文档文本内容
专题 03 三角函数与解三角形
3大考点概览
考点01三角函数
考点02三角恒等变换
考点03解三角形
考点1 三角函数
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
所以 ，
所以 .
2．（2026·安徽滁州·二模）2026年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比
较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，
被网友俗称“潮汐车道”．如图为某地0～12时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的
车辆平均速度．根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过
60km/h时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断
在0～12时，“借道通行”的总时长约为（ ）
时间（h） 0 3 6 9 12
平均车速
100 60 20 60 100
（km/h）
A．1h B．2h C．3h D．4h
【答案】B
【分析】根据图象和表格，分别求出对应的解析式，根据北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度
的差超过60km/h，再结合三角函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得南下车辆的平均速度是正弦型函数模型，
设其解析式为 ，
根据图象可得 ,
又因为此函数图象为 的图象，且函数在 处最得最大值100，
由正弦函数的对称性和图象可得函数在 处取得最小值20，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又因为图象过点 ，
所以 ， ，取 ，
则 ，
验证：当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ，与题干中的图象完全吻合；
所以南下的函数的解析式为 ；
从表格中可得北上的车速函数关于 对称，
且周期为12，振幅为 ，其图象为余弦函数的图象，
设其 ，
则 ，
所以 ，
经检验与表中数据完全吻合，
所以北上时，车速函数为 ，
令 ，
即 ，
，
整理得： ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以“借道通行”的总时长约为 小时.3．（2026·安徽滁州·二模）若 ， 是方程 的一个根，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方程 的根为 或 ，
因为 ，所以 ，即 ，
.
4．（2026·安徽池州·二模）函数 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用整体代换求得对称中心，再赋值求解即可.
【详解】令 ，解得 ，
所以函数 的对称中心为
当 时， ，即 是函数 的一个对称中心.
5．（2026·安徽安庆·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则
该函数图象的一条对称轴是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图像可知，当 时， ，代入 得：
，又因为 ，因此 ，
又由图像可知，当 时， ，且该点是函数下降段的零点，
则代入得： ， ，
又由图像可知周期 满足， ，
所以只能取 ，得 ，因此函数解析式为： ,
再由正弦函数的对称轴满足： ，
令 ，得 .
二、多选题
6．（2026·安徽合肥·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． D．
【答案】BD【分析】根据正弦函数和对数函数的性质，结合奇偶性的定义逐项判断.
【详解】函数 ，
令 ，得 ，
所以函数 定义域为 ，
由于定义域关于原点不对称，则函数 不具有奇偶性，A错误；
， ，
则 是周期函数，B正确；
由于 ， ，
所以 ，故C错误，D正确.
三、填空题
7．（2026·安徽合肥·二模）设函数 ， ， 是直线
与曲线 的两个交点，且 最小值为 .若 ，则 ________.
【答案】
【分析】由 最小值可得 的最小正周期，从而可得 ，再将 代入计算即可得 .
【详解】由 最小值为 ，则 的最小正周期为 ，即 ，
则 ， ，解得 ，又 ，故 .
8．（2026·安徽淮南·二模）已知函数 在区间 上单调递减，且函数
图象关于 中心对称，则 ________.
【答案】
【分析】先利用正弦型函数的单调性，求得 ，得到 ，再由 的
对称性，求得 ，进而得到 的值.
【详解】由函数 ，令
解得 ，
所以函数 的单调递减区间为
因为 在区间 上单调递减，所以 ，且 ，
解得 ，
因为 ，当 时， ；当 时， ，无解（舍去），
又由函数 图象关于 中心对称，可得 ，可得 ，解得 ，
所以 满足 且 ，所以当 时， .
考点2 三角恒等变换
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得 ，结合原式计算即可得解.
【详解】由 ，
故 ，
故 ，故 ，即 .
2．（2026·安徽淮北·二模）已知函数 部分图象如图所示，其中点 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将 ， ，以及点 代入，再由辅助角公式，结合图象求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，解得 ， ，
因为图象经过 可得 ，解得 ，代入可得
，
即 ，所以 ，即
， ，
解得 ，所以 ，解得 ，所以 ，解得 ，所以
.
考点3 解三角形
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·二模）在 中， ， 为 边上一点，且 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则可在 中利用正弦定理求出 ，则可求出 ，从而可结合
得到 与 间关系，再利用 即可得解.
【详解】设 ，则 ， ，
由 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
由 ，则 ，故 ，
由 ，故 ，故 ，即 ，
则
，
则 ，即 .
2．（2026·安徽合肥·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理联立方程求解.
【详解】因为 ，
由 ，得 ，
,
得 ， .
