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大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）
专题01 集合与常用逻辑
1．【2024 年甲卷理科第2 题】已知集合A = {1,2,3,4,5,9},B ={x|√x∈A }，则∁A ( A ∩B)=
（ ）
A．{1,4,9}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3}
D．{2,3,5}
【答案】D
【详解】因为A = {1,2,3,4,5,9},B ={x|√x∈A }，所以B = {1,4,9,16,25,81}，
则A ⋂B = {1,4,9}，∁A ( A ⋂B)= {2,3,5}
故选：D
2．【2024 年新高考2 卷第2 题】已知命题p：∀x∈R，| x +1|>1；命题q：∃x>0，x
3= x，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．¬ p和q 都是真命题
C．p 和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【答案】B
【详解】对于p而言，取x =−1，则有|x +1|=0<1，故p是假命题，¬ p是真命题，
对于q而言，取x =1，则有x
3=1
3=1= x，故q是真命题，¬q是假命题，
综上，¬ p和q都是真命题.
故选：B.
3．【2024 年新高考1 卷第1 题】已知集合A ={x ∣−5< x
3<5},B ={−3,−1,0,2,3}，则A ⋂B =
（ ）
A．{−1,0}
B．{2,3}
C．{−3,−1,0}
D．{−1,0,2}
【答案】A
【详解】因为A ={x|−
3√5< x<
3√5},B = {−3,−1,0,2,3}，且注意到1<
3√5<2，
从而A ⋂B = {−1,0}.
故选：A.
4．【2023 年新课标全国Ⅱ卷第2 题】设集合A = {0,−a}，B = {1,a−2,2a−2}，若A ⊆B，则a=
1
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（ ）．
A．2
B．1
C．2
3
D．−1
【答案】B
【详解】因为A ⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A = {0,−2}，B = {1,0,2}，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A = {0,−1}，B = {1,−1,0}，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
5．【2023 年新课标全国Ⅰ卷第1 题】已知集合M = {−2,−1,0,1,2}，N ={x|x
2−x−6≥0}，则M ∩N =
（ ）
A．{−2,−1,0,1}
B．{0,1,2}
C．{−2}
D．{2}
【答案】C
【详解】方法一：因为N ={x|x
2−x −6≥0}=(−∞,−2]∪[3,+ ∞)，而M = {−2,−1,0,1,2}，
所以M ∩N = {−2}．
故选：C．
方法二：因为M = {−2,−1,0,1,2}，将−2,−1,0,1,2代入不等式x
2−x−6≥0，只有−2使不等式成立，所
以M ∩N = {−2}．
故选：C．
6．【2023 年新课标全国Ⅰ卷第7 题】记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{ Sn
n }为等
差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+ n(n−1)
2
d , Sn
n =a1+ n−1
2
d = d
2 n+a1−d
2 , Sn+1
n+1 −Sn
n = d
2 ，
2
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因此{ Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{ Sn
n }为等差数列，即Sn+1
n+1 −Sn
n = n Sn+1−(n+1)Sn
n(n+1)
= nan+1−Sn
n(n+1) 为常数，设为t，
即nan+1−Sn
n(n+1) =t，则Sn=nan+1−t ⋅n(n+1)，有Sn−1=(n−1)an−t ⋅n(n−1),n≥2，
两式相减得：an=nan+1−(n−1)an−2tn，即an+1−an=2t，对n=1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1，公差为d，即Sn=na1+ n(n−1)
2
d，
则Sn
n =a1+ (n−1)
2
d = d
2 n+a1−d
2 ，因此{ Sn
n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{ Sn
n }为等差数列，即Sn+1
n+1 −Sn
n = D , Sn
n = S1+(n−1)D，
即Sn=n S1+n(n−1)D，Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D，
当n≥2时，上两式相减得：Sn−Sn−1= S1+2(n−1)D，当n=1时，上式成立，
于是an=a1+2(n−1)D，又an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D ]=2 D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
7．【2023 年高考全国乙卷理第2 题】设集合U = R，集合M ={x|x<1}，N ={x|−1< x<2}，则
{x|x ≥2}=（ ）
A．∁U (M ⋃N )
B．N ⋃∁U M
C．∁U (M ⋂N )
D．M ∪∁U N
【答案】A
【详解】由题意可得M ⋃N = {x| x<2}，则∁U (M ⋃N )= {x| x ≥2}，选项A 正确；
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∁U M = {x| x ≥1}，则N ⋃∁U M = {x| x>−1}，选项B 错误；
M ⋂N = {x|−1< x<1}，则∁U (M ∩N )= {x| x ≤−1或x ≥1}，选项C 错误；
∁U N = {x| x ≤−1或x ≥2}，则M ⋃∁U N = {x| x<1或x ≥2}，选项D 错误；
故选：A.
