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专题02 函数的概念与基本初等函数
题型一：已知奇偶性求参数
1．（四川省绵阳市2024 届高三二模数学（理）试题）已知
，若
为偶函
数，则
．
【答案】
/0.5
【解析】函数
有意义，则
，，
解得
或
，所以函数
定义域为
，
因为
为偶函数，则有
，解得
，
1
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所以
，
，
由
，有
，
则有
，所以
.
故答案为：
2 ．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）若函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】由题意可知：函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
若函数
是偶函数，则
，即
，
所以
，即
.
故选：D．
题型二：函数图像的识别
3．（四川省德阳市重点高中2024 届高三诊断模拟考试（二）数学（理科）试题）函数
的图象大致是（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，定义域为
，
又
，
所以
是奇函数，从而ACD 错误，B 正确.
故选：B.
4．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024 届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）已知函数
的
图象如图所示，则函数
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，函数
的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0 时无意义，
不符合题意，排除；
3
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对于C，当
时，
，不符合图象，排除；
对于D，当
时，
，不符合图象，排除.
故选：B
5．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）已知函数
的图象如图所示，
则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数
的定义域为
，又
为奇函数，又
在
上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C 错误；
对于D：函数
的定义域为
，又
为奇函数，且
在
上函数是上凸递增，故D
正确.
故选：D
6．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）已知函数
，则函数
4
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的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
【答案】A
【解析】因为
，所以
，即
的图象关于原点对称，
函数
的图象可由
的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称.
故选：A.
7．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知函数
的图
象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，
当
时
，
，所以
，不符合题意，故A 错误；
对于B：
定义域为
，
5
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且
，
所以
为非奇非偶函数，不符合题意，故B 错误；
对于D：
定义域为
，
且
，
所以
为非奇非偶函数，不符合题意，故D 错误；
对于C：
定义域为
，
，
所以
为奇函数，
且当
时
，
，所以
，符合题意，故C 正确；
故选：C
8．（四川省广安市2024 届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知函数
，给出下列
4 个图象：
其中，可以作为函数
的大致图象的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由题意知，
定义域为
，
当
时，
，由指数函数的单调性可知函数
单调递增，可对应①；
当
时，
，令
可得：
，所以当
时，
，
6
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当
时，
，所以，函数
先减后增，且当
时，
，此时可对应②；
当
时，
，当
时
，当
时，
，当
时，
，所以，函数
先增后减，
当
时，
，且此时
，所以可对应③，
当
时，
，此时
，所以可对应④.
故选：D.
9．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）文科数学试题）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，又
，
所以
为奇函数，则函数
的图象关于原点
对称，
又
的图象是由
的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称.
故选：A
题型三：函数的实际应用
10．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）
同位素测年法最早由美
国学者Willard Frank Libby 在1940 年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的C 的放射性和衰
变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射
7
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性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n 年后
的含量
满足关系式
（其中动植物体内初始
的含量为
）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中
的含
量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：
，
）（ ）
A．2750 年
B．2865 年
C．3050 年
D．3125 年
【答案】B
【解析】依题意，经过n 年后
含量为
，所以有
，代入关系式得
，
，所以
.
故选:B．
11．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）根据调查统计，某市未来新能源
汽车保有量基本满足模型
，其中
（单位：万辆）为第
年底新能源汽车的保有量，
为年增长率，
为饱和度，
为初始值.若该市2023 年底的新能源汽车保有量是20 万辆，以此为初始值，
以后每年的增长率为
，饱和度为1300 万辆，那么2033 年底该市新能源汽车的保有量约为（ ）
（结果四舍五入保留整数，参考数据：
）
A．65 万辆
B．64 万辆
C．63 万辆
D．62 万辆
【答案】B
【解析】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023 年的为初始值，
则2033 年底该省新能源汽车的保有量为
，
8
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因为
，所以
，
所以
，
所以2033 年底该市新能源汽车的保有量约为64 万辆.
故选：B.
12．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2024 届高三下学期二模理科数学试题）在半径为5 的球体内部放置一个圆
锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，球心在圆锥的高上，
设圆锥的底面半径为r，高为
，则
，
所以该圆锥的体积
，
则
．当
时，
，当
时，
．
故当
时，V 取得最大值，且最大值为
．
故选：A.
