆
2
2
2 :
4
7
C
x
y
-
+
=
外，且对
1
C
上任意一点M ，点M 到直线:
3
l x = - 的距离比点M 到点
2
C 的距离小1．
(1)求曲线
1
C 的方程；
(2)若直线l 上一动点N ，过点N 作圆
2
C 的两条切线，切点分别为,
S T ，求四边形
2
NSC T 面积的最小值；
(3)设
0
0
0
,
7
N x
y
y ¹ ±
为直线l 上一动点，过点N 作圆
2
C 的两条切线，分别与曲线
1
C 相交于点
,
E F 和
,
G H ．证
明：点
,
,
,
E F G H 的纵坐标之积为定值2304．
10．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2 .
(1)求E 的方程;
(2)过椭圆E 的右焦点F 作两条相互垂直的直线AB ，CD 与曲线E 分别交于
, ,
,
A B C D 四点，设线段
,
AB CD 的中点
分别为
,
M N .
(i)证明：直线MN 过定点；
(ii) 求四边形ACBD 面积的取值范围.
11．（24-25 高三下·云南昆明·阶段练习）在直角坐标系xOy 中，点M 到点
1 ,0
2
F æ
ö
ç
÷
è
ø 的距离等于点M 到直线
1
0
2
x +
=
的距离，记动点M 的轨迹为E .
(1)求E 的方程；
(2)已知平行四边形
, , ,
ABCD A B C 三点在E 上.
（i）若点D 的坐标为
2,1 ，则直线AC 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
（ii）若点C 的坐标为
, 1
t -
，直线CB 和直线CA 关于直线CF 对称，且点A 与点B 均在点C 上方，求平行四边形
ABCD 面积S 的最大值.
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆
2
2
1 :(
1)
1
F
x
y
+
+
= ，圆
2
2
2 :(
1)
9
F
x
y
-
+
=
.若动圆C 与圆
1F 外切，且与圆
2F
内切，设动圆圆心C 的轨迹为E .不过原点O 的动直线l 与曲线E 交于
,
A B 两点，平面上一点D 满足OA
AD
=
uuur
uuur ，连
接BD 交E 于点F （点F 在线段BD 上且不与端点重合），若
1
4
FAB
OAB
S
S
D
D
=
.
(1)求轨迹E 的方程；
(2)试问：直线OA，OB 的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形
F
OA B 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
1．（24-25 高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，且经过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，点F 为椭圆
E 的右焦点．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点
4,0
M
作直线l 交椭圆E 于A，B 两点，O 为坐标原点．
①若
3
1
4
4
OB
OA
OM
=
+
uuur
uuur
uuuur
，求直线l 的斜率；
②若过点A 作直线
1
x = 的垂线，垂足为Q，点N 为线段FM 的中点，求证：B，Q，N 三点共线．
2．（2025·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为
2
2
1
2
2
1
0
0
0
4
x
y
b
F
c
F
c
b
+
=
>
-
，
，，
，为其左右焦点，过椭圆上点
,
Q
Q c y
的椭圆切线方程为
2
2
4
x
y
+
=
(1)求出椭圆方程；
(2)设点
2,
0 ,
2, 2
t
C
t
t
M æ
ö
-
¹
-
ç
÷
è
ø ，点B 为椭圆右顶点，过M 作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点P ，求证：
C P B
､､三点共线．
考点三
三点共线问题
3．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知动点P 到点
0,1 的距离比它到直线
2
0
y +
=
的距离小1，记动点P 的轨迹为
E ．
(1)求轨迹E 的方程．
(2)直线1l 与2l 分别与轨迹E 交于点
,
A B 和点
,
C D （AB
uuur 与DC
uuur
同向），且1
2
l
l
// ，线段AC 与BD 交于点H ，线段AB 与
CD 的中点分别为
,
M N ．
（ⅰ）求证：
,
,
M H N 三点共线；
（ⅱ）若
1
HM = ，
2
HN =
，求四边形ABCD 的面积．
4．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例
如下: 二次函数
2
1
y
x
=
+ 的图象可以由
2
y
x
=
的图象沿向量
0,1
n =
r
平移得到; 抛物线
2
y
x
=
，即
2x
y
=
的焦点坐标
为
1
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
1
4
y = -
; 故二次函数
2
1
y
x
=
+ 的焦点坐标为
5
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
3
4
y =
.
(1)求二次函数
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标和准线方程；
(3)设过
4,1
A
的直线与抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的另一个交点为B ，直线AB 与直线
4
y
x
=
-
交于点P ，过点P 作x 轴
的垂线交抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 于点N . 是否存在定点G ，使得
,
,
B N G 三点共线? 若存在，请求出定点G 的坐标;
若不存在，请说明理由.
