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专题03 函数概念与基本初等函数
（新定义，高观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示..........................................1
二、函数的基本性质........................................7
三、分段函数.............................................12
四、函数的图象...........................................17
五、二次函数.............................................22
六、指对幂函数...........................................27
七、函数与方程...........................................33
八、新定义、新文化题（选填题）...........................40
九、新定义题（解答题）...................................47
一、函数及其表示
1．（2024·安徽·二模）已知函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据赋值法可得
，
，进而可得
，即可判断A，根
1
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据函数单调性的定义可判断
在
上为减函数，即可求解B，代值逐步求
解即可判断CD.
【详解】令
，
，
，所以
；
令
，
，
则
．
令
，得
，故
为偶函数．A 错误，
任取
，
，
，则
，
则
，故
在
上为减函数．
由已知
，可得
，故
，解得
，且
．B
错误，
若
，则
，C 正确，
若
，则
，
，
，所以
，故D 错误，
故选：C．
2．（2024·四川泸州·二模）已知
，
都是定义在R 上的函数，对任意x，y 满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
的图象关于直线
对称
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取
可判断C，对于B，通过观察选项可以推断
很可能是周期函数，结合
的特殊性及一些已经证明的结论，想到令
和
时可构建出两个
式子，两式相加即可得出
，进一步得出
是周期函数，从而
可求
的值.
2
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【详解】对于A，令
，可得
，得
，
令
，
，代入已知等式得
，
可得
，结合
得
，
所以
，故A 错误；
对于D，因为
，令
，代入已知等式得
，
将
，
代入上式，得
，所以函数
为奇函数.
令
，
，代入已知等式，得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
，故D 正确；
对于B，分别令
和
，代入已知等式，得以下两个等式：
，
，
两式相加易得
，所以有
，
即
，
有
，
即
，所以
为周期函数，且周期为，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
，
所以
，故B 错误；
对于C，取
，
，满足
及
，
所以
，又
，
所以函数
的图像不关于直线
对称，故C 错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有
的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可
3
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利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些
关系，特别是有
双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的
关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
3．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
，若对任意
，都有
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题设条件画出函数
的简图，由图象分析得出
的取值范围.
【详解】当
时，
，
则
，
即当
时，
，
同理当
时，
；
当
时，
.
以此类推，当
时，都有
.
函数
和函数
在
上的图象如下图所示：
由图可知，
，
，解得
，
4
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即对任意
，都有
，即
的取值范围是
.
故选：D.
4．（23-24 高三上·四川成都·期末）已知
为函数
图象上一动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】先观察出函数关于
对称，在根据所求的式子可以判断
时比
的值要
大，所以只需研究
的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数
问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求
出最值.
【详解】由函数解析式可知函数
关于
对称，设
，不妨设
则
，当
，
，
即当
时的值要大于
时的值，所以只需研究
的情况即可，
当
时，
，设
，
则
，
根据复合函数单调性可知：
时，
递增，当
，
递减.
，所以的几何意义是函数
上一点与点
的斜率，
设过点
的切线与函数
的交点坐标（即切点）为
，
，
所以切线的斜率
，切线方程为
，把点
代入切线方程整理得：
，所以
或
，设
，
5
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，
所以
在
单调递增，所以
，
即
不合题意，所以
，此时切线的斜率
，
如图：
根据数形结合思想可知的范围为
，所以当
时，
最大，
此时
.
故选：A
【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或
值域常用方法有：
（1）换元法；
（2）函数单调性法；
（3）复合函数法；
（4）数形结合；
（5）导数法；
（6）基本不等式.
5．（23-24 高三上·重庆·期末）已知函数
满足
，
且
当
时，
，若存在
，使得
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件，探讨函数
的单调性，再结合赋值法求出
，并由单调性脱去
法则，转化为二次方程在
上有解即得.
6
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【详解】任取
，且
，则
，而当
时，
，于是
，
又
，因此
，
则函数
是增函数，而
，
于是
，令
，得
，令
，得
，
令
，得
，令
，得
，
令
，得
，即有
，因此
，
原问题即
在
有解，令
，
则
在
时有解，从而
，
，
所以a 的取值范围是
.
故选：D
【点睛】
关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋
值，再不断变换求解即可.
二、函数的基本性质
1．（2024·浙江丽水·二模）已知正实数
满足
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
，
，
，令
，
，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即
可判断.
【详解】因为
，
，
为正实数，且满足
，
，
，
7
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则
，
，
，
所以
，
，
，
则
，
，
，
令
，
，
由对勾函数的性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
满足
的
即为
与
的交点的横坐标，
满足
的
即为
与
的交点的横坐标，
满足
的
即为
与
的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出
、
、
、
的图象如下所
示：
由图可知
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数
与相应的指数型函数的交点
的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键.
2．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
=（ ）
A．4036
B．4040
C．4044
D．4048
【答案】D
8
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【分析】根据题中
为奇函数，
为偶函数，从而可得出
为周期为4
的函数，从而可求解.