题型四：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性
13．（宁夏回族自治区银川一中2024 届高三第二次模拟考试文科数学试题）定义域为
的函数
满足
为偶函数，且当
时，
恒成立，若
，
，
9
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，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
恒成立，
即当
时，
，函数
在
上单调递增，
又
为偶函数，即
，所以函数
关于
对称，
则函数
在
上单调递减，
所以
因为
，所以
所以
，
所以
，即
，
故选：D.
14．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（理）试卷试题）设函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
由
，得
，
所以
为奇函数，
而
，
10
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则其图象是
的图象向右平移1 个单位长度，向上平移3 个单位长度得到的，
所以
的对称中心为
，所以
，
因为
，所以
，
可得
，当且仅当
时等号成立，
而
，则
，
所以
恒成立，即
在
上单调递增，
所以
在R 上单调递增，
因为
，
得
，
所以
，解得
.
故选：B.
15．（四川省绵阳市2024 届高三二模数学（理）试题）函数
关于直线
对称，且
在区
间
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的图象可由函数
的图象向左平移1 个单位而得，因此函数
的图
象关于y 轴对称，
则
，
显然
，又
在区间
上单调递增，
11
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于是
，所以
.
故选：D
16．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
又
，所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，
等价于
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
17．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（文）试卷试题）设函数
，
则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
设
，
又易知
，
为
上的奇函数，
又
，
在
上单调递增，
12
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又
，
，
，
，又
为
上的奇函数，
，又
在
上单调递增，
，
，
故满足
的
的取值范围是
．
故选：C．
18．（陕西省西安市临潼区2024 届高三第二次模拟检测数学（文科）试题）下列函数中，既是奇函数又在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】选项A，
的定义域为
，不符合题意，故A 错误；
选项B，设
，定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，且在定义域上为增函数，故B 错误；
选项C，设
，定义域为
，
由
，故
为奇函数，
当
时，
，且
在
上单调递减，
又因为函数图象关于原点对称，所以在
上单调递减，故C 正确；
13
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选项D，设
，则
，
由
，知
不是奇函数，故D 错误.
故选：C.
19．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学理科试题（二））已知函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知
，
因为
，令
，则定义域为R，
则
，故
为奇函数，
又
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，又其为奇函数，
故
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，即
.
故选：A.
题型五：分段函数问题
20．（四川省广安市2024 届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知函数
，则
14
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的值为 .
【答案】
【解析】
，
.
故答案为：
.
21．（陕西省西安市第三十八中学2024 届高三二模数学理科试卷）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
.
【答案】
【解析】由题意得
为奇函数且定义域为
，所以
，
所以
，所以
.
故答案为：.
22．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024 届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）已知定义域为
的函数
满足
，且当
时，
，则
.
【答案】
【解析】由已知可得
，所以
，
所以
，即
是函数
的一个周期，
所以
.
故答案为：
题型六：函数的定义域、值域、最值问题
23．（陕西省2024 届高三下学期教学质量检测（二）文科数学试题）偶函数
的定义域为
，函数
15
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在
上递减，且对于任意
均有
，写出符合要求的一个函
数
为 .
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由函数
，
当
，可得
，此时函数在
上单调递减，
又由
，即满足
，
故
均满足要求.
故答案为：
（答案不唯一）
24．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）已知函数
，
.给出下列四个结论：
①
；
②存在
，使得
；
③对于任意的
，都有
；
④
.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【解析】对于①，
，而
，
，故
，故
，
16
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故
.
，而
，
而
，故
，故
，
故①错误.
对于②，设
，
因为
在
均为减函数，故
为
上的减函数，
而
，
，故
为
上存在唯一零点
，
且
即
即
，
故
，所以
，
故存在
，使得
.故②正确.
对于③，由②的分析可得
在
上为减函数，
故
即
恒成立.
设
，
同理可得
为
上的增函数，故
，故
，
对于④，由
，
，
所以
，④正确；
故答案为：②③④.
25 ．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）已知函数
17
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．给出下列四个结论：
①
；
②存在
，使得
；
③对于任意的
，都有
；
④对于任意的
，都有
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【解析】因为
，所以
，
，
因为
，
，
所以
，故①错误；
若
，则
，即
，
，即
，
令
，因为
，
所以存在
，使得
，即
，
所以存在
，使得
，故②正确，
因为
，
因为
在
上单调递减，所以
也单调递减，
所以
，
18
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，
因为
在
上单调递增，所以
也单调递增，
所以
，
即
，即对于任意的
，都有
，故③正确；
由②可知，存在
，使得
，
结合③可知当
，
，
，即
，
可知当
，
，
，即
，
因为
，
，得
，
即
，
当
，有
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，
当
，有
，
因为
，所以
，所以
，
即
，所以对于任意的
，都有
，故④正确.
