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重难点培优02 不等式及函数中的恒成立和有解问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★）....................................................3
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 （★★★）......................................................6
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★）............................................................................9
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★）..........................................................................12
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★）......................................................................15
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★）......................................................................22
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★）......................................................................28
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................33
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................33
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................52
1、设函数
的值域为
或
，或
或
中之一种，则
①若
恒成立（即
无解），则
；
②若
恒成立（即
无解），则
；
③若
有解（即存在
使得
成立），则
；
④若
有解（即存在
使得
成立），则
；
⑤若
有解（即
无解），则
；
⑥若
无解（即
有解），则
．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如
；
②倒数法分离参数：如
；
【当
的值有可能取到，而
的值一定不为0 时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如
；
⑤不完全分离参数法：如
；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①
在
上是增函数，则
恒成立．(等号不能漏掉)．
②
在
上是减函数，则
恒成立．(等号不能漏掉)．
③
在
上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①
，使得方程
成立
．
②
，使得方程
成
．
5、其他恒成立类型三
①
，
；
②
，
；
③
，
；
④
，
．
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式
对任意实数
恒成立⇔
或
2、不等式
对任意实数
恒成立⇔
或
注：对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；
恒小于0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若
在集合
中恒成立，即集合
是不等式
的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
方法二：转化为函数范围问题，即已知函数
的范围为
，
则
恒成立⇒
，即
；
恒成立⇒
，即
．
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“
”是真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由判别式
即可求解.
【详解】由题意可得：
，
解得：
，
所以实数
的取值范围为
，
故选：A
2．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）命题
：
，
为真的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意
在
上恒成立，得
，进而得
，即得.
【详解】因命题
为真，故
在
上恒成立，
故
，解得
，
故命题
为真的一个充分不必要条件为
的子集，
故选：B
3．若对
，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，
，分
和
两种情况讨论，分别求出
，即可得到不
等式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】令
，
，依题意可得
，
恒成立，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
；
综上可得
的取值范围是
.
故选：B
4．（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的最小值为
．
【答案】
【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为不等式
对任意的
恒成立，
所以
对任意的
恒成立，
又当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即
，所以实数a 的最小值为
.
故答案为：
.
5．已知函数
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的开口方向，得到
，求出答案.
【详解】
开口向下，
要想
在
上恒成立，只需
，
解得
，
故实数
的取值范围是
故答案为：
6．（23-24 高三上·河南信阳·月考）若
对于
恒成立，则实数x 的取值范围为 ．
【答案】
.
【分析】令
，则由题意可得
，解不等式组可得结果.
【详解】令
，
因为
对于
恒成立，
所以
，即
，解得
，
所以实数x 的取值范围为
，
故答案为：
.
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
【技巧通法·提分快招】
1、若存在
，
有解⇒
；
若对任意
，
无解⇒
．
2、若存在
，
有解⇒
；
若对任意
，
无解⇒
．
1．（23-24 高三上·福建龙岩·月考）若命题“
，
”是真命题，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件得到
，即可求解.
【详解】
命题“
，
”等价于
有两个不等的实数根，
所以
，即
，解得
或
，
故选：D.
2．（24-25 高三上·安徽池州·期中）已知关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案.
【详解】由题，
，
，即
，即
在
上有解，
设
，则
，
，
易知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
，所以
.
故选：B.
3．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为M.若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为
有解且无最大值即可分类讨论得解.
【详解】由
，可知
有解，且
无最大值，
即
有解，且
无最大值，
当
时，
有解，
无最大值，符合题意；
当
时，
有解，但
有最大值，不符合题意；
当
时，
有解需满足
，解得
，
此时
无最大值，满足题意.
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：A
4．已知
，
，满足不等式
，则实数m 的取值范围是 .
【答案】
或
【分析】由题意得到
，求出
，
，从而得到不等式，求出答案.
【详解】
，
，满足不等式
，
故只需
，
其中
，当且仅当
时，等号成立，
关于
的函数
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
，解得
或
，
综上，实数m 的取值范围是
或
，
故答案为：
或
5．（23-24 高三上·浙江台州·月考）已知不等式
在
上有解，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】变换得到
，设
，则
，得到
，根据函数的单调性计算最值得到
答案.
【详解】
，即
，
，故
有解，
设
，则
，
，
函数在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，故
.
故答案为：
.
6．（24-25 高三上·浙江温州·期中）若关于x 的不等式
在
上有解，则实数a 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】首先由题意可知关于
的不等式
在
上有解，作出函数
和函数
的图像，
然后考虑直线
与函数
的图像相切，以及直线
过点
，数形结合可求得实数
的
取值范围.
【详解】关于
的不等式
在
上有解，
即关于
的不等式
在
上有解，
作出两函数
与
的图像，如下图：
当
与
相切时，则
，即
，
由
，解得：
；
当
过点
时，得
.
由图可知，
，因此实数
的取值范围为
.