5．（24-25 高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的长轴长为4 2 ，以椭圆E 的焦点和短
轴端点为顶点的四边形的面积为8．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
2,0 且斜率为k（
0
k ¹
）的直线与椭圆E 交于A，B 两点．
（ⅰ）若线段AB 的中点横坐标为1，求k；
（ⅱ）点C 与点B 关于x 轴对称．在x 轴上是否存在定点
,0
D m
，使A，C，D 三点共线？若存在，求实数m 的
值，若不存在，说明理由．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，过点(2,0) ，其中一条渐近线的方程为
5
2
y
x
=
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设双曲线C 的左、右顶点分别为A
B
、，过点(4,0) 的直线l 交双曲线C 于M 、N 两点.直线BM 与直线
1
x = 交于
点G ，证明：A、G、N 三点共线.
1．（24-25 高三下·江苏·阶段练习）已知
10
F
,
为离心率为
2
2 的椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点，过点
2,
(0
)
P
t
t
b
< <
作y 轴的垂线与C 交于
,
M N 两点（M 在第一象限）.
(1)求C 的方程；
(2)求MNF
V
的面积的最大值；
(3)若直线PF 与y 轴交于点Q ，求证：
,
,
,
M N Q F 四点共圆.
2．（2025·湖北鄂州·一模）已知抛物线
2
:
4
W
y
x
=
，点P 是W 上位于第一象限内的一点，过P 作W 的切线交y 轴
于点Q.过原点O 作PQ 的平行线交W 于点A，过A 作OP 的平行线交W 于点B，BP 交OA 于点N.
(1)求tan
OPQ
Ð
的最大值；
(2)证明：直线QN 经过AB 的中点；
(3)若OQAB 四点共圆，求P 点的坐标.
考点四
四点共圆问题
3．（24-25 高三下·辽宁·阶段练习）圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦定理是其中重要的
内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定
理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中也大有妙用.
(1)已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，
,
M N 是椭圆C 上任意两点，若直线MN 与坐标轴不垂直，点H 为线段MN 中点，直
线OH (O 为坐标原点)与C 交于,
R E 两点，已知
,
,
,
R E M N 四点共圆，求直线MN 的斜率；
(2)已知抛物线B:
2
y
x
=
，过
(1,2)
G
的直线与抛物线B 交于
,
U J 两点，设抛物线B 在这两点处的切线分别为1
2
,
l l ，
已知1
2
,
l l 分别与x 轴交于点
,
F K ，1
2
,
l l 相交于点A，若
, , ,
A F K G 四点共圆，求点A 的坐标；
(3)已知点( ,0)(
1)
T t
t >
是x 轴上一动点，过T 的动直线l 交双曲线
2
2
1
x
y
G
-
=
：
右支于,
P Q ，过T 作l 的垂线分别
交曲线于
,
M N (
,
M N 分别在第一、二象限)，直线MO (O 为坐标原点)交双曲线于点S，求证：
,
,
,
P Q S N 四点共
圆.
4．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，
直线OA交C 的准线于点D ．
(1)当l 的倾斜角为π
4 时，求AB ；
(2)求直线BD 的斜率；
(3)若O ，F ，B ，D 四点共圆，求该圆的半径．
5．（23-24 高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线
2
2
:
1
C x
y
-
= ，过
2,0
R
的直线l 与双曲线C 的右支交于,
P Q 两点.
(1)若
2 10
PQ =
，求直线l 的方程，
(2)设过点R 且垂直于直线l 的直线n 与双曲线C 交于
,
M N 两点，其中M 在双曲线的右支上.
（i）设PMN
V
和QMN
V
的面积分别为
1
2
,
S S ，求
1
2
S
S
+
的取值范围；
（ii）若M 关于原点对称的点为T ，证明：M 为
PQN
V
的垂心，且
,
,
,
P Q N T 四点共圆.
6．（23-24 高二下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线
2
1 :
3
C
y
x
=
及抛物线
2
2 :
2
(
0)
C
y
px p
=
>
，过
2
C 的焦点F 的直线
与
1
C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA
OB
^
.过F 的两条直线MN ，PQ与
2
C 交于M ，N ，P ，Q 四点，其中
M ，P 在第一象限，若直线MP 与x 轴的交点为
,0
T t
.
(1)求
2
C 的方程；
(2)若
2
t = - ，求直线NQ 与x 轴的交点的坐标；
(3)是否存在点T ，使得M ，N ，P ，Q 四点共圆？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
