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大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）
专题05 导数及其应用(解答题)
1．【2024 年新高考1 卷第18 题】已知函数f ( x)= ln
x
2−x +ax +b( x−1)
3
(1)若b=0，且f '( x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
(3)若f ( x)>−2当且仅当1< x<2，求b的取值范围．
2．【2024 年新高考2 卷第16 题】已知函数f ( x)=e
x−ax−a
3．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f ( x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
3．【2024 年甲卷理科第21 题】已知函数f (x)=(1−ax)ln (1+ x)−x．
(1)当a=−2时，求f (x)的极值；
(2)当x ≥0时，f (x)≥0，求a的取值范围．
4．【2023 年新课标全国Ⅱ卷第22 题】（1）证明：当0< x<1时，x−x
2<sin x< x；
（2）已知函数f (x)=cosax−ln(1−x
2)，若x =0是f (x)的极大值点，求a 的取值范围．
5．【2023 年新课标全国Ⅰ卷第19 题】已知函数f (x)=a(e
x+a)−x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)>2ln a+ 3
2．
6．【2023 年高考全国乙卷理第21 题】已知函数f ( x)=(
1
x +a)ln(1+ x).
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y = f(
1
x)关于直线x =b对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,+ ∞)存在极值，求a 的取值范围.
1
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7．【2023 年高考全国甲卷理第21 题】已知函数f ( x)=ax−sin x
co s
3 x
, x∈(0, π
2)
(1)当a=8时，讨论f ( x)的单调性；
(2)若f ( x)<sin 2 x恒成立，求a 的取值范围．
8．【2022 年新课标全国Ⅰ卷第22 题】已知函数f ( x)=e
x−ax和g( x)=ax−ln x有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y =b，其与两条曲线y = f ( x)和y = g( x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等差数列．
9．【2022 年新课标全国Ⅱ卷第22 题】已知函数f ( x)= x e
ax−e
x．
(1)当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
(2)当x>0时，f ( x)<−1，求a 的取值范围；
(3)设n∈N
∗，证明：
1
√1
2+1
+
1
√2
2+2
+⋯+
1
√n
2+n
>ln(n+1)．
10．【2022 年高考全国乙卷理第21 题】已知函数f (x)= ln (1+ x)+ax e
−x
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若f (x)在区间(−1,0),(0,+ ∞)各恰有一个零点，求a 的取值范围．
11．【2022 年高考全国甲卷理第21 题】已知函数f (x)= e
x
x −ln x + x−a．
(1)若f (x)≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x1, x2，则x1 x2<1．
12．【2021 年新课标全国Ⅰ卷第22 题】已知函数f (x)= x (1−ln x).
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且b ln a−a ln b=a−b，证明：2< 1
a + 1
b <e.
13．【2021 年新课标全国Ⅱ卷第21 题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0 代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P( X =i)= pi(i=0,1,2,3)．
（1）已知p0=0.4 , p1=0.3, p2=0.2, p3=0.1，求E( X )；
2
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（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：p0+ p1 x + p2 x
2+ p3 x
3= x
的一个最小正实根，求证：当E( X )≤1时，p=1，当E( X )>1时，p<1；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
14．【2021 年新课标全国Ⅱ卷第22 题】已知函数f ( x)=( x −1)e
x−a x
2+b．
（1）讨论f ( x)的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：f ( x)只有一个零点
①1
2 <a≤e
2
2 ,b>2a；
②0<a< 1
2 ,b≤2a．
15．【2021 年高考全国乙卷理第20 题】设函数f (x)= ln (a−x)，已知x =0是函数y = xf (x)的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g( x)= x + f ( x)
xf ( x) ．证明:g(x)<1．
16．【2021 年高考全国甲卷理第21 题】已知a>0且a≠1，函数f ( x)= x
a
a
x ( x>0)．
（1）当a=2时，求f (x)的单调区间；
（2）若曲线y = f (x)与直线y =1有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
17．【2020 年新课标全国Ⅱ卷第22 题】已知函数f ( x)=ae
x−1−ln x + ln a．
（1）当a=e时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式f (x)≥1恒成立，求a 的取值范围．
18．【2020 年新课标Ⅲ卷理科第21 题】设函数f ( x)= x
3+bx +c，曲线y = f ( x)在点(1
2，f(1
2))处的切线与
y 轴垂直．
（1）求b．
（2）若f ( x)有一个绝对值不大于1 的零点，证明：f ( x)所有零点的绝对值都不大于1．
19．【2020 年新课标Ⅱ卷理科第21 题】已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：|f ( x)|≤3√3
8
；
3
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（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3
n
4
n.
