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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数（选择题）
目录
题型一：函数及其表示.................................................................................................1
题型二：函数的基本性质.............................................................................................2
题型三：基本初等函数...............................................................................................21
题型四：函数的图像...................................................................................................32
题型五：函数与方程...................................................................................................43
题型六：函数模型及其应用.......................................................................................50
题型七：函数的综合问题...........................................................................................52
题型一：函数及其表示
1．(2023 年天津卷·第5 题)已知函数
一条对称轴为直线
，一个周期为4，则
的解析式可
能为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A 选项中
，B 选项中
，
C 选项中
，D 选项中
，
排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
1
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故选：B．
2．(2014 高考数学陕西理科·第10 题)如图，某飞行器在4 千米高空水平飞行，从距着陆点
的水平距离10
千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
(
)
A．
B．
C．
D．
O
y
x
-2
2
5
-5
A
地面跑道
【答案】A
解析:由函数图象可知,该三次函数过原点,故可设
,由
解得
,故选A．
3．(2014 高考数学陕西理科·第7 题)下列函数中，满足“
”的单调递增函数是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:从选项中检验满足
,只有C,D．其中为增函数的为D．故选D．
4．(2014 高考数学江西理科·第3 题)已知函数
|
|5
)
(
x
x
f
,
)
(
)
(
2
R
a
x
ax
x
g
,若
1
)]
1(
[
g
f
,则
a
(
)
A．1
B．2
C．3
D．-1
【答案】 A
解析:因为
( (1))
1
5
f g
,所以(1)
0,
g
即
1
0,
1.
a
a
选A．
题型二：函数的基本性质
1．(2023 年北京卷·第4 题)下列函数中，在区间
上单调递增的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2
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解析：对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误．
故选：C．
2．(2023 年天津卷·第3 题)若
，则
的大小关系为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
．
所以
．
故选：D
3．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第4 题)设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
3
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所以
的取值范围是
．
故选：D
4．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第4 题)若
为偶函数，则
(
)．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
解析：因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称．
，
故此时
为偶函数．
故选：B．
5．(2023 年全国乙卷理科·第4 题)已知
是偶函数，则
( )
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
解析：因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
．
故选：D．
6．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第8 题)已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:因为函数
为偶函数，则
，可得
，
4
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因为函数
为奇函数，则
，所以，
，
所以，
，即
，
故函数
是以4 为周期的周期函数，因为函数
为奇函数，则
，
故
，其它三个选项未知,故选B．
7．(2021 年高考全国乙卷理科·第0 题)设函数
，则下列函数中为奇函数的是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由题意可得
，
对于A，
不是奇函数；
对于B，
是奇函数；
对于C，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
8．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第0 题)设函数
，则f(x)
(
)
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
【答案】D
解析：由
得
定义域为
，关于坐标原点对称，
又
，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
5
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当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递增，排除B；
当
时，
，
在
上单调递减，
在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递减，D 正确．
故选：D．
9．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第8 题)若定义在
的奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，则满足
的x 的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
解得
或
，
所以满足
的
的取值范围是
，故选：D．
10．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第8 题)若定义在
的奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，
则满足
的x 的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6
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解析：因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
解得
或
，
所以满足
的
的取值范围是
，故选：D．
11．(2022 高考北京卷·第7 题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保
二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
的关
系，其中T 表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是
．下列结论中正确的是
(
)
( )
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
解析:当
，
时，
，此时二氧化碳处于固态，故A 错误．
当
，
时，
，此时二氧化碳处于液态，故B 错误．
当
，
时，
与4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，
时对应的是非超临界状态，故C 错误．
当
，
时，因
, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确．
故选,D
7
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12．(2022 高考北京卷·第4 题)己知函数
，则对任意实数x，有
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析:
，故A 错误，C 正确；
，不是常数，故BD 错误；
故选,C．
13．(2022 新高考全国II 卷·第8 题)已知函数
的定义域为R，且
，则
( )
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
解析：因为
，令
可得，
，所以
，令
可得，
，即
，所以函数
为偶函数，
令
得，
，即有
，从而可
知
，
，故
，即
所以函数
的一个周期为
．
因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
． 故选：A．
14．(2022 新高考全国I 卷·第7 题)设
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
8
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解析: 设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
， 所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C．
15．(2019·上海·第15 题)已知
，函数
，存在常数
，使得
为
偶函数，则
可能的值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一(推荐)：依次代入选项的值，检验
的奇偶性，选C；
法二：
，若
为偶函数，则
，且
也为偶
函数(偶函数×偶函数=偶函数)，∴
，当
时，
，选C.
