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专题 02 函数的概念与基本初等函数
题型一：已知奇偶性求参数
1．（四川省绵阳市2024届高三二模数学（理）试题）已知 ，若 为偶函
数，则 ．
【答案】 /0.5
【解析】函数 有意义，则 ，，
解得 或 ，所以函数 定义域为 ，
因为 为偶函数，则有 ，解得 ，所以 ， ，
由 ，有 ，
则有 ，所以 .
故答案为：
2．（四川省成都市蓉城名校 2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）若函数
是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意可知：函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
若函数 是偶函数，则 ，即 ，
所以 ，即 .
故选：D．
题型二：函数图像的识别
3．（四川省德阳市重点高中2024届高三诊断模拟考试（二）数学（理科）试题）函数
的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，定义域为 ，
又 ，
所以 是奇函数，从而ACD错误，B正确.
故选：B.
4．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）已知函数 的
图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数 的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，
不符合题意，排除；对于C，当 时， ，不符合图象，排除；
对于D，当 时， ，不符合图象，排除.
故选：B
5．（四川省南充市2024届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）已知函数 的图象如图所示，
则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，又 在 上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C错误；
对于D：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，且 在 上函数是上凸递增，故D
正确.
故选：D
6．（四川省南充市2024届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）已知函数 ，则函数的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于点 对称 D．关于点
对称
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 的图象关于原点对称，
函数 的图象可由 的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A.
7．（陕西省汉中市2023-2024学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知函数 的图
象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知 的图象关于原点对称，则 为奇函数，
对于A ： 定义域为 ，
当 时 ， ，所以 ，不符合题意，故A错误；
对于B： 定义域为 ，且 ，
所以 为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误；
对于D： 定义域为 ，
且 ，
所以 为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误；
对于C： 定义域为 ， ，
所以 为奇函数，
且当 时 ， ，所以 ，符合题意，故C正确；
故选：C
8．（四川省广安市2024届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知函数 ，给出下列
4个图象：
其中，可以作为函数 的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意知， 定义域为 ，
当 时， ，由指数函数的单调性可知函数 单调递增，可对应①；
当 时， ，令 可得： ，所以当 时， ，当 时， ，所以，函数 先减后增，且当 时， ，此时可对应②；
当 时， ，当 时 ，当 时， ，当
时， ，所以，函数 先增后减，
当 时， ，且此时 ，所以可对应③，
当 时， ，此时 ，所以可对应④.
故选：D.
9．（四川省南充市 2024届高三高考适应性考试（二诊）文科数学试题）已知函数 ，则函数
的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，又 ，
所以 为奇函数，则函数 的图象关于原点 对称，
又 的图象是由 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A
题型三：函数的实际应用
10．（四川省成都市蓉城名校2024届高三下学期第二次联考数学（文）试卷） 同位素测年法最早由美
国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的C的放射性和衰
变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后 的含量 满足关系式
（其中动植物体内初始 的含量为 ）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中 的含
量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据： ， ）（ ）
A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年
【答案】B
【解析】依题意，经过n年后 含量为 ，所以有 ，代入关系式得 ，
，所以 .
故选:B．
11．（四川省宜宾市2024届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）根据调查统计，某市未来新能源
汽车保有量基本满足模型 ，其中 （单位：万辆）为第 年底新能源汽车的保有量，
为年增长率， 为饱和度， 为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，
以后每年的增长率为 ，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（ ）
（结果四舍五入保留整数，参考数据： ）
A．65万辆 B．64万辆 C．63万辆 D．62万辆
【答案】B
【解析】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，
则2033年底该省新能源汽车的保有量为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.
故选：B.
12．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2024届高三下学期二模理科数学试题）在半径为5的球体内部放置一个圆
锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，球心在圆锥的高上，
设圆锥的底面半径为r，高为 ，则 ，
所以该圆锥的体积 ，
则 ．当 时， ，当 时， ．
故当 时，V取得最大值，且最大值为 ．
故选：A.