20．【2020 年新课标Ⅰ卷理科第21 题】已知函数f ( x)=e
x+a x
2−x.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥1
2x3+1，求a 的取值范围.
21．【2019 年新课标Ⅲ卷理科第20 题】已知函数f ( x)=2 x
3−a x
2+b.
（1）讨论f ( x)的单调性；
（2）是否存在a,b，使得f ( x)在区间[0,1]的最小值为−1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若
不存在，说明理由.
22．【2019 年新课标Ⅱ卷理科第20 题】已知函数f (x)= ln x−x +1
x−1.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y =e
x的切线.
23．【2019 年新课标Ⅰ卷理科第20 题】已知函数f ( x)=sin x−ln(1+ x)，f
'( x)为f ( x)的导数．证明：
（1）f
'( x)在区间(−1, π
2 )存在唯一极大值点；
（2）f ( x)有且仅有2 个零点．
24．【2018 年新课标Ⅱ卷理科第21 题】已知函数f (x)=e
x−a x
2．
（1）若a=1，证明：当x ≥0时，f (x)≥1；
（2）若f (x)在(0,+∞)只有一个零点，求a的值.
25．【2018 年新课标Ⅲ卷理科第21 题】已知函数f (x)=(2+ x +a x
2)ln (1+ x)−2 x．
（1）若a=0，证明：当−1< x<0时，f (x)<0；当x>0时，f (x)>0；
（2）若x =0是f (x)的极大值点，求a．
26．【2018 年新课标Ⅰ卷理科第21 题】已知函数f ( x)= 1
x −x +a ln x．
（1）讨论f ( x)的单调性；
4
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（2）若f ( x)存在两个极值点x1, x2，证明：
f (x1)−f (x2)
x1−x2
<a−2．
27．【2017 年新课标Ⅰ卷理科第21 题】已知函数f (x)=ae
2 x+(a−2)e
x−x
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）若f (x)有两个零点，求a的取值范围.
28．【2017 年新课标Ⅲ卷理科第21 题】已知函数f ( x)= x−1−aln x．
（1）若f ( x)≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，(1+ 1
2 )(1+ 1
2
2 )⋯(1+ 1
2
n )<m，求m 的最小值．
29．【2017 年新课标Ⅱ卷理科第21 题】已知函数f (x)=a x
2−ax−x ln x ,且f (x)≥0.
（1）求a；
（2）证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e
−2<f (x0)<2
−2.
30．【2016 年新课标Ⅲ卷理科第21 题】设函数f ( x)=α cos2 x +(α −1)(cos x +1)，其中α＞0，记
|f ( x)|的最大值为A．
（Ⅰ）求f
'( x)；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明|f '( x)|≤2 A.
31．【2016 年新课标Ⅱ卷理科第21 题】(1)讨论函数f (x)= x−2
x +2 e
x 的单调性，并证明当x >0 时，
(x−2)e
x+ x +2>0;
(2)证明：当a∈[0,1) 时，函数g（x ）= e
x−ax−a
x
2
( x>0) 有最小值.设g（x）的最小值为h(a)，求函
数h(a) 的值域.
32．【2016 年新课标Ⅰ卷理科第21 题】已知函数f ( x)=( x −2)e
x+a( x −1)
2有两个零点.
（Ⅰ）求a 的取值范围；
5
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（Ⅱ）设x1，x2是f ( x)的两个零点，证明：x1+ x2<2.
33．【2015 年新课标Ⅱ理科第21 题】设函数f ( x)=e
mx+ x
2−mx．
（1）证明：f ( x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；
（2）若对于任意x1, x2∈[−1,1]，都有|f ( x1)−f ( x2)|≤e−1，求m 的取值范围．
34．【2015 年新课标Ⅰ理科第21 题】已知函数f ( x)= x
3+ax + 1
4 ，g( x)=−ln x．
（1）当a为何值时，x轴为曲线y = f ( x)的切线；
（2）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h( x)=min{f ( x),g( x)}( x>0)，讨论h( x)零点的个数．
1．（2024·浙江·三模）已知函数f (x)= e
x+ x−1
e
x
．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若曲线y = f (x)在点(0,0)处的切线与二次曲线y =a x
2+(2a+5) x−2只有一个公共点，求实数a 的值．
2．（2024·广东汕头·三模）已知函数f (x)= ln x−ax ,g(x)= 2
ax ,a≠0．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若f (x)≤g(x)恒成立，求a的最小值．
3．（2024·山西吕梁·三模）已知函数f (x)= x
2−2 x +aln x ,(a∈R).
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的x1, x2∈(0,+∞), x1≠x2，使
x2f (x1)−x1f (x2)
x1−x2
>0恒成立，则实数a的取值范围.
