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大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）
专题02 复数
1．【2024 年甲卷理科第1 题】若z =5+i，则i(z + z)=（ ）
A．10i
B．2i
C．10
D．2
【答案】A
【详解】由z =5+i⇒z =5−i, z + z =10，则i(z + z)=10i.
故选：A
2．【2024 年新高考2 卷第1 题】已知z =−1−i，则|z|=（ ）
A．0
B．1
C．√2
D．2
【答案】C
【详解】若z =−1−i，则|z|=√(−1)
2+(−1)
2=√2.
故选：C.
3．【2024 年新高考1 卷第2 题】若
z
z−1 =1+i，则z =（ ）
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【详解】因为
z
z−1 = z−1+1
z−1
=1+
1
z−1 =1+i，所以z =1+ 1
i =1−i.
故选：C.
4．【2023 年新课标全国Ⅱ卷第1 题】在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】因为(1+3i)(3−i)=3+8i−3i
2=6+8i，
则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.
故选：A.
5．【2023 年新课标全国Ⅰ卷第2 题】已知z = 1−i
2+2i，则z−z =（ ）
A．−i
B．i
C．0
D．1
【答案】A
1
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【详解】因为z = 1−i
2+2i = (1−i)(1−i)
2(1+i)(1−i) = −2i
4
=−1
2 i，所以z = 1
2 i，即z−z =−i．
故选：A．
6．【2023 年高考全国乙卷理第1 题】设z =
2+i
1+i
2+i
5，则z =（ ）
A．1−2i
B．1+2i
C．2−i
D．2+i
【答案】B
【详解】由题意可得z =
2+i
1+i
2+i
5 =
2+i
1−1+i = i(2+i)
i
2
= 2i−1
−1 =1−2i，
则z =1+2i.
故选：B.
7．【2023 年高考全国甲卷理第2 题】设a∈R ,(a+i)(1−ai)=2,，则a=（ ）
A．-1
B．0 ·
C．1
D．2
【答案】C
【详解】因为(a+i)(1−ai)=a−a
2i+i+a=2a+(1−a
2)i =2，
所以{
2a=2
1−a
2=0，解得：a=1．
故选：C.
8．【2022 年新课标全国Ⅰ卷第2 题】若i(1−z)=1，则z + z =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】D
【详解】由题设有1−z = 1
i = i
i
2 =−i，故z =1+i，故z + z =(1+i)+(1−i)=2，
故选：D
9．【2022 年新课标全国Ⅱ卷第2 题】(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+ 4i
B．−2−4i
C．6+2i
D．6−2i
【答案】D
【详解】(2+2i)(1−2i)=2+ 4−4i+2i=6−2i，
故选：D.
10．【2022 年高考全国乙卷理第2 题】已知z =1−2i，且z +a z +b=0，其中a，b 为实数，则
2
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（ ）
A．a=1,b=−2
B．a=−1,b=2
C．a=1,b=2
D．a=−1,b=−2
【答案】A
【详解】z =1−2i
z +a z +b=1−2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a−2)i
由z +a z +b=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得{
1+a+b=0
2a−2=0 ,即{
a=1
b=−2
故选:A
11．【2022 年高考全国甲卷理第1 题】若z =−1+√3i，则
z
z z−1 =（ ）
A．−1+√3i
B．−1−√3i
C．−1
3 + √3
3 i
D．−1
3 −√3
3 i
【答案】C
【详解】z =−1−√3i, z z =(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3= 4.
z
z z−1 = −1+√3i
3
=−1
3 + √3
3 i
故选 ：C
12．【2021 年新课标全国Ⅰ卷第2 题】已知z =2−i，则z (z +i)=（ ）
A．6−2i
B．4−2i
C．6+2i
D．4+2i
【答案】C
【详解】因为z =2−i，故z =2+i，故z (z +i)=(2−i)(2+2i)= 4 + 4i−2i−2i
2=6+2i
故选：C.
13．【2021 年新课标全国Ⅱ卷第1 题】复数2−i
1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】2−i
1−3i = (2−i)(1+3i)
10
= 5+5i
10
= 1+i
2 ，所以该复数对应的点为(
1
2 , 1
2)，
该点在第一象限，
故选：A.