16．(2019·全国Ⅲ·理·第11 题)设
是定义域为
的偶函数，且在
单调递减，则
(
)
9
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
是
上的偶函数，
．
，又
在(0，+∞)单调递减，
，
，故选C．
17 ．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷( 理)· 第11 题) 已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
( )
A．
B．0
C．2
D．50
【答案】C
解析：因为
是定义域为
的奇函数，且满足
，
所
以
，
即
，
所
以
，
，因此
是周期函数且
．
又
，
且
，所以
，
所以
，故选C．
18．(2014 高考数学上海理科·第18 题)设
若
是
的最小值，则
的取值范
围为
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:当
时，
，
，所以
，
当
时，
，二次函数对称轴为
，要使得
时有最小值，则
，
综上
．
19．(2014 高考数学山东理科·第5 题)已知实数
满足
(
)，则下列关系式恒成立的是
(
10
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)
A．
B．
C．
D．
【答案】
解析：由
知，
，所以
．
20．(2014 高考数学山东理科·第3 题)函数
的定义域为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
解析：因为
，所以
或
，解得
或
．
21．(2014 高考数学辽宁理科·第12 题)已知定义在
上的函数
满足：
①
；②对所有
，且
，有
．
若对所有
，
，则k 的最小值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:依题意，由
，得
，
所以定义在[0，1]上的函数y=f(x)上任意两点直线的斜率|k|＜
，
不妨令k＞0，构造函数f(x)=
(
)，满足f(0)=f(1)=0，|f(x)-f(y)|＜
|x-
y|．
当x∈[0，
]，且y∈[0，
]时，所以
，即
，
所以|f(x)-f(y)|=|kx-ky|=k|x-y|≤
k＜
；
当x∈[0，
]，且y∈[
，1]时，有
，
11
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所以|f(x)-f(y)|=|kx-(k-ky)|=|k(x+y)-k|≤|
k-k|=
＜
；
当y∈[0，
]，且x∈[
，1]时，同理可得，|f(x)-f(y)|＜
；
当x∈[
，1]，且y∈[
，1]时，
|f(x)-f(y)|=|(k-kx)-(k-ky)|=k|x-y|≤k×(1-
)=
＜
；
∴当k＞0 时，对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜
，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k 恒成立，
∴k≥
，即k 的最小值为
．
当
时，同理可得|f(x)-f(y)|＜
，即k 的最小值为
．
综上所述，k 的最小值为
．
解析2:先证
．不妨设
，
（1）
若
，则
；
（2）
若
，有
，
则
所以
．
由于对称性，同理可证明当
时，
；故：
再证
．
为了证明这一点，我们需要构造一族函数．我们构造如下函数：
(其中
是远小于
的正数)
显然有
．
接下来再验证条件(2)．同样不妨设
．
(i)当
时，
12
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(ii)当
时，
；
(iii)当
时，
(因为此时有
和
，
所以
)．
又因为
，所以
，由于
的任意性，令
趋近与
0，可得
．
由于对称性，同理可证明当
时，
；
综合
，所以只有
．
解析3 :依题意，由
，得
，所以定义在
[0，1]上的函数y=f(x)任意两点连线的直线斜率|k|＜
，
设直线
：
，直线
：
，直线
与直线
的交点P
，
如图所示的函数y=f(x)满足的条件函数之一(函数y=f(x)的图像位于直线
与直线
的下方，即
．)，所以对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜
，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k 恒成立，∴k≥
，即k 的最小值为
．
解析4：依题意，由
，得
，
所以定义在[0，1]上的函数y=f(x)任意两点连线的直线斜率|k|＜
，
13
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构造函数
(
)，满足已经条件①，②；
当x，y∈[0，
]或x，y∈[
，1]，时
所以
，当
时，
，
当x∈[0，
]，y∈[
，1]或x∈[
，1]，y∈[0，
]时，
|k(x+y)-k|≤|
k-k|=
，当
时，
，
综上：当
时，
．
∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k 恒成立，
∴k≥
，即k 的最小值为
．
22．(2014 高考数学课标1 理科·第3 题)设函数
( )
f x , ( )
g x 的定义域都为R,且
( )
f x 是奇函数, ( )
g x 是偶函
数,则下列结论正确的是
( )
A．
( )
f x
( )
g x 是偶函数
B．|
( )
f x | ( )
g x 是奇函数
C．
( )
f x | ( )
g x |是奇函数
D．|
( )
f x
( )
g x |是奇函数
【答案】 C
解析: 设
( )
( )
( )
F x
f x g x
, 则
(
)
(
)
(
)
F
x
f
x g
x
,∵
( )
f x 是奇函数, ( )
g x 是偶函数,∴
(
)
( )
( )
( )
F
x
f x g x
F x
,
( )
F x 为奇函数,选C．
23．(2014 高考数学江西理科·第2 题)函数
)
ln(
)
(
2
x
x
x
f
的定义域为
( )
A．
)1,0
(
B．
]1,0
[
C．
)
,1(
)
0,
(
D．
)
,1[
]
0,
(
【答案】 C
分析:由题意得:
2
0,
x
x
解得
1,
x
或
0
x
,所以选C．
24．(2014 高考数学湖南理科·第10 题)已知函数
与
的图象
上存在关于
轴对称的点，则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由题可得存在
满足
14
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,当
取决于负无穷小时,
趋近于
,因为函数
在定义域内是单调递增的, 所以
,故选B．
25．(2014 高考数学湖南理科·第3 题)已知
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
＝
( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【答案】C
解析：分别令x=1 和x=-1 可得
且
则
，故选C．
26．(2014 高考数学福建理科·第7 题)已知函数
，则下列结论正确的是
(
)
A．
是偶函数
B．
是增函数
C．
是周期函数
D．
的值域为
【答案】D
解析：由解析式可知当
时，
为周期函数，
当
时，
为二次函数的一部分，
故
不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，对于D，当
时，函数的值域为
，
当
时，函数的值域为值域为
，
故函数
的值域为
，故正确．故选：D．
27．(2014 高考数学北京理科·第3 题)曲线
，(
为参数)的对称中心
(
)
A．在直线
上
B．在直线
上
C．在直线
上
D．在直线
上
【答案】B
解析：消去参数
，将参数方程化为普通方程：
，其对称中心是圆心
，该点在直线
上，故选B
28．(2014 高考数学北京理科·第2 题)下列函数中,在区间
上为增函数的是
(
15
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)
A．∴A∩B={0,2}
B．
C．
D．
【答案】A
解析：A 项，函数
在
上为增函数，所以在
上为增函数，故正确；
B 项，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，故错误；
C 项，函数
在R 上为减函数，故错误；
D 项，函数
在
上为减函数，故错误。
29．(2014 高考数学安徽理科·第9 题)若
的最小值为3，则实数
的值为
(
)
A．5 或8
B．−1 或5
C．−1 或4
D．−4 或8
【答案】D
解析：利用绝对值的几何意义，
f ( x)=|x+1|+|x+ a
2|+|x+ a
2|
，结合数轴易知，当
x=−a
2 时，取
得最小值，此时
f ( x)=|−a
2 +1|
，由
|−a
2 +1|=3
，可求得a=−4 或a=8 ，故选D．
30．(2014 高考数学安徽理科·第6 题)设函数
满足
，当