故答案为：
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对题目等式变形得
，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数
,
满足
，所以
，
则：
，
当且仅当
时取等号，因为不等式
恒成立，所以
．
故选：B．
2．（24-25 高三下·重庆·月考）已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】条件转化为
恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围.
【详解】因为
，所以
恒成立等价于
恒成立，
又
，当且仅当
时取等号，故
.
故选：A
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据题意，利用基本不等式求得
的最小值，把不等式
有解，转化为不等式
，即可求解.
【详解】由两个正实数
满足
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
又由不等式
有解，可得
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
或
.
故选：B.
4．若关于x 的不等式
对任意
恒成立，则正实数a 的可能值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】将
转化为
，然后根据基本不等式得到
，
最后列不等式求
的范围即可.
【详解】∵
，则
，
原题意等价于
对任意
恒成立，
由
，
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时取得等号，
∴
，解得
．
故正实数
的取值集合为
.
故选：A．
5．（24-25 高三上·上海·期中）若对任意正实数
、
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】变形可得
，利用基本不等式求得
的最小值即可.
【详解】因为
、
为正实数，所以
，
所以由
，可得
，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
因为对任意正实数
、
，不等式
恒成立，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
6．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知
，
，
，且
恒成立，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】借助基本不等式计算可得
，即可得解.
【详解】由
，
，
，
故
，
当且仅当
、
，即
，
时，等号成立，
故
，即
，则
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．已知
，
是正实数，且关于
，
的方程
有解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由
得
，由基本不等式
进而可得.
【详解】因
，
是正实数及
，可知
，
可得
，得
，得
，
因
，
是正实数，故
，得
，当且仅当
时等号成立，
故
，故
，
故
，故
，
故答案为：
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题
1．（24-25 高三上·上海长宁·期末）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，由换元法转化为
在区间
上恒成立，进而可得.
【详解】设
，当
时，
，
故由题意可得关于的不等式
在区间
上恒成立，
设
，由二次函数的性质可知
在区间
上单调递减，
故
，得
，
故选：D
2．（24-25 高三上·广东·期末）对任意的
,
（
且
）恒成立，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析函数的单调性，利用函数单调性求参数的取值范围.
【详解】由题意可得：
.
因为若
，当
时，
，
，则
不能恒成立.
当
时，
单调递增，
单调递减，要使
在
上恒成立，须有：
.
所以实数
的取值范围为：
.
故选：C
3．若不等式
（
，且
）在
内恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
和
两种情况，结合函数图象，数形结合得到不等式，求出答案.
【详解】若
，此时
，
，而
，故
无解；
若
，此时
，
，而
，
令
，
，画出两函数图象，如下：
故要想
在
内恒成立，则要
，
解得：
．
故选：B．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
，使得
成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值
.
又因为函数
在区间
上单调递增，
所以当
时，
.
综上可得函数
的最小值为
.
因为
，使得
成立，
所以
，解得：
或
.
故选：C.
5．已知函数
，
对
，
，使得
成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据
的解析式求出其值域，分类讨论求出
的值域，结合两值域的关系可得答案.
【详解】当
时，记
和
的值域分别为集合
，
.
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的值域为
.
因为对
，
，使得
成立，所以
.
又函数
在区间
上单调递增，
所以
，则
，解得
.
故选：C.
6．（24-25 高三上·江苏·期中）已知奇函数
的定义域为
，且
在
上单调递增．若存在
，使得
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得
，再将存在问题转化为最
值问题进行求解即可.
【详解】由函数
为
上的奇函数，
则
，
又
在
上单调递增， 则
在
上单调递增，
则
，
则
，使得
，
，使得
，
即
，在
有解，
则
，
，
令
，则
，
又
，则
，
，
即
，则
，
故选：B.
【点睛】方法点睛：
分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端
是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下：
（1）分离参数(注意分离参数时自变量
的取值范围是否影响不等号的方向)．
（2）转化：①若
对
恒成立，则只需
；
②若
对
恒成立，则只需
；
③若
，使得
有解，则只需
；
④若
，使得
有解，则只需
.
（3）求最值．
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
，
或
，
)求解．
3、等价转化法
当遇到
型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数
，进而只需满足
，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
1．若函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意知则
在区间
上恒成立，分离变量得
，
则
，利用辅助角公式或者导数都可求出
在区间
上的最大值，由此可得
答案.
【详解】由题干可得
，若函数
在区间
上单调递减，
则
在区间
上恒成立，因为
，所以只需
，
即只需
恒成立，令
，
由辅助角公式可知
，由
，得
，
因为余弦函数
在
上单调递减，在
单调递增，
且
时，
，
时，
，
故
在
上的最大值为
，故
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·广西南宁·开学考试）已知函数
，若对
，
，则实数m 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数求函数最小值，由
即可得解.
【详解】由题意可知，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
因为对
，
，所以
，解得
.