14．【2021 年高考全国乙卷理第1 题】设2(z + z)+3(z−z)= 4 +6i，则z =（ ）
A．1−2i
B．1+2i
C．1+i
D．1−i
3
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【答案】C
【详解】设z =a+bi，则z =a−bi，则2(z + z)+3(z−z)= 4 a+6bi= 4+6i，
所以，{
4 a= 4
6b=6，解得a=b=1，因此，z =1+i.
故选：C.
15．【2021 年高考全国甲卷理第3 题】已知(1−i)
2 z =3+2i，则z =（ ）
A．−1−3
2 i
B．−1+ 3
2 i
C．−3
2 +i
D．−3
2 −i
【答案】B
【详解】(1−i)
2 z =−2i z =3+2i，
z = 3+2i
−2i = (3+2i)⋅i
−2i⋅i = −2+3i
2
=−1+ 3
2 i.
故选：B.
16．【2020 年新课标全国Ⅱ卷第2 题】(1+2i)(2+i)=（ ）
A．4 +5i
B．5i
C．−5i
D．2+3i
【答案】B
【详解】(1+2i)(2+i)=2+i+ 4i+2i
2=5i
故选：B
17．【2020 年新课标全国Ⅰ卷第2 题】2−i
1+2i =（ ）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
【答案】D
【详解】2−i
1+2i = (2−i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i) = −5i
5
=−i
故选：D
18．【2020 年新课标Ⅲ卷理科第2 题】复数
1
1−3i 的虚部是（ ）
A．−3
10
B．−1
10
C．1
10
D．3
10
【答案】D
4
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【详解】因为z =
1
1−3i =
1+3i
(1−3i)(1+3i) = 1
10 + 3
10 i，
所以复数z =
1
1−3i 的虚部为3
10.
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
19．【2020 年新课标Ⅰ卷理科第1 题】若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0
B．1
C．√2
D．2
【答案】D
【详解】由题意可得：z
2=(1+i)
2=2i，则z
2−2 z =2i−2(1+i)=−2.
故|z
2−2 z|=|−2|=2.
故选：D.
20．【2019 年新课标Ⅲ卷理科第2 题】若z(1+i)=2i，则z =
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】D
【详解】z = 2i
1+i =
2i(1−i)
(1+i)(1−i) =1+i．故选D．
21．【2019 年新课标Ⅱ卷理科第2 题】设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【详解】由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
22．【2019 年新课标Ⅰ卷理科第2 题】设复数z 满足|z−i|=1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．( x +1)
2+ y
2=1
B．( x−1)
2+ y
2=1
C．x
2+( y −1)
2=1
D．x
2+( y +1)
2=1
【答案】C
【详解】z = x + yi, z−i= x +( y −1)i,|z−i|=√x
2+( y −1)
2=1,则x
2+( y −1)
2=1．故选C．
23．【2018 年新课标Ⅲ卷理科第2 题】
(1+i)(2−i)=
A．−3−i
B．−3+i
C．3−i
D．3+i
【答案】D
【详解】解： (1+i)(2−i)=2−i+2i−i
2=3+i
5
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故选D.
24．【2018 年新课标Ⅰ卷理科第1 题】设z = 1−i
1+i +2i，则| z|=
A．0
B．1
2
C．1
D．√2
【答案】C
【详解】z = 1−i
1+i +2i= (1−i)(1−i)
(1−i)(1+i) +2i
=−i+2i=i，
则|z|=1，故选c.
25．【2018 年新课标Ⅱ卷理科第1 题】
1+2i
1−2i =
A．−4
5 −3
5 i
B．−4
5 + 3
5 i
C．−3
5 −4
5 i
D．−3
5 + 4
5 i
【答案】D
【详解】∵1+2i
1−2i = (1+2i)
2
5
= −3+ 4i
5
∴选D.
26．【2017 年新课标Ⅲ卷理科第2 题】设复数z 满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√2
D．2
【答案】C
【详解】解：由题意可得z = 2i
1+i，所以z =
2i(1−i)
(1+i)(1−i) = 2+2i
2
=1+i，
所以| z|=√1
2+1
2=√2.
故选：C
27．【2017 年新课标Ⅱ卷理科第1 题】3+i
1+i ＝（ ）
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
【答案】D
【详解】由题意3+i
1+i = (3+i)(1−i)
(1+i)(1−i) = 4−2i
2
=2−i，
6
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故选：D.