时，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由题意可得f ( x+π )=f ( x)+sin x ，
f ( x+2π )=f ( x+π )+sin( x+π )=f ( x+π )−sin x ，
两式相加可得f ( x+2π )=f ( x)，所以f ( x)是周期为2π 的周期函数，
所以
，故选A．
31．(2015 高考数学四川理科·第9 题)如果函数
在区间
单调递减，则
的最大值为
( )
A．16
B．18
C．25
D．
m=
f(x
1)−f(x
2)
x
1−x
2
【答案】B
16
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解析：
时，抛物线的对称轴为
．据题意，当
时，
即
．
．由
且
得
．当
时，抛物
线开口向下，据题意得，
即
．
．由
且
得
，故应舍去．要使得
取得最大值，应有
．所以
，所以最大值为18．选B．．
32．(2015 高考数学湖南理科·第5 题)设函数
，则
是
(
)
A．奇函数，且在
上是增函数
B．奇函数，且在
上是减函数
C．偶函数，且在
上是增函数
D．偶函数，且在
上是减函数
【答案】A．
分析：显然，f ( x)定义域为(−1,1)，关于原点对称，又∵f (−x)=ln(1−x)−ln(1+x)=−f (x)，∴
f ( x)
为奇函数，显然，f ( x)在(0,1)上单调递增，故选A．
33．(2015 高考数学广东理科·第3 题)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
(
)
A．y=√1+x2
B．
y=x+ 1
x
C．
y=2x+ 1
2x
D．y=x+ex
【答案】D
解析：令
，则
即
，所以
既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选D．
34．(2015 高考数学福建理科·第2 题)下列函数为奇函数的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：函数
是非奇非偶函数；
和
是偶函数；
是奇函数，故选
D．
35．(2015 高考数学安徽理科·第2 题)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由选项可知，
项均不是偶函数，故排除
，
项是偶函数，但
项与
轴没有交点，
即
项的函数不存在零点，故选A．
36．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第5 题)函数
( )
f x 在(
,
)
单调递减,且为奇函数．若
(
1
1)
f
,
则满足
2
1
(
)
1
x
f
的x 的取值范围是
( )
A．[ 2,2]
B．[ 1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
【答案】 D
【解析】因为
f x 为奇函数且在
,
上单调递减,要使1
( )
1
f x
成立,则x 满足1
1
x
,
17
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所以由1
2
1
x
得1
3
x
,即使1
(
2)
1
f x
成立的x 满足1
3
x
,选D．
37．(2017 年高考数学天津理科·第8 题)已知函数
2
3,
1,
( )
2 ,
1.
x
x
x
f x
x
x
x
设aR ,若关于x 的不等式
( ) |
|
2
x
f x
a
在R 上恒成立,则a 的取值范围是
( )
A．
47
[
,2]
16
B．
47 39
[
,
]
16 16
C．[ 2 3,2]
D．
39
[ 2 3,
]
16
【答案】 A．
【解析】由不等式
|
|
2
x
f x
a
得
( )
( )
2
x
f x
a
f x
,
( )
( )
2
2
x
x
f x
a
f x
,
只需要计算
( )
( )
2
x
g x
f x
在R 上的最大值和
( )
( )
2
x
h x
f x
在R 上的最小值即可,
当
1
x
时
又( )
g x
2
2
1
47
47
3
(
)
2
4
16
16
x
x
x
(当
1
= 4
x
时取等号),
( )
h x
2
2
3
3
39
39
3
(
)
2
4
16
16
x
x
x
(当
3
= 4
x
时取等号),
所以
47
39
16
16
a
,
当
1
x
时
又( )
g x
3
2
3
2
=
(
)
2 3,
2
2
x
x
x
x
(当
2 3
=
3
x
时取等号),
( )
h x
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
(当=2
x
时取等号),
所以2 3
2
a
,
综上
47
2
16
a
．故选A．
38．(2017 年高考数学天津理科·第6 题)已知奇函数
( )
f x 在R 上是增函数, ( )
( )
g x
xf x
．若
2
( log 5.1)
a
g
,
0.8
(2
)
b
g
,
(3)
c
g
,则, ,
a b c 的大小关系为
( )
A．a
b
c
B．c
b
a
C．b
a
c
D．b
c
a
【答案】 C．
【解析】因为奇函数
( )
f x 在R 上增函数,所以当
0
x
时,
( )
0
f x
,从而
( )
( )
g x
xf x
是R 上的偶函
数,且在(0,
)
上是增函数,
2
2
( log 5.1)
(log 5.1)
a
g
g
,
0.8
2
2
,又4
5.1
8
,则
2
2
log 5.1
3
所以
0.8
2
0
2
log 5.1
3
,所以
0.8
2
(2
)
(log 5.1)
(3)
g
g
g
,所以b
a
c
,故选C．
39．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11 题)已知函数
2
1
1
( )
2
(
)
x
x
f x
x
x
a e
e
有唯一零点，则a
( )
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
2
D．1
【答案】C
18
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【
解
析
】
法
一
：
2
1
1
0
2
x
x
f x
x
x
a e
e
，
设
1
1
x
x
g x
e
e
，
2
1
1
1
1
1
( )
x
x
x
x
e
g x
e
e
e
当
( )
0
g x
时，
1
x
，当
1
x 时，
( )
0
g x
，函数
g x 单调递减；当
1
x
时，
( )
0
g x
，函数
g x 单调递增，当
1
x
时，函数取得最小值1
2
g
，设
2
2
h x
x
x
，当
1
x
时，函数取得
最小值1
，若
0
a
，函数
h x 和
ag x 没有交点，当
0
a
时，
1
1
ag
h
时，函数
h x
和
ag x 有一个交点，即
2
1
a
，所以
1
2
a
，故选C．
法二：由条件，
2
1
1
( )
2
(e
e
)
x
x
f x
x
x
a
，得：
2
2
1
2
1
2
2
2 2
x
x
f
x
x
x
a e
e
2
1
1
4
4
4
2
x
x
x
x
x
a e
e
2
1
1
2
x
x
x
x
a e
e
所以
2
f
x
f x
，即
1
x
为
f x 的对称轴
由题意，
( )
f x 有唯一零点，∴
( )
f x 的零点只能为
1
x
即
2
1 1
1 1
(1)
1
2 1
(e
e
)
0
f
a
解得
1
2
a
．
40．(2017 年高考数学北京理科·第5 题)已知函数
1
( )
3
( )
3
x
x
f x
,则
( )
f x
( )
A．是奇函数,且在R 上是增函数
B．是偶函数,且在R 上是增函数
C．是奇函数,且在R 上是减函数
D．是偶函数,且在R 上是减函数
【答案】 A
【解析】
1
1
3
3
3
3
x
x
x
x
f
x
f x
,所以函数是奇函数,并且3x 是增函数,
1
3
x
是减
函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选A．
41．(2016 高考数学上海理科·第18 题)设
、
、
是定义域为
的三个函数，对于命题：①若
、
、
均为增函数，则
、
、
中至少有一个增函数；
②若
、
、
均是以
为周期的函数，则
、
、
均是
以
为周期的函数，下列判断正确的是
( )
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
19
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【解析1】因为
所以
又
、
、
均是以
为周期的函数
所以
，所以
是周期为
的函数
同理可得
、
均是以
为周期的函数，②正确；
、
、
中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；
三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函
数，所以①不正确．选D．
【解析2】①不成立，可举反例
，
，
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得
，
也有
∴②正确
故选D．
42．(2016 高考数学山东理科·第9 题)已知函数