故选：C
3．已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简将问题转化为
有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题.
【详解】由题意得
在区间
上有解，
可转化为
，令
，则
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
因此要使得
在区间
上有解，
只需满足
，即
.
故选：B.
4．若对任意的
，
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解.
【详解】当
时，
恒成立，即当
时，
恒成立，
设
，则
单调递减，
而
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
.
故选：C.
5．（2025·河南·二模）已知函数
，若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参.
【详解】因为函数
，若存在实数
，使得
成立，
当
时，存在
，所以
；
当
时，
不成立；
当
时，存在
，所以
成立，
令
，
，
当
单调递增；
当
单调递减；
所以
时，
，
，
，所以
；
综上得：
或
.
故选：D.
6．（2025·湖南长沙·三模）若函数
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先按照
，
和
分三类情况分析函数是否符合，再根据
时，
在
上恒成立，分
和
两情况，通过判断函数的单调性确定参数
的取值范围即可.
【详解】①当
时，
，显然在
上是增函数，
当
时，
，不合题意；
②当
时，
，符合题意；
③当
且
时，
恒成立，
故只需
时，
恒成立．
若
❶
，则
，故不合要求；
若
❷
，则
，
，显然这是一个增函数，
则
，故函数
在
上单调递增，
则
，故
符合题意.
综上，可得
．
故选：C．
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数
的图象经过
两点，且
的图象在
处的切线互相垂直，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构建
，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知
，运算求
解即可.
【详解】因为
，则
，
构建
，则
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，当
趋近于
时，
趋近于
，
可知
的值域为
，
由题意可知：存在
，使得
，
则
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求
的值域为
，根据导数的几何意义分析可知存在
，
使得
，结合值域分析求解即可.
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数
，若
有且仅有2 个整数解，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图象，要求
的最大值，即求直线
斜率
的最大值.
【详解】
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上是单调减函数；
当
时，
，所以
在
上是单调增函数.
由
可得
，
根据题意，存在2 个整数解使得
，
则函数
与直线
的图象有2 个横坐标为整数的交点，直线
必过
点，
函数
在
处的导数
，则切线方程为
且经过
点，
即此时直线
与
相切，此时
，又因为
，
分析图象可知，另一个交点只能在
处，且此时直线斜率能取最大，
即
可以取最大值，
，当直线
过点
时，则
，解得
.
故选：C.
9．已知不等式
对任意
恒成立，则正实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意将不等式
变形为
，利用导数研究函数
的单调性求
出
即可求解.
【详解】因为
，不等式
可变形为
．
设
，则
．
当
时，
，所以函数
在
上单调递增．
则
，所以
．故正实数
的取值范围是
．
故答案为：
10．（2025·湖南长沙·一模）不等式
对任意
成立，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据题意，转化为
对任意
成立，分两种情况讨论：（1）不等式
且
对任意
成立，结合
的性质，求得
；（2）方程
且
有相同的解，进而得到
的取值范围.
【详解】由不等式
，可得
，
要使得不等式
对任意
成立，
可得分为两种情况：
（1）不等式
且
对任意
成立，
由不等式
恒成立，即
，可得
；
由不等式
恒成立，即
在
恒成立，
令
，可得
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，则
，所以
；
（2）方程
且
有相同的解，即
且
的零点重合，
由
，可得
，将
代入
，可得
，解得
.
综上可得，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
双变量问题与值域关系
1、第1 类.“任意=存在”型
，使得
,等价于函数
在
上上的值域
是函数
在
上的值
域
的子集,即
.
其等价转化的基本思想:函数
的任意一个函数值都与函数
的某一个函数值相等,即
的函数值
都在
的值域之中.此类型出现频率最高.
2、第2 类.“存在=存在”型
，使得
，等价于函数
在
上的值域
与函数
在
上的值域
的交集不为空集,即
.
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.
3、第3 类.“任意≥(≤、>、<)任意”型
，使得
恒成立等价于
.其等价转化的基本思想是函数
的任何一个函数值均大于函数
的任何一个函数值.同理，可得其他类型.
4、第4 类.
型.
由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为
，解决掉双变量转化为求最值.
上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域.
1．（24-25 高三上·江苏·期末）已知实数x，y 满足
，则下列关系一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先条件等式变形为
，再通过构造函数
，利用导数判断函数的单调性，再根据
不等式
，比较大小.
【详解】由
可知，
，
设
，
，
，所以
在
单调递增，
因为
，
，所以
.
故选：D
2．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的
，不等式
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将恒成立转化为
，令
，利用导数求出
的最大值，可得
，
又由
，求得答案.
【详解】由
，对任意
恒成立，
即
，
令
，
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，即
，
，
又由切线放缩可知，
，
，即
，
所以
的最大值为
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得
，再根据切线放缩得
，得
解.
