大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）
专题 03 函数概念与基本初等函数
{-x2-2ax-a,x<0
1．【2024年新高考1卷第6题】已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围
ex+ln(x+1),x≥0
是（ ）
A．(-∞,0] B．[-1,0] C．[-1,1] D．[0,+∞)
【答案】B
【详解】因为f (x)在R上单调递增，且x≥0时，f (x)=ex+ln(x+1)单调递增，
{
-2a
- ≥0
则需满足 2×(-1) ，解得-1≤a≤0，
-a≤e0+ln1
即a的范围是[-1,0].
故选：B.
2．【2024年新高考1卷第8题】已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时
f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100 B．f(20)>1000
C．f(10)<1000 D．f(20)<10000
【答案】B
【详解】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.故选：B.
3．【2024年新高考2卷第8题】设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为
（ ）
1 1 1
A． B． C． D．1
8 4 2
【答案】C
【详解】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为(-b,+∞)，
令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；
若-a≤-b，当x∈(-b,1-b)时，可知x+a>0,ln(x+b)<0，
此时f(x)<0，不合题意；
若-b<-a<1-b，当x∈(-a,1-b)时，可知x+a>0,ln(x+b)<0，
此时f(x)<0，不合题意；
若-a=1-b，当x∈(-b,1-b)时，可知x+a<0,ln(x+b)<0，此时f(x)>0；
当x∈[1-b,+∞)时，可知x+a≥0,ln(x+b)≥0，此时f(x)≥0；
可知若-a=1-b，符合题意；
若-a>1-b，当x∈(1-b,-a)时，可知x+a⟨0,ln(x+b)⟩0，
此时f(x)<0，不合题意；
综上所述：-a=1-b，即b=a+1，
则a2+b2=a2+(a+1) 2=2 ( a+ 1) 2 + 1 ≥ 1 ，当且仅当a=- 1 ,b= 1 时，等号成立，
2 2 2 2 2
1
所以a2+b2的最小值为 ；
2
解法二：由题意可知：f(x)的定义域为(-b,+∞)，
令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；
则当x∈(-b,1-b)时，ln(x+b)<0，故x+a≤0，所以1-b+a≤0；
x∈(1-b,+∞)时，ln(x+b)>0，故x+a≥0，所以1-b+a≥0；
故1-b+a=0， 则a2+b2=a2+(a+1) 2=2 ( a+ 1) 2 + 1 ≥ 1 ，
2 2 2
1 1
当且仅当a=- ,b= 时，等号成立，
2 2
1
所以a2+b2的最小值为 .
2故选：C.
2x-1
4．【2023年新课标全国Ⅱ卷第4题】若f (x)=(x+a)ln 为偶函数，则a=（ ）．
2x+1
1
A．-1 B．0 C． D．1
2
【答案】B
1
【详解】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln =(-1+a)ln3，解得a=0，
3
2x-1 1 1
当a=0时，f (x)=xln ，(2x-1)(2x+1)>0，解得x> 或x<- ，
2x+1 2 2
{ 1 1}
则其定义域为 x|x⟩ 或x<- ，关于原点对称.
2 2
2(-x)-1 2x+1 (2x-1) -1 2x-1
f (-x)=(-x)ln =(-x)ln =(-x)ln =xln =f (x)，
2(-x)+1 2x-1 2x+1 2x+1
故此时f (x)为偶函数.
故选：B.
xex
5．【2023年高考全国乙卷理第4题】已知f(x)= 是偶函数，则a=（ ）
eax-1
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
xex xex (-x)e-x x[ex-e(a-1)x]
因为f (x)= 为偶函数，则f (x)-f (-x)= - = =0，
eax-1 eax-1 e-ax-1 eax-1
又因为x不恒为0，可得ex-e(a-1)x=0，即ex=e(a-1)x，
则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2.
故选：D.
6．【2022年新课标全国Ⅱ卷第8题】已知函数f(x)的定义域为R，且
22
f(x+ y)+f(x- y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f(k)=（ ）
k=1
A．-3 B．-2 C．0 D．1【答案】A
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为f (x+ y)+f (x- y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x=0可得，
f (y)+f (- y)=2f (y)，即f (y)=f (- y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得，
f (x+1)+f (x-1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知f (x+2)=-f (x-1)，
f (x-1)=-f (x-4)，故f (x+2)=f (x-4)，即f (x)=f (x+6)，所以函数f (x)的一个周期为6．因为
f (2)=f (1)-f (0)=1-2=-1，f (3)=f (2)-f (1)=-1-1=-2，f (4)=f (-2)=f (2)=-1，
f (5)=f (-1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，
22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3．故选：A．
k=1
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由f (x+ y)+f (x- y)=f (x)f (y)，联想到余弦函数和差化积公式
cos(x+ y)+cos(x- y)=2cosxcos y，可设f (x)=acosωx，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知
1 π
a=2,acosω=1，解得cosω= ，取ω= ，
2 3
π
所以f (x)=2cos x，则
3
(π π ) (π π ) π π
f (x+ y)+f (x- y)=2cos x+ y +2cos x- y =4cos xcos y=f (x)f (y)，所以
3 3 3 3 3 3
2π
π T= =6
f (x)=2cos x符合条件，因此f(x)的周期 π ，f (0)=2,f (1)=1，且
3
3
f (2)=-1,f (3)=-2,f (4)=-1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3．故选：A．
k=1
7．【2022年高考全国乙卷理第12题】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且22
f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑f (k)=
k=1
（ ）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【答案】D
【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2-x)=g(x+2)，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(-2)×5=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=(-2)×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=-2-f (0)=-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g(2-x)+g(x+4)=12，
所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5-g(3)=-1.