【详解】由题意得
为奇函数，所以
，即
，所以函数
关于点
中心对称，
由
为偶函数，所以可得
为偶函数，则
，所以函数
关于直线
对称，
所以
，从而得
，所以函数
为周期为4 的
函数，
因为
，所以
，则
，
因为
关于直线
对称，所以
，
又因为
关于点
对称，所以
，
又因为
，又因为
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
3．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数
的定义域为
，
为奇函数，设
是
的导函数，若
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
为奇函数，结合导数运算可得
，由
为奇函
数，可得
，整理可得
，进而分析可得
，即可得结果.
【详解】因为
为奇函数，则
，
即
，两边求导得
，
则
，可知
关于直线
对称，
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又因为
为奇函数，则
，
即
，可知
关于点
对称，
令
，可得
，即
，
由
可得
，
由
，可得
，即
，
可得
，即
，
令
，可得
；
令
，可得
；
且
，可知8 为
的周期，
可知
，
所以
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对
称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的
性质，根据函数的性质解决问题．
4．（2024·湖南·二模）已知
，若
，则实数
的取值范围是 ，
【答案】
【分析】构造函数
，先分析其值域，从而得到
的最大值，进而利用解
绝对值不等式得到
或
，结合集合的并集运算即可得解.
【详解】设
，
因为
在
上单调递增，可知
在
上单调递增，
即
在
上单调递增，则
，
且
，
由绝对值的性质可知
的最大值为
或
，
因为
等价于
，又
，
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即关于
的不等式
或
在
上恒成立，
由
，得
；
由
，得
；
所以
，
则
，整理得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将
等价于关于
的不等式
或
在
上恒成立，从而得解.
5．（2024·河北·模拟预测）已知
表示不超过
的最大整数，
，设
，
且
，则
的最小值为 ；当
时，满足条件的所有
值的
和
.
【答案】
【分析】由
的最小公倍数为
，得只需在
这个范围内讨论即可，再结合等
差数列得前
项和公式即可得解.
【详解】由题意，当
时，
，
则
，解得
（舍去），
当
时，
，
则
，解得
（舍去），
当
时，
，
则
，解得
，
所以
的最小值为
，
当
时，
，
则
，解得
（舍去），
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当
时，
，
则
，解得
，
当
时，
，
则
，解得
，
当
时，
，故
舍去，
因为
的最小公倍数为
，
以
为首项
为公差的等差数列，设为
，则
，
以为首项
为公差的等差数列，设为
，则
，
所以数列
和
是满足条件的所有
值，
令
，解得
，
令
，解得
，
则当
时，满足条件的所有
值的和
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：由
的最小公倍数为
，可得只需在
这个范围内讨
论，求出这个范围内的
的值，是解决本题的关键.
三、分段函数
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
，若函数
恰有6 个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【分析】先利用导数研究当
时，函数
的图象和性质，结合对数函数的图象及绝
对值的意义作出函数
的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于
的不等式，解不等式即可得到实数
的取值范围．
【详解】当
时，
，
，
令
，得
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，
，当
趋近于
时，
趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数
的图象如图所示．
令
，则
，数形结合可知要使
有6 个零点，
则
有两个不相等的实数根
、
，不妨令
，有如下两种情况：
若
，但
，故排除此种情况，
若
，对于二次函数
开口向上，又
，则
，得
，
综上，实数
的取值范围是
．
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：
（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进
行解答；
（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画
出相关函数的大致图象；
（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若关于
的方程
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有8 个不相等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数研究函数
的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数
的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于
的不等式
组，解不等式组即可得到实数
的取值范围.
【详解】令
，则
，令
，解得
，
故当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，且当
时，
，当
时，
，
结合绝对值函数的图象可画出函数
的大致图象，如图所示：
令
，则方程
，
即方程
，
，
①当
时，
式无实数根，直线
和
的图象无交点，原方程无实数根；
②当
时，
式有两个相等的实数根，直线
和
的图象最多有4 个交点，
因此要使
有8 个不相等的实数根，
则
式有两个不相等的实数根，不妨设为
，且
，则
.
则
，解得
.
故选：C.
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【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助导数与绝对值函数的性质作出函数
的大致图
象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于
的不等式组，
3．（2024·天津·一模）若函数
恰有两个不同的零点
，且
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】借助换元法，设
，可得
，令
可得
，再令
，借助对勾函数性质即可
得
的单调性及其值域，若
恰有两个不同的实数根
、
，可得
，即可得
的取值范围.
【详解】设
，则
，则
，
令
，显然
,则有
，令
，
由对勾函数性质可知，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
若
恰有两个不同的实数根
、
，且
，则
，
15
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令
，解得
或
，故
，
即有
，故
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在与使用换元法及参变分离的方式，得到
，再设出函数
，结合对勾函数的性质得到
的性质，从而借助
的性质研究
的解的个数，即可得到
的取值范围.
4．（23-24 高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数
和
的定义域分别为
和
，若
对任意的
都恰有
个不同的实数
，使得
（其中
），则称
为
的“
重覆盖函数”.（1）若函数
是
的“
重覆盖函数”，则
；
（2）若
为
的“2 重覆盖函数”，记实数
的最大值为
，则
.
【答案】 4
/
【分析】（1）求出
、
的值域，作出两函数的
内的大致图象，结合图象可
得答案；
（2）即对任意
，都有2 个不同的实数
，使得
，即
，即对任意
有2 个实根，分
、
、
讨论可得答案.