3．（24-25 高三下·重庆·月考）函数
，若
恒成立，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．
D．e
【答案】D
【分析】由
在
上恒成立，得
，消元得到
，令
，求导
得到
的最小值即得结果.
【详解】由题设
在
上恒成立，
此时
在
上都单调递增，
所以只需
在
上的零点相同，即
，
所以
，令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，所以
.
故选：D.
4．（24-25 高三下·云南·月考）已知函数
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．16
【答案】D
【分析】求导可得
有两个零点
，
，从而可得
，再由条件可得
的零点也
为
，
，代入计算，即可得到结果.
【详解】设
，
，
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，
的极小值为
，
又因为
，
，所以
有两个零点
，
，
，且
，即得
，（*）
若
，
，则
的零点也为
，
，
且
代入（*）式得：
，所以
.
故选：D．
5．（2024·江西吉安·模拟预测）若
，且
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
分离常数可得
，设
，根据
的性质，结合函数与方程的关系即可求解.
【详解】由
，得
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
，
又
，所以实数
的取值范围是
.
故选：A
6．（23-24 高三下·陕西安康·月考）若
，对
，
，则实数m 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】依据题意，先将原题转化为
，求出
的最大最小值，再将问题转化为
与
的有解问题，求解不等式可得结果.
【详解】由题意可知：
对
恒成立，且
对
恒成立，即
，
令
，则
，令
，解得：
，因为
，所以当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，则
，
则原题等价于
，使得
成立，则
，解得：
.
故答案为：
.
7．（23-24 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
，若
，
，使得
成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】设
在
上的值域为
，在
上的值域为
，由题意可得
，当
时，根据
二次函数的性质可得
，当
时，分
，
和
三种情况，结合导数判断
在
内的单调性和值域，列式求解即可.
【详解】设
在
上的值域为
，在
上的值域为
，
若
，
，使得
成立，则
.
1.当
时，则
，
可知
开口向下，对称轴为
，
则
在
上单调递增，可得
，
所以
在
上的值域为
，所以
；
2.当
时，则
，
（1）若
，则
在
内单调递减，
且当x 趋近于0 时，
趋近于
，当x 趋近于
时，
趋近于
，
所以
，符合题意；
（2）若
，则
，即
，不合题意；
（3）若
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，可得
，
且当x 趋近于0 或
时，
均趋近于
，所以
，
又因为
，则
，
注意到
，即
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】结论点睛：若
，
，使得
成立，则
在
内的值域是
在
内的值域的子集.
8．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若存在两个不等的正实数
，
，使得
成立，则
实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】
，
构造函数
，
所以原问题等价于存在两个不等的正实数
，
，使得
，
显然函数
不是正实数集上的单调函数，
，
设
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，故
，
当
时，即
时，
单调递增，所以不符合题意；
当
时，即
时，显然存在
，使得
，
因此一定存在区间
，使得
在
上异号，因此函数
在
上单调性不同，
因此一定存在两个不等的正实数
，
，使得
成立，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是由
构造函数
.
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
（1）
,
,使得
成立
（2）
,
,使得
成立
（3）
,
,使得
成立
（4）
,
,使得
成立
1．（23-24 高三上·江苏南通·月考）函数
，
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，则实数a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求
的取值范围，利用二次函数的性质求
的取值范围，依题意有
，解不等式得实数a 的范围.
【详解】函数
，因为
，
，所以
，
故
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
在
上也是单调递增，所以
.
因为对任意的
，总存在
，使
成立，等价于
，
所以
，解得
，故实数a 的范围是
.
故选：D.
2．（2025 高三下·辽宁沈阳·月考）已知函数
，
．若不等式
在
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，可得
取最大值，则
，转化为
，构造函数
，求其最小值即可.
【详解】不等式
在
恒成立，则
恒成立，
所以设
，
，
当
时，
，函数
单调递增，
不合题意；
当
时，
，
当
单调递增；当
单调递减；
所以当
时，
取最大值
，
所以
，则
，
令
，
，
令
，得
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的最小值为
.
即
的最小值是
.
故选：B.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使得
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
分类讨论，通过同构可将问题转化为
,构造
，利用导数求解最值即可.
【详解】当
时，
，合题意.
当
时，
即
，
为
的增函数，
，即
，
由题意，只需
,
记
，
当
在
单调递减，
在
单调递增，
故
，所以
，
综上，
的取值范围为
，
故选：D
4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数
，
，当
时，
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】取特值
解得
，整理可得
，换元令
，构建
，根据导数的几何意义求临界状态，结合图象即可得结果.
【详解】因为当
时，
，
则
，即
，
整理可得
，解得
，
若
，则
，
整理可得
，
令
，则
，可得
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，
若
与
相切，
设切点坐标为
，切线斜率
，
则切线方程为
，整理可得
，
注意到直线
过定点
，则
，
整理可得
，注意到
，
可得
，即
，可得
，
结合图象可知：
，所以
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：取特指确定
的必要条件，这样可以简化讨论和计算.
