文档文本内容
重难点专训01 三角函数中
ω 的取值范围
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：结合单调性求
的取值范围...............................................................................................................3
题型二：结合对称性求
的取值范围...............................................................................................................5
三
题型
：结合图象平移求
的取值范围...........................................................................................................7
函数
值
题型四：结合
最
求
的取值范围...........................................................................................................9
点
的
题型五：结合零
或方程
根求
的取值范围..............................................................................................11
点
题型六：结合零
、对称轴、单调性等综合性质求
的取值范围.............................................................14
重难专题分层过关练..........................................................................................................................17
巩固过关...............................................................................................................................................................17
创新提升...............................................................................................................................................................22
一、核心基础：
的本质与关联公式
的物理意义：决定三角函数的周期与振动频率，
时，周期公式为
（正弦、余弦）或
（正切）。
关键转化思想：设
（整体代换法），将含
的问题转化为“ 的区间内三角函数性质问题，这
”
是解题的核心抓手。
二、常考题型分析
题型1：由单调性求ω 的范围
解题原则：给定区间需含于三角函数的单调区间，且区间长度
周期的一半。
步骤：
①求
在目标区间
上的范围：
；
②对照正弦/余弦的单调区间（如正弦递增区间为
，列不等式组；
③结合
求解，验证端点是否满足单调性。
题型2：由对称性（对称轴/对称中心）求
的范围
核心结论：
对称轴：正弦/余弦函数过最值点，满足
；
对称中心：正弦/余弦过零点，满足
，相邻对称中心间距为
。
步骤：
①用整体代换求的区间；
②根据恰有
“
条对称轴/个对称中心列不等式，控制
”
区间内包含的对称轴
“
/对称中心个数；
”
③赋值
求
范围。
题型3：由零点/极值点个数求
的范围
解题逻辑：零点对应
，极值点对应
，通过区间内的点的个数列不等式。
“
”
步骤：
①确定的区间
；
②设区间内包含
个零点/极值点，列不等式：
（零点）或
（极值点）；
③结合
求解。
题型4：由图象平移性质求
的范围
常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是平移量与周期成倍数关系。
“
”
三、通用流程
①定：用整体代换求
的区间；
②列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式；
③解
：解不等式并结合
、整数
赋值；
④验端点：排除不符合题意的边界值。
题型一：结合单调性求
的取值范围
典例1-1．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．已知函数
的图象过点
，且对任意
，
都有
，则
的取值范围是 .
变式1-1．
的图象经过点
，且在区间
上单调递增，则
的
取值范围为 ．
变式1-2．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：结合对称性求
的取值范围
典例2-1．已知函数
，（
）的图象在区间
内至多存在3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．设函数
的图象在区间
内恰有三条对称轴、两个对称中心，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．若函数
在区间
上有且仅有5 条对称轴，则
取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．已知函数
的图象在区间
上有且仅有1 条对称轴和1 个对称中心，
则实数
的取值范围是 ．
三
题型
：结合图象平移求
的取值范围
典例3-1．将函数
图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到
函数
的图象，若
在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．将函数
的图象向右平移
个单位长度后与函数
的图
象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
点
是
与
图象的连续相邻的三个交点，若
是锐角三角形，则
的取值范围为
.
函数
值
题型四：结合
最
求
的取值范围
典例4-1．若函数
在
上的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4-2．已知函数
在
上的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．已知函数
的图象在
内有且仅有2 个最低点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．已知函数
（
）在
上有最小值没有最大值，则
的取值
范围是 .
点
的
题型五：结合零
或方程
根求
的取值范围
典例5-1．已知函数
在区间
上恰有两个零点，则
的取值范围是 ．
典例5-2．设函数
，若函数
在区间
上恰有4 个零点，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．函数
，若函数
在
至少有4 个零点，至多有8 个零点，
则
的取值范围为 ．
变式5-2．已知函数
，其中
.
(1)若
，求函数
的最小正周期以及函数图象的对称中心.
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
(3)若函数
在
（
且
）满足：方程
在
上至少存在2023 个根.且在所有
满足上述条件的
中，
的最小值不小于2023，求
的取值范围.
点
题型六：结合零
、对称轴、单调性等综合性质求
的取值范围
典例6-1．已知函数
在区间
上单调，且满足
.
若函数
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6-2．将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向左平
移
个单位长度，得到函数
的图象，若
在
上单调递减，则实数
的取值范围为
.
变式6-1．已知函数
在
上单调递增，且当
时，
恒
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，若
在区间
上恰有两个零点，且在
上单调递减，则
的取值范围为 ．
巩固过关
1．已知函数
在区间
上单调递增且存在零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设函数
在区间
恰有2 个零点、2 个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
在区间
上恰好有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，若方程
在
上恰有两个不同的实根，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，若当
时，函数
与
的图象恰有4 个交点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
在区间
上单调递增，且
在区间
上有唯一的实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
在区间
上单调递增，且在区间
上恰好取得一次最大值，
则
的取值范围是 ．
8．已知向量
，
，函数
.
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若
在区间
上的值域为
，求实数
的取值范围.
创新提升
1．已知函数
仅存在一个极值点和两个零点在区间
内，则实数
的取值
范围为 .
2．当
时，曲线
的图象与曲线
的图象有唯一交点，则ω 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，
是
的零点，直线
为
图象
的一条对称轴，且函数
在区间
上单调，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