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【详解】（1）因为
，所以
，
又因为
，又因为
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
又因
，可得
为奇函数且单调递增，
作出两函数的
内的大致图象，如图所示：
，而函数
在
上单调递增，且
，
所以
，由此可知
在
内有4 个解，
所以
是
在
的“4 重覆盖函数”，故
；
（2）可得
的定义域为
，
即对任意
，都有2 个不同的实数
，
使得
（其中
），
，
，
所以
，所以
，
即
，即对任意
有2 个实根，
当
时，
已有一个根，故只需
时，
仅有1 个根，
当
时，
，符合题意，
当
时，则需满足
，解得
，
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当
时，抛物线开口向下，
有最大值，不能满足对任意
，
仅有1 个根，故不成立.
综上，实数
的取值范围是
，
的最大值为
，
则
.
故答案为：4；
.
【点睛】方法点睛：在处理两函数图象交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为
与
两个函数的图象交点情况.
四、函数的图象
1．（2024·福建莆田·二模）对于函数
和
，及区间
，若存在实数
，
使得
对任意
恒成立，则称
在区间
上“优于”
．有以下四个结论：
①
在区间
上“优于”
；
②
在区间
上“优于”
；
③
在区间
上“优于”
；
④若
在区间
上“优于”
，则
．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】
对于①②：根据题意结合函数图象分析判断；对于③：构建函数
，
，利用导数判断函数单调性，可证
；对于④：根据
结合公切线可得
，并检验.
【详解】对于①：若
在区间
上恒成立，
结合余弦函数的图象可知：
，
18
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若
，此时
与
必有两个交点，
由图象可知：
不恒成立，
即不存在实数
，使得
对任意
恒成立，故①错误；
对于②：对于
，
，
结合正切函数图象可知，不存在在实数
，使得
对任意
恒成
立，故②错误；
对于③：构建
，
则
，
令
，解得
；
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，即
；
构建
，
则
，
令
，解得
；
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，即
；
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综上所述：
，
即存在实数
，使得
对任意
恒成立，
所以
在区间
上“优于”
，故③正确；
对于④：因为
，且
，
若
在区间
上“优于”
，
可知符合条件的直线
应为
在
处的公切线，
则
，可得
，则切线方程为
，
构建
在即
内恒成立，
可得
；
由③可知：
，可得
;
综上所述：
.
所以
符合题意，故D 正确；
故选：B
【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明
；
对于④：根据
，结合题意分析可得
，即可得
，注意检验.
2．（2024·陕西渭南·一模）已知
，若存在实数
（
），当
（
）时，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数性质，得
，
，将问题转化为求
的取值范围，构
造函数
求函数值域.
【详解】作出
的图象如图，
20
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由题，
，
，
所以
，
令
（
），则当
时，
；当
时，
.
，当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
，且
，
所以
的取值范围为
.
故选：D.
【点睛】利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数
（
）的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，函数
在区间
内的所有零点的和为
16，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数
的零点转化为函数
的图象与函数
的图象的
交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数
的零点即为函数
的图象与函数
的图象的交
点的横坐标，
因为
，
先利用指数函数与对数函数的性质作出函数
在区间
上的图象，
21
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又当
时，
，
即每过两个单位，将
的图象向右平移
个单位，同时将对应的
坐标变为原来的两
倍，
再作出函数
的图象，如图所示：
由图象可得：
，
，
，
，
，
则
，
因为
在区间
内的所有零点的和为16，
所以
，得
，结合图象，可得实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出
的大致图象，从而利用数形结合即可得
解.
4．（23-24 高一上·吉林白山·阶段练习）已知函数
，若存在实
数
，使得关于
的方程
有三个不同的根，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先对
分类讨论，再画出图像，根据三个不同跟转化为图像有三个交点，得到
的取值范围即可.
【详解】①当
时，此时当
时
单调递减，
当
时
单调递增，
所以关于关于
的方程
最多只有2 个解，不符合题意；
②当
时，此时当
时
，
22
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当
时
，
当
时
，
如图所示，
要使得关于
的方程
有三个不同的根，
则需满足
，解得
或
（舍），
.所以
的取值范围是
，
故答案为：
【点睛】关键点睛：绝对值函数的关键在于分类讨论，结合图像解题能快速得到所需答案.
五、二次函数
1．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数
，
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知可得出
，分析函数
的单调性，可得出
，即可得
出
，结合二次函数的基本性质可求得
的最大值.
【详解】因为函数
、
均为
上的增函数，所以，函数
为
上的增
函数，
，因为
，其中
，
所以，
，故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最大值为
.
23
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故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出
，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.
2．（2023·河南新乡·三模）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
成立，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出
的取值范围.
【详解】因为当
时，
；
，
所以
，即若
在
上的点的横坐标增加2，则对应
值变为原来的
；若减少2，则对应
值变为原来的2 倍.
当
时，
，
，
故当
时，对任意
，
不成立，
当
时，
，
同理当
时，
，
以此类推，当
时，必有
.