的定义域为
．当
时，
；当
时，
；当
时，
．则
(
)
A．−2
B．−1
C．0
D．2
【答案】D
【解析】当
时，
,所以当
时，函数
是周期为 的周期函数，所
以
，又函数
是奇函数，所以
，故选D．
43．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第12 题)已知函数
满足
，若函数
20
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与
图像的交点为
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的图像的对称中心为
又函数
满足
，所以
图像的对称中心为：
所以
，故选Ｂ
44．(2016 高考数学北京理科·第5 题)已知
,且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：
．考查的是反比例函数
在
单调递减，所以
即
所以
错；
．考查的是三角函数
在
单调性，不是单调的，所以不一定有
，
错；
．考查的是指数函数
在
单调递减，所以有
即
所以
对；
考查的是对数函数
的性质，
，当
时，
不一定有
，所以
错．
题型三：基本初等函数
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第7 题)已知
，
，
，则下列判断正确的是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
21
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解析:
，即
,故选C．
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第0 题)设
，
，
．则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
,
所以
;
下面比较
与
的大小关系．
记
,则
,
，
由于
所以当0<x<2 时，
,即
,
,
所以
在
上单调递增，
所以
,即
,即
;
令
,则
,
,
由于
，在x>0 时,
,
所以
,即函数
在[0,+∞)上单调递减，所以
,即
,即
b<c;
综上，
,
故选：B．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第0 题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为
(
)(
)
A．1．5
B．1．2
C．0．8
D．0．6
【答案】C
解析：由
，当
时，
，
22
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则
．
故选：C．
4．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第0 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
为增函数，因为
所以
，
所以
，所以
．
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D 错误．
故选：B．
5．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第0 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定．
故选：A．
6．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第0 题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
(
)
A a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
解析：由题意可知
、
、
，
23
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，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
．
综上所述，
．
故选：A．
7．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第0 题)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者
根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中K 为最大确诊病例数．当I(
)=0．95K 时，标志着已初步遏制疫情，则
约
为
( )(ln19≈3)
A．60
B．63
C．66
D．69
【答案】C
解析：
，所以
，则
，
所以，
，解得
．
故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题．
8．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第6 题)基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基
本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫
情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数
增长率r 与R0，T 近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎
疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln2≈0．69)
( )
A．1．2 天
B．1．8 天
C．2．5 天
D．3．5 天
【答案】B
解析：因
，
，
，所以
，所以
，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
则
，所以
，所以
，
24
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所以
天． 故选：B．
9．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第7 题)已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由
得
或
所以
的定义域为
因为
在
上单调递增
所以
在
上单调递增
所以
，故选：D
10．(2022 年浙江省高考数学试题·第7 题)已知
，则
( )
A．25
B．5
C．
D．
【答案】C
解析:因为
，
，即
，所以
．
故选,C．
11．(2021 高考天津·第7 题)若
，则
( )
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
解
析
：
，
，
．
故选：C．
12．(2021 高考天津·第5 题)设
，则a，b，c 的大小关系为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
25
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解析：
，
，
，
，
，
，
． 故选：D．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第4 题)
年月
日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的
轨道运行．
点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为
，月球质量为
，地月距
离为
，
点到月球的距离为
，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
满足方程：
．设
．由于
的值很小，因此在近似计算中
，则
的近似值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
．将其代入到
中，可得
，所以
，故
．
14．(2019·北京·理·第6 题)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足
，其中星等为
的星的亮度为
．已知太阳的星等是
，天狼
星的星等是
，则太阳与天狼星的亮度的比值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足
，令
，
． 故选A．
15．(2018 年高考数学天津(理)·第5 题)已知
，
，
，则
的大小关系为
(
26
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)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
，而
，所以
．
16．如果函数
在区间
上是增函数，那么实数
的取值范围
是
( )
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】B
解：函数y
且
可以看作是关于
的二次函数，若a>1，
则
是增函数，原函数在区间