28．【2017 年新课标Ⅰ卷理科第3 题】设有下面四个命题
p1：若复数z满足1
z ∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z
2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1, z2满足z1 z2∈R，则z1= z2；
p4：若复数z∈R，则z∈R.
其中的真命题为
A．p1, p3
B．p1, p4
C．p2, p3
D．p2, p4
【答案】B
【详解】令z =a+bi(a,b∈R)，则由1
z =
1
a+bi = a−bi
a
2+b
2 ∈R得b=0，所以z∈R，故p1正确；
当z =i时，因为z
2=i
2=−1∈R，而z =i∉R知，故p2不正确；
当z1= z2=i时，满足z1⋅z2=−1∈R，但z1≠z2，故p3不正确；
对于p4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确，故选B.
29．【2016 年新课标Ⅲ卷理科第2 题】若z =1+2i，则
4i
z z−1 =
A．1
B．-1
C．i
D．-i
【答案】C
【详解】
4i
z z−1 =
4i
(1+2i)(1−2i)−1 =i，故选C．
30．【2016 年新课标Ⅱ卷理科第1 题】已知z =(m+3)+(m−1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m 的取值范围是
A．(−3，1)
B．(−1，3)
C．(1,+∞)
D．(−∞，−3)
【答案】A
【详解】要使复数z对应的点在第四象限,应满足{m+3>0
m−1<0，解得−3<m<1，故选A.
31．【2016 年新课标Ⅰ卷理科第2 题】设
，其中x，y 是实数，则|x + y i|=
A．1
B．√2
C．√3
D．2
【答案】B
【详解】因为(1+i)x =1+ y i,所以x + xi=1+ y i,
x
所以=1, y = x =1,故| x + y i|=|1+i|=√2,故选B.
32．【2015 年新课标Ⅱ理科第2 题】若a为实数且(2+ai)(a−2i)=−4i，则a=
7
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A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【详解】由已知得4 a+(a
2−4)i =−4i，所以4 a=0,a
2−4 =−4，解得a=0，故选B．
33．【2015 年新课标Ⅰ理科第1 题】设复数z 满足1+ z
1−z =i，则|z|=
A．1
B．√2
C．√3
D．2
【答案】A
【详解】由题意得，z = i−1
1+i = (i−1)(1−i)
(1+i)(1−i) =i，所以|z|=1，故选A.
34．【2020 年新课标Ⅱ卷理科第15 题】设复数z1，z2满足| z1|=| z2|=2，z1+ z2=√3+i，则| z1−z2|=
.
【答案】2√3
【详解】方法一：设z1=a+bi,(a∈R ,b∈R)，z2=c +di,(c∈R ,d ∈R)，
∴z1+ z2=a+c +(b+d )i=√3+i，
∴{
a+c =√3
b+d =1 ，又| z1|=| z2|=2，所以a
2+b
2= 4，c
2+d
2= 4，
∴(a+c)
2+(b+d)
2=a
2+c
2+b
2+d
2+2(ac +bd )= 4
∴ac+bd =−2
∴|z1−z2|=|(a−c)+(b−d )i|=√(a−c)
2+(b−d )
2=√8−2(ac +bd)
=√8+ 4 =2√3.
故答案为：2√3.
方法二：如图所示，设复数z1, z2所对应的点为Z1,Z2,⃗OP =⃗OZ1+⃗OZ2,
由已知|⃗OP|=√3+1=2=|O Z1|=|O Z2|,
∴平行四边形O Z1 P Z2为菱形，且△OP Z1,△OP Z2都是正三角形，∴∠Z1O Z2=120°，
|Z1Z2|
2=|O Z1|
2+|O Z2|
2−2|O Z1||O Z2|cos120° =2
2+2
2−2⋅2⋅2⋅(−1
2 )=12
∴|z1−z2|=|Z1Z2|=2√3.