函数
和函数
的图象如图所示：
因为当
时，
，
24
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令
，解得
，
（舍去），
因为当
时，
成立，所以
.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质
推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
3．（多选）（2024·浙江·模拟预测）二次函数
（a，b，c 是常数，且
）
的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当
时，对应的函数值
.下列说法不正确的有（ ）
A．
B．
C．关于x 的方程
一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在
和0
之间
D．
和
在该二次函数的图象上，则当实数
时，
【答案】BCD
【分析】
先根据二次函数图象上的点求得
，再由当
时，对应的函数值
求得
，从而求得
，判断A，求出
后求解范围判断B，根据抛物线的对称性及
函数过点
得函数零点范围即可判断C，由
列不等式求解
判断D.
【详解】将
代入
得
，解得
，
所以二次函数
，当
时，对应的函数值
，
所以
，解得
，所以
，
所以
，所以
，故A 错误；
25
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当
时，
，当
时，
，
所以
，因为
，所以
，故B 正确；
因为二次函数
过
，所以其对称轴为
，
又当
时，对应的函数值
，
根据二次函数的对称性知，当
时，对应的函数值
，
而当
时，
，所以二次函数与x 轴负半轴的交点横坐标在
和0 之间，
所以关于x 的方程
一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在
和0 之
间，故C 正确；
因为
和
在该二次函数的图象上，
所以
，
，
若
，则
，
因为
，所以
，解得
，故D 正确.
故选：BCD
4．（2024·湖北·一模）记
，
分别表示函数
在
上的最大值
和最小值．则
．
【答案】2
【分析】根据题意，由
，设
为变量，可通过分类讨论求出
，再求出当
时的最小值；或由
在
时的
最大值只可能在
或
或
处取得，结合图象可得原式的最小值．
【详解】由
，设
为变量，
，
令
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
最大值只可能在
或
或
处取得，
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所以
的最大值为
，
所以
，
当
时，原式的最小值为2．
或者由
在
时的最大值只可能在
或
或
处取得，令
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，结合图象可得原式的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：读懂题意，分析
，最大值只可能在
或
或
处取得，所以
的最大值为
.
5．（2024·广东惠州·一模）已知
为函数
图象上一动点，则
的最
大值为 ．
【答案】
【分析】由题意把
表示成
与
的夹角的余弦值的2 倍，再由
几何关系求得最值可得结果.
【详解】设
，原点
，则
，
；
所以
，即
，
27
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如图所示，所以当直线
与函数
在
轴右侧相切时，
取到最大
值，即
取得最大值；
联立直线
与函数
可得
，
所以
，解得
（
舍去）；
此时
，所以
，
即
的最大值为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式
的特征，将其转化为向量数量积
的坐标表示形式，利用几何关系求出最值即可.
六、指对幂函数
1．（2024·重庆·模拟预测）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到
，从
而得解.
【详解】由对数函数的性质知
，
，
，
所以
，
，
；
当
时，
，
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所以
，
取
，则
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：
.
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知
是函数
的一个零点，
是函数
的一个零点，则
的值为（ ）
A．1012
B．2024
C．4048
D．8096
【答案】B
【分析】由已知函数表达式变形后分别设出
，
两点坐标，再利用反函数的性质结合两
直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【详解】由
得
，由
得
，
设点
的坐标为
，点
的坐标为
，
又
与
的图象关于直线
对称，且
的图象也关于直线
对称，
则点
，
关于直线
对称，即
，得
，
故选：B．
3．（2024·甘肃兰州·一模）已知
是定义在
上的奇函数，且对于任意
均有
，当
时，
，若
（是自然对数
的底），则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在
上的函数图象，结合图象可
知在
内要满足
，只需
，即可求出
的范围，再结合周
期性即可得解.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
且图象关于原点对称，
又
，所以
，
所以
，
，
，
所以函数的周期为
且函数图象关于
和
对称，
又当
时，
，
所以
在区间
上的图象如下所示：
由图可知，在
内要满足
，
则
，即
，
再根据函数的周期性可知
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为
且函数图象关于
和
对称，再结合函数在
上的图象.
4．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，则
．
【答案】
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【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为
，
，
然后通过两等式的联系（均可化为
形式），构造函数
研究
出m 与n 的关系，从而建立x 与y 的关系，进而求出
.
【详解】令
，
，则
，
，
由题可得
，
，
所以
，
.
因为函数
在
上单调递减，所以
.
由
，得
，
得
，故
.
故答案为：
.
5．（2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是
在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统
加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个
级火
箭，在第
级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为
，
其中
．
注：
表示人造天体质量，
表示第
（
）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①
；
②当
时，
；
③当
时，若
，则
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】
31
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只需证明每个
都大于1 即可判断①错误；直接考虑
时的表达式即可判断②正确；
时，将条件
转化为关于
的等式，再得到一个不等关系，即可证明
，推出③正确.
【详解】首先，对
，有
，故
，
，这推出
.
由于
，故每个
都大于1，从而
，①错误；
由于当
时，有
，故②正确；
由于当
时，
，若
，则
.
从而
，故
.
这意味着
，即
，从而我们有
.等号成立当且仅当
，
故
，即
，即
，
分解因式可得
，再由
即知
，故
，③正确.
故答案为：②③.
【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式
，结合
基本不等式即可顺利得解.