故答案为：②③④.
26．（陕西省西安市第三十八中学2024 届高三二模数学理科试卷）函数
在
上的最大值
和最小值分别是（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
令
，解得
，即
在
上单调递增，
令
，解得
，所以
在
和
上单调递减，
又
，
，
，
，
所以函数
在
上的最大值为
，最小值为
.
故选：D.
27．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）已知函数
的值域
为
．若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，符合题意；
当
时，因为函数
的值域为
满足
，
由指数函数的单调性可知，即二次函数
的最小值小于或等于零；
若
时，依题意有
的最小值
，即
，
若
时，不符合题意；
综上：
，
故选：B.
20
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28．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）已知函数
的值域
为
.若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，令
，所以
；
令函数
的值域为
，因为
，
所以
，所以
必须能取到
上的所有值，
，解得
.
故选：B
题型七：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用
29．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）已知
，
都是定
义在R 上的函数，对任意x，y 满足
，且
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
的图象关于直线
对称
D．
【答案】D
【解析】对于A，令
，可得
，得
，
令
，
，代入已知等式得
，
21
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可得
，结合
得
，
所以
，故A 错误；
对于D，因为
，令
，代入已知等式得
，
将
，
代入上式，得
，所以函数
为奇函数.
令
，
，代入已知等式，得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
，故D 正确；
对于B，分别令
和
，代入已知等式，得以下两个等式：
，
，
两式相加易得
，所以有
，
即
，
有
，
即
，所以
为周期函数，且周期为，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
，
所以
，故B 错误；
22
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对于C，取
，
，满足
及
，
所以
，又
，
所以函数
的图像不关于直线
对称，故C 错误；
故选：D.
30．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）已知
，
都是定义在
上的函数，对任意
，
满足
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
的图像关于直线
对称
D．
【答案】D
【解析】对于A，令
，可得
，得
，
令
，
，代入已知等式得
，
可得
，结合
得
，
所以
，故A 错误；
对于D，因为
，令
，代入已知等式得
，
将
，
代入上式，得
，所以函数
为奇函数.
令
，
，代入已知等式，得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
23
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因为
，所以
，故D 正确；
对于B，分别令
和
，代入已知等式，得以下两个等式：
，
，
两式相加易得
，所以有
，
即
，
有
，
即
，所以
为周期函数，且周期为，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
，
所以
，故B 错误；
对于C，取
，
，满足
及
，
所以
，又
，
所以函数
的图像不关于直线
对称，故C 错误；
故选：D.
31．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）定义域为
的函数
满足
，当
时，函数
，设函数
，则方程
的所有实数根之和为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
24
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【答案】D
【解析】因为定义域为
的函数
满足
，即
，
所以
是以
为周期的周期函数，
又
，则
，
所以
关于
对称，又
，
又
，
又当
时，函数
，所以
，则
，
令
，即
，
在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象如下所示：
由图可得
与
有
个交点，交点横坐标分别为
，
且
与
关于
对称，
与
关于
对称，
所以
，
，
所以方程
的所有实数根之和为
.
故选：D
32．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2024 届高三下学期二模理科数学试题）已知定义在R 上的函数
满足
．若
的图象关于点
对称，且
，则
25
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（ ）
A．0
B．50
C．2509
D．2499
【答案】D
【解析】因为
的图象关于点
对称，所以
，
即
，从而
，
则
的图象关于点
对称．
由
，可得
．
令
，得
，则
的图象关于直线
对称．
，
则
的图象关于点
对称，则有
，
所以
，
，
两式相减得
，故
是以4 为周期的函数．
因为
，
，
，
，
所以
．
故选：D.
33．（2024 届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题）设
是定义域为
的奇函数，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，且
是定义域为
的奇函数，故
，
26
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则
，
，变形得
，
可得
周期为
，则
，故A 正确.
故选：A
34．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．-2
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
所以
.
故选：B
35．（陕西省西安市部分学校2024 届高三下学期二模考试理科数学试题）已知函数
满足
，
.则
.
【答案】
.
【解析】由函数
满足
，
取
，可得
，
令
，可得
，
即
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则
.
故答案为：
.
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