8．【2023 年高考全国甲卷理第1 题】设全集U = Z,集合
M ={x∣x =3k +1,k ∈Z }, N ={x∣x =3k +2,k ∈Z }，∁U( M ∪N )=（ ）
A．{x| x =3k ,k ∈Z }
B．{x∣x =3k −1,k ∈Z }
C．{x∣x =3k −2,k ∈Z }
D．∅
【答案】A
【详解】因为整数集Z = {x| x =3k ,k ∈Z }⋃{x| x =3k +1,k ∈Z }⋃{x| x =3k +2,k ∈Z }，U = Z，
所以，∁U (M ⋃N )= {x| x =3k ,k ∈Z }．
故选：A．
9．【2023 年高考全国甲卷理第7 题】设甲：sin
2α + sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】
当sin
2α + sin
2 β =1时，例如α = π
2 , β =0但sin α +cos β ≠0，
即sin
2α + sin
2 β =1推不出sin α +cos β =0；
当sin α +cos β =0时，sin
2α + sin
2 β =(−cos β )
2+ sin
2 β =1，
即sin α +cos β =0能推出sin
2α + sin
2 β =1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
10．【2022 年新课标全国Ⅰ卷第1 题】若集合M ={x∣√x<4 }, N ={x∣3 x ≥1}，则M ∩N =
（ ）
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A．{x|0≤x<2}
B．{x|
1
3 ≤x<2}
C．{x|3≤x<16}
D．{x|
1
3 ≤x<16}
【答案】D
【详解】M ={x∣0≤x<16}, N ={x∣x ≥1
3 }，故M ∩N ={x|
1
3 ≤x<16}，
故选：D
11．【2022 年新课标全国Ⅱ卷第1 题】已知集合A = {−1,1,2,4},B ={x||x−1|≤1}，则A ⋂B =
（ ）
A．{−1,2}
B．{1,2}
C．{1,4 }
D．{−1,4}
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法
因为B = {x|0≤x ≤2}，故A ⋂B = {1,2}，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x =−1代入集合B ={x||x −1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；
x = 4代入集合B ={x||x −1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.
故选：B.
12．【2022 年高考全国乙卷理第1 题】设全集U ={1,2,3,4,5}，集合M 满足∁U M ={1,3}，则
（ ）
A．2∈M
B．3∈M
C．4∉M
D．5∉M
【答案】A
【详解】由题知M ={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A
13．【2022 年高考全国甲卷理第3 题】设全集U ={−2,−1,0,1,2,3}，集合
A ={−1,2},B ={x∣x
2−4 x +3=0}，则∁U( A ∪B)=（ ）
A．{1,3}
B．{0,3}
C．{−2,1}
D．{−2,0}
【答案】D
【详解】由题意，B ={x|x
2−4 x +3=0}= {1,3}，所以A ∪B = {−1,1,2,3},
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所以∁U ( A ∪B)= {−2,0}.
故选：D.
14．【2021 年新课标全国Ⅰ卷第1 题】设集合A ={x|−2< x<4 }，B = {2,3,4,5}，则A ⋂B =
（ ）
A．{2}
B．{2,3}
C．{3,4}
D．{2,3,4}
【答案】B
【详解】由题设有A ∩B = {2,3}，
故选：B .
15．【2021 年新课标全国Ⅱ卷第2 题】设集合U ={1,2,3,4,5,6}, A ={1,3,6},B ={2,3,4}，则
A ⋂(∁U B)=（ ）
A．{3}
B．{1,6}
C．{5,6}
D．{1,3}
【答案】B
【详解】由题设可得∁U B = {1,5,6}，故A ∩(∁U B)= {1,6}，
故选：B.
16．【2021 年高考全国乙卷理第2 题】已知集合S ={s|s=2n+1,n∈Z }，T ={t|t = 4 n+1,n∈Z }，则
S∩T =（ ）
A．∅
B．S
C．T
D．Z
【答案】C
【详解】任取t ∈T，则t = 4 n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t ∈S，故T ⊆S，
因此，S⋂T =T.