6．（23-24 高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和
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曲线
上，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先得到圆心
在
上，半径为
，故
的最小值等于
的最小值减去半
径
，由反函数可知，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，求导得
到
在点
处的切线与
平行，求出
到
的距离最小值，得到答
案.
【详解】由题意得
，即圆心
在
上，半径为
，
故
的最小值等于
的最小值减去半径
，
设
，由于
与
关于
对称，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，
由
，可得
，令
，解得
，
故
在点
处的切线与
平行，此时
到
的距离最小，
最小值为
，
故
的最小值为
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数
最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
33
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7．（2024·全国·模拟预测）函数
在区间
上的最大值与最小
值之和为
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】将解析式变形为
，令
，利用奇偶性即可
得
，然后妙用“1”求解即可.
【详解】
，
令
，
，
因为定义域关于原点对称，且
，
所以
为奇函数，所以
在区间
上的最大值与最小值之和为0，
则函数
在区间
上的最大值与最小值之和为2，即
．
又
，
，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
，等号成立．
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到
，
从而利用“1”的妙用得解.
七、函数与方程
1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数
有3 个零点，则实数
34
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的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将
的图象向左平移2 个单位长度，可得函数
图像，即把问题转化
为直线
与函数
图象交点的个数问题；再证明
为奇函数，然后求导
后得到
在区间
上为减函数；再求出曲线
在点
处的切线方程为
，求出
，
，
时
的范围；最后作出
的图象和
的图像，数形结合得到结果.
【详解】将
的图象向左平移2 个单位长度，可得函数
的图象，
所以原题转化为“函数
有3 个零点”，
即研究直线
与函数
图象交点的个数问题．
因为
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数．
因为
，
所以
在区间
上为减函数，
且曲线
在点
处的切线方程为
．
当
时，
；
当
时，
；
当
的，
，
作出
的图象．如图：
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由图知：当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点．
故实数
的取值范围是
．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将
的图象向左平移2 个单位长度，可得函数
图像，即把问题转化为直线
与函数
图象交点的个数问题；再根据
函数的奇偶性和单调性作出函数图像.
2．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c 均为正数，且
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可将所给式子变形成
、
、
，则
可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.
【详解】由
，可得
，
由
，可得
，
由
可得
，
令
，
，故
在
上单调递增，
令
，
，故
在
上单调递增，
令
，
，故
在
上单调递减，
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令
，则
，
则
时，
，
，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
，
，
，
，
，
为函数
与函数
的交点横坐标，
为函数
与函数
的交点横坐标，
为函数
与函数
的交点横坐标，结合函数图象可得
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用所给式子，将其变形成
、
、
，从而可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单
调性画出图象即可得.
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数
的零点为
，
存在零点
，使
，则
不能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出
的范围，再求出各选项中函数的零点
即可判断得解.
【详解】函数
定义域为
，函数
在
上单调递增，
而
，因此
，
37
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对于A，由
，得
，解得
或
或
，
显然
或
，A 能；
对于B，由
，得
，解得
，
，即
，
，B
能；
对于C，由
，得
，则
，
解得
，取
，
，C 能；
对于D，函数
在
上单调递增，
，而
，D 不能.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令
，如果能求
出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间
上
是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)
才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两
个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．（2024·湖北·二模）已知函数
有零点，当
取最小值
时，
的值为 ．
【答案】
【分析】首先将方程转化为
，再通过构造几何意义，转化为求函数
的最大值，再结合几何意义，即可求解.
【详解】设
的零点为，则
，即
，
设
为直线
上任意一点，
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坐标原点
到直线的距离为
，因为
到原点的距离
，
下求的最小值，令
，则
在
为减函数，在
为增函数，即
，
此时
，所以的斜率为
，
此时
的最小值为
，此时
，
（此时
）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点
看成直线
上的任一点，从而根据几何意义解决问题.
5．（23-24 高一上·山东济南·期末）已知函数
，
，若
函数
有三个零点
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意首先得
，
，进一步有
，由
此即可顺利得解.
【详解】由题意设
，则函数
的零点即为方程
的
根，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数
的图象以及直线
如图所示：
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若函数
有三个零点
，（不妨设为
），
则方程
的根有三个根
，且
，
所以
，
且
，
因为
在
单调递增，所以
，即
，
所以
，
令
，
，解得
，令
，
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到
，由此即可顺利得解.
6．（23-24 高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数
和
的定义域分别为
和
，若
对任意的
都恰有
个不同的实数
，使得
（其中
），则称
为
的“
重覆盖函数”.（1）若函数
是
的“
重覆盖函数”，则
；
（2）若
为
的“2 重覆盖函数”，记实数
的最大值为
，则
.
【答案】 4
/
【分析】（1）求出
、
的值域，作出两函数的
内的大致图象，结合图象可
得答案；
（2）即对任意
，都有2 个不同的实数
，使得
，即
40
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，即对任意
有2 个实根，分
、
、
讨论可得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，
又因为
，又因为
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
又因
，可得
为奇函数且单调递增，
作出两函数的
内的大致图象，如图所示：
，而函数
在
上单调递增，且
，
所以
，由此可知
在
内有4 个解，
所以
是
在
的“4 重覆盖函数”，故
；
（2）可得
的定义域为
，
即对任意
，都有2 个不同的实数
，
使得
（其中
），
，
，
所以
，所以
，
即
，即对任意
有2 个实根，
当
时，
已有一个根，故只需
时，
仅有1 个根，
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当
时，
，符合题意，
当
时，则需满足
，解得
，
当
时，抛物线开口向下，
有最大值，不能满足对任意
，
仅有1 个根，故不成立.
