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专题 03 三角函数与解三角形
3大考点概览
考点01三角恒等变换
考点02三角函数的图像与性质
考点03解三角形
考点1 三角恒等变换
运算
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·二模）若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选D.
2．（2026·湖南岳阳·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】由平方关系分别求出 ，利用 ，由两角差的余弦公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
3．（2026·湖南怀化·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，则
一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在 中， ,
则 ，即 ，
则 ，即得 ,
由于 ，故 ，结合 ，可得 ，
即 一定为直角三角形，
二、填空题
4．（2026·湖南永州·一模） ___________．
【答案】 /
【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可.【详解】原式
．
故答案为： .
5．（2026·湖南永州·一模） ______.
【答案】 #
【分析】先乘以 再除以 ，结合倍角公式化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：
6．（2026·湖南邵阳·二模）已知 ，则 ______.
【答案】 /
【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出 ，化简目标式即可得.
【详解】由 ，则 ，
所以 .
考点2 三角函数的图像与性质一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数 在区间 上单调递增 D．函数 的图象关于点 中心对称
【答案】C
【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根
据单调性分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为函数 的最小正周期 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：因为 为最大值，
可知 是函数 的对称轴，所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，令 ，可得 ，
所以函数 在区间 上不单调，故C错误；
对于选项D：因为 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故D正确.
2．（2026·湖南·模拟预测）“ ”是“ 为第二象限角”的（ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】若 ，则 为第一象限、第二象限角或终边在 轴正半轴上；
若 为第二象限角，则 ，
所以“ ”是“ 为第二象限角”的必要不充分条件．
3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为
的扇形，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得 ，再逐项验证即可得.
【详解】设圆锥的母线长为 ，则圆锥的底面半径 ，
因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，即 ，
逐个验证各选项可知，当 时符合题意．
4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数 的图象与 轴交于点 ，与
直线 的两个交点为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．-1
【答案】C
【详解】由 ，可知 ，在 处函数单调递减，则 ，
因为 时相邻两解差的绝对值的最小值为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以 ．
5．（2026·湖南株洲·一模）已知平面直角坐标系中三个点 ，若函数 的
图象恰好只经过上面三个点中的两个，则 的值不可能为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
【答案】D
【分析】将给定三个点的坐标依次代入每个选项对应的函数式验证即可.
【详解】A选项，若 ， ，
而 ， ， ，
即 过 ，不过 ，符合题意，A选项可能；
B选项，若 ， ，而 ， ， ，
即 过 ， ，不过 ，符合题意，B选项可能；
C选项，若 ， ，
而 ， ， ，
即 过 ，不过 ，符合题意，C选项可能；
D选项，若 ， ，
而 ， ， ，
即 过 ，不过 ， ，不符合题意，D选项不可能.
故选：D
二、多选题
6．（2026·湖南常德·一模）（多选）已知函数 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于直线 对称
C．将 的图象向左平移 个单位得到的函数为奇函数
D．函数 与 在 上有两个交点
【答案】ACD
【分析】选项A，直接利用周期公式计算即可；选项B，先求函数的对称轴，进一步分析即可；选项C，先通过平移变换得出新函数，再利用函数的奇偶性进行判断；选项D，将函数交点的个数问题转化为方程
根的个数问题，利用三角函数性质解方程即可得出结论.
【详解】由 ，故A选项正确；
由 ，即 ，令 ，
解得： ，故B选项不正确；
由 的图象向左平移 个单位得到函数：
，
由 的定义域为 关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，故C选项正确；
令 ，
则① ，解得： ，
又 ，所以当 时， ，
② ，解得： ，
又 ，所以当 时， ，
所以函数 与 在 上有两个交点，
故D选项正确；
故选：ACD.
7．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法
正确的是（ ）A．
B．若 ，则
C．把函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则 为偶函数
D．若函数 的导函数为 ，则 的图象关于点 对称
【答案】ABD
【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可.
【详解】对于选项A,由图像可知振幅 ,
所以 .解得 .将点 代入
即 ,解得 .所以 .故A正确.
对于选项B,已知 ,即 .