5．已知函数
，
，若
，
，使得
成立，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先把已知条件转化为
，再根据换元及求导得出
,再结合基本不等式得出
即可求参.
【详解】
，
，使得
成立，
所以
当
令
,
单调递减，
所以
所以
恒成立，即得
恒成立，
即
，
又
，
，当且仅当
时取等号，
则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把存在及恒成立类问题转化为最值问题，结合基本不等式及函数单
调性求出最值即可解题.
6．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的不等式
有解，则
的最小值是 .
【答案】
/
【分析】参变分离可得
有解，令
，
，利用导数求出
，
即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由
得
，显然
，
所以
有解，
令
，则
，
令
，则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，则
，即
的最小值是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到
有解，再构造函数，利用导数
求出
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三上·山东济宁·月考）设
，若
恒成立，则k 的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】只需由基本不等式求出
的最大值，即
的最小值即可.
【详解】由于
，则得到
（当且仅当
，即
时，取等号）；
所以
又由
恒成立，故
，则k 的最大值为8.
故选：D．
2．若存在正实数x，y 满足
，且使不等式
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出
的最小值，再借助不等式有解求出范围.
【详解】由
，
且
，得
，
当且仅当
，即
时取等号，依题意，
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
3．若
，
为真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】主元变换，构造关于
的函数
.根据函数性质，只需
与
都大于
即可.
【详解】由题意知，
，
恒成立，
设函数
，
即
，
恒成立.
则
，即
，
解得
，或
.
故选：C.
4．（24-25 高三上·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【分析】分离参数变为
在
上恒成立，利用基本不等式求解最值得
，即可得
解.
【详解】
，
恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，则实数
的最大值为
.
故选：C
5．（23-24 高三上·辽宁·月考）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【分析】不等式
恒成立，只要
即可，根据基本不等式中
“1”的整体代换求出
的最小值，再结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由题意知，
，
当且仅当
，即
时取等，
又不等式
恒成立，
则不等式
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
.
故选：A.
6．（2024·云南昆明·一模）“曲线
恒在直线
的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
,设
，利用导数求出函数的最小值，令最小值大于零，得出
的取值范围，再进行判断即可.
【详解】由曲线
恒在直线
上方，可得
，
设
，则
恒成立，
因为
，所以
在R 上单调递增，且当
时，
，
故当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值即最小值
，
令
，得
.
所以“曲线
恒在直线
的上方”的充要条件是
，故A 错误；
对B：
是
的既不充分也不必要条件，故B 错误；
对C：由
可推出
，但反之不成立，故C 正确；
对D：
是
的既不充分也不必要条件，故D 错误；
故选：C
7．（24-25 高三上·吉林四平·期中）已知函数
，
.若“
，
，
使得
成立”为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】若“
，
，使得
成立”则
，
.即
在
上恒成立，分离参数利用基本不等式求解
最小值即可.
【详解】当
，有
.
，
，使得
成立，等价于
，
.
即
在
上恒成立，参变分离可得
.
当
，
，当且仅当
时取等号，所以
，
故选:C.
8．已知函数
．若
在
上有解，则当实数
取最小值时，
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【分析】根据题意有
在
上有解,可得
，转化为求函数的的最值即可．
【详解】因为
，所以
，
因为
在
上有解，所以
在
上有解，
化简得
．因为
，
即
在
）上有解．
因为
，设
，则
在
上有解，
因为
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，
所以
的最小值为
，此时
，
当且仅当
，即
时，
有最大值0.
故选:C．
9．若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简计算将原不等式转化为
.解法一：结合
的单
调性计算即可求解；解法二：参数分离并构造函数，利用导数判断函数的单调性，将不等式问题转化为函
数最值问题即可求解．
【详解】解法一：因为
，
所以原不等式转化为
．
又
与
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
所以该函数在
时取最小值，最小值为0，
此时
，即
，解得
，
即
的取值范围是
．
解法二：因为
，
所以原不等式等价于
．
当
时，不等式不成立；
当
时，不等式变形为
，
记
，则
，
所以
在
单调递增，得
，即
，解得
，
故
的取值范围是
．
故选：D
10 若函数
在
上存在单调递增区间，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数求导，化为
在区间
上有解，再应用参变分离或二次函数性
质研究不等式能成立，求参数范围.
【详解】由
，则
．
函数
在区间
上存在单调递增区间，只需
在区间
上有解，
即
在区间
上有解，
方法一：即
在区间
上有解，所以
．
令
，则
，
令
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
．
方法二：当
时，
在
恒成立，不符合；
当
时，
开口向上，只需
或
，所以
．
故选：D
11．（24-25 高三下·山西·开学考试）已知函数
，若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，通过其单调性奇偶性，得到
在
上有解，求得最值，
进而可求解；
【详解】设
，
由
在
上单调递增，可知，
在
上单调递增，
又
奇函数，
所以由
，可得
，
∴
，
，
∴
在
上有解，设
，
，
易知
时，
，
时，
，
∴
在
单调递增，在
单调递减，即
，
∴
，
故选：A
12．（23-24 高三下·山东德州·月考）已知函数
，
，
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用换元法将函数
，转化为
，利用双勾函数的性质求得
的值域，根据
二次函数的性质求得
的值域，再根据对于任意
，总存在
，使得
成立，
则由
的值域包含
的值域求解.