故选：C.
17．【2021 年高考全国乙卷理第3 题】已知命题p:∃x∈R ,sin x<1﹔命题q:∀x∈R﹐e
| x|≥1，则下
列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．¬ p∧q
C．p∧¬q
D．¬( p∨q)
【答案】A
【详解】由于sin 0=0，所以命题p为真命题；
由于y =e
x在R上为增函数，|x|≥0，所以e
| x|≥e
0=1，所以命题q为真命题；
所以p∧q为真命题，¬ p∧q、p∧¬q、¬( p∨q)为假命题.
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故选：A．
18．【2021 年高考全国甲卷理第1 题】设集合M ={x|0< x<4 }, N ={x|
1
3 ≤x ≤5}，则M ∩N =
（ ）
A．{x|0< x ≤1
3}
B．{x|
1
3 ≤x<4}
C．{x|4≤x<5}
D．{x|0< x ≤5}
【答案】B
【详解】因为M ={x|0< x<4}, N ={x| 1
3 ≤x ≤5}，所以M ∩N ={x| 1
3 ≤x<4},
故选：B.
19．【2021 年高考全国甲卷理第7 题】等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是
递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】由题，当数列为−2,−4 ,−8,⋯时，满足q>0，
但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，
所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
20．【2020 年新课标全国Ⅱ卷第1 题】设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则A ∩B=（ ）
A．{1，3，5，7}
B．{2，3}
C．{2，3，5}
D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以A ⋂B = {2,3,5}
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故选：C
21．【2020 年新课标全国Ⅱ卷第5 题】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游
泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数
的比例是（ ）
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
【答案】C
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
0.6+0.82−0.96=0.46
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46 %.
故选：C.
22．【2020 年新课标全国Ⅰ卷第1 题】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）
A．{x|2<x≤3}
B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1<x<4}
【答案】C
【详解】A ⋃B =[1,3]⋃(2,4)=[1,4)
故选：C
23．【2020 年新课标Ⅲ卷理科第1 题】已知集合A ={( x , y)| x , y ∈N
∗, y ≥x }，B ={( x , y)| x + y =8}，
则A ∩B中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【详解】由题意，A ∩B中的元素满足{
y ≥x
x + y =8，且x , y ∈N
∗，
由x + y =8≥2 x，得x ≤4，
所以满足x + y =8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，
故A ∩B中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
24．【2020 年新课标Ⅱ卷理科第1 题】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，
则∁U( A ∪B)=（ ）
A．{−2，3}
B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3}
D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
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【详解】由题意可得：A ∪B = {−1,0,1,2}，则∁U ( A ⋃B)= {−2,3}.
故选：A.
25．【2020 年新课标Ⅰ卷理科第2 题】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（
）
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【答案】B
【详解】求解二次不等式x
2−4≤0可得：A = {x|−2≤x ≤2}，
求解一次不等式2 x +a≤0可得：B ={x| x ≤−a
2}.
由于A ∩B = {x|−2≤x ≤1}，故：−a
2 =1，解得：a=−2.
故选：B.
