文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题03 导数及其应用（七大题型）
一、切线方程与相切问题
1．（2025·湖南·一模）已知定义在
上的函数
满足
，则曲线
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南邵阳·一模）已知曲线
在点
处的切线与抛物线
也相切，则实数
的值为（ ）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．0
B．
C．1
D．0 或1
二、极值与最值问题
3．（2025·湖南·一模）若函数
在
处有极小值，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2025·湖南·一模）已知函数
若存在实数
满足
，且
，
则
的取值范围为 .
5．（2025·湖南·一模）已知函数
（
为常数），曲线
在点
处
的切线平行于直线
.
(1)求函数
的解析表达式；
(2)求函数
的极值.
6．（2025·湖南·一模）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的极值．
7．（2025·湖南·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围．
8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数
，其中
.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)若
在点
处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为
，求
的值；
(2)若
是
的极小值点，证明:
.
三、构造函数与构造函数比大小
9．（2025·湖南长沙·一模）设
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·湖南邵阳·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·湖南衡阳·一模）设函数
是函数
的导函数，若
，且当
时，
，则不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
四、恒成立问题
12．（2025·湖南邵阳·一模）定义在
上的偶函数
，其导函数为
.若
，
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，其导函数为
，当
时，不等式
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·湖南·一模）已知函数
.
(1)求函数
的最大值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
15．（2025·湖南长沙·一模）已知
，其中
，
.
(1)若
与
相切，求实数
的值；
(2)当
时，证明：
；
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
五、零点与方程的根
16．（2025·湖南·一模）已知
为函数
的零点，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
17．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，若函数
与
的图
象有且仅有三个交点，则实数
的取值范围是 .
18．（2025·湖南·一模）设函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)设函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围．（其中是自然对数的底数）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
19．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
，
(1)若
，求
在点
处的切线方程.
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围.
20．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求实数
的取值范围.
21．（2025·湖南·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围.
22．（2025·湖南·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，讨论曲线
与曲线
的交点个数．
23．（2025·湖南长沙·一模）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若函数
有2 个不同的零点
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
24．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)讨论函数
的单调性；
(2)令
，当
时，求
的极值点个数；
(3)令
，当
有且仅有两个零点时，求
的取值范围.
六、多选题综合
25．（2025·湖南益阳·一模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
存在三个不同的零点
B．函数
既存在极大值又存在极小值
C．若
时，
，则t 的最大值为2
D．当
时，方程
有且只有两个实根
26．（2025·湖南益阳·一模）已知函数
，对于任意实数
，
，下列结论成立的有（ ）
A．
B．函数
在定义域上单调递增
C．曲线
在点
处的切线方程是
D．若
，则
27．（2025·湖南·一模）已知函数
是
的导函数，则（ ）
A．“
”是“
为奇函数”的充要条件
B．“
”是“
为增函数”的充要条件
C．若不等式
的解集为
且
，则
的极小值为
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D．若
是方程
的两个不同的根，且
，则
或
七、高阶背景与新定义
28．（2025·湖南邵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A．
B．
（精确到小数点后两位）
C．
D．当
时，
29．（2025·湖南·一模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，若点
在导函数
图像上，且满足
，则称
为函数
的一个“
类数”，函数
的
所有“
类数”构成的集合称为“
类集”.
(1)若
，分别判断
和
是否为函数
的“
类数”，并说明理由；
(2)设
的图象在
上连续不断，集合
.记函数
的“
类集”为集合，若
，求证：
；
(3)已知，若函的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
8