4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f ( x)= x ln x，g( x)= 2f ( x)
x
−x + 1
x
.
(1)求函数g( x)的单调区间；
(2)若当x>0时，m x
2−e
x≤mf ( x)恒成立，求实数m 的取值范围.
5．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数f (x)= ln x + 1
2 x
2−ax + 3
2，(a>0).
(1)当x∈[1,+∞)时，函数f (x)≥0恒成立，求实数a的最大值；
6
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(2)当a=2时，若f (x1)+ f (x2)=0，且x1≠x2，求证：x1+ x2>2；
(3)求证：对任意n∈N
∗，都有2ln (n+1)+∑
i=1
n
(
i−1
i )
2
>n.
6．（2024·贵州六盘水·三模）若函数f (x)在[a,b]上有定义，且对于任意不同的x1, x2∈[a,b]，都有
|f (x1)−f (x2)|<k|x1−x2|，则称f (x)为[a,b]上的“k 类函数”
(1)若f (x)= x
2，判断f (x)是否为[1,2]上的“4 类函数”；
(2)若f (x)= 2
e ln x +(a+1) x + 1
x 为[1,e]上的“2 类函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若f (x)为[1,2]上的“2 类函数”且f (1)= f (2)，证明：∀x1，x2∈[1,2]，|f (x1)−f (x2)|<1.
7．（2024·重庆·三模）已知函数f ( x)=ae
x , g( x)= ln x +b(a,b∈R).
(1)当b=1时，f ( x)≥g( x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知直线l1、l2是曲线y = g( x)的两条切线，且直线l1的斜率之积为1.
（i）记x0为直线l1交点的横坐标，求证：x0<1；
（ii）若l1也与曲线y = f ( x)相切，求a,b的关系式并求出b的取值范围.
8．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数f ( x)= ln x + a
x −1(a∈R)．
(1)求函数f ( x)的极值；
(2)设函数f ( x)的导函数为f
'( x)，若f '( x1)= f '( x2)（x1≠x2），证明：f (x1)+ f (x2)+ 1
a >1．
9．（2024·广东茂名·一模）设函数f (x)=e
x+asin x，x∈[0,+ ∞).
(1)当a=−1时，f (x)≥bx +1在[0,+ ∞)上恒成立，求实数b的取值范围；
(2)若a>0,f (x)在[0,+ ∞)上存在零点，求实数a的取值范围.
10．（2024·河南信阳·二模）已知函数y = f (x)，其中f (x)= 1
3 x
3−k x
2，k ∈R.若点A在函数y = f (x)的图
像上，且经过点A的切线与函数y = f (x)图像的另一个交点为点B，则称点B为点A的一个“上位点”，现
有函数y = f (x)图像上的点列M 1，M 2，…，M n，…，使得对任意正整数n，点M n都是点M n+1的一个
“上位点”.
7
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(1)若k =0，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点M 1的坐标为(3k ,0)，请分别求出点M 2、M 3的坐标；
(3)若M 1的坐标为(3,0)，记点M n到直线y =m的距离为dn.问是否存在实数m和正整数T，使得无穷数列dT、
dT +1、…、dT +n…严格减？若存在，求出实数m的所有可能值；若不存在，请说明理由.
11．（2024·四川自贡·三模）已知函数f ( x)=1+ 1
x +a ln x(a>0)
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)函数f ( x)有唯一零点x1，函数g( x)= x−sin x−a
e
2在R上的零点为x2．证明：x1< x2．
12．（2024·山东青岛·二模）已知函数f ( x)= ln x +a x
2−x +a+1.
(1)证明曲线y = f (x)在x =1处的切线过原点；
(2)讨论f (x)的单调性；
13．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数f (x)，若实数x0满足f (x0)= x0，则x0称为f (x)的不动点．已
知函数f (x)=e
x−2 x +ae
−x(x ≥0)．
(1)当a=−1时，求证f (x)≥0；
(2)当a=0时，求函数f (x)的不动点的个数；
(3)设n∈N
∗，证明
1
√1
2+1
+
1
√2
2+2
+⋯+
1
√n
2+n
>ln (n+1)．
14．（2024·青海·二模）已知函数f ( x)= ln x−ax
x
2e
x
，曲线y = f ( x)在x =1处的切线的斜率为e+2
e
2 .
(1)求a 的值：
(2)证明：当x>0时，f ( x)<1.
15．（2024·河北沧州·三模）已知函数f (x)=a ln x−e
−x.
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f (x)有两个极值点x1, x2，证明：|f (x1)−f (x2)|<1.
8
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