26．【2019 年新课标Ⅲ卷理科第1 题】已知集合A = {−1,0,1,2}，B ={x|x
2≤1}，则A ⋂B =
A．{−1,0,1}
B．{0,1}
C．{−1,1}
D．{0,1,2}
【答案】A
【详解】∵x
2≤1,∴−1≤x ≤1，
∴B ={x|−1≤x ≤1}，则A ⋂B = {−1,0,1}，
故选A．
27．【2019 年新课标Ⅲ卷理科第3 题】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学
瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西
游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的
估计值为
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【答案】C
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7．故选C．
28．【2019 年新课标Ⅱ卷理科第1 题】设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1)
B．(-2，1)
C．(-3，-1)
D．(3，+∞)
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【答案】A
【详解】由题意得，A ={x|x ⟨2
x
或⟩3},B ={x|x<1}，则A ∩B ={x|x<1}．故选A．
29．【2019 年新课标Ⅱ卷理科第7 题】设α，β为两个平面，则α // β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是α // β的充分条件，由面面平行性质定
理知，若α // β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α // β的必要条件，
故选B．
30．【2019 年新课标Ⅰ卷理科第1 题】已知集合M ={x|−4< x<2}，N ={x|x
2−x−6 < 0}，则M ∩N=
A．{x|−4< x< 3}
B．{x|−4< x< −2}
C．{x|−2< x< 2}
D．{x|2< x< 3}
【答案】C
【详解】由题意得，M ={x|−4< x<2}, N ={x|−2< x<3}，则
M ∩N ={x|−2< x<2}．故选C．
31．【2019 年新课标Ⅰ卷理科第4 题】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
的长度之比是√5−1
2
（√5−1
2
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且
腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
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A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190cm
【答案】B
【详解】头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−1
2
≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于26
0.618≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−1
2
，
可得肚脐至足底的长度小于42+26
0.618 ＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
即人的身高大于170cm小于178cm,
故选：B．
32．【2018 年新课标Ⅲ卷理科第1 题】已知集合A ={x| x−1≥0}，B ={0,1,2}，则A ⋂B =
A．{0}
B．{1}
C．{1,2}
D．{0,1,2}
【答案】C
【详解】解：由集合A 得x ≥1,
所以A ∩B = {1,2}
故答案选C.
33．【2018 年新课标Ⅰ卷理科第2 题】已知集合A ={x|x
2−x −2>0}，则∁R A =
A．{x|−1< x<2}
B．{x|−1≤x ≤2}
C．{x| x<−1}∪{x|x⟩2}
D．{x| x ≤−1}∪{x| x ≥2}
【答案】B
【详解】解不等式x
2−x−2>0得x<−1
x
或>2，
所以A = {x| x<−1
x
或>2}，
所以可以求得C R A = {x|−1≤x ≤2}，故选B.
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34．【2018 年新课标Ⅱ卷理科第2 题】已知集合A ={(x , y)|x
2+ y
2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A中元素
的个数为（ ）
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【详解】∵x
2+ y
2≤3
∴x
2≤3,
∵x∈Z
∴x =−1,0,1
当x =−1时，y =−1,0,1；
当x =0时，y =−1,0,1；
当x =1时，y =−1,0,1；
所以共有9 个，
故选：A.
35．【2017 年新课标Ⅲ卷理科第1 题】已知集合A ={( x , y)|x
2+ y
2=1}，B ={( x , y)|y = x }，则A ∩B中
元素的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【详解】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上
所有点组成的集合，集合B 表示直线y = x上所有的点组成的集合，又圆x
2+ y
2=1与直线y = x相
交于两点(
√2
2 , √2
2 )，(−√2
2 ,−√2
2 )，则A ∩B中有2 个元素.故选B.
36．【2017 年新课标Ⅱ卷理科第2 题】设集合A = {1,2,4}，B ={x|x
2−4 x +m=0}．若A ∩B = {1}，则B =
( )
A．{1,−3}
B．{1,0}
C．{1,3}
D．{1,5}
【答案】C
【详解】∵集合A = {1，2，4}，B ={x| x
2−4 x +m=0}，A ⋂B = {1}
∴x =1是方程x
2−4 x +m=0的解，即1−4 +m=0
∴m=3
∴B ={x| x
2−4 x +m=0}={x| x
2−4 x +3=0}= {1，3}，故选C
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37．【2017 年新课标Ⅱ卷理科第7 题】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师
说，你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道甲、丁两人的成绩
B．乙、丁可以知道自己的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．丁可以知道乙、丙两人的成绩
【答案】B
【详解】甲、乙、丙、丁四位同学中有2 位优秀，2 位良好，
因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，
则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.
故选：B．
38．【2017 年新课标Ⅰ卷理科第1 题】已知集合A={x|x<1}，B={x|3
x<1}，则
A．A ⋂B ={x| x<0}
B．A ∪B = R
C．A ⋃B ={x| x>1}
D．A ∩B =∅
【答案】A
【详解】∵集合B ={x|3
x<1}
∴B ={x|x<0}
∵集合A ={x| x<1}
∴A ∩B ={x|x<0}，A ∪B = {x| x<1}
故选A
39．【2016 年新课标Ⅲ卷理科第1 题】设集合S ={x |( x −2)( x −3)≥0},T = {x | x >0} ，则S∩T=
A．[2,3]
B．（−∞,2]∪[3,+∞）
C．[3,+∞）
D．（0,2]∪[3,+∞）
【答案】D
【
详
解
】
由( x−2)( x−3)≥0解
得x ≥3或x ≤2，
所
以S ={x| x ≤2
x
或≥3}，
所
以
S∩T ={x|0< x ≤2
x
或≥3}，故选D．
40．【2016 年新课标Ⅱ卷理科第2 题】已知集合A ={1,2,3}，B ={x|( x +1)( x−2)<0, x∈Z }，则
A ∪B =
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{−1，0，1，2，3}
【答案】C
【详解】集合B ={x|−1< x<2, x∈Z }= {0,1}，而A ={1,2,3}，所以A ∪B = {0,1,2,3}，故选C.