上是增函数，则要求对称轴
≤0，
矛盾；若0<a<1，则
是减函数，原函数在区间
上是增函数，则要求
当
(0<t<1)时，
在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴
≥1，∴
，
∴实数
的取值范围是
，选B．
17．函数
的反函数是
Ａ．
Ｂ．
( )
Ｃ．
Ｄ．
【答案】D
解：由函数
解得
(y>2)
所以原函数的反函数是
，选D．
18．设
，
，
，则
( )
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】A
解：
，
，排除Ｂ、
Ｄ．
，
，故选Ａ．
或
则
，选A．
19．(2014 高考数学浙江理科·第7 题)在同一直角坐标系中，函数f ( x)=xa( x≥0),g( x)=loga x 的图像可
能是
( )
27
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【答案】D
解析：当
时，函数
，
的图象为：
此时答案D 满足要求，
当
时，函数
的图象为：
无满足要求的答案，综上：故选D
20．(2014 高考数学天津理科·第4 题)函数
的单调递增区间是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:函数
的定义域为
,因为函数
是由
与
复合而成,而
在
上单调递减,
在
上单调递减,所以函数
在
上单调递增．故选
D．
21．(2014 高考数学四川理科·第9 题)已知
，下列命题：
28
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①
②
③
其中的所有正确命题的序号是
( )
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】C
解析：
故①正确
但左边的
，右边的
，故②不正确
当
时，
令
(
)
因
为
，
所
以
在
单
增
，
即
，又
与
为奇函数，所以
成立故③正确
22．(2014 高考数学辽宁理科·第3 题)已知
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：∵
，
，
∴c＞a＞b
解析2：首先将c 化简：
．画函数
的图像，如图所示：
通过观察图像得：c＞a＞b
23．(2014 高考数学福建理科·第4 题)若函数
,且
的图像如图所示，则下列函数图像
正确的是
( )
c
b
a
0
y
x
29
x
y
x
y
a
log
O
1
3
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【答案】解析：由题意可知图象过
，故有
，解得
，
选项A，
单调递减，故错误；
选项B，
，由幂函数的知识可知正确；
选项C，
，其图象应与B 关于x 轴对称，故错误；
选项D，
，当x=
3
﹣时，y=1，
但图象明显当
时，
，故错误．故选：B．
24．(2014 高考数学大纲理科·第12 题)函数
的图象与函数
的图象关于直线
对
称，则
的反函数是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：设
的反函数图像上的任意一点
，则该点关于直线
对称的点为
，该
点在函数
的图像上，而点
关于直线
的对称点为
，该点在函
数
的图像上，所以
即
，这就是
应该满足的关系式，这
也就是函数
的反函数．
25．(2015 高考数学新课标2 理科·第5 题)设函数
,
(
)
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
解析：由已知得
，又
，所以
，故
，故选C．
26．(2015 高考数学天津理科·第7 题)已知定义在R 上的函数
2
1
x m
f x
(m 为实数)为偶函数，记
0.5
2
(log
3),
log 5 ,
2
a
f
b
f
c
f
m
，则, ,
a b c 的大小关系为
( )
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】C
解析：因为函数
2
1
x m
f
x
为偶函数，所以
0
m
，即
2
1
x
f
x
，所以
30
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2
2
1
log
log 3
3
0.5
2
1
(log
3)
log
2
1
2
1
3 1
2,
3
a
f
f
2
log 5
0
2
log 5
2
1
4,
2
(0)
2
1
0
b
f
c
f
m
f
所以c
a
b
，故选C．
27．(2015 高考数学陕西理科·第12 题)对二次函数
(
为非零常数)，四位同学分别给出
下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
( )
A．
是
的零点
B．1 是
的极值点
C．3 是
的极值
D．点
在曲线
上
【答案】A
解析：若选项A 错误时，选项B、C、D 正确，
，因为是
的极值点，
是
的极值，所以
，即
，解得：
，因为点
在曲线
上，所以
，即
，解得：
，所以
，
，所以
，因为
，所以
不是
的零点，所以选项A 错误，选项B、C、D 正确，故选A．
28 ．(2015 高考数学陕西理科· 第9 题) 设
，若
，
，
，则下列关系式中正确的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，
(
)
ln
2
2
a
b
a
b
q
f
，
，
函数
( )
ln
f x
x
在
上单调递增，因为
2
a
b
ab
，所以
(
)
(
)
2
a
b
f
f
ab
，所以
q
p
r
，故选B．
29．(2015 高考数学山东理科·第10 题)设函数
则满足
的
取值范围
是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
分析：当
时，
，所以，
，即
符合题意．
当
时，
,若
，则
，即：
，所以
适合题意综上，
的取值范围是
,故选C．
30．(2017 年高考数学浙江文理科·第5 题)若函数
2
( )
f x
x
ax
b
在区间[0,1] 上的最大值是M ,最小值
31
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是m ,则M
m
( )
A．与a 有关,且与b 有关
B．与a 有关,但与b 无关
C．与a 无关,且与b 无关
D．与a 无关,但与b 有关
【答案】 B
【解析】( 特值法) 取
0,
0
a
b
得
1
M
m
; 取
0,
1
a
b
得
1
M
m
; 取
1,
0
a
b
得
2
M
m
,故M
m
与a 有关,与b 无关．故选B．
(特例法)当对称轴小于0 时,
1
M
m
a
;当对称轴大于1 时,
(1
)
M
m
a
; 故M
m
与a 有关,
与b 无关．故选B．
31．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第11 题)设, ,
x y z 为正数,且2
3
5
x
y
z
,则
(
)
A．2
3
5
x
y
z
B．5
2
3
z
x
y
C．3
5
2
y
z
x
D．3
2
5
y
x
z
【答案】D
【解析】令2
3
5
x
y
z
k
,则
2
log
x
k
,
3
log
y
k
,
5
log
z
k
∴
2
2lg
lg3
lg9
1
3
lg 2
3lg
lg8
x
k
y
k
,则2
3
x
y
2
2lg
lg5
lg 25
1
5
lg 2
5lg
lg32
x
k
z
k
,则2
5
x
z
,故选D．
32．(2017 年高考数学北京理科·第8 题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为
361
3
,而可观测宇
宙中普通物质的原子总数N 约为
80
10
．则下列各数中与
M
N 最接近的是(参考数据:lg3
0.48
)
A．
33
10
B．
53
10
C．
73
10
D．
93
10
【答案】 D
【解析】设
361
80
3
10
M
x
N
,两边取对数,
361
361
80
80
3
lg
lg
lg3
lg10
361 lg3 80
93.28
10
x
,所
以
93.28
10
x
,即
M
N 最接近
93
10
,故选D．
33．(2016 高考数学四川理科·第5 题)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司
全
年投入的研发资金
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
，则该公司全年投
入的研发资金超过
万的年份是
(
)(
参
考
数
据
：
)
A．
年B．
年
C．
年
D．
年
【答案】B
【解析】由题意可得指数增长关系式为
32
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所以该公司全年投入的研发资金超过
万的年份
年．
34．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第6 题)已知
,
,
,则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
,
,故选A.