【详解】
，
，
，
，
设
，则
，则函数
等价为
，
由对勾函数的单调性可得，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
当
时，函数取得最小值，
，
当
时，
，当
时，
，
设函数
的值域为
，则函数
的值域
；
由
，
在
上是减函数，
则最大值为
，最小值
，
，
设
的值域为
，则
，
若对于任意
，总存在
，使得
成立，
则等价为
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据对于任意
，总存在
，使得
成立，得出
的值
域包含
的值域，是解决本题的关键.
13．（23-24 高三上·重庆·期中）若关于x 的不等式
的解集中恰有三个整数解，则
整数a 的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据
时不等式成立得到不等式的-个整数解为1，然后
时将不等式变形为
，然后根据
的单调性得到不等式
的两个整数解只能是2,3，最后列不
等式求
即可.
【详解】不等式
可整理为
，
当
时，
成立，所以其它两个整数解大于1，
当
时，原不等式可整理为
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
又
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以不等式
的两个整数解只能是2,3，
所以不等式
的三个整数解为1,2,3，
则
，解得
，
因为
，
，
，
所以整数
.
故选：B.
14．（2025·天津红桥·二模）已知向量
是夹角为60°的单位向量，若对任意的
且
则
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案.
【详解】已知向量
的夹角为
的单位向量，则
，
所以
，
所以对任意的
，且
，则
，
所以
，即
，
设
，即
在
上单调递减，
又
时，
，解得
，
所以
在
上单调递增；
在
上单调递减，所以
，
故选：A．
15．（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若存在
，使得
成立，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【分析】
化简可得
，构造函数
，然后利用导数求出函数的最
小值即可.
【详解】不等式
等价于
，即
.
令
，由
可知
，
在
上为增函数，
，
，则
，
令
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以结合题意可知
，即实数
的最小值为1.
故选：B
16．（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先分析函数
的正负性，进而得出
，再构造函数
，研究其
最小值即可.
【详解】令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
，
由
，知
，所以
，
令
，则
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在当
上单调递增，
所以
，故
的最小值为
.
故选：D.
17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
和
，若存在实数
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．-e
B．-1
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，由
，又
在定义域上单调递增，则
，于
是
．再利用导数求函数的最小值即可．
【详解】因为
，
所以
，而
，
故
，又
在定义域上单调递增，则
，
于是
．
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
．
故选：C.
18．（2025·辽宁大连·三模）已知
，若存在
，使得
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过同构，令
得到
，通过确定
单调性，得到
，问题转化成
，在
有解，进而可求解.
【详解】由题意可得：
，即
，
令
，即存在使得
，
构造
，
，
由
，可得
，由
，可得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，
所以
，即存在
，使得
，
参变分离得到
，
令
，
易得当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
最小值为
，当
时，
，
所以
的值域为：
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：B
19．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，若存在
使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求得
在区间
上的值域，求得
在区间
上的值域，由此求得
的取值
范围.
【详解】对于
，
，
所以
在区间
上单调递增，
，
所以当
时，
的值域为
.
对于
，
，
若
，则
，不符合题意.
若
，则
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
的值域为
，符合题意，D 选项正确.
当
时，
在区间
上
单调递增，
在区间
上
单调递减，
，而当
时
所以当
时，
的值域为
，不符合题意.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用导数可求解函数在区间上的值域，求解恒成立问题或存在性问题，可将问题转化
为求解函数值域问题来进行研究.如果导函数含有参数，在研究函数的过程中，要对参数进行分类讨论，分
类讨论要做到不重不漏.
20．已知函数
（
，
），
，若对
，不等式
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，即
，求导分析单调性可得
，即
，令
，求导分析单调性，求
即可
【详解】由题意，
，
令
，
则
，
恒成立，即
恒成立，即
，
，
令
，解得
，
令
，即
在
上单调递增；
令
，即
在
上单调递减.
，
，
，
令
，
，
令
，即
在
单调递增；
令
，即
在
单调递减；
，
，即
的取值范围为
.
故选：B
21．（24-25 高三上·辽宁·月考）已知函数
，
，若对任意
，
，使得
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合复合函数的单调性求出
，利用导数求出
，“对任意
，
，使得
恒成立”只需“
”，解之即可.
【详解】显然
，由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
在
上单调递减，所以
．
，
因为
，设
，则
，
设
，得
，
令
，得
，
则当
时，
单调递增，且
.
