2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-----------------------------
教考衔接一 集合与常用逻辑用语、不等式
--------------------------■高考命题·解读■-----------------------------
核心考点
五年考情
考点1.判断元素与集合的关系
2022·全国乙卷
考点2.集合元素互异性的应用
2023·全国乙卷
考点3.根据集合的包含关系求参数
2023·新课标 II 卷
考点4.交集的概念及运算
2025·全国二卷；2024·全国甲卷；
2024·新高考全国 I 卷；2023·新课标 I 卷；
2022·新高考全国 I 卷；2022 新高考全国 II 卷；
2022·全国甲卷；2022·全国乙卷；
2021·新高考全国 I 卷；2021 全国甲卷；
2021·全国乙卷
考点5.补集的概念及运算
2025·全国一卷
考点6.集合的交并补混合运算
2024·全国甲卷；2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；
2022·全国甲卷；2021 新高考全国 II 卷；
2021·全国乙卷
考点7.判断命题的真假
2024·新课标 II 卷；2021·全国乙卷
考点8.充分条件和必要条件的判断与探求
2024·全国甲卷
考点9.判断命题的必要不充分条件
2023·全国甲卷；2021·全国甲卷
考点10.判断命题的充要条件
2023·新课标 I 卷
🎯【命题解读】（考前必看）
1.集合是高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命题的热点为集合的基本
运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查.
2.高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全
称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题或填空题为主.
3.高考在不等式部分的命题点有：
（1）不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合；
（2）不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；
（3）利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般不大，常与其他知识相结合.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 (人教A 版必修第一册P14 习题1.3·T1)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B.
【教材母题2】 (人教B 版必修第一册P21 习题1-1B·T5)已知A={x||x|<3},B={x∈N|x2<11},求A∩B.
1
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国二卷）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
（3）(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|√x<4},N={x|3x≥1},则M∩N=( )
A.{x|0≤x<2} B.{x|
1
3 ≤x<2} C.{x|3≤x<16} D.{x|
1
3 ≤x<16}
（4）(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( )
A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}
（5）(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( )
A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}
【教材母题3】 (人教A 版必修第一册P9 练习·T3)判断下列两个集合之间的关系:
（1）A={x|x<0}，B={x|x<1}；
（2）A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6z,z∈N}；
（3）A={x∈N+|x 是4 与10 的公倍数}，B={x|x=20m,m∈N+}.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )
A.⌀ B.S C.T D.Z
（2）(2021·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=( )
A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀
【教材母题4】(人教A 版必修第一册P14 习题1.3·T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求
∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB).
2
【教材母题5】 (人教B 版必修第一册P19·例4)已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},求
∁UA,∁UB,(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B).
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国一卷）已知集合U＝{x|x 是小于9 的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA 中元素个数为 ( )
A．0 B．3 C．5 D．8
（2）（2025·天津高考）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|√x∈A},则∁A(A∩B)=( )
A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}
（4）(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=( )
A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN
（5）(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=( )
A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U
（6）(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)=( )
A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}
【教材母题6】 (人教A 版必修第一册P9 习题1.2·T5)
（1）设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,求a-b 的值;
（2）已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,求实数a 的取值范围.
【🚀新题预测】
（1）（2026·江西模拟）已知集合
，
，
，则
中的元素个数至少为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
（2）（2026·重庆模拟）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【教材母题7】 (人教A 版必修第一册P35·T9)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若
存在,试求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.