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41．【2016 年新课标Ⅰ卷理科第1 题】设集合A ={x| x
2−4 x +3<0}，B ={x|2 x−3>0}，则A ⋂B =
A．(−3,−3
2 )
B．(−3, 3
2 )
C．(1, 3
2 )
D．( 3
2 ,3)
【答案】D
【详解】集合A ={x|(x−1)(x−3)<0}= {x|1< x<3}，集合
，所以A ∩B ={x| 3
2 < x<3},
故选D.
42．【2015 年新课标Ⅱ理科第1 题】已知集合A =｛−2，−1,0，1,2｝，B ={x|( x−1)( x +2)<0},则
A ⋂B =（ ）
A．{−1,0}
B．{0,1}
C．{−1,0,1}
D．{0,1,2}
【答案】A
【详解】由已知得B = {x|−2< x<1}，
因为A =｛−2，−1,0，1,2｝，
所以A ∩B = {−1,0}，故选A．
43．【2015 年新课标Ⅰ理科第3 题】设命题P:∃n∈N ,n
2>2
n，则¬ P为
A．∀n∈N ,n
2>2
n
B．∃ n∈N ,n
2≤2
n
C．∀n∈N ,n
2≤2
n
D．∃n∈N ,n
2=2
n
【答案】C
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题
的否命题应该为∀n∈N ,n
2≤2
n，即本题的正确选项
为C.
44．【2016 年新课标Ⅱ卷理科第15 题】有三张卡片，分别写有1 和2,1 和3,2 和3.甲，乙，丙三人各取走
一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
【答案】1 和3.
【详解】（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；这与已知矛盾；
所以甲的卡片上的数字是1和3.
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1．（2024·陕西·三模）已知集合A = {x ∣−1≤x ≤2},B ={x ∣−x
2+3 x >0}，则A ∪B =（ ）
A．R
B．(0,2]
C．[−1,0)
D．[−1,3)
【答案】D
【详解】由−x
2+3 x>0，解得0< x<3，所以集合B ={x|0< x<3}，
所以A ∪B ={x|−1≤x<3}，所以A ∪B =[−1,3).
故选：D.
2．（2024·陕西西安·三模）若集合A ={x|√x ≤2}，B = {−3,−1,0,1,3}，则A ⋂B =（ ）
A．{0,1}
B．{−1,0,1}
C．{0,1,3}
D．{−3,−1,0,1,3}
【答案】C
【详解】依题意得A ={x|√x ≤2}=[0,4]，则A ∩B = {0,1,3}．
故选：C.
3．（2024·广东江门·三模）已知集合A ={x|2 x−4<0},B ={x|lg x<1}，则A ⋂B =（ ）
A．{x| x ≤2}
B．{x|x<10}
C．{x|0< x<2}
D．{x|x<0或x>2}
【答案】C
【详解】由2 x−4<0，得x<2，所以A ={x|x<2}，
由lg x<1，得0< x<10，所以B ={x|0< x<10}，
所以A ⋂B ={x|0< x<2}.
故选：C
4．（2024·浙江·模拟预测）已知集合A ={x∣2|x|≤4 , x∈Z}，则A的元素数量是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
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【详解】由于2
2= 4，故| x|≤2，又x∈Z，故A ={−2,−1,0,1,2}，有5 个元素，
故选：D.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合A ={x|y = √2−x
√x−2},B = {x∣x∈Z }，则A ⋂B =（ ）
A．{0}
B．{2}
C．{0,2}
D．∅
【答案】D
【详解】要使y = √2−x
√x−2有意义，则需{
2−x ≥0
x−2≥0
√x−2≠0
，但这不可能，即A ={x|y = √2−x
√x−2}=∅，
则A ∩B =∅.