22
所以∑❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=-1-3-10-10=-24.
k=1
故选：D
[ π π]
8．【2022年高考全国甲卷理第5题】函数y=(3x-3-x)cosx在区间 - , 的图象大致为（ ）
2 2
A． B．C． D．
【答案】A
[ π π]
【详解】令f (x)=(3x-3-x)cosx,x∈ - , ，
2 2
则f (-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f (x)，
所以f (x)为奇函数，排除BD；
( π)
又当x∈ 0, 时，3x-3-x>0,cosx>0，所以f (x)>0，排除C.
2
故选：A.
1
9．【2021年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知a=log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是
5 8 2
（ ）
A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c
【答案】C
1
【详解】a=log 2<log ❑√5= =log 2❑√2<log 3=b，即a<c<b.
5 5 2 8 8
故选：C.
10．【2021年新课标全国Ⅱ卷第8题】已知函数f (x)的定义域为R，f (x+2)为偶函数，f (2x+1)为奇函数，
则（ ）
( 1)
A．f - =0 B．f (-1)=0 C．f (2)=0 D．f (4)=0
2
【答案】B
【详解】因为函数f (x+2)为偶函数，则f (2+x)=f (2-x)，可得f (x+3)=f (1-x)，
因为函数f (2x+1)为奇函数，则f (1-2x)=-f (2x+1)，所以，f (1-x)=-f (x+1)，
所以，f (x+3)=-f (x+1)=f (x-1)，即f (x)=f (x+4)，
故函数f (x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f (2x+1)为奇函数，则F(0)=f (1)=0，
故f (-1)=-f (1)=0，其它三个选项未知.
故选：B.
1-x
11．【2021年高考全国乙卷理第4题】设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+x
A．f (x-1)-1 B．f (x-1)+1 C．f (x+1)-1 D．f (x+1)+1
【答案】B
1-x 2
【详解】由题意可得f(x)= =-1+ ，
1+x 1+x
2
对于A，f (x-1)-1= -2不是奇函数；
x
2
对于B，f (x-1)+1= 是奇函数；
x
2
对于C，f (x+1)-1= -2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
x+2
2
对于D，f (x+1)+1= ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
x+2
故选：B
12．【2021年高考全国甲卷理第4题】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足
L=5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）
（1√010≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【详解】由L=5+lgV，当L=4.9时，lgV =-0.1，
1
- 1 1
则V =10-0.1=10 10= ≈ ≈0.8.
1√010 1.259
故选：C.
13．【2021年高考全国甲卷理第12题】设函数f (x)的定义域为R，f (x+1)为奇函数，f (x+2)为偶函数，
(9)
当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f (0)+f (3)=6，则f =（ ）
29 3 7 5
A．- B．- C． D．
4 2 4 2
【答案】D
【详解】[方法一]：
因为f (x+1)是奇函数，所以f (-x+1)=-f (x+1)①；
因为f (x+2)是偶函数，所以f (x+2)=f (-x+2)②．
令x=1，由①得：f (0)=-f (2)=-(4a+b)，由②得：f (3)=f (1)=a+b，
因为f (0)+f (3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f (1)=-f (1)⇒f (1)=0⇒b=2，所以f (x)=-2x2+2．
思路一：从定义入手．
(9) (5 ) ( 5 ) ( 1)
f =f +2 =f - +2 =f -
2 2 2 2
( 1) ( 3 ) (3 ) (5)
f - =f - +1 =-f +1 =-f
2 2 2 2
(5) (1 ) ( 1 ) (3)
-f =-f +2 =-f - +2 =-f
2 2 2 2
(9) (3) 5
所以f =-f = ．
2 2 2
[方法二]：
因为f (x+1)是奇函数，所以f (-x+1)=-f (x+1)①；
因为f (x+2)是偶函数，所以f (x+2)=f (-x+2)②．
令x=1，由①得：f (0)=-f (2)=-(4a+b)，由②得：f (3)=f (1)=a+b，
因为f (0)+f (3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f (1)=-f (1)⇒f (1)=0⇒b=2，所以f (x)=-2x2+2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数f (x)的周期T=4．
(9) (1) (3) 5
所以f =f =-f = ．
2 2 2 2
故选：D．14．【2020年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值
范围是（ ）
A．(2,+∞) B．[2,+∞) C．(5,+∞) D．[5,+∞)
【答案】D
【详解】由x2-4x-5>0得x>5或x<-1
所以f (x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞)
因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增
所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增
所以a≥5
故选：D
15．【2020年新课标全国Ⅱ卷第8题】若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是（ ）
A．[-1,1]⋃[3,+∞) B．[-3,-1]⋃[0,1]
C．[-1,0]∪[1,+∞) D．[-1,0]∪[1,3]
【答案】D
【详解】因为定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，且f(2)=0，
所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(-2)=0，f(0)=0，
所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(-2,0)⋃(2,+∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x-1)≥0可得：
{ x<0 { x>0
或 或x=0
-2≤x-1≤0 0≤x-1≤2
解得-1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3]，
故选：D.
