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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3 分，共36 分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛
B．守株待兔
C．明天是晴天
D．在只装有5 个红球的袋中摸出1 球，是红球
2．一元二次方程2x2
x+1=0
﹣
的一次项系数和常数项依次是（ ）
A．﹣1 和1
B．1 和1 C．2 和1 D．0 和1
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．方程2x（x
3
﹣）=5（x
3
﹣）的根是（ ）
A．x=
B．x=3 C．x1= ，x2=3 D．x1=﹣，x2=3
5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB=60°，则∠ABO 的大小为（ ）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
6．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，
则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．65π
C．90π
D．130π
7．如图，抛物线y1=
x
﹣2+4x 和直线y2=2x，当y1＜y2时，x 的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0 或x＞2
C．x＜0 或x＞4
D．0＜x＜4
8．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1
D．﹣3
9．王洪存银行5000 元，定期一年后取出3000 元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的
年利率不变，到期后取出2750 元，则年利率为（ ）
A．5%
B．20% C．15% D．10%
10．x1，x2是关于x 的一元二次方程x2
mx+m
2=0
﹣
﹣
的两个实数根，是否存在实数m 使
+
=0 成立？则正确的结论是（ ）
A．m=0 时成立
B．m=2 时成立
C．m=0 或2 时成立
D．不存在
11．若函数
，则当函数值y=8 时，自变量x 的值是（ ）
A．±
B．4 C．±
或4 D．4 或﹣
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞
0；④△＞0；⑤4a
2b+c
﹣
＜0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，将答案直接填写在题中横线上）
13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10 这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张
恰好能被4 整除的概率是 ．
14．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是 ．
15．△ABC 中，E，F 分别是AC，AB 的中点，连接EF，则S
AEF
△
：S
ABC
△
= ．
16．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零
件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 mm．
17．将抛物线y=x2
2
﹣向上平移一个单位后，又沿x 轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线
的表达式是 ．
18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、
C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2
2x
3
﹣
﹣，AB 为半圆的直径，
则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 ．
三、解答题（本大题共6 个小题，共46 分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）
19．（1）解方程：x2
3x+2=0
﹣
．
（2）已知：关于x 的方程x2+kx
2=0
﹣
①求证：方程有两个不相等的实数根；
②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k 值．
20．（1）解方程：
+
=
；
（2）图①②均为7×6 的正方形网络，点A，B，C 在格点上．
（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个
即可）．
（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一
个即可）
21．一只不透明袋子中装有1 个红球，2 个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任
意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1 个球，用树状图或列表法列出摸出
球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．
22．用一段长为30m 的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18 米
（1）若围成的面积为72 米2，球矩形的长与宽；
（2）菜园的面积能否为120 米2，为什么？
23．如图，⊙O 的直径AB 为10cm，弦BC 为6cm，D，E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O，直径
AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD 的长；
（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= x+2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线
y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣且经过A，C 两点，与x 轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在点M，过点M 作MN 垂直x 轴于点N，使得以点A、M、N 为顶点的三
角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3 分，共36 分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛
B．守株待兔
C．明天是晴天
D．在只装有5 个红球的袋中摸出1 球，是红球
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，A 不正确；
守株待兔是随机事件，B 不正确；
明天是晴天是随机事件，C 不正确；
在只装有5 个红球的袋中摸出1 球，是红球是必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一
定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．一元二次方程2x2
x+1=0
﹣
的一次项系数和常数项依次是（ ）
A．﹣1 和1
B．1 和1 C．2 和1 D．0 和1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．
【解答】解：一元二次方程2x2
x+1=0
﹣
的一次项系数和常数项依次是﹣1 和1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，
b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形