综上，实数
的取值范围是
，
的最大值为
，
则
.
故答案为：4；
.
【点睛】方法点睛：在处理两函数图象交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为
与
两个函数的图象交点情况.
八、新定义、新文化题（选填题）
1．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学
科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早
为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与
“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，
常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函
数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.
【详解】由函数图象可知，
的图象不关
轴对称,
而
，
，
即这两个函数均关于
轴对称，则排除选项
、
；
42
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由指数函数的性质可知
为单调递增函数，
为单调递减函数，
由
的图象可知存在一个极小的值
，使得
在区间
上单调递增，
由复合函数的单调性可知，
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由图象可知
符合题意，
故选：
.
2．（2024·全国·模拟预测）如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000 年前被伟大
的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除
以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即
．那如何计算它的周长呢？这个问
题也在约400 年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半
径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即
．若一个椭
圆的面积为
，那么其周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件先用
表示出
并计算出
的取值范围，将
看成关于
的函数，然后结
合对勾函数的单调性求解出
的取值范围.
【详解】椭圆长半轴长为
，短半轴长为
，因为
，所以
，
，
又因为
，所以
，
则
，
令
，
由对勾函数性质可知：
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
在
上单调递减，
所以
，
43
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所以
的取值范围是
，
故选：C.
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中
项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三
类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，
，结合基本不等式可得
，化简
可得
，转化为求关于
的二次函数在区间
上的最小值即
可.
【详解】不妨设
，
，则
，
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即
，当且仅当
时取等号，
所以
，（
）
所以当
时，
取得最小值
，
故选：D．
4．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合
道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响
较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而
改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量
、放电时间和放电电流
之间关系的经验公
式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变
的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时间为
，则该蓄电池的Peukert 常数
约为（参考数据：
，
）（ ）
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.15
【答案】D
44
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【分析】根据题意可得
，再结合对数式与指数式的互化及对数的运
算性质即可求解．
【详解】由题意知
，
所以
，两边取以10 为底的对数，得
，
所以
，
故选：D.
5．（22-23 高二下·辽宁本溪·阶段练习）2023 年1 月31 日，据“合肥发布”公众号报道，
我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025 年量子计算机可以操控的超导量子比
特达到1024 个.已知1 个超导量子比特共有2 种叠加态，2 个超导量子比特共有4 种叠加
态，3 个超导量子比特共有8 种叠加态，
，每增加1 个超导量子比特，其叠加态的种数
就增加一倍.若
，则称
为
位数，已知1024 个超导量子比
特的叠加态的种数是一个
位的数，则
（ ）（参考数据：
）
A．308
B．309
C．1023
D．1024
【答案】B
【分析】由已知可推得当有1024 个超导量子比特时共有
种叠加态.两边同时取以
10 为底的对数，根据对数的运算性质可得
，根据已知数据，即可得出答案.
【详解】根据题意，得
个超导量子比特共有
种叠加态，
所以当有1024 个超导量子比特时共有
种叠加态.
两边取以10 为底的对数得
，
所以
.
由于
，故
是一个309 位的数，即
.
故选：B.
6．（多选）（2024·重庆·一模）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名
的函数
被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则以下
关于狄利克雷函数
的结论中，正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
的值域是
C．对于任意的
，都有
D．在
图象上不存在不同的三个点
，使得
为等边三角形
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E．在
图象存在不同的三个点
，使得
为等边三角形
【答案】ACE
【分析】选项A 中注意“若
，则
；
，则
”即可；选项B 中注
意
；选项C 中，内层函数
或，函数值都是有理数；选项DE 取特殊情
况判断即可.
【详解】由于
，对于选项A，设任意
，则
，
；设任意
，则
，
总之，对于任意实数
，
恒成立，A 正确；
对于选项B，
的值域为
，
，B 错误；
对于选项C，当
，则
，
；当
，则，
，C 正确；
对于选项DE，取
，
，
得到
为等边三角形，D 错误E 正
确.
故选：ACE.