16．【2020年新课标全国Ⅰ卷第6题】基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本
0
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与
R，T近似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计
0 0 0
感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
3.28-1
【详解】因为R =3.28，T=6，R =1+rT，所以r= =0.38，所以I(t)=ert=e0.38t，
0 0 6
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 天，
1
则e0.38(t+t
1
)=2e0.38t，所以e0.38t 1=2，所以0.38t =ln2，
1
ln2 0.69
所以t = ≈ ≈1.8天.
1 0.38 0.38
故选：B.
17．【2020年新课标Ⅲ卷理科第4题】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学
者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：
K
I(t)= ，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为
1+e-0.23(t-53)
（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
K K
【详解】∵I(t)= ，所以I(t*)= =0.95K，则e0.23(t*-53)=19，
1+e-0.23(t-53) 1+e-0.23(t*-53)
3
所以，0.23(t*-53)=ln19≈3，解得t*≈ +53≈66.
0.23
故选：C.
18．【2020年新课标Ⅲ卷理科第12题】已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（
5 8 13
）
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【详解】由题意可知a、b、c∈(0,1)，
a
=
log
5
3
=
lg3
⋅
lg8
<
1
⋅
(lg3+lg8) 2
=
(lg3+lg8) 2
=
(lg24) 2
<1，∴a<b；
b log 5 lg5 lg5 (lg5) 2 2 2lg5 lg25
8
4
由b=log 5，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b< ；
8 54
由c=log 8，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c> .
13 5
综上所述，a<b<c.
故选：A.
19．【2020年新课标Ⅱ卷理科第9题】设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ）
1 1 1
A．是偶函数，且在( ,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(- , )单调递减
2 2 2
1 1
C．是偶函数，且在(-∞,- )单调递增 D．是奇函数，且在(-∞,- )单调递减
2 2
【答案】D
{ 1}
【详解】由f (x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|得f (x)定义域为 x|x≠± ，关于坐标原点对称，
2
又f (-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f (x)，
∴f (x)为定义域上的奇函数，可排除AC；
( 1 1)
当x∈ - , 时，f (x)=ln(2x+1)-ln(1-2x)，
2 2
( 1 1) ( 1 1)
∵y=ln(2x+1)在 - , 上单调递增，y=ln(1-2x)在 - , 上单调递减，
2 2 2 2
( 1 1)
∴f (x)在 - , 上单调递增，排除B；
2 2
( 1) 2x+1 ( 2 )
当x∈ -∞,- 时，f (x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln =ln 1+ ，
2 2x-1 2x-1
2 ( 1)
∵μ=1+ 在 -∞,- 上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，
2x-1 2
( 1)
根据复合函数单调性可知：f (x)在 -∞,- 上单调递减，D正确.
2
故选：D.
20．【2020年新课标Ⅰ卷理科第12题】若2a+log a=4b+2log b，则（ ）
2 4
A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2【答案】B
【详解】设f(x)=2x+log x，则f(x)为增函数，因为2a+log a=4b+2log b=22b+log b
2 2 4 2
1
所以f(a)-f(2b)=2a+log a-(22b+log 2b)=22b+log b-(22b+log 2b)=log =-1<0，
2 2 2 2 22
所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.
f(a)-f(b2 )=2a+log a-(2b2+log b2 )=22b+log b-(2b2+log b2 )=22b-2b2-log b，
2 2 2 2 2
当b=1时，f(a)-f(b2 )=2>0，此时f(a)>f(b2 )，有a>b2
当b=2时，f(a)-f(b2 )=-1<0，此时f(a)<f(b2 )，有a<b2，所以C、D错误.
故选：B.
21．【2019年新课标Ⅲ卷理科第11题】设f (x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则
A．f ( log 1) >f ( 2 - 3 2 ) >f ( 2 - 3 2)
34
B．f ( log 1) >f ( 2 - 3 2) >f ( 2 - 3 2 )
34
C．f ( 2 - 3 2 ) >f ( 2 - 3 2) >f ( log 1)
34
D．f ( 2 - 3 2) >f ( 2 - 3 2 ) >f ( log 1)
34
【答案】C
( 1)
【详解】∵f (x)是R的偶函数，∴f log =f (log 4)．
34 3
2 3 2 3
- - - -
∵log 4>log 3=1,1=20>2 3>2 2,∴log 4>2 3>2 2，
3 3 3
又f (x)在(0，+∞)单调递减，
( - 2) ( - 3)
∴ f (log 4)<f 2 3 <f 2 2 ，
3∴f ( 2 - 3 2 ) >f ( 2 - 3 2) >f ( log 1) ，故选C．
34
22．【2019年新课标Ⅱ卷理科第12题】设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2 f(x)，且当
8
x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m]，都有f(x)≥- ，则m的取值范围是
9
( 9] ( 7]
A． -∞, B． -∞,
4 3
( 5] ( 8]
C． -∞, D． -∞,
2 3
【答案】B
【详解】∵x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1)，f(x+1)=2f(x)，∴f(x)=2f(x-1)，即f(x)右移1个单
位，图像变为原来的2倍．
8
如图所示：当2<x≤3时，f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3)，令4(x-2)(x-3)=- ，整理得：
9
7 8
9x2-45x+56=0，∴(3x-7)(3x-8)=0, ∴x = ,x = （舍），∴x∈(-∞,m]时，
1 3 2 3
8 7 ( 7]
f(x)≥- 成立，即m≤ ，∴m∈ -∞, ，故选B．
9 3 3
23．【2019年新课标Ⅰ卷理科第3题】已知a=log 0.2,b=20.2,c=0.20.3 ，则
2
A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a
【答案】B
【详解】a=log 0.2<log 1=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b．故选B．
2 2
sinx+x
24．【2019年新课标Ⅰ卷理科第5题】函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
cosx+x2A． B．
C． D．
【答案】D
sin(-x)+(-x) -sinx-x
【详解】由f(-x)= = =-f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又
cos(-x)+(-x) 2 cosx+x2
π
1+
π 2 4+2π π
f( )= = >1,f(π)= >0．故选D．
2 π
2
π2 -1+π2
( )
2
25．【2018年新课标Ⅱ卷理科第11题】已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).
