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专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形）
知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤：
代入消元，联立 化简：
第一步：
第二步：计算判别式；
可直接利用结论： （范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式；
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用 计算
，利用 计算弦中点
第六步： ， ，
第七步：利用 计算弦长 和 的面积
,
到直线 的距离
进而计算原点
第八步:利用 计算
, ，
第九步：利用 计算
,
知识点二：弦长问题
（最常用公式，使用频率最高）知识点三：弦长问题
x y x y
2 2 2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1； 2 + 2 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2 a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1； y 2 2 =2px 2；
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积
1、三角形面积问题
直线 方程：
2、焦点三角形的面积
直线 过焦点 的面积为
y
A
F 1 O F 2 x
B
注意： 为联立消去 后关于 的一元二次方程的二次项系数必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线 所过定点以及方程 表示椭圆来求得 的取值范围.
【详解】直线 过定点 ，
所以 ，解得 ①.
由于方程 表示椭圆，所以 且 ②.
由①②得 的取值范围是 .
故选：C
（2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则b的
取值范围是 .
【答案】
【分析】求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在 轴对
参数范围的限制．
【详解】由题意直线 恒过定点 ，要使直线 与焦点在x轴上的椭圆 总有
公共点，则只需要点 在椭圆上或椭圆内， ，又焦点在x轴上， . .
故答案为： ．
1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线 与椭圆 恒有公共点，则实
数m的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.
【详解】由直线 ，则可知其过定点 ，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则 ，解得 且 .
故答案为： 且 .
2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆 ，直线 ，若椭圆上存在关于直线 对
称的两点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设椭圆上两点 关于直线 对称，则可设直线 方程为 ，
将其与椭圆方程联立，令 ，可算出 的范围，又线段 的中点 也在直线 上，结
合韦达定理可以算出 的关系式，从而得解.【详解】设 ，线段 的中点 ，
若此椭圆上存在不同的两点 关于直线 对称，
所以直线 的方程可以设为 ，
联立 ，化为 ，
，解得 ，
而 ，所以 ，即 ，
代入直线 可得 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
故选：D.
必考题型二：弦长问题
例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B两点，则
的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线方程 与椭圆方程联立，求得弦长 ，即可得到最大值.
【详解】设 两点的坐标分别为 ， ，直线l的方程为 ，
由 消去y得 ，则 ， .
∴
，
∴当 时， 取得最大值 ，
故选:D.
（2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 交抛物线于两
点 ， ．若弦长 ，则直线 的斜率为 ．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ， ， ，联立方程，利用韦达定理求出 ，
再根据抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】由题意，直线 的斜率不等于零， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，消 得 ，
恒成立，
则 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的斜率为 .故答案为： .
1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1的直线l过抛物线 的焦点F，且与C相交于
A，B两点，O为坐标原点，若 的面积是 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长 的表达式，结合
的面积求得参数p，即可求得答案.
【详解】由题意知抛物线 的焦点F坐标为 ，
设直线l的方程为 ，联立 ，
得 ， ，
设 ，则 ，
故 ，又点O到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，
故 ，
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平
行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线 的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F
发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则 ．
【答案】
【分析】首先设 ， ， ，由题意中的光学性质可知， ，再联立方程，利
用韦达定理即可求直线方程，最后代入弦长公式.
【详解】由题意知 ，设 ， ， ，由两条平行直线之间的距离为5知
．
易知AB的斜率不为0，设AB： ，由 得 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴AB的方程为 ，
∴ ．
故答案为：
必考题型三：中点弦问题
例3．（1）、（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若椭圆的中心在原点，一个焦点为 ，直线
与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
【答案】
【分析】联立直线与椭圆方程，由韦达定理以及中点坐标公式即可求解.