所以当
时，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
故
.
所以当
时，
，即当
时，
．
因为要使任意
，
，
恒成立，只需
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
．
故选：C
22．若函数
中
的取值范围为R，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】把函数
中的x 的取值范围为R，转化为
对任意实数
恒成立．
然后对
分类讨论得答案．
【详解】由已知
恒成立，
当
时符合题意，
当
时，
，
，
综上所述
，
故答案为：
．
23．（24-25 高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的
，都有
”为假命题，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据“存在
，
”为真命题，讨论
，
，
求解.
【详解】命题“对任意的
，都有
”为假命题，
则“存在
，
”为真命题，
当
时，
满足；
当
时，
满足；
当
时，需
，解得
；
综上：
.
故答案为：
24．（24-25 高三上·江西宜春·月考）若关于
的不等式
在区间
上有解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】分离参数可得
在区间
上有解，转化为求函数
的最小值即可求.
【详解】
,
不等式
，即
在区间
上有解.
设
，
，
则
，
令
，
设
，
,
，则
在区间
上单调递增，
故
，即
.
故要使
在区间
上有解，则
.
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
25．（24-25 高三下·重庆·月考）已知
，关于x 的不等式
在
上恒成立，则a 的最小值
为 ．
【答案】
【分析】对给定不等式两边取对数，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】
，不等式
令
，求导得
，当
时，
；
当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
因此
，解得
，
所以a 的最小值为
.
故答案为：
26．（2025·湖南益阳·三模）设实数
，
，
使
成立，则实数
α 的取值范围 ．
【答案】
【分析】将问题转化为不等式
在
上能成立，利用导数研究函数
的单调性求
出
即可.
【详解】由
，得
，
即不等式
在
上能成立.
设
，则
，
令
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，所以
，
即实数a 的取值范围为
.
故答案为：
27．（2025·河南·三模）已知函数
，其中e 为自然对数的底数，当
时，
恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，将不等式等价变形为
，构造函数利用导数求出最小值即可.
【详解】当
时，
，
令函数
，依题意，当
时，
恒成立，
求导得
，
令
，求导得
，
函数
在
单调递增，
，
，存在
，使得
，
当
或
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，因此
，则
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
28．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）已知函数
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由条件判断需求
在
上的最大值，利用导数研究函数
，根据参数
分类讨论，
当
时，
有最大值
，故要解不等式
，分解因式成
，设
，利用导数证明
在
上恒成立即得参数
的范
围.
【详解】因存在
，使得
，即需求函数
在
上的最大值.
由
求导得，
，
因
，若
，则
在
上恒成立，
即函数
在
上是增函数，故此时
无最大值，且
时，
，符合题意；
若
，由
解得
，则当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上递增，在
上递减，
则函数
在
时取得最大值，即
，
依题意，需使
，整理得，
（*）.
令
，则
则当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故
时，
取最大值
，
即
在
上恒成立，
由（*）可得
，即
，所以
;
综上可得，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
29．（24-25 高三上·上海·月考）已知函数
，若关于
的不等式
有且仅有一个正
整数解，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求导并判断函数
的单调性，可画出
的图象，由
过定点
，要使不等式
有且仅有两个整数解，只需
，求解即可.
【详解】由题意得，
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
当
时，
；当
时，
；
，
，
，
且
时，
，作出函数
的图象，如图所示：
直线
过定点
，要使不等式
有且仅有一个整数，
只需
解得
，
故答案为:
.
30．（2025·云南曲靖·一模）已知
，函数
，若
，使得关
于
的不等式
成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先作出
的图象，即可求出
在
的取值范围，依题意可得
，结合图
象可得
的解集，即可得解.
【详解】因为
，则定义域为
，
所以
的图象是取
与
图象位于下方的部分，
作出
的图象如下所示（实线部分）：
当
时
，显然
在
上单调递减，且
；
因为
，使得关于
的不等式
成立，
所以
，令
，解得
，
结合图象可得
的解集为
或
，
即实数的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出
的图象，结合图象得到
的解集.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25 高三下·江苏南京·月考）已知函数
，
，当
时，
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】“当
时，不等式
恒成立”等价于“
，
恒成
立”，设函数
，通过导数分析其单调性得
；再设
并通过导数得
在
上单调递增，且
，故得a 的取值范
围是
.
【详解】由函数
，
，所以不等式
恒成立，等价于
恒成立；
因为
，所以
；
设函数
，
，则
，
计算
，且
；
所以
，
当
，
时，令
，解得
，
所以
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
所以
；
设
，则
，
所以
在
上单调递增，且
；
要使
恒成立，需使
恒成立，即
所以a 的取值范围是
.
2．（23-24 高三下·湖北武汉·期末）设函数
，若存在实数
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】C
【分析】变形得到
，故
，二次求导得到
在R 上单调递增，从而
得到
，故
，构造
，求导得到其单调性，确定最值，得到答案.