7．（多选）（23-24 高一上·浙江·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设
，用
表示不超过x
的最大整数，则
称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数
有3 个零点
C．
的最小正周期为
D．
的值域为
【答案】ACD
【分析】由“高斯函数”的定义结合
的值，即可判断A；举反例可判断B；在区间
上，化简
，结合余弦函数的周期性，可判断C，D；
【详解】对于A，
，A 正确；
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对于B，当
时，
，则
，
此时
为
的零点，有无数个，B 错误；
对于C，在区间
上，
，
结合
的最小正周期为
，由此可得
的最小正周期为
，C 正确，
对于D，结合C 的分析可知
的值域为
，D 正确，
故选：ACD
8．（多选）（2023 高一·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个
非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威
尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是
对于满足一定条件的图象不间断的函数
，存在一个点
，使得
，那么我们
称该函数为“不动点”函数，x 为函数的不动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
为“不动点”函数
B．
的不动点为
和
C．
为“不动点”函数
D．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数
满足
，则
【答案】CD
【分析】根据不动点的定义，可将问题转化为解方程问题，或函数的零点存在性的判断问
题，结合函数值的符号判断即可．
【详解】由题意可知，“不动点”函数的定义域是一个区间，且不动点为
的
根，即函数
的零点，
对于A，易知函数
的定义域为
，显然图象不连续，不符合定
义，故A 错误；
对于B，由定义可知，不动点是一个数，不是“点”的坐标，故B 错误；
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对于C，易知
，即图象连续，当
时，令
，解得
（舍去），
时，再令
，或
（舍去），故
为函数
的不动点，
故C 正确；
对于D，由已知可设
（c 为常数），即
，
代入原式得
，即
或
，
当
时，则
或
，有两个零点，不符合题意；
当
时，则
，有唯一零点，故
，D 正确．
故选：CD．
9．（23-24 高一上·河南驻马店·期末）给定函数
，若在其定义域内存在
使得
，则称
为“
函数”，
为该函数的一个“
点”．设函数
，若
是
的一个“
点”，则实数
的值为 ．若
为“
函数”，则实数
的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】对于第一空，由题可知
，代入相应解析式可得答案；
对于第二空，
为“
函数”，则函数
，与函数
图象有交点，据此可得答案.
【详解】对于第一空，因
是
的一个“
点”，则
；
对于第二空，由题可知
为“
函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的
两点，即函数
的图象，
与函数
关于原点对称的函数
的图象有交点，即方程
有大于0 的解.
，当且仅当
，
即
时取等号，故答案为：
.
48
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故答案为：3；
.
九、新定义题（解答题）
1．（2024 高三·上海·专题练习）设函数
在
上有定义，实数
，
满足
．
若
在区间
上不存在最小值，则称
在区间
上具有性质
．
(1)若函数
，且
在区间
上具有性质
时，求常数的取值范围；
(2)已知
，且当
时，
，判别
在区间
上是
否具有性质
，并说明理由；
(3)若对于
的任意实数
和
；函数
在区间
上具有性质
，且对于任意
，当
时，有：
，证明：当
时，
．
【答案】(1)
(2)
在区间
上具有性质
，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分别讨论
图象的对称轴
与1 和2 的关系，即可得出
是否存在最
小值，再求出的取值范围；
（2）由题目条件可得
时的
，求出此时无最小值，再求
值比较大小；
（3）首先证明对于任意
，
；再说明
与
不在同一区间上即可.
【详解】（1）函数
对称轴为
，
当
时，即
时，
在
上存在最小值
；
当
，即
时，
在
上存在最小值
；
当
，即
时，
在
上单调递增，所以不存在最小值，
所以的取值范围为
.
（2）设
，则
，
所以
，
，
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所以
在
上单减，无最小值，且
从左边趋于时，
趋于0.
由
可知，
，
又
，所以
，所以
在区间
上无最小值，具有性质
.
（3）对于任意
．当
时，
由
，
两边平方可知
，所以
介于
和
之间．
若
，则
，所以
在区间
上存在最小值
，不具有性质
．不合题意.
所以只有
，则
，
显然有
，则对任意的
，则一定存在
，
使得
，则
，
因为
，所以
，即
.
2．（23-24 高一下·辽宁辽阳·阶段练习）定义：若函数
的值域是定义域的子集，则称
是紧缩函数．
(1)试问函数
是否为紧缩函数？说明你的理由．
(2)若函数
是紧缩函数，求
的取值范围．
(3)已知常数
，函数
，
是紧缩函数，求
的取值
集合．
【答案】(1)不是
(2)
(3)
【分析】（1）求出
的定义域与值域，即可判断；
（2）首先求出
的定义域，再利用换元法求出
的值域，结合题意得到不等式，即
可求出参数的取值范围；
（3）首先推导出
的值域与定义域相同，再分
，
两
种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）函数
的定义域为
，值域为
.
50
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因为
不是
的子集，所以
不是紧缩函数.
（2）对于函数
，
令
，解得
，即
的定义域为
.
令
，则
，令
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
，即
的值域为
，
依题意可得
，解得
，
故
的取值范围为
.
（3）因为
的值域是定义域的子集，所以
的值域是
的值域的子集，
又
，则
，所以
的值域与定义域相同，
又
，
，
所以
的值域为
.
（i）若
，则
，即
，
则
且
，
所以
且
，
即
，解得
，此时
，符合题意.
（ii）若
，则
或
，即
，
则
且
，
所以
且
，即
，方程无解.
综上，
的取值集合为
.
3．（23-24 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数
，将函数
的图象上的点
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纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象.
(1)写出函数
的解析式；
(2)试判断
，
，
的大小；
(3)如果函数
的定义域为
，若对于任意
，
，
，
分别为某个
三角形的边长，则称
为“三角形函数”.记
，当定义域为
时，
为“三角形函数”，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数图象变换求出解析式即得.
（2）利用差角的正弦公式，三角函数的性质，结合不等式性质判断
的
大小及所在区间，再利用余弦函数单调性比较得解.