【详解】法一：（直接法） 椭圆的中心在原点，一个焦点为 ， 设椭圆方程为 ，
由 ，消去 ，
得 ，
设直线 与椭圆相交所得弦的端点分别为 ， ，
则
由题意知 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ．
法二：（点差法） 椭圆的中心在原点，一个焦点为 ， 设椭圆的方程为 ．
设直线 与椭圆相交所得弦的端点分别为 ， ，则
得
，
即 ，
又 弦 的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得 ，解得 ，故所求的椭圆方程为 ．
故答案为：
（2）、（2022·全国·校联考三模）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，
线段AB的中点为 ，则点F到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设 ， ，则 ， ，所以 ，
即 ，
因为AB的中点为 ， ，
所以直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
所以焦点 到直线 的距离 ，
故选：A.1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的一条弦 恰好以点 为中点，弦 的长为 ，
则抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，得到 ， ，结合“点差法”求得 ，得到直线
的方程为 ，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得 ，进而求得抛物线的准线方
程．
【详解】设 ， ，弦 所在直线方程为 ，
则 ， ，
也点A，B在抛物线 上，可得 ，
两式相减可得 ，所以 ，即 ，
所以弦 所在直线的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
可得 ，解得 ，所以抛物线的准线方程为 ．
故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，
M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得 ，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设 ， ， ，
将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得 ， ，
两式相减可得 .
又因为M为AB的中点，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
又直线l与OM的斜率之积为 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆C的离心率 .
故选：D.
例4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆 的长轴比短轴长2，椭
圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点，且线段 的中点为 ，求 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组 ，解出即可.
（2）设 ，利用点差法得 ，再根据中点坐标求出 ，
，代入即可得到直线 斜率，最后写出直线方程即可.【详解】（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，解得 ．．
又椭圆 的长轴比短轴长2，所以 ，
联立方程组 ，解得
所以椭圆 的方程为 ．
（2）显然点 在椭圆 内，
设 ，因为 在椭圆 上，所以 ，
两个方程相减得 ，即 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ， ，
所以 ．
所以 的方程为 ，即 ．
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线 恰好经过双曲线 的左焦点 ，
且与 交于 ， 两点， 为 的中点，当 时，直线 的斜率为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 经过 且与直线 垂直，与双曲线 交于 ， 两点， 为 的中点，证明： 与
的面积之比为定值．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法 可求得 ，结合 ，求出 ，即可求出双曲线的方
程；
（2）直线 与双曲线方程联立 ，求出点 坐标，因为直线 与 垂直，所以用 替换 ，得
到 点的坐标，求出直线 的方程，即可得出 恒过定点 ，即可得出 与 的面
积之比
【详解】（1）依题意可知 ，设 ， ，
则 两式作差可得 ，
即 ，又当 时，直线 的斜率为1，
所以 ．又 ，解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 ．
（2）联立直线 与双曲线方程，得
消去 整理得 ，则 ， ，则 所以 ， ，所以 ．
又因为直线 与 垂直，所以用 替换 ，得到 ．
当 ，即 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ．
当 且 ， 时，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以直线 过点 ．
综上，直线 恒过点 ．
所以 与 的面积之比为 ．
2．（2022·上海·统考模拟预测）设A、B是双曲线 上的两点，点 是线段 的中点．
(1)求直线 的方程；
(2)若线段 的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)A、B、C、D四点共圆，理由见解析.
【分析】（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB两点坐标，求出AB的垂直平分线，联立后
求出CD点的坐标，得到CD的中点M的坐标，计算得到 ，从而得到四点共圆.
【详解】（1）设 ，显然 ，由题意得： ，
两式相减得： ，
即 ，
因为点 是线段 的中点，
所以 ，
所以 ，
即直线 的斜率为1，
所以直线 的方程为 ，整理得：
（2）联立 与 ，得到：
，
解得： ，当 时， ，
当 时， ，
不妨设 ，
直线AB的垂直平分线为 ，与 联立得： ，
解得： ，当 时， ，当 时， ，
不妨设 ，
则CD的中点为 ，
又 ， ，
，
所以 ，
故A、B、C、D四点共圆，圆心为 ，半径为 .
必考题型四：三角形问题
例5．（1）、（2023·全国·模拟预测）椭圆 的两焦点分别为 ，过点 的直线交椭
圆 于点 ，若 的最大值为3，则当 取得最小值时， 的面积为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】由题意 ，求得 ，再由公式算得通径长度以及当 取得最小值时， 的面
积
【详解】由 的最大值为3，即右焦点到左顶点的距离，
得 ，即 ，两边同时平方得 ，所以 ， ．
易知当直线 垂直于 轴时， 取得最小值，此时 ，所以 .