故选：D．
6．（2024·山东日照·模拟预测）已知向量⃗a=(2,3)，⃗b=( x ,6)，则“x>−9”是“⃗a和⃗b的夹角是锐角”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】⃗a和⃗b的夹角是锐角，则⃗a⋅⃗b>0且⃗a和⃗b不同向共线，
故2 x +18>0且3 x−2×6≠0，
解得x>−9且x≠4，
由x>−9推不出x>−9且x≠4，故充分性不成立，
由x>−9且x≠4推得出x>−9，故必要性成立，
所以x>−9是⃗a和⃗b的夹角是锐角的必要不充分条件.
故选：B
7．（2024·湖南长沙·三模）已知直线l:kx −y +√2k =0，圆O: x
2+ y
2=1，则“k <1”是“直线l上存在点
P，使点P在圆O内”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
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【详解】由直线l上存在点P，使点P在圆O内，得直线l与圆O相交，即|√2k|
√k
2+1
<1，
解得−1<k <1，即k ∈(−1,1)，
因为k <1不一定能得到−1<k <1，而−1<k <1可推出k <1，
所以“k <1”是“直线l上存在点P，使点P在圆O内”的必要不充分条件.
故选：B
8．（2024·河北衡水·三模）已知函数f ( x)=(2
x+m⋅2
−x)sin x，则“m
2=1”是“函数f ( x)是奇函数”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【详解】若函数f ( x)是奇函数，
则f ( x)+ f (−x)=(2
x+m⋅2
−x)sin x−(2
−x+m⋅2
x)sin x =(1−m)(2
x−2
−x)sin x =0恒成立，即m=1，
而m
2=1，得m=±1．
故“m
2=1”是“函数f ( x)是奇函数”的必要不充分条件．
故选：B．
9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线l: x−y +m=0，圆C : x
2+ y
2−6 x−2 y −15=0，则“l与C有
公共点”是“−2−5√2<m<5√2−2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【详解】圆C : x
2+ y
2−6 x−2 y −15=0，即(x −3)
2+( y −1)
2=25，圆心为C (3,1)，半径r =5，
若l与C有公共点，则
|3−1+m|
√1
2+(−1)
2 ≤5，解得−2−5√2≤m≤−2+5√2，
所以由“l与C有公共点”推不出“−2−5√2<m<5√2−2”，故充分性不成立；
由−2−5√2<m<5√2−2推得出l与C有公共点，故必要性成立；
所以“l与C有公共点”是“−2−5√2<m<5√2−2”的必要不充分条件.
故选：B
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10．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合A ={x| x−4
x +2 ≤0}，B ={x| y =lo g3( x
2−9)}，则
A ⋂(∁R B)=（ ）
A．[−2,3]
B．(−2,3]
C．(−2,4 ]
D．[3,4 ]
【答案】B
【详解】由x−4
x +2 ≤0，得{
( x−4)( x +2)≤0
x +2≠0
，解得−2< x ≤4，
所以A =(−2,4 ]，
由x
2−9>0，得x<−3或x>3，
所以B =(−∞,−3)⋃(3,+∞)，所以∁R B =[−3,3]，
所以A ∩∁R B =(−2,3]．
故选：B
11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合M ={x∣√x−1<3}, N ={x∣2 x−3>3}，则∁R(M ∪N )=
（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,3]
C．[1,+∞)
D．(3,10)
【答案】A
【详解】由题得M =[1,10), N =(3,+∞)，故M ∪N =[1,+∞)，所以∁R(M ∪N )=(−∞,1).
故选：A.
12．（2024·山西阳泉·三模）设集合P ={y | y =e
x+1}, M ={x| y =lo g2( x−2)}，则集合M与集合P的关
系是（ ）
A．M = P
B．P∈M
C．M ⊆P
D．P⊆M
【答案】C
【详解】函数y =e
x+1值域为(1,+∞)，函数y =lo g2( x−2)定义域为(2,+∞)，
即P =(1,+∞)，M =(2,+ ∞)，所以有M ⊆P.
故选：C.