若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=
A．-50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【详解】因为f(x)是定义域为(-∞, + ∞)的奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，
所以f(1+x)=-f(x-1)∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1)∴T=4,
因此f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，
因为f(3)=-f(1)，f(4)=-f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
∵f(2)=f(-2)=-f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2，选C.
26．【2018年新课标Ⅲ卷理科第12题】设a=log 0.3，b=log 0.3，则
0.2 2
A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0
C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b
【答案】B
【详解】
.∵a=log0.20.3,b=log20.3
1 1
∴
=log0.30.2, =log0.32
a b
1 1
∴ + =log 0.4
a b 0.31 1 a+b
∴0< + <1,即0< <1
a b ab
又∵a>0,b<0
∴ab<0即ab<a+b<0
故选B.
27．【2017年新课标Ⅰ卷理科第5题】函数f(x)在(-∞,+∞)单调递增，且为奇函数，若f(1)=1，则满
足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是．
A．[-2,2] B．[-1,1] C．[0,4] D．[1,3]
【答案】D
【 详 解 】 f (x) 是 奇 函 数 ， 故 f (-1)=-f (1)=-1 ； 又 f (x) 是 增 函 数 ， -1≤f (x-2)≤1， 即
f(-1)≤f (x-2)≤f(1) 则有-1≤x-2≤1 ，解得1≤x≤3 ，故选D.
28．【2017年新课标Ⅰ卷理科第11题】设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【详解】令2x=3y=5z=k(k>1)，则x=log k，y=log k，z=log k
2 3 5
2x 2lgk lg3 lg9
∴ = ⋅ = >1，则2x>3 y，
3 y lg2 3lgk lg8
2x 2lgk lg5 lg25
= ⋅ = <1，则2x<5z，故选D.
5z lg2 5lgk lg32
4 2 1
29．【2016年新课标Ⅲ卷理科第6题】已知 a=23， b=45， c=253，则
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
4 1 2 1 1
【详解】因为 a=23=163， b=45=165， c=253，
1
因为幂函数 y=x3在R上单调递增，所以a<c，
因为指数函数y=16x在R上单调递增，所以b<a，
即b<a<c.
故选：A.
x+1
30．【2016年新课标Ⅱ卷理科第12题】已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y= 与
xm
y=f(x)图像的交点为(x ,y ),(x ,y ),⋅⋅⋅,(x ,y ),则∑(x + y )=
1 1 2 2 m m i i
i=1
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法.
由f (-x)=2-f (x)得f (x)关于(0， 1)对称，
x+1 1
而y= =1+ 也关于(0， 1)对称，
x x
∴对于每一组对称点x +x '=0 y + y '=2，
i i i i
m m m
m
∴∑(x + y )=∑ x +∑ y =0+2⋅ =m，故选B．
i i i i 2
i=1 i=1 i=1
[方法二]：特值法.
由f (-x)=2-f (x)得f (-x)+f (x)=2
x+1 1
不妨设因为f (x)=x+1，与函数y= =1+ 的交点为(1,2),(-1,0)
x x
∴当m=2时，x + y +x + y =2=m，故选B．
1 1 2 2
[方法三]：构造法.
设s(x)=f (x)-1，则s(-x)=f (-x)-1=1-f (x)=-s(x)，故s(x)为奇函数.
1
设t(x)= y-1= ，则t(-x)=-t(x)，故t(x)为奇函数.
x
∴对于每一组对称点x +x '=0s +t '=0.
i i i i
将s = y -1，t '= y '-1代入，即得x +x '=0 y + y '=2
i i i i i i i i
m m m
m
∴∑(x + y )=∑ x +∑ y =0+2⋅ =m，故选B．
i i i i 2
i=1 i=1 i=1
[方法四]：
由题意得,函数f(x)(x∈R)和f(-x)=2-f(x)的图象都关于(0,1)对称,
所以两函数的交点也关于(0,1)对称,
对于每一组对称点(x ,y )和(x',y' )，都有x +x'=0,y + y'=2.
i i i i i i i i
m m
从而∑(x + y )= ⋅2=m.故选B.
i i 2
i=1{1+log (2-x),x<1,
31．【2015年新课标Ⅱ理科第5题】设函数f(x)= 2 ,f(-2)+f(log 12)=
2x-1,x≥1, 2
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】f (-2)=1+log [2-(-2)]=3,f (log 12)=2log 2 12-1=2log 2 6=6,∴f (-2)+f (log 12)=9.故选C.