故选：C
（2）、（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，
为抛物线 上一点，且满足 ，则 的面积为 .
【答案】
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用 ，求得 点的纵坐标，代入
抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.
【详解】由抛物线 ： 得其标准方程为 ，所以 ，得 ，
所以焦点为 ，准线方程为 ，
又因为 在抛物线 上且 ，由抛物线定义可得 ，代入抛物线方程得 ，
所以 .
故答案为： .
1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若 的离心率为 ，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，延长 与另一条渐近线交于点 ，若
， 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据离心率求出双曲线的渐近线方程，利用两角差的正切公式求出 ，再根据
求出 的值，由 的面积等于 的面积，即可求解.
【详解】由 的离心率为 ，可得 ，则 ，
则 的渐近线方程为 ，则 ，
则 ，
设渐近线方程为 ， ，
则点 到双曲线的渐近线的距离为 ， 则 ，
因为 ，则 ，即 ， ，
易知 的面积等于 的面积，
即 ．故选：B.
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点
为 ， 为坐标原点, 点 在 上且满足 （ 均不与 重合），则 面积的
最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
【答案】C
【分析】求出抛物线方程，设出 点坐标，将直线 和抛物线联立，求出直线 的方程，进而写出
面积的表达式，即可求出最小值.
【详解】在 中，焦点为 ，
焦点 关于直线 即 的对称点为 ，
，解得 ，
∴抛物线的方程为 ,
显然直线 的斜率不为 0 , 设直线 的方程为 , 且 ,设 ,
联立 , 整理可得 ,
, 即 , 且 , ,
又因为 , 即 ,
∴ ,
∴即直线 的方程为 ，
∴直线 恒过 点，
∴ ，
当且仅当 时, 等号成立.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线与直线的综合问题，韦达定理和三角形面积求法，考查学生的计算
和作图能力，具有很强的综合性.
例6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，M为C上的动点，且 面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若O为坐标原点，直线l交C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为 ， ，且 ，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率为 、 面积的最大值为1及a，b，c之间的关系求出a，b，即可求出
椭圆C的标准方程；
（2）求出直线l的斜率不存在时 的面积，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，
得到根与系数的关系，然后利用弦长公式求出 ，利用点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，
最后结合三角形的面积公式即可得解．
【详解】（1）因为椭圆C的离心率为 ，所以 ．
因为 面积的最大值为1，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设点P在第一象限，
根据椭圆的对称性知 ，又 ，可得 ，
此时直线OP的方程为 ，与 联立并求解，得 ，所以 的面积为 ．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 （ ），
联立 ，得 ，
，即 ．
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
．
由 ，得 ，
所以 ，即 ，满足 ．
因为点O到直线l的距离 ，
所以 ，
综上， ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上
一点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 于 两点，且 （ 为坐标原点），记直线
过定点 ，证明：直线 过定点 ，并求出 的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立直线 与抛物线方程，结合题设条件求得 ，从而得证；再求得直线 所过的定点，从而得
解.
【详解】（1）因为 在 上，所以 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ，满足要求；当 时， ，不满足 ，故 ，所以抛物线的方程为 .
（2）设 ，
联立 ，消去 整理得 ，
所以 ，且 ，所以 ，
因为 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，则直线 过定点 ，
直线 ，即 过定点 ，
又 ，所以 ，
所以 .
2．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线 和 上，且
，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 与曲线C有两个不同的交点A，B，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据 ，结合中点坐标公式即可求解曲线C的方程为
（2）将 代入双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积的表
达式，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）由于点P和Q分别在直线 和 上，所以可设 ， ，
由 ，得 ，所以 ，
根据点P，Q在y轴同侧，得 ，所以 ．
设 ，则 于是
得 ，即 ，
故曲线C的方程为 ．
（2）设 ， ，
把 代入 ，得 ，
故 ， ， ，
所以
，又点O到直线 的距离 ，
所以 的面积
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，当且仅当 ，即 ，即 ，即 时等
号成立，故 面积的最小值为 ．
【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤：一是求出面积的表达式
（常用直接法或分割法）；二是明确自变量及自变量的限制条件（如方程根的判别式大于0等）；三是利
用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围．