35．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第8 题)若
，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
【解析】对A：
由于
，∴函数
在
上单调递增，因此
，A
错误；对B：
由于
，∴函数
在
上单调递减，
∴
，B 错误；对C：
要比较
和
，
只需比较
和
，只需比较
和
，只需
和
构造函数
，则
，
在
上单调递增，因此
又由
得
，∴
，C 正确
对D：
要比较
和
，只需比较
和
而函数
在
上单调递增，故
又由
得
，∴
，D 错误
故选C．
题型四：函数的图像
1．(2023 年天津卷·第4 题)函数
图象如下图所示，则
的解析式可能为
(
)
33
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( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
2．(2021 年高考浙江卷·第7 题)已知函数
，则图象为如图的函数可能是
(
)
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:对于A，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
34
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对于C，
，则
，
当
时，
，与图象不符，排除C．
故选D．
3．(2020 年浙江省高考数学试卷·第4 题)函数y=xcosx+sinx 在区间[–π，+π]的图象大致为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
，则
，
为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD 错误；
且
时，
，据此可知选项B 错误． 故选：A．
4．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第5 题)函数
在区间
的图象大致为
(
)
A．
B．
35
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C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C．
故选：A．
5．(2021 高考天津·第3 题)函数
的图像大致为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：设
，则函数
的定义域为
，关于原点对称，
36
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又
，所以函数
偶函数，排除AC；
当
时，
，所以
，排除D．
故选：B．
6．(2020 天津高考·第3 题)函数
的图象大致为
( )
A
B．
(
)
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：
，则函数
为奇函数，其图象关于坐标原
点对称，选项CD 错误；当
时，
，选项B 错误．故选：A．
7．(2020 北京高考·第6 题)已知函数
，则不等式
的解集是
(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
等价于
，
在同一直角坐标系中作出
和
的图象如图：
37
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两函数图象的交点坐标为
，不等式
的解为
或
．
所以不等式
的解集为：
．故选：D．
8．(2019·浙江·第6 题)在同一直角坐标系中，函数
，
的图象可能是
(
)
D
C
B
A
x
O
y
1
x
y
1
O
O
x
y
1
1
O
y
x
【答案】D
【解析】当
时，函数
的图象恒过点
，且在
上单调递增；
的图象
恒过点
，在
上单调递减，故选项D 满足条件．当
时，函数
的图象恒过
，在
上单调递减；
的图象恒过点
，在
上单调递增，各选项均不
符合．
9．(2019·全国Ⅲ·理·第7 题)函数
在
的图像大致为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
38
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【解析】设
，则
，所以
是奇函数，
图象关于原点成中心对称，排除选项C．又
，排除选项A、D，故选B．
10．(2018 年高考数学浙江卷·第5 题)函数
的图像可能是
( )
π
π
π
D
C
B
A
x
y
π
π
O
x
y
π
O
x
y
π
O
O
π
y
x
【答案】B
解析：设
，则
，所以该函数是一个奇
函数，其图像关于原点对称，排除A，B，又
，排除C，故选D．
11．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7 题)函数
的图象大致为( )
【答案】D
解
析
：
易
知
函
数
为
偶
函
数
，
而
，所以当
时，
；当
时，
，所以函数
在
、
上单调递增，在
、
上单调递减，故选D．
12．(2014 高考数学课标1 理科·第6 题)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为
射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的
函数
( )
f x ,则y =
( )
f x 在[0,]上的图像大致为( )
39
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x
0
P
M A
x
y
1
π
0
x
y
1
π
0
A B
x
y
1
π
0
x
y
1
π
0
( )
C D
【答案】 B
解析: 如图: 过M 作MD⊥OP 于D, 则 PM=sin x ,OM= cos x , 在Rt OMP
中,MD=
cos
sin
1
x
x
OM PM
OP
cos sin
x
x
1 sin 2
2
x
,∴
( )
f x
1 sin 2
(0
)
2
x
x
,选B．
．
13 ．(2014 高考数学湖北理科· 第10 题) 已知函数f ( x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，
f ( x)=1
2 (|x−a2|+|x−2a2|−3a2)
，若
∀x∈R ，f ( x−1)≤f ( x)，则实数a 的取值范围为
( )
A．
[−1
6 , 1
6 ]
B．
[−√6
6 , √6
6 ]
C．
[−1
3 , 1
3 ]
D．
[−√3
3 , √3
3 ]
【答案】B
解析：由题意得，若a＝0，f(x)＝x，显然成立；
40
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若a≠0，当x≥0 时，
作出x≥0 的图象 ，利用f(x)是奇函数作出整个定义
域上的图象如图：
而f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移1 个单位得到的，要满足对任意实数x，都有f(x-1)≤f(x)，至少
应向右平移6a2个单位，所以6a2≤1，解得
，且a≠0．
综上，实数a 的取值范围是
．
14．(2015 高考数学新课标2 理科·第10 题)如图，长方形
的边
，
，
是
的中点，
点
沿着边
，
与
运动，记
．将动
到
、
两点距离之和表示为
的函数
，则
的图像大致为
( )
( )
(D)
(C)
(B)
(A)
x
y
4
2
3
4
2
2
3
4
2
4
y
x
x
y
4
2
3
4
2
2
3
4
2
4
y
x
【答案】B
解析：由已知得，当点
在
边上运动时，即
时，
；当
点
在
边上运动时，即
时，
x
A
O
B
C
P
D
41
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当
时，
；当点
在
边上运动时，即
时，
，从点
的运动过程可以看出，轨迹关于直线
对称，且
，且轨迹非线型，故选B．
15．(2015 高考数学北京理科·第8 题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
(
)
( )
A．消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油
D．某城市机动车最高限速80 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
解析：“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1 升汽油，最多行驶的路程
为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最
省油，B 错误，C 中甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，甲车每消耗1 升汽油行驶的里程10km，
行驶80km，消耗8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80 千米/小时． 由于丙比乙的燃油效