8
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1．（2024·广东汕头·三模）已知复数z = 2i
1−i ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【详解】z = 2i
1−i =
2i(1+i)
(1+i)(1−i) = −2+2i
2
=−1+i，
z =−1−i，即复数z在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
2．（2024·黑龙江·三模）已知i 为虚数单位，复数z 满足|z−1|=|3−z|，则z 的实部为（ ）
A．±2
B．±1
C．1
D．2
【答案】D
【详解】令z =a+bi(a,b∈R)，则z =a−bi，
|z−1|=|a+bi−1|=√(a−1)
2+b
2，
|3−z|=|(3−a)+bi|=√(3−a)
2+b
2，
因为|z−1|=|3−z|，所以√(a−1)
2+b
2=√(3−a)
2+b
2，所以a=2.
故选：D.
3．（2024·河南·三模）已知i为虚数单位，
(1+i)
3
(1−i)
2 =（ ）
A．1+i
B．1−i
C．−1+i
D．−1−i
【答案】D
9
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【详解】
(1+i)
3
(1−i)
2 = (1+i)
2(1+i)
−2i
= 2i(1+i)
−2i
=−1−i.
故选：D
4．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数z满足z = 2i−1
i
，且z是复数z的共轭复数，则z⋅z的值是
（ ）
A．√5
B．3
C．5
D．9
【答案】C
【详解】∵z = 2i−1
i
=2+i，
∴z =2−i，
∴z⋅z =(2+i)(2−i)=5.
故选：C
5．（2024·湖北·二模）已知复数z = √2
2
(1+i)，则z
2024=（ ）
A．1
B．−1
C．−i
D．i
【答案】A
【详解】因为z = √2
2
(1+i)，所以z
2= 1
2 (1+2i+i
2)=i，
所以z
2024=(z
2)
1012=(i)
1012=1.
故选：A
6．（2024·江苏苏州·三模）已知复数z =cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（ ）
A．| z|=√2
B．z
2=1
C．z⋅z =1
D．z + z为纯虚数
【答案】C
【详解】对于A，因为z =cosθ+isinθ，所以|z|=√co s
2θ+ sin
2θ =1，所以A 错误，
对于B，因为z =cosθ+isinθ，的以z
2=co s
2θ+(isinθ)
2+2icosθsinθ =cos2θ+isin2θ不一定等于1，
所以B 错误，
对于C，因为z =cosθ+isinθ，所以z⋅z =(cosθ+isinθ)(cosθ−isinθ)=co s
2θ+ sin
2θ =1，所以C 正确，
10
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对于D，因为z =cosθ+isinθ，所以z + z =cosθ+isinθ+cosθ−isinθ =2cosθ为实数，所以D 错误，
故选：C
7．（2024·河北·模拟预测）若复数z =3−4i，则|z⋅i−z|=（ ）
A．√2
B．5
C．5√2
D．7√2
【答案】A
【详解】因为z =3−4i，所以z =3+ 4i，
z⋅i−z =(3−4i)i−(3+ 4i)=3i−4i
2−3−4i=−i+1，
所以|z⋅i−z|=|−i+1|=√1
2+1
2=√2.
故选：A.
8．（2024·陕西西安·三模）已知复数z =3+i，则z−i
z−1的虚部为（ ）
A．−3
B．−3
5
C．3
D．3
5
【答案】B
【详解】因为z =3+i，所以z−i
z−1 = 3
2+i =
3(2−i)
(2+i)(2−i) = 6
5 −3
5 i，所以z−i
z−1的虚部为−3
5．
故选：B
9．（2024·宁夏银川·三模）若(i−1)(z−2i)=2+i，则|z|=（ ）
A．1
2
B．2
C．√2
2
D．√2
【答案】C
【详解】z = 2+i
i−1 +2i= (2+i)(i+1)
(i−1)(i+1) +2i= 3i+2−1
−1−1 +2i=−1
2 −3
2 i+2i=−1
2 + 1
2 i，
故|z|=|z|=√(−1
2)
2
+(
1
2)
2
= √2
2
.
故选：C.
10．（2024·湖南邵阳·三模）已知复数z满足：z (1+i)=i
2024−i，其中i是虚数单位，则|z|的值为
（ ）
11
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A．√2
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【详解】∵z (1+i)=i
2024−i=1−i，∴z = 1−i
1+i = (1−i)
2
2
=−i，∴|z|=1．
故选：B．
11．（2024·海南海口·二模）在复平面内，|1−2i|
2+i
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】易知|1−2i|=√1
2+(−2)
2=√5，所以|1−2i|
2+i
= √5(2−i)
(2+i)(2−i) = 2√5
5
−√5
5 i，
即|1−2i|
2+i
对应的点为(
2√5
5
,−√5
5 )，位于第四象限.