3
【教材母题8】 (人教B 版必修第一册P22 习题1-1C·T1)已知集合A={1,3,m},B={m2,1},且A∪B=A,求m 的值.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( )
A.2 B.1 C.2
3 D.-1
【🚀新题预测】
（1）（2026·江西萍乡模拟）已知集合
，
，
，若集合
C 有3 个真子集，则实数m 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2026·湖南长沙模拟）已知集合
，若
，则
的可能取值组成的集
合为
______
．
【教材母题9】 (人教A 版必修第一册P23 习题1.4·T6)设a,b,c 分别是△ABC 的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如
果△ABC 为直角三角形,那么有a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC 为直角三角形(勾股定理的逆
定理).由此可知,a2+b2=c2是△ABC 为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c 分别给出△ABC 为锐角三角形和钝
角三角形的一个充要条件,并证明.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n 项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{
Sn
n }为等差数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【教材母题10】 (人教A 版必修第一册P34·T5)已知a,b,c 是实数,判断下列命题的真假:
（1）“a>b”是“a2>b2”的充分条件;( ) （2）“a>b”是“a2>b2”的必要条件;( )
4
（3）“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;( ) （4）“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.( )
【🚀衔接高考】
（1）(2025·天津高考)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（2）(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3 是a⊥b 的必要条件 B.x=-3 是a∥b 的必要条件
C.x=0 是a⊥b 的充分条件 D.x=-1+√3是a∥b 的充分条件
（3）（2025·北京高考）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【教材母题11】 (人教A 版必修第一册P35·T6)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
（1）任意实数的平方大于或等于0;
（2）对任意实数a,二次函数y=x2+a 的图象关于y 轴对称;
（3）存在整数x,y,使得2x+4y=3;
（4）存在一个无理数,它的立方是有理数.
【🚀衔接高考】
(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则( )
A.p 和q 都是真命题
B. ¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D. ¬p 和¬q 都是真命题
【教材母题12】 (人教A 版必修第一册P57·T4)求下列不等式的解集:
（1）14-4x2≥x （2）x2-14x+45≤0 （3）x2+6x+10>0 （4）x(x+2)>x(3-x)+1.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2}
（2）（2025·全国二卷）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）（2025·上海高考）不等式
的解集为 ．
【教材母题13】(湘教版必修第一册P39·例5)设a,b 为正数,证明下列不等式:
（1）a+1
a≥2 （2）b
a+a
b≥2.
5
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4 的是( )
A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+
4
|sin x| C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 4
ln x
（2）（2025·上海高考）设
，则
的最小值为 ．
【教材母题14】 (人教A 版必修第一册P58·T6)当k 取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx-3
8<0,对一切实数x 都
成立.
【🚀衔接高考】
（2025·天津高考）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为
___________.
【🚀新题预测】
（2026·江西模拟）已知对任意的
，不等式
恒成立，则
的取值集合为
.
【教材母题15】 (人教A 版必修第一册P58T·10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品
价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.
哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗?
【教材母题16】 (人教A 版必修第一册P58·T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab 的取值范围.
【🚀衔接高考】
(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y 满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
【🚀新题预测】
(多选)(2026·山东青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8
B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6√3
D.
1
a−1 ＋
4
b−1≥4
3
🎯读教材-----玩味阅读材料
6
【阅读1】通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A 版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔
与集合论》,得出如下结论:
结论1：把含有限个元素的集合A 叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A 中元素的个数.
结论2：一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
结论3：对于有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)
+card(A∩B∩C).
结论4：有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…},
我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n 和正偶数2n 之间的一个函数关系,而且还是“一一对
应”的函数关系,得到集合A 和集合B 元素个数一样多.
【教材母题17】 (人教A 版必修第一册P35·T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28 名同学参加比赛,有15 人
参加游泳比赛,有8 人参加田径比赛,有14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人,同时参加游泳
比赛和球类比赛的有3 人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛
的有多少人?
【🚀衔接高考】
(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足
球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56%
C.46% D.42%
【🚀新题预测】
【新高考·项目式】（2026·上饶模拟）某校校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，全校共有37 名
同学提交了作品进行参赛，有20 人提交了楷书作品，有14 人提交了隶书作品，有16 人提交了行书作品，同时
提交楷书作品和隶书作品的有4 人，同时提交楷书作品和行书作品的有5 人，同时提交隶书作品和行书作品的
有6 人，则同时提交三种作品的有（ ）
A. 4 人
B. 3 人
C. 2 人
D. 1 人
【阅读2】阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A 版必修第一册P24),如下结论:
7
结论1：三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判
定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p⇒q”⇏“¬p⇒¬q”.