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·二模）在平行六面体 中， ，
， ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A． B． 平面
C． D．直线 与 所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】对A：连接 ，借助中位线性质可得 ，利用平行六面体性质结合平行四边形
定义及其性质可得 ，则可得 ；对B：借助菱形性质可得 ，再利用题
目条件可得 ，则有等腰三角形三线合一可得 ，即可利用线面垂直判定定理得到
平面 ；对C：得到 、 及 后，利用余弦定理计算即可得；对D：由
， ，可得 即为所求，求出 、 、 后，利用余弦定理计算即可
得.【详解】对A：连接 ，由 ， 分别为棱 ， 的中点，则 ，
由平行六面体性质可得 ，且 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，又 ，故 ，故A正确；
对B：连接 、 、 、 ，设 ，
由 ，则四边形 为菱形，故 ， 为 中点，
由 ， ， ，故 与 全等，
故 ，又 为 中点，故 ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，故B正确；
对C：由 ， ，
则 、 、 都为等边三角形，故 ，
则 ， ，
故 ，
故 ，即 ，故C错误；
对D：连接 ，由 ， ，
故直线 与 所成角即为直线 与 所成角，即为 ，
，
， ，则 ，故D正确.
4．（2026·安徽淮南·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D． 内切圆半径的大小为
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理及二倍角余弦公式得到 ，结合正弦定理及二倍角正弦公式判断选项
A；根据已知条件得到 ，结合余弦定理即可求出 ，即可判断选项C；根据二倍角余弦公
式即可判断选项B；根据三角形面积相等即可判断选项D.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
由余弦定理得 ，所以 ，即 .
所以 或 （舍去，角度为正值）.
对于A：由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，则 ，即 ，A正确.
对于C：因为 ， ，则 ，所以 .
由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 .
若 ，则 为等腰三角形， ，又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 与 矛盾，故舍去.
因此， ，故C正确.
对于B： ，故B错误.
对于D：由 ， ，得 .
则 .
设 内切圆半径为 ，则 ，
所以 ，解得 ，故D正确.
三、填空题
5．（2026·安徽池州·二模）在平面四边形ABCD中， ， ，
，当锐角 取最大值时， ________．
【答案】
【分析】设 ， ，由锐角 取最大值，转换成 取得最大值，在 ，
中，应用正弦定理得到， ，构造函数 ，求得确定
单调性，确定最值，进而可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ， 为等腰三角形，
由正弦定理： ，
化简得 ，
设 （ 为锐角），
在 中由正弦定理： ，代入 ， ，
，
化简得： ，
因为 是锐角， 在 单调递增，故 最大等价于 最大，
令 ， ，则 ，
求导得： ，
，得 （ ），
当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
故当 时， 取得最大值，对应 最大，当 时，得： ， ，
，
在 中，由余弦定理 ，
代入 得： ，
解得 （ 舍去）.
四、解答题
6．（2026·安徽安庆·二模）在 中，角 的对边分别为 ，
，点 为边 上一点.
(1)求角 的大小；
(2)若 是边 上靠近点 的一个三等分点， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由三角恒等变换可得 ，结合正弦定理和余弦定理求
解即可；
（2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得 ，根据
，求解即可.
【详解】（1）因为 ，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
由余弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ；
（2）由题意可得 ，
所以 ,
所以 ,
即 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即
，，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
7．（2026·安徽滁州·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 是边 上一点，且满足 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理可得 ，则可得 ，再利用正弦定理
计算即可得；
（2）设 ，利用 可得 ，再利用余弦定理计算即可
得 ，从而可得 为正三角形，再利用面积公式计算即可得解.
【详解】（1） ，由正弦定理得： ，
，即 ，
， ，
在 中，由正弦定理得： ， ；
（2）记 ，则 ，
， ．
在 和 中，由余弦定理得： ，
解得： ， 是边长为6的正三角形，故 ，
的面积 ．
8．（2026·安徽淮北·二模）已知 的三个顶点在半径为2的圆上， .
(1)求 ；
(2)若 为锐角，求 周长的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）由正弦定理可求得 ，可求 ；
（2）由正弦定理可得 ，结合三角恒等变换，以及 的范围可求得 周
长的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 或 .
（2）若 为锐角，由（1）可知 ，
由正弦定理可得 ，所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 .
9．（2026·安徽马鞍山·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
点 是边 上一点， ．
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)27
【分析】（1）根据题意可得 ，得 ，再由余弦定理得
，求得 ，结合三角形面积公式得解；
（2）由 得 ，利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为 ，所以 是 的中点，
所以 ，两边平方得 ，即 ，
又由余弦定理知 ，联立得 ，故 的面积 .
（2）由 ，得 ，
故 ，即 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为27.
10．（2026·安徽安庆·二模） 中，角 所对的边分别为 且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用边角互化化成 的三角关系式，化简求值；
（2）将所求表达式化成角 的函数式，求最值.
【详解】（1）因为 ，则 ，
则 ，
即 ，
所以 ，又 ，
所以 ；（2） ，
因为 ，
当 ，即 时， 取得最大值 .