2 2 2
32．【2015年新课标Ⅱ理科第10题】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与
DA运动,记∠BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
(π) (π) (π) (π) π
【详解】由题意可得f =2❑√2,f =❑√5+1⇒f <f ,由此可排除C,D；当0<x< 时点P在
2 4 2 4 4
边BC上，PB=tanx，PA=❑√AB2+PB2=❑√4+tan2x，所以 f (x)=tanx+❑√4+tan2x,可知
( π)
x∈ 0, 时图像不是线段,可排除A,故选B.
4
33．【2023年新课标全国Ⅰ卷第10题】噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定p
义声压级L =20×lg ，其中常数p (p >0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
p p 0 0
0
与声源的距离 声压级
声源
/m /dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽
10 50~60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则（ ）．
1 2 3
A．p ≥p B．p >10p
1 2 2 3
C．p =100p D．p ≤100p
3 0 1 2
【答案】ACD
【详解】由题意可知：L ∈[60,90],L ∈[50,60],L =40，
p p p
1 2 3
p p p
对于选项A：可得L -L =20×lg 1-20×lg 2=20×lg 1 ，
p 1 p 2 p p p
0 0 2
p p
因为L ≥L ，则L -L =20×lg 1≥0，即lg 1≥0，
p 1 p 2 p 1 p 2 p p
2 2
p
所以 1≥1且p ,p >0，可得p ≥p ，故A正确；
p 1 2 1 2
2
p p p
对于选项B：可得L -L =20×lg 2-20×lg 3=20×lg 2 ，
p 2 p 3 p p p
0 0 3
p p 1
因为L -L =L -40≥10，则20×lg 2≥10，即lg 2≥ ，
p 2 p 3 p 2 p p 2
3 3
p
所以 2≥❑√10且p ,p >0，可得p ≥❑√10p ，
p 2 3 2 3
3
当且仅当L =50时，等号成立，故B错误；
p
2
p p
对于选项C：因为L =20×lg 3=40，即lg 3=2，
p 3 p p
0 0p
可得 3=100，即p =100p ，故C正确；
p 3 0
0
p
对于选项D：由选项A可知：L -L =20×lg 1 ，
p 1 p 2 p
2
p
且L -L ≤90-50=40，则20×lg 1≤40，
p 1 p 2 p
2
p p
即lg 1≤2，可得 1≤100，且p ,p >0，所以p ≤100p ，故D正确；
p p 1 2 1 2
2 2
故选：ACD.
34．【2022年新课标全国Ⅰ卷第12题】已知函数f(x)及其导函数f' (x)的定义域均为R，记g(x)=f '(x)，
(3 )
若f -2x ，g(2+x)均为偶函数，则（ ）
2
( 1)
A．f(0)=0 B．g - =0 C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)
2
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 )
对于f(x)，因为f -2x 为偶函数，所以f -2x =f +2x 即f -x =f +x ①，所以
2 2 2 2 2
3
f (3-x)=f (x)，所以f(x)关于x= 对称，则f(-1)=f(4)，故C正确；
2
对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，由
①求导，和g(x)=f '(x)，得
' '
[ (3 )] [ (3 )] (3 ) (3 ) (3 ) (3 )
f -x = f +x ⇔-f ' -x =f ' +x ⇔-g -x =g +x ，所以g(3-x)+g(x)=0，
2 2 2 2 2 23 (3)
所以g(x)关于( ,0)对称，因为其定义域为R，所以g =0，结合g(x)关于x=2对称，从而周期
2 2
( 3) ( 1) (3)
T=4× 2- =2，所以g - =g =0，g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；
2 2 2
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
1
由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设g(x)=cos(πx)，则f (x)= sin(πx)+c，显然A，D错
π
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
(3 )
因为f -2x ，g(2+x)均为偶函数，
2
(3 ) (3 ) (3 ) (3 )
所以f -2x =f +2x 即f -x =f +x ，g(2+x)=g(2-x)，
2 2 2 2
所以f (3-x)=f (x)，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；
3
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称，
2
又g(x)=f '(x)，且函数f(x)可导，
(3)
所以g =0,g(3-x)=-g(x)，
2
所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，
( 1) (3)
所以g - =g =0，g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；
2 2
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，
故A错误.
故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
1 1 5
35．【2024年甲卷理科第15题】已知a>1且 - =- ，则a= ．
log a log 4 2
8 a
【答案】64
1 1 3 1 5
【详解】由题 - = - log a=- ，整理得(log a) 2-5log a-6=0，
log a log 4 log a 2 2 2 2 2
8 a 2
⇒log a=-1或log a=6，又a>1，
2 2
所以log a=6=log 26 ，故a=26=64
2 2
故答案为：64.
36．【2024年新高考2卷第14题】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格
被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是
．
【答案】 24 112
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有4×3×2×1=24种选法；
每种选法可标记为(a,b,c,d)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，
(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，
(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，
(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，
所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.
故答案为：24；11237．【2021年新课标全国Ⅰ卷第13题】已知函数f (x)=x3(a⋅2x-2-x)是偶函数，则a= .