结论2：三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定
两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似,即:“q⇒r”⇒“¬r⇒¬q”,“q⇒r”
⇏“¬q⇒¬r”.
【🚀新题预测】
给定两个命题p,q, ¬p 是q 的必要不充分条件,则p 是¬q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版必修第一册P8 例1·练习T1 拓展)
n 元集合A={a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n-1 个,非空子集有2n-1 个,非空真子集有2n-2 个.
【🚀新题预测】
（2026·唐山模拟）已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x=3n,n∈Z},则A∩B 的子集个数是( )
A.3 B.6
C.8 D.9
【探究2】(人教A 版必修第一册P13 练习T3 拓展) 德摩根定律.
德摩根定律:①∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)(“交之补”等于“补之并”).
②∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)(“并之补”等于“补之交”)
【🚀新题预测】
(2026·佛山模拟)已知集合A={x|x>2},B={x|x<1},则(∁RA)∩(∁RB)=( )
A.⌀ B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x≤2} D.R
【探究3】 (人教A 版必修第一册P43T10)糖水不等式
【教材母题18】已知b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，再添加m 克水(m>0)，糖水甜度变淡了．下面式子可以说明
这一事实的是( )
A．＜ B．＞ C．＜ D．＜
8
糖水不等式：已知b>a>0,m>0,则a+m
b+m>a
b .
【推论】(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有:
（1）logba<log(b+m)(a+m); （2）logab>log(a+m)(b+m).
【🚀衔接高考】
（1）(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( )
A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a
（2）(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
【探究4】(人教A 版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会
标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代
表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?
【🚀衔接高考】
（2021·浙江高考）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间
的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，
4，
记大正方形的面积为
，小正方形的面积为
，则
___________.
【探究5】 (人教A 版必修第一册P45)如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上一点,AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB 的
弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
【🚀衔接高考】
（2025·北京高考）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a
2+b
2>2ab B．1
a + 1
b ≥1
ab C．a+b>√ab D．1
a + 1
b ≤
2
√ab
9
【探究6】(人教A 版必修第一册P46 练习T1、T2 拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则
2
1
a + 1
b
≤√ab≤a+b
2
≤
√
a
2+b
2
2
,当且仅当a=b 时,等号成立,其中
2
1
a + 1
b
,√ab,a+b
2
和√
a
2+b
2
2
分别叫做a,b 的调和平均数、几何平均数、
算术平均数和平方平均数.
【🚀衔接高考】
（多选题）(2020·新高考Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥1
2 B.2a-b>1
2 C.log2a+log2b≥-2 D.√a+√b≤√2
【探究7】 (人教A 版必修第二册P37T16 拓展)柯西不等式
（1）一般形式:设ai,bi∈R,i=1,2,…,n,则
n
∑
i=1
ai
2·
n
∑
i=1
bi
2≥(
n
∑
i=1
ibi)2,当且仅当ai=0 或bi=kai(k 为常数),等号成立.
证明 构造二次函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2=(a1
2+…+an
2)x2+2(a1b1+…+anbn)x+(b1
2+…+bn
2),
易知f(x)≥0 恒成立,故Δ≤0,即4(a1b1+…+anbn)2-4(a1
2+…+an
2)(b1
2+…+bn
2)≤0,
即(
n
∑
i=1
ibi)2≤
n
∑
i=1
ai
2·
n
∑
i=1
bi
2.当且仅当aix+bi=0,即ai=0 或bi=kai(k 为常数),等号成立.
（2）二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.当且仅当ad=bc 时,等号成立.
【🚀新题预测】
（1）（2026·河北保定模拟）实数x，y 满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋√3y 的最小值是( )
A.－5
B.－6
C.3
D.4
（2）(2026·盘锦模拟)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要
不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由|a·b|≤|a||b|得到
10
(x1x2+y1y2)2≤(x1
2+y1
2)(x2
2+y2
2),当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a+b=5,则√2a+2+√b+3的最大值为(
)
A.18 B.9
C.2√3 D.3√3
11
