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实战演练 08 立体几何二面角的问题
①定义法
②三垂线定理
③向量法
④折叠背景下的二面角问题
⑤二面角中的探索性、开放性问题
一、二面角定义
1、二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示
①棱为AB，面分别为 ， 的二面角记作二面角 -AB- ，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l- ，如图(1).
②若在 ， 内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
3、二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
4、二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的范围是 .
二、三垂线法
1、方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜
足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
2、具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂
足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
三、射影面积法
β S
1、方法：已知平面 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为
射影
，
S
平面α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ ，则 COSθ= 射影 .
S
这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
2、以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。A
'
A α
B D C
证明：如图，平面
β
内的△ABC在平面α的射影为△
A'BC
，作
AD⊥BC
于D，连结AD.
∵AA' ⊥α 于A'
，
D∈α
，
∴AD 在α 内的射影为A'D .
∵AD⊥BC,BC⊂α
又 ，
∴A'D⊥BC
（三垂线定理的逆定理）.
∴∠ADA'
为二面角α —BC—
β
的平面角.
1 1
S= BC⋅AD,S' = BC⋅A'D
设△ABC和△
A'BC
的面积分别为S和
S' ，∠ADA' =θ
，则
2 2
.
1
BC⋅A'D
A'D 2 S'
∴cosθ= = =
AD 1 S
BC⋅AD
2
.
2.点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确
定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明
或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面
内的射影是这个角的平分线所在直线.
四、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若 于A， 于B，平面PAB交 于E，则∠AEB为二面角 的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若 分别为面 ， 的法向量①
② 根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
①定义法
一、解答题
1．（23-24高一下·甘肃白银·期末）如图，四棱锥 的底面 是直角梯形， 底面 ，
， ，且 ， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求二面角 的大小.
2．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，正方体 的棱长为2.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
3．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平
面 ，且 .(1)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小.
4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）如图，在三棱柱 中， ， ，
在底面 的射影为 的中点， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
5．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.②三垂线定理
一、解答题
1．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱锥 中， 平面PAB，E，F分别为BC，PC
的中点，且 ， ， ．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值．
2．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱 中，面 为正方形，面 为菱
形， ，平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
3．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，四棱锥 的底面是边长为3的菱形， ，
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正切值.③向量法
一、解答题
1．（2024·广西·模拟预测）在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ，
．
(1)求证：平面 平面AEF；
(2)当 ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
2．（23-24高三上·广东江门·开学考试）如图，四棱锥 的底面是边长为2的菱形， 为等边
三角形， .
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
3．（2024·河南·二模）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为等边三角形， 为
的中点，且 .
(1)证明： ；(2)若 ，求二面角 的正弦值.
4．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的菱形，且
， 与平面 所成的角为 与 交于 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
5．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
6．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图, 在三棱台 中, 和 都为等边三角形, 且边长
分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面
.
(1)求证: 点 H为线段BC的中点;
(2)求二面角 的余弦值.④折叠背景下的二面角问题
一、解答题
1．（23-24高三上·福建福州·期中）在图1中， ， ， 为等边三角形，O为AC
边的中点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，
连接FO，FB，FE， ．
(1)证明： 平面ABC．
(2)求二面角 的余弦值．
2．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点，
如图2．将 沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平面
平面 ，连接 .
(1)求证： ， ， ， 四点共面：
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
3．（2022·全国·模拟预测）如图1，在边长为 的等边 中， 是 边上的高， ， 分别是
和 边的中点，现将 沿 翻折使得平面 平面 ，如图2.(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
4．（22-23高一下·江西宜春·期末）如图（1），六边形 是由等腰梯形 和直角梯形
拼接而成，且 ， ，沿 进行翻折，得到的图形
如图（2）所示，且 .
(1)求证： 平面 .
(2)求二面角 的余弦值；
5．（23-24高三上·河北·期末）如图1，已知正三角形 边长为4，其中 ，现沿着
翻折，将点 翻折到点 处，使得平面 平面 为 中点，如图2.
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
6．（23-24高三上·广东汕头·期末）如图，在边长为4的正三角形 中， 、 分别为边 、 的
中点，将 沿 翻折至 ，得四棱锥 ，设 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
⑤二面角中的探索性问题
一、解答题
1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知四棱锥 分别为 的中点， 平面
.
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的大小为 ，求 .
2．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 是菱
形， ， 是棱 上的动点，且 .
(1)证明： 平面 .(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由.
3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 为等边三角
形， ，点 为棱 上的动点．
(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 的大小为 时，求线段 的长度．
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知平行四边形 如图甲， ， ，沿 将
折起，使点 到达点 位置，且 ，连接 得三棱锥 ，如图乙.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，求出 的值，若不存
在，请说明理由.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形 中， ， ，垂足为
，将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
(2)在线段 上是否存在一点 （点 不与端点重合），使得二面角 的余弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
6．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知在三棱锥 中， ， 为以AC
为斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，存在该几何体外的一点D，使得 为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面
角的正切值为 ，求AD的长．