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13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合A ={x∈Z|
x−3
x +1 ≤0}，则集合A 的子集个数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【详解】由题意得A ={x∈Z | x−3
x +1 ≤0}={x| x∈Z |−1< x ≤3}={0,1,2,3}，
所以集合A 的子集个数为2
4=16，
故选：C．
14．（2024·四川内江·模拟预测）已知集合A ={( x , y )|x
2+ y
2= 4}，集合B ={( x , y )|y =−x }，则A ∩B的
真子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【详解】由{
x
2+ y
2= 4
y =−x ，得{
x =√2
y =−√2或{
x =−√2
y =√2 ，
所以A ⋂B ={(√2,−√2),(−√2,√2)}，则A ∩B中有2 个元素，
所以A ∩B的真子集的个数为2
2−1=3.
故选：A
15．（2024·云南大理·模拟预测）已知集合A ={x|ln (x−1)≤0}，集合B ={x|x
2−2 x<0}，则A ∪B =
（ ）
A．(1,+∞)
B．(1,2]
C．(0,2]
D．(−∞,2]
【答案】C
【详解】由ln (x−1)≤0，得0< x−1≤1，解得1< x ≤2，则A =(1,2]，
由x
2−2 x<0，得0< x<2，则B =(0,2)，
所以A ∪B =(0,2].
故选：C
16．（2024·广东江门·二模）已知集合A ={x∈N|x<4}，B ={x|n
2−1,n∈A}，P = A ∩B，则集合P
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的非空子集共有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．8 个
【答案】B
【详解】因为A ={x∈N|x<4 }= {0,1,2,3}，又B ={x|n
2−1,n∈A}，
所以B = {−1,0,3,8}，所以P = A ∩B = {0,3}，
则集合P的子集共有2
2= 4个，非空子集4−1=3个，
故选：B
17．（2024·江苏无锡·模拟预测）若集合A ={−1,0,1,4},B ={x∣lo g2( x +1)<2}，则A ⋂B =
（ ）
A．{0,1}
B．{0,4}
C．{0,1,4}
D．{−1,0,1,4}
【答案】A
【详解】B ={x∣lo g2( x +1)<2}={x|−1< x<3}，
所以A ⋂B = {0,1}，
故选：A．
18．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C 的方程为y
2= 4 x，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点.设甲：直线l
与过点(1,0)；乙：⃗OA ⋅⃗OB =−3（O 为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件
B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为直线AB的斜率不可能为0，所以可设直线AB的方程为x =my +n，
与抛物线y
2= 4 x联立，消去x得：y
2
4 =my +n⇒y
2−4 my −4 n=0，
再设A(x1, y1),B(x2, y2)，则y1 y2=−4 n，所以x1 x2= y1
2 y2
2
16 = (−4 n)
2
16
=n
2，
由⃗OA ⋅⃗OB =(x1, y1)⋅(x2, y2)= x1 x2+ y1 y2=n
2−4 n，
当直线AB经过点(1,0)时，n=1，则⃗OA ⋅⃗OB=n
2−4 n=−3，此时甲是乙的充分条件；
当⃗OA ⋅⃗OB=n
2−4 n=−3时，解得n=1或n=3，即直线AB经过点(1,0)或(3,0)，此时甲不是乙的必要条
件；
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故选：B.
19．（2024·重庆·三模）已知集合A ={x ∈R|x
2−x −2<0},B ={y ∣y =2
x , x ∈A}，则A ⋂B =
（ ）
A．(−1,4)
B．(
1
4 ,1)
C．(
1
2 ,1)
D．(
1
2 ,2)
【答案】D
【详解】A ={x∈R|x
2−x−2<0}={x∈R|(x−2)(x +1)<0}={x∈R|−1< x<2}=(−1,2)，
则B ={ y|y =2
x , x∈(−1,2)}={y|1
2 < y <4}=(
1
2 ,4)，
所以A ⋂B =(
1
2 ,2).
故选：D
20．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合A ={x∈Z|2|x−1|−4≤0}，B ={x|y =lg x−4
x−1}，则
A ∩(∁R B)=（ ）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．[1,3]
D．(1,3]
【答案】A
【详解】由题意知A ={x∈Z|2|x−1|−4≤0}={x∈Z||x−1|≤2}= {−1,0,1,2,3}，
B ={x|y =lg x−4
x−1}={x|(x−1)(x−4)>0}，故∁R B ={x|(x −1)(x −4)≤0}=[1,4]，
所以A ∩(∁R B)= {1,2,3}．
故选：A．
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