【详解】
，
存在实数
，使得
，即
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，
，
故
在R 上单调递增，
所以
，
故
，
令
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
所以
，当且仅当
，
时，等号成立.
故选：C
【点睛】关键点点睛：变形得到
，故
，结合
在R 上单调递增，
得到
，进而将二元问题转化为单元问题进行求解.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
，若
在
上恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
与0 关系分三种情况讨论，其中当
时，再根据
的最小值
与0 的关系分
和
两种情况讨论，当
时，把
在
上恒成立，转化成
在
上恒成立，借助导数，求出
在
上的最大值，且
即可求出m 的取值范围.
【详解】函数
的定义域为
，
①当
时，
，
当
时，
，不符合题意；
②当
时，取
，则
，不符合题意；
③当
时，设
，
，
则
，当且仅当
时取等号.
（i）若
，即
，取
，
，
，不满足题意；
（ii）若
，即
，
若
在
上恒成立，则需
在
上恒成立，
又
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，
故
，解得
，所以
.
综上可知，
.
故选：D.
4．已知函数
，若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解法一：证明出当
时，
，对实数
的取值进行分类讨论，数形结合验证
对
任意的
能否恒成立，由此可得出实数
的取值范围；解法二：证明出当
时，
，然后对
取特殊值，验证
对任意的
能否恒成立，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】解法一：若
，当
时，
，不符合题意，舍去；
若
，则
，曲线
是将曲线
向右平移
个单位长度得到的，
作出函数
与
的大致图象，
由上图可知，当
时，
不恒成立，不符合题意，舍去，
取特例，若
，则
，
，不合题意；
若
，作出函数
及
的大致图象，
设
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，所以
，
从而
，即
，当且仅当
时等号成立
如下图，当
时，
恒成立，则
恒成立，符合题意；
若
，则
，作出函数
与
的大致图象，
如下图所示，当
时，
恒成立，即
恒成立，符合题意．
综上
；
解法二：设
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，所以
，
从而
，即
，当且仅当
时等号成立
显然
不符合题意，排除C；
当
，
时，
恒成立，符合题意，排除D；
当
，
时，
，
因为
，所以
，即
，符合题意，排除B．
故选：A．
5．（24-25 高三上·吉林长春·期末）若关于
的不等式
的非空解集中无整数解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】原不等式转化为函数
的图象一定有部分在直线
的下方，且该部分图象横
坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得
答案.
【详解】原不等式可化为
，设
，
则直线
过定点
，
因为不等式
的解集非空，所以函数
的图象一定有部分在直线
的下
方，
又因为不等式
的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，
∵
，∴
．设直线
与曲线
相切于点
，
则有
，消去a 整理得
，解得
或
，
若
，则切点横坐标为1，若不等式
的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题
意，
舍去；
故
，则切线的斜率为
，解得
．
又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当
时，
，
，
当
时，解得
，当直线
绕着点
旋转时，
要使不等式
的解集非空，且解集中无整数解，必有得
，故实数的取值范围是
．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形
结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得
，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对
的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即
可.
【详解】
恒成立，即
恒成立，
，设
，
故
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
故
，
当
时，
且
，
由
的单调性知，
在
上单调递减，
上单调递增，
，
此时若存在正实数，
，使
恒成立，
即存在正实数，使
，故
.
当
时，
故
恒成立，即
恒
成立，
因为
，故此时不存在正实数满足条件.
综上可得，实数
的取值范围是
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题的关键在于将不等式
恒成立转化为正实数一直在两
个函数值之间，即
，然后结合两个函数的单调性求解即可.
7．若存在实数
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分离参数法得到
，再合理构造函数，将
合理拆分为
两部分，利用导数得到两个部分取到最小值的条件一致，再求出整体函数的最值，得到取值范围即可.
【详解】由
得
，
当
时，由题意知
，
设函数
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则函数
的最小值为
．
当
时，设函数
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以函数
的最小值为
，
此时
，则
，即实数
的取值范围是
．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是找到利用分离参数法得到
，然后把
拆分为两部分，判断它们取得最小值时的条件一致，得到整体的最值，最后求解所要求
的参数范围即可．
8．（2025·陕西咸阳·二模）已知方程
的两根为
，
（
），若
，不等式
对任意的
，
恒成立，则正实数m 的最小值为 .
【答案】
【分析】将已知方程结合其两根，进行变式，求得
，利用该式再将不等式
变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.
【详解】因为
分别是方程
的两个根，
即
.两式相减
，则
，
则不等式
，可变为
，
两边同时除以
得，
，
令
，则
在
上恒成立.
整理可得
，在
上恒成立，
令
，
则
，
①当
，即
时，
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，
又
，则
在
上恒成立，
②当
，即
时，当
时，
，
则
在
上单调递减，则
，不符合题意.
综上：
，所以
的最小值为1，
故答案为：.