率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选D．
考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解．
16．(2015 高考数学安徽理科·第9 题)函数
的图象如图所示，则下列结论成立的是
(
)
( )
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
42
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解析：由
及图象可知，
，
，则
；当
时，
，
所以
；当
，
，所以
，所以
．故
，
，
，选
C．
17．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3 题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并
整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．
根据该折线图,下列结论错误的是
( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对7 月至12 月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】 A
【解析】观察折线图,每年7 月到8 月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,故选项A 说法错误;
折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B 说法正确;
每年的接待游客量七、八月份达到最高点,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月,故选项C 说法正
确;
每年1 月至6 月的折线图比较平稳,月接待游客量波动性较小,而每年7 月至12 月的折线图不平稳,波动
性较大,故选项D 说法正确．
故选A．
18．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第4 题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最
高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为
C．B 点表示四月的平均
最低气温约为
C．下面叙述不正确的是
( )
A．各月的平均最低气温都在
C 以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于
C 的月份有5 个
43
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【答案】D
【解析】由图可知
C 均在阴影框内,所以各月的平均最低气温都在
C 以上,A 正确;由图可知在七月
的平均温差大于
C,而一月的平均温差小于
C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确;
由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在
C,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于
C 的月份有3 个或2 个,所以D 不正确.故选D.
19．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第7 题)函数
在[–2,2]的图像大致为
(
)
【答案】D
【解析1 】函数
在[–2,2] 上是偶函数，其图象关于
轴对称，因为
，所以排除
选项；当
时，
有一零点，设为
，当
时，
为减函数，当
时，
为增函数．故选D．
【解析2】
，排除A
，排除B
时，
，当
时，
因此
在
单调递减，排除C 故选D．
y
D
1
-2
O
2 x
A
1
-2
O
2 x
y
B
1
-2
O
2 x
C
1
-2
O
2
y
x
y
44
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题型五：函数与方程
1．(2021 高考天津·第9 题)设
，函数
，若
在区间
内恰有6 个零点，则a 的取值范围是( )
A．
B．
C．
【答案】A
解析：
最多有2 个根，所以
至少有4 个根，
由
可得
，由
可得
，
(1)
时，当
时，
有4 个零点，即
；
当
，
有5 个零点，即
；
当
，
有6 个零点，即
；
(2)当
时，
，
，
当
时，
，
无零点；
当
时，
，
有1 个零点；
当
时，令
，则
，此时
有2 个零点；
所以若
时，
有1 个零点．
综上，要使
在区间
内恰有6 个零点，则应满足
45
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或
或
，
则可解得a 的取值范围是
．
2．(2020 天津高考·第9 题)已知函数
若函数
恰有4 个零
点，则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】注意到
，所以要使
恰有4 个零点，只需方程
恰有3 个实根
即可，令
，即
与
的图象有
个不同交点．
因为
，
当
时，此时
，如图1，
与
有
个不同交点，不满足题意；
当
时，如图2，此时
与
恒有
个不同交点，满足题意；
当
时，如图3，当
与
相切时，联立方程得
，
令
得
，解得
(负值舍去)，所以
．
综上，
的取值范围为
．故选：D．
46
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3．(2019·浙江·第9 题)设
，
，函数
若函数
恰有
个零点，则
( )
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】解法一：设
．
当
时，
，此时最多一个零点；
当
时，
，
，
若
，即
，
，
在
，
上递增，此时
最多一个零点．不合题意；
若
，即
时，又
知
在
上函数递增，在
上函数递减．此时
函数
最多有2 个零点；
要使
恰有3 个零点，则函数
必满足在
上有1 个零点，
在
，
上有2 个零点．
如图，可知
且
，解得
，
，
，
即
，
．故选C．
47
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解法二：当
时，
，最多一个零点．(取决于
与0 的大小),所以关键研究当
时，方程
的解的个数，即
,利
用奇穿偶回画右边的三次函数
的图象，分类讨论如下．
①当
，即
时，
处为偶重零点反弹，
为奇重零点穿过，又
在
单调递增，故与
最多只能有一个交点，不符合题意．
y
x
g(x)
O
②当
，即
时，
处为3 重零点穿过，也不符合题意．
y
x
g(x)
O
③当
，即
时，
处为偶重零点反弹，
为奇重零点穿过，若
，则
与
可以有两个交点，且同时需
，故
，
．故选C．
y
x
b
g(x)
O
4．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第9 题)已知函数
，
．若
存在
个零点，则
的取值范围是
( )
48
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由
得
，作出函数
和
的图象如图
当直线
的截距
，即
时，两个函数的图象都有2 个交点，即函数
存在2
个零点，故实数
的取值范围是
，故选C．
5
．
(2014
高
考
数
学
浙
江
理
科
·
第
6
题
)
已
知
函
数
l 1
( )
A．l
B．P
C．l1
D．a−b
【答案】C
解析：由
得
，解得
，
由
，得
，即
，
故选C．
6．(2014 高考数学山东理科·第8 题)已知函数
，
，若
有两个不相
等的实根，则实数
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
解析：因为函数
的图象有两个公共点，如图所示，当
介于
和
之间时符合题意，所以
．
7．(2015 高考数学天津理科·第8 题)已知函数
2
2
,
2,
2
,
2,
x
x
f x
x
x
函数
2
g x
b
f
x
，其中
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b
R
，若函数
y
f x
g x
恰有4 个零点，则b 的取值范围是
( )
A．
7 ,
4
B．
7
, 4
C．
7
0, 4
D．
7 ,2
4
【答案】D
解析：由
2
2
,
2,
2
,
2,
x
x
f x
x
x
得
2
2
2
,
0
(2
)
,
0
x x
f
x
x
x
，
所以
2
2
2
,
0
( )
(2
)
4
2
,
0
2
2
2
(
2) ,
2
x
x
x
y
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
，
即
2
2
2,
0
( )
(2
)
2,
0
2
5
8,
2
x
x
x
y
f x
f
x
x
x
x
x
( )
( )
( )
(2
)
y
f x
g x
f x
f
x
b
,所以
y
f x
g x
恰有4 个零点等价于方程
( )
(2
)
0
f x
f
x
b
有4 个不同的解，即函数y
b
与函数