【答案】1
【详解】因为f (x)=x3(a⋅2x-2-x)，故f (-x)=-x3(a⋅2-x-2x)，
因为f (x)为偶函数，故f (-x)=f (x)，
时x3(a⋅2x-2-x)=-x3(a⋅2-x-2x)，整理得到(a-1)(2x+2-x)=0，
故a=1，
故答案为：1
38．【2019年新课标Ⅱ卷理科第14题】已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax.若f(ln2)=8，则
a= .
【答案】-3
【详解】因为f(x)是奇函数，且当x>0时-x<0，f(x)=-f(-x)=e-ax．
又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，
所以e-aln2=8，两边取以e为底的对数得-aln2=3ln2，所以-a=3，即a=-3．
{x+1，x≤0， 1
39．【2017年新课标Ⅲ卷理科第15题】设函数f(x)= 则满足f(x)+f(x- )>1的x的取
2x ，x>0， 2
值范围是 .
1
【答案】(- ,+∞)
4
【详解】由题意得： 当x> 1
2
时， 2x+2 x- 1 2>1 恒成立，即x> 1
2
；当0<x≤ 1
2
时，2x+x- 1
2
+1>1 恒
1 1 1 1
成立，即0<x≤ ；当x≤0时，x+1+x- +1>1⇒x>- ，即- <x≤0.综上，x的取值范围是
2 2 4 4
1
(- ,+∞).
4
40．【2015年新课标Ⅰ理科第13题】若函数f(x)=xln(x+❑√a+x2 )为偶函数，则a= ．
【答案】1
【详解】由函数f(x)=xln(x+❑√a+x2 )为偶函数⇒函数g(x)=ln(x+❑√a+x2 )为奇函数，
g(0)=lna=0⇒a=1．lg(10-x2)
1．（2024·青海海南·二模）函数f(x)= 的定义域为（ ）
x
A．(-❑√10,❑√10) B．(-∞,-❑√10)⋃(❑√10,+∞)
C．[-❑√10,❑√10] D．(-❑√10,0)∪(0,❑√10)
【答案】D
lg(10-x2)
【详解】∵函数f(x)= ，
x
{10-x2>0
∴ ，解得x∈(-❑√10,0)∪(0,❑√10)．
x≠0
故选：D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围
是（ ）
A．a<0 B．-1≤a<0 C．-1<a<0 D．a≥-1
【答案】B
【详解】令t=ax+2，则y=lnt，
因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，
且y=lnt在定义域内递增，
{ a<0
所以 ，解得-1≤a<0，
2a+2≥0
故选：B
3．（2024·山东青岛·二模）函数f (x)=ax-a(a>0，a≠1)的零点为（ ）
A．0 B．1 C．(1,0) D．a
【答案】B
【详解】因为f (x)=ax-a(a>0，a≠1)，
令f (x)=ax-a=0，解得x=1，
即函数的零点为1.故选：B.
4．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数f (2x+1)为偶函数，若函数g(x)=f (x)+21-x+2x-1-5的零点个数为
奇数个，则f (1)=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【详解】因为函数f (2x+1)为偶函数，所以f (-2x+1)=f (2x+1)，
所以y=f (x)的图象关于x=1对称，
令h(x)=21-x+2x-1-5，则h(2-x)=2x-1+21-x-5=h(x)，
可得函数h(x)=21-x+2x-1-5的图象关于x=1对称，
所以函数g(x)=f (x)+21-x+2x-1-5的图象关于x=1对称，
则函数g(x)的零点关于x=1对称，但g(x)的零点个数为奇数个，
则g(1)=f (1)+1+1-5=0，所以f (1)=3.
故选：C.
{x2-2ax,x≥1
5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)= a 是R上的增函数，则实数a的取值范围是
x-1,x<1
2
（ ）
4 4
A．(0, ) B．(0, ] C．(0,1) D．(0,1]
5 5
【答案】B
a≤1
{
{x2-2ax,x≥1 a
>0 4
【详解】由f(x)= a 是R上的增函数，得 2 ，解得0<a≤ ，
x-1,x<1 5
2 a
-1≤1-2a
2
4
所以实数a的取值范围是(0, ].
5
故选：B6．（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，则化简2log 2 3+(❑√a) 2+❑√b2的结果是（ ）
A．3+a+b B．3+a+|b|
C．2+a+b D．2+a+|b|
【答案】B
【详解】由2log
2
3=3，(❑√a) 2=a，❑√b2=|b|可知，
2log
2
3+(❑√a) 2+❑√b2=3+a+|b|.
故选：B
7．（2024·山东青岛·二模）已知正数a，b，c满足aea=blnb=eclnc=1，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b
【答案】D
1 1 1
【详解】由aea=blnb=eclnc=1，得ea- =lnb- =lnc- =0，
a b ec
1
令函数f(x)=ex- ,x>0，显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
x
1 1 1
而f( )=e2-2<0,f(1)=e-1>0，f(a)=0，则 <a<1；
2 2
1 1
令函数g(x)=lnx- ，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(2)=ln2- >0，
x 2
3 3 2 2 1 2 3
而g( )=ln - <ln❑√e- = - <0， g(b)=0，则 <b<2；
2 2 3 3 2 3 2
1 1
令h(x)=lnx- ，函数h(x)在(0,+∞)上单调递增，而h(1)=- <0，
ex e
3 3 1 3 1 1 27 1 1 1
h(
2
)=ln
2
-
3
>ln
2
-
3
=
3
ln
8
-
3
>
3
lne-
3
=0
，h(c)=0，则1<c<
3
，
2
e2
所以a，b，c的大小关系为a<c<b.