题型四：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性
13．（宁夏回族自治区银川一中2024届高三第二次模拟考试文科数学试题）定义域为 的函数 满足
为偶函数，且当 时， 恒成立，若 ， ，，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 恒成立，
即当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 为偶函数，即 ，所以函数 关于 对称，
则函数 在 上单调递减，
所以
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
14．（四川省南充高级中学2024届高三第二次模拟（理）试卷试题）设函数
，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
由 ，得 ，
所以 为奇函数，
而 ，则其图象是 的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到的，
所以 的对称中心为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
可得 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，则 ，
所以 恒成立，即 在 上单调递增，
所以 在R上单调递增，
因为 ，
得 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
15．（四川省绵阳市2024届高三二模数学（理）试题）函数 关于直线 对称，且 在区
间 上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的图象可由函数 的图象向左平移1个单位而得，因此函数 的图
象关于y轴对称，
则 ，
显然 ，又 在区间 上单调递增，于是 ，所以 .
故选：D
16．（四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，
又 ，所以 在 上单调递增，
不等式 ，即 ，
等价于 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
17．（四川省南充高级中学2024届高三第二次模拟（文）试卷试题）设函数 ，
则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
设 ，
又易知 ， 为 上的奇函数，
又 ，
在 上单调递增，又 ，
，
，
，又 为 上的奇函数，
，又 在 上单调递增，
，
，
故满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
18．（陕西省西安市临潼区2024届高三第二次模拟检测数学（文科）试题）下列函数中，既是奇函数又在
上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项A， 的定义域为 ，不符合题意，故A错误；
选项B，设 ，定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误；
选项C，设 ，定义域为 ，
由 ，故 为奇函数，
当 时， ，且 在 上单调递减，
又因为函数图象关于原点对称，所以在 上单调递减，故C正确；选项D，设 ，则 ，
由 ，知 不是奇函数，故D错误.
故选：C.
19．（四川省成都市成实外教育集团2024届高三联考数学理科试题（二））已知函数
，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知
，
因为 ，令 ，则定义域为R，
则 ，故 为奇函数，
又 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，又其为奇函数，
故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
故选：A.
题型五：分段函数问题
20．（四川省广安市2024届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知函数 ，则的值为 .
【答案】
【解析】 ，
.
故答案为： .
21．（陕西省西安市第三十八中学2024届高三二模数学理科试卷）已知 是定义在 上的奇函数，当
时， ，则 .
【答案】
【解析】由题意得 为奇函数且定义域为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
22．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）已知定义域为
的函数 满足 ，且当 时， ，则 .
【答案】
【解析】由已知可得 ，所以 ，
所以 ，即 是函数 的一个周期，
所以 .
故答案为：
题型六：函数的定义域、值域、最值问题
23．（陕西省2024届高三下学期教学质量检测（二）文科数学试题）偶函数 的定义域为 ，函数在 上递减，且对于任意 均有 ，写出符合要求的一个函
数 为 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由函数 ，
当 ，可得 ，此时函数在 上单调递减，
又由 ，即满足 ，
故 均满足要求.
故答案为： （答案不唯一）
24．（四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）已知函数 ，
.给出下列四个结论：
① ；
②存在 ，使得 ；
③对于任意的 ，都有 ；
④ .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【解析】对于①， ，而 ，
，故 ，故 ，故 .
，而 ，
而 ，故 ，故 ，
故①错误.
对于②，设 ，
因为 在 均为减函数，故 为 上的减函数，
而 ， ，故 为 上存在唯一零点 ，
且 即 即 ，
故 ，所以 ，
故存在 ，使得 .故②正确.
对于③，由②的分析可得 在 上为减函数，
故 即 恒成立.
设 ，
同理可得 为 上的增函数，故 ，故 ，
对于④，由 ， ，
所以 ，④正确；
故答案为：②③④.
25 ． （ 四 川 省 成 都 市 2024 届 高 三 下 学 期 第 二 次 诊 断 性 检 测 理 科 数 学 试 题 ） 已 知 函 数．给出下列四个结论：
① ；
②存在 ，使得 ；
③对于任意的 ，都有 ；
④对于任意的 ，都有 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【解析】因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，故①错误；
若 ，则 ，即 ，
，即 ，
令 ，因为 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以存在 ，使得 ，故②正确，
因为 ，
因为 在 上单调递减，所以 也单调递减，
所以 ，，
因为 在 上单调递增，所以 也单调递增，
所以 ，
即 ，即对于任意的 ，都有 ，故③正确；
由②可知，存在 ，使得 ，
结合③可知当 ， ， ，即 ，
可知当 ， ， ，即 ，
因为 ， ，得 ，
即 ，
当 ，有 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 ，有 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以对于任意的 ，都有 ，故④正确.