（3）由（1）求出函数
在
上的最大最小值，再利用“三角形函数”定义分类列
出不等式求解即得.
【详解】（1）依题意，将函数
的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，得
到函数
的图象，
再把所得图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，
所以函数
的解析式为
.
（2）显然
，
又
，而
，则
，
因此
，又函数
在
上单调递减，
所以
，即
.
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（3）由（1）知，
，当
时，
，则
，
即
，依题意，
为“三角形函数”，当且仅当
，
当
时，
，恒有
，
，满足
，则
；
当
时，
，显然有
，
由
，得
，解得
，因此
；
当
时，
，必有
，即
，
由
，得
，解得
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
4．（23-24 高二下·江苏镇江·阶段练习）我们知道，函数
与
互为
反函数．一般地，设A，B 分别为函数
的定义域和值域，如果由函数
可
解得唯一
也是一个函数（即对任意一个
，都有唯一的
与之对应），那
么就称函数
是函数
的反函数，记作
．在
中，y 是自
变量，x 是y 的函数．习惯上改写成
的形式.反函数具有多种性质，
如：①如果
是
的反函数，那么
也是
的反函数；②互
为反函数的两个函数的图象关于直线
对称；③一个函数与它的反函数在相应区间上的
单调性是一致的．
(1)已知函数
的图象在点
处的切线倾斜角为60°，求其反函数
的图
象在
时的切线方程；
(2)若函数
，试求其反函数
并判断单调性；
(3)在（2）的条件下，证明：当
时，
，
．
【答案】(1)
(2)
；当
时，
在
上是减函数；当
时，
在
上是
增函数.
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(3)证明见解析.
【分析】（1）由反函数性质①知两函数互为反函数，由性质②互为反函数的两个函数的图
象关于直线
对称，切线也关于直线
对称，先求原函数的切线，求其关于直线
对称的直线方程即可；
（2）先判断函数的奇偶性，得
，将两个等式化为指数式，可解出
，即可得出函数
的解析式，并求出函数
的值域，作为函数
的
定义域；由性质③判断原函数的单调性即可.
（3）法一，利用性质②图象对称性将不等式转化为证明
，利用幂函数单调性由放
缩法转化为证明不等式
，求导后再借助常用不等式
，利用放缩
法证明
，再由单调性即可得证；法二，利用幂函数性
质得
，放缩法将不等式转化为
，构造函数求导研究单调性证
明即可.
【详解】（1）由题意得函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
则切线方程为
，
由反函数性质①知函数
与
互为反函数，
再由反函数性质②互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称可知，
点
在
的图象上，则
也在其反函数
的图象上，
且
的图象在
处的切线与其反函数
的图象在
处的切线也关于
对称，
所以
的图象在
处的切线方程为
，
即
.
（2）设
，
对任意的
，
，则
对任意的
恒成立，
则函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
，
，
因此，函数
为奇函数；
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当
时，
，
当
时，
，则
，
所以，函数
的值域为
，
由题意知，函数
的值域
即为其反函数的定义域.
又由奇函数可得
，
将上述两个等式化为指数式得
，解得
.
因此，
的反函数
；
当
时，由
在
单调递增，则
在
单调
递减，
由
为奇函数知，
在
上是减函数；
当
时，由
在
单调递增，则
在
单调递
增，
由
为奇函数知，
在
上是增函数.
由反函数性质③一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性是一致的，
故当
时，
在
上是减函数；当
时，
在
上是增函数.
（3）法一：由（2）知
，要证明
，
由反函数性质①与性质②，
与
互为反函数，且图象关于直线
对称，
故只需证明当
时，
，
，即
，
即证：
，
构造函数
，
则
，则
在
单调递增，
故当
时，
，即
，不等式
恒成立.
所以当
，由幂函数性质与上式可得
.
再构造函数
，
，
55
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则
，
所以
在
单调递增，故当
时，
，
即
，不等式
恒成立.
所以有
，即
成立，
从而当
时，
，
得证.
法二：由（2）知
，
当
时，
，
，即证
，
由
，得
，则由幂函数性质可得
，
所以
.
构造函数
，
，
则
，故
在
单调递增，
所以
，即
成立，
故
，即
，得证.
【点睛】函数新定义题型，关键在于定义本身充要性的应用，正确理解问题的本质，注重
命题的等价转化，将未知函数转化为已知函数问题的研究，将不熟悉的知识转化为熟悉的
知识来解决.
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日系数．分别对
中的
部分求
导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，
即：
，下标加上
，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组
之中的
表示分别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
56
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(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量
求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出最
小值.
【详解】（1）函数
，对变量
求导得：
，
当
时，
.
（2）令
，
则
，解得
或
，
于是函数
在约束条件
的可能极值点是
，
，
当
时，函数
的一个极值为函数
，
当
时，函数
的一个极值为函数
，
方程
视为关于x 的方程：
，则
，解得
，
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视为关于y 的方程：
，则
，解得
，
因此函数
对应的图形是封闭的，而
，
所以
的最大值为
.
（3）①由
，
，设
，
则
，
当且仅当
时取等号，
所以
.
②当
时，
，当且仅当
时取等号，
所以
时，
取得最小值4.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不
等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上
一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
58