所以 .故B正确.对于选项C, 向左平移 个单位.
得 .显然 是奇函数不是偶函数.故C错误.
对于选项D,
令 解得对称中心的横坐标 .
当 时, .即 的图像关于点 对称.故选项D正确.
故选:ABD.
三、填空题
8．（2026·湖南怀化·一模）已知函数 的两个相邻零点间的距离为 ，则
__________.
【答案】 或
【分析】令 可得 ，结合正切函数周期性可得 ，代入求解即可.
【详解】令 ，可得 ，
因为函数 的两个相邻零点间的距离为 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，可得 ；
若 ，则 ，可得 ；
综上所述： 或
9．（2026·湖南岳阳·一模）若 是函数 的一个零点，且 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用和差化积公式可得 ，再根据正弦函数以及余弦函数零点得出关于
的方程，利用求根公式得出最小值即可.
【详解】依题意可知
由 ，
可得 ；
即 或 ，
当 时，可得 ，此时 ；
当 时，可得 ，此时 ；
又因为 ，且求 的最小值，
所以对于 可知当 时， ，
整理可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ；
对于方程 ，当 时，方程为 ，整理可得 ，解得 ，因为 ，取 ；
显然 ,
因此可得 的最小值为 .
故答案为：
10．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若 ，点 与 分别在直线 两侧，且
，则 长度的最大值为__________．
【答案】 /
【分析】设 ，利用余弦定理及三角恒等变换将 表示为 的函数，再利用正弦函数的性质求出
最大值.
【详解】在 中， ，设 ，则 ， ，
在 中， ，则 ，
由余弦定理得
，
因 ，则 ，
故当 ，即 时， ，所以 的最大值为 .四、解答题
11．（2026·湖南·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求 的解析式，并写出 的单调递减区间；
(2)若 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ， ．
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得 的值，再代入 求得 的值，从而可得函
数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可；
（2）结合（1）中函数求出 ，进而得到 ，根据二倍角公式和角的范围求解.
【详解】（1）由图象可知 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
代入 可知 ，即 ，
又因为 ，所以 ，可知当 时， 单调递减，
所以 的单调递减区间为 ．
（2） ，又∵ ，
所以由二倍角公式可得： ，解得 ，
又∵ ，∴ ，
所以 ．
考点3 解三角形
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，则
一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在 中， ,则 ，即 ，
则 ，即得 ,
由于 ，故 ，结合 ，可得 ，
即 一定为直角三角形，
2．（2026·湖南永州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
，则（ ）
A．角 为锐角 B．2
C．2 D． 的最大值为
【答案】D
【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角
函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D.
【详解】由 ，得 ，
，所以 ，
对于A，由 ，得 ，所以 为钝角，故A错误；
对于B，由 ，得 ，即 ，故B错误；
对于C，由 ，结合正弦定理可得 ，
所以 ，即得 ，
因为 为钝角， 为锐角，两边除以 ，得 ，故C错误；
对于D，由 ，即 ， ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ，故D正确.
故选：D.
3．（2026·湖南永州·一模）已知 分别为 内角 的对边，若 ， ，
动点 满足 的大小与 的大小相等，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得 ，根据面积可得 ，可知点 在抛物线上，
结合抛物线的性质分析求解.
【详解】因为 ，
整理可得 ，则 ，可知 为等边三角形．
设点 到直线 的距离为 ，则 ，可得 ，
如图，过点 作 ，垂足为 ，则 ，
过点 作 ，垂足为 ，可知点 在以 为焦点， 所在直线为准线的抛物线上，
可知当点 为抛物线顶点（即为 的中点）时， 取得最小值，此时 ，所以 的最小值为 ．
故选：C.
4．（2026·湖南湘潭·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，且
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 的面积 ，
则 面积的最大值为 ．
故选：A.
二、多选题
5．（2026·湖南邵阳·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为C． 的最大值为
D．若点 是 的外心，且 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得 ，进而可得 ；B利用正弦定理可得 ，再利
用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得 ，进而分析最值；D
根据数量积的几何意义结合外心性质可得 ，解方程即可.