故答案为：②③④.
26．（陕西省西安市第三十八中学2024届高三二模数学理科试卷）函数 在 上的最大值
和最小值分别是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
令 ，解得 ，即 在 上单调递增，
令 ，解得 ，所以 在 和 上单调递减，
又 ， ， ， ，
所以函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
故选：D.
27．（四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）已知函数 的值域
为 ．若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，符合题意；
当 时，因为函数 的值域为 满足 ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 的最小值小于或等于零；
若 时，依题意有 的最小值 ，即 ，
若 时，不符合题意；
综上： ，
故选：B.28．（四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）已知函数 的值域
为 .若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，令 ，所以 ；
令函数 的值域为 ，因为 ，
所以 ，所以 必须能取到 上的所有值，
，解得 .
故选：B
题型七：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用
29．（四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）已知 ， 都是定
义在R上的函数，对任意x，y满足 ，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 的图象关于直线 对称 D．
【答案】D
【解析】对于A，令 ，可得 ，得 ，
令 ， ，代入已知等式得 ，可得 ，结合 得 ，
所以 ，故A错误；
对于D，因为 ，令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故D正确；
对于B，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式：
， ，
两式相加易得 ，所以有 ，
即 ，
有 ，
即 ，所以 为周期函数，且周期为 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，故B错误；对于C，取 ， ，满足 及 ，
所以 ，又 ，
所以函数 的图像不关于直线 对称，故C错误；
故选：D.
30．（四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）已知 ， 都是定义在
上的函数，对任意 ， 满足 ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 的图像关于直线 对称 D．
【答案】D
【解析】对于A，令 ，可得 ，得 ，
令 ， ，代入已知等式得 ，
可得 ，结合 得 ，
所以 ，故A错误；
对于D，因为 ，令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故D正确；
对于B，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式：
， ，
两式相加易得 ，所以有 ，
即 ，
有 ，
即 ，所以 为周期函数，且周期为 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，故B错误；
对于C，取 ， ，满足 及 ，
所以 ，又 ，
所以函数 的图像不关于直线 对称，故C错误；
故选：D.
31．（四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）定义域为 的函数 满足
，当 时，函数 ，设函数 ，则方程
的所有实数根之和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D
【解析】因为定义域为 的函数 满足 ，即 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
又 ，则 ，
所以 关于 对称，又 ，
又 ，
又当 时，函数 ，所以 ，则 ，
令 ，即 ，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示：
由图可得 与 有 个交点，交点横坐标分别为 ，
且 与 关于 对称， 与 关于 对称，
所以 ， ，
所以方程 的所有实数根之和为 .
故选：D
32．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2024届高三下学期二模理科数学试题）已知定义在R上的函数 满足
．若 的图象关于点 对称，且 ，则（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【答案】D
【解析】因为 的图象关于点 对称，所以 ，
即 ，从而 ，
则 的图象关于点 对称．
由 ，可得 ．
令 ，得 ，则 的图象关于直线 对称．
，
则 的图象关于点 对称，则有 ，
所以 ， ，
两式相减得 ，故 是以4为周期的函数．
因为 ， ， ， ，
所以 ．
故选：D.
33．（2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题）设 是定义域为 的奇函数，且
.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若 ，且 是定义域为 的奇函数，故 ，则 ， ，变形得 ，
可得 周期为 ，则 ，故A正确.
故选：A
34．（陕西省榆林市2023-2024学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）已知定义在 上的函数
满足 ，当 时， ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数，
所以 .
故选：B
35．（陕西省西安市部分学校2024届高三下学期二模考试理科数学试题）已知函数 满足
， .则 .
【答案】 .
【解析】由函数 满足 ，
取 ，可得 ，
令 ，可得 ，
即则
.
故答案为： .