故选：D
8．（2024·贵州六盘水·三模）定义在R上的奇函数f (x)，满足f (x+3)=f (1-x)，x∈[0,2]时，
f (x)=mex-1，则f (31)=（ ）A．e+1 B．e-1 C．1-e D．-e
【答案】C
【详解】因为定义在R上的奇函数f (x)，满足f (x+3)=f (1-x)，
所以f (x+3)=f (1-x)=-f (x-1)=-f (x-4+3)
=-f [1-(x-4)]=-f (5-x)=f (x-5)，
故f (x)的周期为8，当x∈[0,2]时，f (x)=mex-1，
则f (0)=m-1=0，所以m=1，
所以f (31)=f (-1)=-f (1)=1-e．
故选：C．
9．（2024·江西鹰潭·三模）若f (x)=|x+2|+|3x-a|的最小值是4，则实数a的值为（ ）
A．6或-18 B．-6或18
C．6或18 D．-6或-18
【答案】A
a
{ 4x+2-a,x≥
3
【详解】当a>-6时，f (x)= a，
a+2-2x,-2<x<
3
a-2-4x,x≤-2
(a) a
∴f (x) =f =2+ =4，解得a=6，符合题意；
min 3 3
4x+2-a,x≥-2
{
a
2x-a-2, <x<-2
当a<-6时，f (x)= 3 ，
a
a-2-4x,x≤
3
(a) a
∴f (x) =f =- -2=4，解得a=-18，符合题意；
min 3 3
当a=-6时，f (x)=4|x+2|，∴f (x) =f (-2)=0≠4，舍掉.
min
故选：A.
10．（2024·山东青岛·三模）定义 [x] 表示不超过 x的最大整数.例如: [1.2]=1，[-1,2]=-2，则（ ）
A．[x]+[y]=[x+ y] B．∀n∈Z，[x+n]=[x]+n
C．f (x)=x-[x] 是偶函数 D．f (x)=x-[x] 是增函数
【答案】B
【详解】A选项，取x=1.1,y=1.9，则[x]+[y]=1+1=2，[x+ y]=3，显然[x]+[ y]≠[x+ y]，所以A
不正确；
B选项，设y=[x+n]表示不超过x+n的最大整数，所以y≤x+n，
所以y-n≤x，所以[x]≤ y-n，所以[x]+n≤ y，即[x+n]≤ y，
所以[x+n]= y，所以[x+n]=[x]+n，故B正确；
C选项，f(x)=x-[x]，因为f (0.1)=0.1-0=0.1,f (-0.1)=-0.1-(-1)=0.9，
所以f (0.1)≠f (-0.1)，所以f(x)不是偶函数，故C错误；
D选项f(0.1)=0.1,f(1.1)=0.1，所以f(0.1)=f(1.1)，所以f(x)不是增函数，故D错误.
故选：B.
a+4bx
11．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知b>0，函数f (x)= 是奇函数，则a+b= ．
2x
【答案】0
a+4bx
【详解】因为函数定义域为R且f (x)= 是奇函数，所以f(0)=0，所以a=-1，
2x
4bx-1 1
所以f (x)= =2(2b-1)x-2-x ，由f(-1)=-f(1)知21-2b-2=-22b-1+ ，
2x 2
5
即21-2b+22b-1= ，又因为b>0，所以2b-1=1,b=1，
2
把b=1代入f (x)=2(2b-1)x-2-x=2x-2-x，满足题意，
所以a+b=0.
故答案为：0
{x3+2x-1,x≥0
12．（2024·上海浦东新·三模）已知g(x)= 为偶函数，若f (a)=11，则a= ．
f(x),x<0
【答案】2或-2【详解】因为g(x)为偶函数，所以g(-x)=g(x)，
当x≥0时，g(x)=x3+2x-1，g'(x)=3x2+2xln2>0
所以g(x)在(0,+∞)单调递增，在(-∞,0)单调递减，
若a≥0，f (a)=a3+2a-1=11，解得a=2，
由g(x)为偶函数得，当a<0时，f (-2)=11，
故a的值为2或-2，
故答案为：2或-2．
13．（2024·广东深圳·三模）函数y=|-x2+4x+5|的单调递增区间是 ．
【答案】(-1,2),(5,+∞)
{-x2+4x+5,x∈[-1,5]
【详解】函数y=|-x2+4x+5|=
，
x2-4x-5,x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)
由|-x2+4x+5|=0，解得x=-1或x=5，
函数y=|-x2+4x+5|的图象如图所示，
由图可知，函数y=|-x2+4x+5|的单调递增区间为(-1,2),(5,+∞).
故答案为：(-1,2),(5,+∞).
{2x-1(x≤1)
14．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)= ，f(a)=2则a= .
x2-x(x>1)
【答案】2
{2x-1(x≤1)
【详解】f(x)= ，若f(a)=2，
x2-x(x>1)
{ a≤1 { a>1 { a≤1 { a>1
则 或 ，即 或 ，解得a=2.
2a-1=2 a2-a=2 a=log 3 a=-1或a=2
2故答案为：2.