式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常
数项．
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A 选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的
概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找
对称中心，旋转180 度后两部分重合．
4．方程2x（x
3
﹣）=5（x
3
﹣）的根是（ ）
A．x=
B．x=3 C．x1= ，x2=3 D．x1=﹣，x2=3
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先把方程变形为：2x（x
3
﹣）﹣5（x
3
﹣）=0，再把方程左边进行因式分解得（x
3
﹣）（2x
5
﹣）=0，方程就可化为两个一元一次方程x
3=0
﹣
或2x
5=0
﹣
，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：方程变形为：2x（x
3
﹣）﹣5（x
3
﹣）=0，
∴（x
3
﹣）（2x
5
﹣）=0，
x
3=0
∴﹣
或2x
5=0
﹣
，
x
∴1=3，x2= ．
故选C．
【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程
左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即
可．
5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB=60°，则∠ABO 的大小为（ ）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半可得∠AOB=120°，再根据三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠ACB=60°，
AOB=120°
∴∠
，
AO=BO
∵
，
B=÷2=30°
∴∠
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，
则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．65π
C．90π
D．130π
【考点】圆锥的计算；勾股定理．
【专题】压轴题；操作型．
【分析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l 为13）求解．
【解答】解：∵Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
AB=
∴
=13，
∴母线长l=13，半径r 为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．
【点评】要学会灵活的运用公式求解．
7．如图，抛物线y1=
x
﹣2+4x 和直线y2=2x，当y1＜y2时，x 的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0 或x＞2
C．x＜0 或x＞4
D．0＜x＜4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x
的取值范围即可．
【解答】解：联立
，
解得
，
，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＜y2时x 的取值范围是0＜x＜2．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．
8．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1
D．﹣3
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b 的值，进而得到答案．
【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
b=
1
∴
﹣，a=
2
﹣，
a+b=
3
﹣，
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，
它们的坐标符号相反．
9．王洪存银行5000 元，定期一年后取出3000 元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的
年利率不变，到期后取出2750 元，则年利率为（ ）
A．5%
B．20% C．15% D．10%
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000 元后余
[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）=2750，解这个方程即
可求解．
【解答】解：设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：5000（1+x），
取出3000 后剩：5000（1+x）﹣3000，
同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），
即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）=2750，
解得：x1=10%，x2=
150%
﹣
（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．
故选D．
【点评】此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：
本息和=本金×（1+利率×期数），难度一般．
10．x1，x2是关于x 的一元二次方程x2
mx+m
2=0
﹣
﹣
的两个实数根，是否存在实数m 使
+
=0 成立？则正确的结论是（ ）
A．m=0 时成立
B．m=2 时成立
C．m=0 或2 时成立
D．不存在
【考点】根与系数的关系．
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m
2
﹣．假设存在实数m 使
+
=0 成立，则
=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x 的一元二次方程x2
mx+m
2=0
﹣
﹣
的两个实数根，
x
∴1+x2=m，x1x2=m
2
﹣．
假设存在实数m 使
+
=0 成立，则
=0，
∴
=0，
m=0
∴
．
当m=0 时，方程x2
mx+m
2=0
﹣
﹣
即为x2
2=0
﹣
，此时△=8＞0，
m=0
∴
符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0 的两根
时，那么x1+x2=
p
﹣，x1x2=q．
11．若函数
，则当函数值y=8 时，自变量x 的值是（ ）
A．±
B．4 C．±
或4 D．4 或﹣
【考点】函数值．
【专题】计算题．
【分析】把y=8 直接代入函数
即可求出自变量的值．
【解答】解：把y=8 代入函数
，
先代入上边的方程得x=
，
x≤2
∵
，x=
不合题意舍去，故x=﹣
；
再代入下边的方程x=4，
x
∵＞2，故x=4，
综上，x 的值为4 或﹣
．
故选：D．
【点评】本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞
0；④△＞0；⑤4a
2b+c
﹣
＜0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，
然后根据对称轴x=1 计算2a+b 与0 的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进
行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，故本选项错误；
②由对称轴为x=
=1，
∴﹣
=1，
b=
2a
∴
﹣
，则2a+b=0，故本选项正确；
③由图象可知，当x=1 时，y＞0，则a+b+c＞0，故本选项正确；
④从图象知，抛物线与x 轴有两个交点，