【详解】A：因为 ，则 ，可得
，
因为 ，则 ， ，可得 ，所以 ，故A正确；
B：由正弦定理 ，得 ， ，
则 ，解得 ，
因为 是边AC的中点，则 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，故B错误；
C：因为，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故C正确；
D：因为 ， ，则 ，即 ， ， ，
因为 ，则 ，
即 ，解得 ，故D正确.
三、填空题
6．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若 ，点 与 分别在直线 两侧，且
，则 长度的最大值为__________．
【答案】 /
【分析】设 ，利用余弦定理及三角恒等变换将 表示为 的函数，再利用正弦函数的性质求出
最大值.
【详解】在 中， ，设 ，则 ， ，
在 中， ，则 ，
由余弦定理得
，因 ，则 ，
故当 ，即 时， ，所以 的最大值为 .
四、解答题
7．（2026·湖南邵阳·一模）在 中，内角 的对边分别为 ．已知
．
(1)若 ， ，求 的外接圆的半径；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)1.
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得 ，求得 ，由勾股定理判断 为直
角三角形，即可求得 的外接圆的半径；
（2）由余弦定理可得 ，结合题设条件推得的结论 ，求得 ，再利用三
角形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）在 中，由 和正弦定理可得： ，
再由余弦定理得： ，整理得 .
因为 ，则 ．因 ，故 为直角三角形，
所以 的外接圆的半径为 .
（2）因为 ，又 ，所以 .由余弦定理， ，可得 ，
又 ，且 ，代入化简，可得 .解得 ，
则 的面积为 .
8．（2026·湖南岳阳·一模）在 中，内角 的对边分别为 ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据 求角B即可；
（2）根据两角和差公式求 ，再由正弦定理求出边 ，进而可得面积.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
且 ，即 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
且 ，所以 ；
则 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
（2）因为 ， ，则 ，
又因为 ，则 ，
所以 .
9．（2026·湖南常德·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且 ，
， 均为整数.
(1)求 ；
(2)设 的中点为 ， ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得 ，再由正切函数单调性可得
，即 .
法二：假设 ，所以 ，根据正切函数单调递增，所以 这与
矛盾，即可得出结论；
（2）由两角和的正切公式计算可得 ，利用等量代换联立解方程组计算可得
， ，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出 ， ，最后利用正
弦定理和余弦定理计算可得 .
【详解】（1）法一：
在 中，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，且 在 内单调递增，所以 ，
又 为整数，所以 ，即 .
法二：
在 中，因为 ，所以 ，
所以 为锐角， ，
假设 ，所以 ，
又 在 内单调递增，所以 ，
又 ，所以 ，与 矛盾，
所以 ，
又 为整数，所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，
且 ，设 ， ，由 ，可得
由于 ， ， 均为整数且 ， ，解得 ，或 ，
解得 ，即 ， ；
（另解： 可化为 ，
由 ， 为正整数，且 ，
所以 ， ，即 ， ）；
所以 ， .
在 中，由正弦定理得 ，所以 ， .
在 中，由余弦定理得 ；
所以 .
10．（2026·湖南株洲·一模）在 中，角 为锐角， ．
(1)求角 的大小；
(2)若点 为边 的中点，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，利用和差角公式展开化简求得 ；
（2）根据（1）的结论及题设条件可得 ，在 和 中分别利用正弦定理
列式求得答案.
【详解】（1） ，又 ，
，
，
，
，
，
，又 为锐角， .
（2） ， ，
在 中， ，①在 中， ，
，②
由①和②，得 ，
，又 ，
，
，
.
11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求 的值；
(2)若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合分式有意义得到 ，根据二倍角公式、辅助角公式得到 ，进而求出角
及 .
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【详解】（1）由题意知， ，即 ，即 .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又 ， ，
所以 或 ，所以 （舍）或 ，
因为 ，所以 ，则 .
（2）
方法一：设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
联立解得 ， ，
所以 的周长为 .
方法二：设 ，则 ， ，即 ，
故 ，故 ，
所以 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，即 ，
联立解得 ， ，所以 的周长为 .