{x3+2x-1,x≤1,
15．（2024·湖南长沙·三模）已知函数f (x)= 则不等式f (x+2)<2-f (x-4)的解集为
❑√x+3,x>1,
.
【答案】(-∞,4)
【详解】函数f (x)=x3+2x-1在(-∞,1]上单调递增，
又f (x)=❑√x+3在(1,+∞)上单调递增，又f (1)=❑√1+3=4，
所以f (x)在R上单调递增.
设g(x)=f (x+2)+f (x-4)，可得g(x)在R上单调递增.
又g(4)=f (6)+f (0)=3-1=2，所以原不等式可化为g(x)<g(4)，
所以原不等式的解集为(-∞,4).
故答案为：(-∞,4).
16．（2024·河南·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若f (x- y)=f (x)f (y)+f (1+x)f (1+ y)，且
102
f (0)≠f (2)，则∑f(n)= .
n=1
【答案】-1
【详解】令x= y=0，得f (0)=[f (0)] 2 +[f (1)] 2 ，
再令x= y=1，得f (0)=[f (1)] 2 +[f (2)] 2 ，
所以[f (0)] 2 =[f (2)] 2 ，因为f (0)≠f (2)，所以f (0)=-f (2)，
令x=1,y=0，得f (1)=f (1)f (0)+f (2)f (1)=0，
所以f (0)=[f (0)] 2 ，即f (0)=0或1，
若f (0)=0，则代入f (0)=[f (1)] 2 +[f (2)] 2 中，f (2)=0，
由f (0)≠f (2)，所以f (0)≠0，即f (0)=1，且f (2)=-1，
令x=0，得f (- y)=f (0)f (y)+f (1)f (1+ y)，
由f (0)=1，f (1)=0，所以f (- y)=f (y)，所以f (x)为偶函数，所以f (-1)=f (1)=0，f (-2)=f (2)=-1，
令x=1，得f (1- y)=f (1)f (y)+f (2)f (1+ y)，
所以f (1- y)=-f (1+ y)，即f (y)+f (2- y)=0，
因为f (- y)=f (y)=-f (y+2)，所以f (y+4)=f (y)，
所以f (x)为周期函数，周期为4，
所以f (1)=0,f (2)=-1,f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，
f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，
102
所以∑ f (n)=25[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (1)+f (2)=-1
n=1
故答案为：-1.
{ ax,x≤2
17．（2024·广东广州·三模）函数f (x)= ，其中a>0且a≠1，若函数是单调函数，则
ax2-13x+31,x>2
a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【详解】因为a>0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：f (x)在R上单调递增，
a>1
{
13 13
≤2 ，解得 ≤a≤5.
2a 4
a2≤4a+5
故答案为：4（答案不唯一）.
18．（2024·重庆·模拟预测）若2x-4y=2,x,y∈R，则x- y的最小值为 ．
3
【答案】 /1.5
2
【详解】因为2x-4y=2，所以2x=2+4y，
所以x=log (2+4y )，
2
所以x- y=log (2+4y )- y
2
=log (2+4y )-log 2y
2 2
2+4y
=log
2 2y=log
( 2 +2y)
2 2y
( √ 2 )
≥log 2❑ ⋅2y
2 2y
3
3
=log (2❑√2)=log 22= ，
2 2 2
2 1
当且仅当 =2y ，即y= 时取等号，
2y 2
3
所以x- y的最小值为 ，
2
3
故答案为：
2
| 1 |
19．（2024·宁夏银川·二模）若f (x)=ln a+ +b是奇函数，则b= ．
1-x
【答案】ln2
| 1 |
【详解】因为f(x)=ln a+ +b是奇函数，
1-x
∴f(x)定义域关于原点对称，
1
由a+ ≠0,可得(1-x)(a-ax+1)≠0，
1-x
a+1
所以x≠1且x≠ ，
a
a+1 1
所以 =-1，解得a=- ，
a 2
所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，
| 1 |
则f (0)=0，即f (0)=ln - +1 +b=0，解得b=ln2，
2
| 1 1 | |1+x|
此时f(x)=ln - + +ln2=ln ，
2 1-x 1-x|1-x| |1+x|
f (-x)=ln =-ln =-f (x)符合题意，
1+x 1-x
所以b=ln2.
故答案为：ln2.
20．（2024·江苏南通·模拟预测）方程xln3+xln4=xln5的正实数解为 .
【答案】e2
【详解】先证alog
b
c=clog
b
a（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1），
令alog
b
c=m，clog
b
a=n，两边取b为底的对数，
可得log m=log alog b c=log c⋅log a，log n=log clog b a=log a⋅log c，
b b b b b b b b
所以log m=log n，所以m=n，即alog
b
c=clog
b
a，
b b
则xln3+xln4=xln5(x>0)即为3lnx+4lnx=5lnx(x>0)，
(3) lnx (4) lnx
可得 + =1，
5 5
(3) x (4) x
由于y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y= ，y= 在R上单调递减，
5 5
(3) lnx (4) lnx
所以y= ，y= 在(0,+∞)上单调递减，
5 5
(3) lnx (4) lnx
可得y= + 在(0,+∞)上单调递减，
5 5
(3) 2 (4) 2
又lnx=2时，即x=e2时，有 + =1，
5 5
则原方程的解有且只有一个为x=e2.
故答案为：e2