故选：D
12．（2024·重庆·三模）已知a,b∈R ,(a+i)i=b−2i（i为虚数单位），则复数z =a+bi的共轭复数为
（ ）
A．−2+i
B．2−i
C．1+2i
D．1−2i
【答案】A
【详解】因为(a+i)i =ai+i
2=−1+ai =b−2i，
所以a=−2,b=−1，故z =a+bi=−2−i，
所以复数z =a+bi的共轭复数为z =−2+i，
故选：A.
13．（2024·四川成都·三模）若复数 z 满足 (z +1)i=−1−i ，则 z 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】由(z +1)i=−1−i，则z =−1−1+i
i
=−1+i(1+i)=−2+i，
所以复数z对应的点为(−2,1)，位于第二象限.
故选：B.
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14．（2024·广东揭阳·二模）已知复数z在复平面内对应的点为(a,b)，且|z +i|= 4，则（ ）
A．a
2+(b+1)
2= 4
B．a
2+(b+1)
2=16
C．(a+1)
2+b
2= 4
D．(a+1)
2+b
2=16
【答案】B
【详解】由题意得z =a+bi，所以|a+(b+1)i|= 4，则a
2+(b+1)
2=16.
故选：B.
15．（2024·山东·二模）已知复数z满足(1−i) z =3+i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】由题意知：z = 3+i
1−i = (3+i)(1+i)
(1−i)(1+i) =1+2i，
所以z =1−2i，所以z在复平面内对应的点(1,−2)位于第四象限.
故选：D.
16．（2024·山西吕梁·三模）已知复数z满足
z
(1−i)i =2i
2024，则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】由复数z满足
z
(1−i)i =2i
2024=2，可得z =2i⋅(1−i)=2+2i，则z =2−2i，
则复数z 对应的点为(2,−2)位于第四象限.
故选：D.
17．（2024·云南·二模）已知i为虚数单位，复数z 满足|z−1|=|z +i|，则|z−i|的最小值为（ ）
A．√2
2
B．1
2
C．1
3
D．0
【答案】A
【详解】设z = x + y i,(x , y ∈R)，而|z−1|=|z +i|，所以(x −1)
2+ y
2= x
2+( y +1)
2，即y =−x，
所以|z−i|=√x
2+( y −1)
2=√x
2+(−x−1)
2=√2 x
2+2 x +1=√
2(x + 1
2)
2
+ 1
2 ≥√2
2
，等号成立当且仅当
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y =−x = 1
2，
综上所述，|z−i|的最小值为√2
2
.
故选：A.
18．（2024·河北秦皇岛·三模）已知复数z满足i z + 4 z−15=0，则复数z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】设z =a+bi(a,b∈R)，则z =a−bi(a,b∈R).
因为i z + 4 z−15=0，则i(a+bi)+ 4 (a−bi)−15= 4 a−b−15+(a−4 b)i=0，
可得{
4 a−b−15=0
a−4 b=0
，解得{
a= 4
b=1，
即z = 4+i，所以复数z在复平面内对应的点为(4,1)，位于第一象限.
故选：A.
19．（2024·内蒙古·三模）已知复数z满足i z =1+ 4i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】设z =a+bi(a,b∈R)，因为i z =1+ 4i，所以i(a+bi)=−b+ai=1+ 4i，
所以{
a= 4
b=−1，即z = 4−i，所以复数z在复平面内对应的点为(4 ,−1)，位于第四象限.
故选：D.
20．（2024·山西阳泉·三模）已知2+i是实系数方程x
2+ px−q =0的一个复数根，则p+q =（ ）
A．−9
B．−1
C．1
D．9
【答案】A
【详解】因为2+i是实系数方程x
2+ px−q =0的一个复数根，
则2−i也是实系数方程x
2+ px−q =0的一个复数根，
所以{
−p=2+i+2−i
−q =(2+i)(2−i)，解得{
p=−4
q =−5 ，
所以p+q =−9.
故选：A
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