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专题03 函数概念与基本初等函数
（新定义，高观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示..........................................1
二、函数的基本性质........................................2
三、分段函数..............................................3
四、函数的图象............................................4
五、二次函数..............................................5
六、指对幂函数............................................6
七、函数与方程............................................7
八、新定义、新文化题（选填题）............................8
九、新定义题（解答题）...................................10
一、函数及其表示
1．（2024·安徽·二模）已知函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
2．（2024·四川泸州·二模）已知
，
都是定义在R 上的函数，对任意x，y 满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
1
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A．
B．若
，则
C．函数
的图象关于直线
对称
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
，若对任意
，都有
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·四川成都·期末）已知
为函数
图象上一动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（23-24 高三上·重庆·期末）已知函数
满足
，
且
当
时，
，若存在
，使得
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、函数的基本性质
1．（2024·浙江丽水·二模）已知正实数
满足
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
2
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为偶函数，
，则
=（ ）
A．4036
B．4040
C．4044
D．4048
3．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数
的定义域为
，
为奇函数，设
是
的导函数，若
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖南·二模）已知
，若
，则实数
的取值范围是 ，
5．（2024·河北·模拟预测）已知
表示不超过
的最大整数，
，设
，
且
，则
的最小值为 ；当
时，满足条件的所有
值的
和
.
三、分段函数
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
，若函数
恰有6 个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若关于
的方程
3
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有8 个不相等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·天津·一模）若函数
恰有两个不同的零点
，且
，则
的取值范围为 ．
4．（23-24 高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数
和
的定义域分别为
和
，若
对任意的
都恰有
个不同的实数
，使得
（其中
），则称
为
的“
重覆盖函数”.（1）若函数
是
的“
重覆盖函数”，则
；
（2）若
为
的“2 重覆盖函数”，记实数
的最大值为
，则
.
四、函数的图象
1．（2024·福建莆田·二模）对于函数
和
，及区间
，若存在实数
，
使得
对任意
恒成立，则称
在区间
上“优于”
．有以下四个结论：
①
在区间
上“优于”
；
②
在区间
上“优于”
；
③
在区间
上“优于”
；
④若
在区间
上“优于”
，则
．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4
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2．（2024·陕西渭南·一模）已知
，若存在实数
（
），当
（
）时，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，函数
在区间
内的所有零点的和为
16，则实数
的取值范围是 .
4．（23-24 高一上·吉林白山·阶段练习）已知函数
，若存在实
数
，使得关于
的方程
有三个不同的根，则
的取值范围是 .
五、二次函数
1．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数
，
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河南新乡·三模）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
成立，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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3．（多选）（2024·浙江·模拟预测）二次函数
（a，b，c 是常数，且
）
的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当
时，对应的函数值
.下列说法不正确的有（ ）
A．
B．
C．关于x 的方程
一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在
和0
之间
D．
和
在该二次函数的图象上，则当实数
时，
4．（2024·湖北·一模）记
，
分别表示函数
在
上的最大值
和最小值．则
．
5．（2024·广东惠州·一模）已知
为函数
图象上一动点，则
的最
大值为 ．
六、指对幂函数
1．（2024·重庆·模拟预测）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知
是函数
的一个零点，
是函数
的一个零点，则
的值为（ ）
A．1012
B．2024
C．4048
D．8096
3．（2024·甘肃兰州·一模）已知
是定义在
上的奇函数，且对于任意
均有
6
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，当
时，
，若
（是自然对数
的底），则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，则
．
5．（2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是
在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统
加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个
级火
箭，在第
级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为
，
其中
．
注：
表示人造天体质量，
表示第
（
）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①
；
②当
时，
；
③当
时，若
，则
．
其中所有正确结论的序号是 ．
6．（23-24 高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和
曲线
上，则
的最小值为 ．
7．（2024·全国·模拟预测）函数
在区间
上的最大值与最小
值之和为
，则
的最小值为 ．
7
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七、函数与方程
1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数
有3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c 均为正数，且
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数
的零点为
，
存在零点
，使
，则
不能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖北·二模）已知函数
有零点，当
取最小值
时，
的值为 ．
5．（23-24 高一上·山东济南·期末）已知函数
，
，若
函数
有三个零点
，则
的取值范围是 .
6．（23-24 高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数
和
的定义域分别为
和
，若
对任意的
都恰有
个不同的实数
，使得
（其中
），则称
为
的“
重覆盖函数”.（1）若函数
是
的“
重覆盖函数”，则
；
8
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（2）若
为
的“2 重覆盖函数”，记实数
的最大值为
，则
.