∴△＞0，故本选项错正确；
⑤由图象可知，当x=
2
﹣时，y＜0，则4a
2b+c
﹣
＜0，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关
系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，将答案直接填写在题中横线上）
13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10 这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张
恰好能被4 整除的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10 这是个数字．其中能被4 整除的有4，8，
直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10 这是个数字．其中能被4 整除的有
4，8；
∴从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4 整除的概率是：
= ．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是
1 ：
2
．
【考点】正多边形和圆．
【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直
角三角形即可．
【解答】解：如图所示：
∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长
为a，
∴等边三角形的高为
a，
∴该等边三角形的外接圆的半径为
a
∴同圆外切正三角形的边长=2×
a×tan30°=2a．
∴周长之比为：3a：6a=1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题时利用了圆内接等边三角形与圆外接等边三
角形的性质求解，关键是构造正确的直角三角形．
15．△ABC 中，E，F 分别是AC，AB 的中点，连接EF，则S
AEF
△
：S
ABC
△
= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】由E、F 分别是AB、AC 的中点，可得EF 是△ABC 的中位线，直接利用三角形中位线
定理即可求得BC=2EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC 中，E、F 分别是AB、AC 的中点，EF=4，
EF
∴
是△ABC 的中位线，
BC=2EF
∴
，EF BC
∥
，
AEF
ABC
∴△
△
∽
，
S
∴
AEF
△
：S
ABC
△
=（
）2= ，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟记三角形的中位线
的性质是解题的关键．
16．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零
件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB 是
8
mm．
【考点】相交弦定理；勾股定理．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
【解答】解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
则下面的距离就是2．
利用相交弦定理可得：2×8= AB× AB，
解得AB=8．
故答案为：8．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．
17．将抛物线y=x2
2
﹣向上平移一个单位后，又沿x 轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线
的表达式是
y=
x
﹣
2 +1
．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先确定抛物线y=x2
2
﹣的顶点坐标为（0，﹣2），再根据点平移的规律和关于x 轴对称
的点的坐标特征得到（0，﹣2）变换后的对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物
线的解析式．
【解答】解：抛物线y=x2
2
﹣的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应
点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x 轴的对称点的坐标为（0，1），
因为新抛物线的开口向下，
所以新抛物线的解析式为y=
x
﹣2+1．
故答案为
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求
平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，
利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、
C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2
2x
3
﹣
﹣，AB 为半圆的直径，
则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为
3+
．
【考点】二次函数综合题．
【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C 的坐标，进而求出AO，BO，DO 的长，
在直角三角形ACB 中，利用射影定理可求出CO 的长，进而可求出CD 的长．
【解答】解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2
2x
3
﹣
﹣，
∴点D 的坐标为（0，﹣3），
OD
∴
的长为3，
设y=0，则0=x2
2x
3
﹣
﹣，
解得：x=
1
﹣或3，
A
∴（﹣1，0），B（3，0）
AO=1
∴
，BO=3，
AB
∵
为半圆的直径，
ACB=90°
∴∠
，
CO
AB
∵
⊥
，
CO
∴
2=AO•BO=3，
CO=
∴
，
CD=CO+OD=3+
∴
，
故答案为：3+
．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、
圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共6 个小题，共46 分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）
19．（1）解方程：x2
3x+2=0
﹣
．
（2）已知：关于x 的方程x2+kx
2=0
﹣
①求证：方程有两个不相等的实数根；
②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k 值．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）把方程x2
3x+2=0
﹣
进行因式分解，变为（x
2
﹣）（x
1
﹣）=0，再根据“两式乘积为
0，则至少一式的值为0”求出解；
（2）①由△=b2
4ac=k
﹣
2+8＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根；
②首先将x=
1
﹣代入原方程，求得k 的值，然后解此方程即可求得另一个根．
【解答】（1）解：x2
3x+2=0
﹣
，
（x
2
﹣）（x
1
﹣）=0，
x1=2，x2=1；
（2）①证明：∵a=1，b=k，c=
2
﹣，
=b
∴△
2
4ac=k
﹣
2
4×1×
﹣
（﹣2）=k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
②解：当x=
1
﹣时，（﹣1）2
k
2=0
﹣﹣
，
解得：k=
1
﹣，
则原方程为：x2
x
2=0
﹣﹣
，
即（x
2
﹣）（x+1）=0，
解得：x1=2，x2=
1
﹣，
所以另一个根为2．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
有如下关