( )
(2
)
y
f x
f
x
的图象的4 个公
共点，由图象可知
7
2
4
b
．
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
8．(2015 高考数学上海理科·第17 题)记方程①：
，方程②：
，方程③：
，其中
是正实数．当
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
根的是
( )
A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
解析：方程③无实根，则
，又
，
，当
成等比数列时，
，即有
，由
得
，即
当方程①有实根，且②无实根时，
，
，可以推出
，选择B．
9．(2017 年高考数学山东理科·第10 题)已知当
0,1
x
时,函数
2
1
y
mx
的图象与y
x
m
的图象
50
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有且只有一个交点,则正实数m
的取值范围是( )
A．
0,1
2 3,
B．
0,1
3,
C．
0, 2
2 3,
D．
0, 2
3,
【答案】B
【解析】若
2
m
, 则
2
( 2
1) ,
[0,1]
y
x
x
的值域为[0,1] ;
2
2,
[0,1]
y
x
x
的值域为
[ 2,2
2]
,所以两个函数的图象无交点,故排除C．D;若
3
m
,则(1,4) 是两个函数的公共点,故选
B．
10．(2016 高考数学天津理科·第8 题)已知函数
(
，且
)在
上单调递减，且关于
的方程
恰好有两个不相等的实数解，则
的取值范围是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由
在
上递减，则
，又由
在R 上单调递减，则：
由图像可知，在
上，
有且仅有一个解，故在
上，
同样有且
仅有一个解，
当
即
时，联立
，则
，解得：
x
y
O
。2
2
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或1(舍)，当
时，由图像可知，符合条件．综上：∴
选C．
题型六：函数模型及其应用
1．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第0 题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：
°C)的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
得到下面
的散点图：
由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方
程类型的是
( )
A
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率
和温度
的回归方程类型的是
．
故选：D．
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第0 题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配
货工作．已知该超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600 份的概率为0．05，
志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0．95，则至少需要志愿者
( )
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
【答案】B
解析：由题意，第二天新增订单数为
，设需要志愿者x 名，
，
,故需要志愿者
名．
故选：B
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【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．
3．(2015 高考数学湖北理科·第10 题)设
，
表示不超过
的最大整数．若存在实数，使得
，
，…，
同时成立，则正整数
的最大值是
( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
解析：因为
表示不超过
的最大整数．由[t ]=1得1≤t<2，
由[t2]=2得2≤t2<3 ，
由[t4]=3 得4≤t 4<5 ，所以2≤t2<√5 ，
所以2≤t2<√5 ，
由[t3]=3得3≤t3<4 ，
所以6≤t5<4√5 ，
由[t5]=5 得5≤t5<6 ，与6≤t5<4√5 矛盾，
故正整数
的最大值是4．
4 ．(2015 高考数学湖北理科· 第6 题) 已知符号函数
是
上的增函数，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为
是
上的增函数，令f ( x)=x ，所以g( x)=(1−a)x ，因为a>1 ，所以g( x)是
上的减函数，由符号函数
知，
．
题型七：函数的综合问题
1．(2021 年高考全国甲卷理科·第0 题)设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函
数，当
时，
．若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
是奇函数，所以
①；
因为
是偶函数，所以
②．
53
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令
，由①得：
，由②得：
，
因为
，所以
，
令
，由①得：
，所以
．
思路一：从定义入手．
所以
．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数
的周期
．
所以
．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简
便计算的效果．
2．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第12 题)已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
54
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．
因为
，所以
，即
，所以
．
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
．
所以
．
3．(2019·天津·理·第8 题)已知
，设函数
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：当
时，
，可得
，当
，即
时，上式恒成
立，
当
，即
时，
，设
，令
，则
，由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，在
上单调递
减，所以当
时，
有最大值
，即
，有
恒成立，所以
．
当
时，
，
，
，
，
，设
，
则
，当
时，
单调递减，当
时，
单调
递增，
所以当
时，
有最小值
，又因为
恒成立，所以
．
综上可知，
．
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二、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第10 题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声
压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声
压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则
(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
解析：由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
56
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可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第11 题)已知函数
的定义域为
，
，则
(
)．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
解析：方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确．
对于B，令
，
，则
，故B 正确．
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误．
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确．
对于B，令
，
，则
，故B 正确．
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
57
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对于D ，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误．
故选：．
58