八、新定义、新文化题（选填题）
1．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学
科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早
为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与
“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，
常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函
数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000 年前被伟大
的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除
以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即
．那如何计算它的周长呢？这个问
题也在约400 年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半
径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即
．若一个椭
圆的面积为
，那么其周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中
项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三
类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若
，则
的最小值为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
4．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合
道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响
较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而
改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量
、放电时间和放电电流
之间关系的经验公
式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变
的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时间为
，则该蓄电池的Peukert 常数
约为（参考数据：
，
）（ ）
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.15
5．（22-23 高二下·辽宁本溪·阶段练习）2023 年1 月31 日，据“合肥发布”公众号报道，
我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025 年量子计算机可以操控的超导量子比
特达到1024 个.已知1 个超导量子比特共有2 种叠加态，2 个超导量子比特共有4 种叠加
态，3 个超导量子比特共有8 种叠加态，
，每增加1 个超导量子比特，其叠加态的种数
就增加一倍.若
，则称
为
位数，已知1024 个超导量子比
特的叠加态的种数是一个
位的数，则
（ ）（参考数据：
）
A．308
B．309
C．1023
D．1024
6．（多选）（2024·重庆·一模）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名
的函数
被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则以下
关于狄利克雷函数
的结论中，正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
的值域是
C．对于任意的
，都有
D．在
图象上不存在不同的三个点
，使得
为等边三角形
E．在
图象存在不同的三个点
，使得
为等边三角形
7．（多选）（23-24 高一上·浙江·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设
，用
表示不超过x
的最大整数，则
称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
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B．函数
有3 个零点
C．
的最小正周期为
D．
的值域为
8．（多选）（2023 高一·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个
非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威
尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是
对于满足一定条件的图象不间断的函数
，存在一个点
，使得
，那么我们
称该函数为“不动点”函数，x 为函数的不动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
为“不动点”函数
B．
的不动点为
和
C．
为“不动点”函数
D．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数
满足
，则
9．（23-24 高一上·河南驻马店·期末）给定函数
，若在其定义域内存在
使得
，则称
为“
函数”，
为该函数的一个“
点”．设函数
，若
是
的一个“
点”，则实数
的值为 ．若
为“
函数”，则实数
的取值范围为 ．
九、新定义题（解答题）
1．（2024 高三·上海·专题练习）设函数
在
上有定义，实数
，
满足
．
若
在区间
上不存在最小值，则称
在区间
上具有性质
．
(1)若函数
，且
在区间
上具有性质
时，求常数的取值范围；
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(2)已知
，且当
时，
，判别
在区间
上是
否具有性质
，并说明理由；
(3)若对于
的任意实数
和
；函数
在区间
上具有性质
，且对于任意
，当
时，有：
，证明：当
时，
．
2．（23-24 高一下·辽宁辽阳·阶段练习）定义：若函数
的值域是定义域的子集，则称
是紧缩函数．
(1)试问函数
是否为紧缩函数？说明你的理由．
(2)若函数
是紧缩函数，求
的取值范围．
(3)已知常数
，函数
，
是紧缩函数，求
的取值
集合．
3．（23-24 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数
，将函数
的图象上的点
纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象.
(1)写出函数
的解析式；
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(2)试判断
，
，
的大小；
(3)如果函数
的定义域为
，若对于任意
，
，
，
分别为某个
三角形的边长，则称
为“三角形函数”.记
，当定义域为
时，
为“三角形函数”，求实数
的取值范围.
4．（23-24 高二下·江苏镇江·阶段练习）我们知道，函数
与
互为
反函数．一般地，设A，B 分别为函数
的定义域和值域，如果由函数
可
解得唯一
也是一个函数（即对任意一个
，都有唯一的
与之对应），那
么就称函数
是函数
的反函数，记作
．在
中，y 是自
变量，x 是y 的函数．习惯上改写成
的形式.反函数具有多种性质，
如：①如果
是
的反函数，那么
也是
的反函数；②互
为反函数的两个函数的图象关于直线
对称；③一个函数与它的反函数在相应区间上的
单调性是一致的．
(1)已知函数
的图象在点
处的切线倾斜角为60°，求其反函数
的图
象在
时的切线方程；
(2)若函数
，试求其反函数
并判断单调性；
(3)在（2）的条件下，证明：当
时，
，
．
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日系数．分别对
中的
部分求
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导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，
即：
，下标加上
，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组
之中的
表示分别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
14