系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
也考查了用因式分解法解一元二次方程．
20．（1）解方程：
+
=
；
（2）图①②均为7×6 的正方形网络，点A，B，C 在格点上．
（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个
即可）．
（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一
个即可）
【考点】利用旋转设计图案；解分式方程；利用轴对称设计图案．
【分析】（1）化分式方程为整式方程，然后解方程，注意要验根；
（2）可画出一个等腰梯形，则是轴对称图形；
（3）画一个矩形，则是中心对称图形．
【解答】解：（1）由原方程，得5+x（x+1）=（x+4）（x
1
﹣），
整理，得2x=9，
解得x=4.5；
（2）如图①所示：等腰梯形ABCD 为轴对称图形；
；
（3）如图②所示：矩形ABDC 为轴对称图形；
．
【点评】此题比较灵活的考查了等腰梯形、矩形的对称性，是道好题．
21．一只不透明袋子中装有1 个红球，2 个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任
意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1 个球，用树状图或列表法列出摸出
球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都
是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9 种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4 种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注
意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．用一段长为30m 的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18 米
（1）若围成的面积为72 米2，球矩形的长与宽；
（2）菜园的面积能否为120 米2，为什么？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x 米，则矩形的另一边长为（30
2x
﹣
）米，根据面积为72
米2列出方程，求解即可；
（2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可．
【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x 米，
则x（30
2x
﹣
）=72，
解方程得：x1=3，x2=12．
当x=3 时，长=30
2×3=24
﹣
＞18，故舍去，
所以x=12．
答：矩形的长为12 米，宽为6 米；
（2）假设面积可以为120 平方米，
则x（30
2x
﹣
）=120，
整理得即x2
15x+60=0
﹣
，
=b
△
2
4ac=15
﹣
2
4×60=
15
﹣
﹣
＜0，
方程无实数解，
故面积不能为120 平方米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．如图，⊙O 的直径AB 为10cm，弦BC 为6cm，D，E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O，直径
AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD 的长；
（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB 为直径得∠ACB=90°，则可利用勾股定理
计算出AC=8；由DC 平分∠ACB 得∠ACD= BCD=45°
∠
，根据圆周角定理得
∠DAB= DBA=45°
∠
，则△ADB 为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD 的长；
（2）连结OC，由PC=PE 得∠PCE= PEC
∠
，利用三角形外角性质得
∠PEC= EAC+ ACE= EAC+45°
∠
∠
∠
，加上∠CAB=90°
ABC
﹣∠
，∠ABC= OCB
∠
，于是可得到
∠PCE=90°
OCB+45°=90°
﹣∠
﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+ PCE=90°
∠
，于是根据切线的
判定定理可得PC 为⊙O 的切线．
【解答】解：（1）连结BD，如图1 所示，
AB
∵
为直径，
ACB=90°
∴∠
，
在Rt
ACB
△
中，AB=10cm，BC=6cm，
AC=
∴
=8（cm）；
DC
∵
平分∠ACB，
ACD= BCD=45°
∴∠
∠
，
DAB= DBA=45°
∴∠
∠
ADB
∴△
为等腰直角三角形，
AD=
∴
AB=5
（cm）；
（2）PC 与圆⊙O 相切．理由如下：
连结OC，如图2 所示：
PC=PE
∵
，
PCE= PEC
∴∠
∠
，
PEC= EAC+ ACE= EAC+45°
∵∠
∠
∠
∠
，
而∠CAB=90°
ABC
﹣∠
，∠ABC= OCB
∠
，
PCE=90°
OCB+45°=90°
∴∠
∠
﹣
﹣（∠OCE+45°）+45°，
OCE+ PCE=90°
∴∠
∠
，
即∠PCO=90°，
OC PC
∴
⊥
，
PC
∴
为⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等腰
三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= x+2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线
y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣且经过A，C 两点，与x 轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在点M，过点M 作MN 垂直x 轴于点N，使得以点A、M、N 为顶点的三
角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C 点坐标，根据函数值相等的两点关
于对称轴对称，可得B 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的性质，可得关于m 的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得M
点坐标．
【解答】解：（1）当x=0 时，y=2，即C（0，2），
当y=0 时， x+2=0，解得x=
4
﹣，即A（﹣4，1）．
由A、B 关于对称轴对称，得
B（1，0）．
将A、B、C 点坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）抛物线上是存在点M，过点M 作MN 垂直x 轴于点N，使得以点A、M、N 为顶点的三角
形与△ABC 相似，
如图
，
设M（m，﹣ m2﹣m+2），N（m，0）．
AN=m+4，MN=﹣m2﹣m+2．
由勾股定理，得AC=
=2
，BC=
=
．
当△ANM
ACB
∽△
时，
=
，即
=
，
解得m=0（不符合题意，舍），m=
4
﹣（不符合题意，舍）；
当△ANM
BCA
∽△
时，
=
，即
=
，
解得m=
3
﹣，m=
4
﹣（不符合题意，舍），
当m=
3
﹣时，﹣ m2﹣m+2=2，
即M（﹣3，2）．
综上所述：抛物线存在点M，过点M 作MN 垂直x 轴于点N，使得以点A、M、N 为顶点的三
角形与△ABC 相似，点M 的坐标（﹣3，2）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B 点坐标
是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于m 的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
