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专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示.........................................................................................................1
二、函数的基本性质.....................................................................................................4
三、分段函数...............................................................................................................10
四、函数的图象...........................................................................................................14
五、二次函数...............................................................................................................18
六、指对幂函数...........................................................................................................20
七、函数与方程...........................................................................................................24
八、新定义题...............................................................................................................29
一、函数及其表示
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数
，
，若对任意的
，存在
，使
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
，
当
时，
，则
，则
，
函数
在
的值域记为
，
对任意的
，存在
，使
，则
，
1
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①当
时，
，则
，则
；
②当
时，因为
，则
，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，因为
，则
，即
，
所以，
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：B.
2．（2023 春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数
的定义域为
则
的定义域为
【答案】
【详解】由已知，
的定义域为
，所以对于
需满足
,解得
故答案为：
.
3．（2023 春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）已知函数
定义域为
，则函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】因为函数
定义域为
，由
得
定义域为
则函数
的定义域满足
，解得
定义域为
.
故答案为：
.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的值域为
，则常数
．
【答案】7 或
2
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【详解】因为
，所以
，
，即
，
因为函数
的值域为
，
所以
是方程
的两个根，
所以
，
，
解得
或
，所以
7 或
.
故答案为：7 或
.
5．（2023·全国·高三专题练习）求函数
的值域.
【答案】
【详解】由
，可令
原函数可整理为：
因为
，所以
，则
，
当
；当
，
所以函数
的值域为
.
6．（2023·全国·高三专题练习）当
时，求函数
的最小值.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值为
.
7．（2023·高一课时练习）若函数
满足方程
且
，则：
（1）
；（2）
．
【答案】
3
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【详解】令
可得：
，所以
；
由
①得，
②，
联立①②可得：
.
故答案为：①
；②
.
8．（2023·全国·高三专题练习）若
满足关系式
，则
，若
，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
；
或
．
【详解】解：∵
满足关系式
，
∴
，
①+②×2，得
，∴
，
∴
.
，即
解得
或
，所以m 的取值范围是
或
．
故答案为：
；
或
．
二、函数的基本性质
1．（2023 春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4
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【详解】设
，
因为
，可得
是R 上的奇函数，
且
在R 上单调递增，则
在R 上单调递增，
又因为
，则
，
即
，所以
，
则
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故选：B.
2．（2023 春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在
上的函数
在
单调递增，且
是偶
函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
为偶函数，
∴
，即函数
关于
对称，
又函数
在
上单调递增，
∴函数
在
上单调递减，
由
，可得
，
整理得
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
3．（2023 秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若定义在
的奇函数
在
单调递减，
且
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
5
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所以
在
上也是单调递减，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
,
解得
或
，所以满足
的
的取值范围是
，
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
的定义域满足
设
，
易知：
单调递减，
在
单调递增，在
上单调递减.
根据复合函数的单调性得到：
在
上单调递增
故选：
5．（2023 春·河北唐山·高二校联考期末）已知函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
得，
，当
时，
，
∴
在
单调递减，∴
是函数
的最小值，
当
时，
为增函数，∴
是函数
的最小值，
又∵
，都
，使得
，
可得
在
的最小值不小于
在
的最小值，
即
，解得
，
故选：A．
6．（2023 春·广西北海·高二统考期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
6
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时，
.若对任意
，都有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为当
时，
，
当
时，对任意
，因此不可能；
当
时，
，
同理当
时，
，
以此类推，当
时，必有
.
当
时，令
，则
或
，
因为当
恒成立，
所以
故选：B
7．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，
，
是偶函数，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
关于点
中心对称
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
是偶函数，
，
又
，
，
是偶函数，∴
关于直线
对称，所以A 错误，
对于B，
关于点
中心对称，所以B 错误，
对于CD，又
，即
4 是
的一个周期；
令
，可得
，又
，
7
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，
，
所以C 正确，D 错误，
故选：C.
8．（2023 春·新疆·高二统考期末）若奇函数
的定义域为
，且
时，
，则
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，则
，
则
，
因为函数
为奇函数，所以
，
即
时
.
故选：D
9．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数
是定义域为
上的奇函数，满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】因为函数
是定义域为
上的奇函数，则
，即
，
由
，得
，因此
，即
，
则
，于是函数
是以4 为周期的周期函数，
由
，得
，由
，得
，
，
从而
，
所以
.
故选：A
10．（2023 春·安徽黄山·高二统考期末）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
，则
（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意
关于
对称，即
，且
，
所以
，即
，又
，
所以
，即
，
所以
，故
的周期为4，
则
.
故选：B
11．（多选）（2023 秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的一个周期
D．
【答案】AC
【详解】对于A，由
，得
，由
，得
，
又
，所以
，所以
，因此A 选项正确；
对于B，因为
，所以函数
为奇函数，因此B 选项错误；
对于C，因为
，所以
，即
，
所以
，所以函数
的周期
，因此C 选项正确；
对于D，将
代入
，得
，
，而
，
将
代入
，得
，将
代入
，得
，
所以
因此D 选项错
误.
故选：AC.
9
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12．（2023 春·河北保定·高二校联考期末）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
的最小正周期为4
C．
的图象关于点
对称
D．
【答案】AC
【详解】由
为
上的奇函数，且
，得
，
即有
，因此
，即
的周期为8，
对于A，显然
，函数
是奇函数，A 正确；
对于B，当
时，
，则
，
，
显然4 不是
的周期，B 错误；
对于C，由选项A 知，
，因此
的图象关于点
对称，C 错误；
对于D，
，D 错误.
故选：AC
13．（2023 春·辽宁沈阳·高二校考期末）已知定义在
上的函数
满足
，且
关于
对称，当
时，
.若
，则
.
【答案】
【详解】因为函数
关于
对称，则
，即
，
所以，
，即函数
为
上的偶函数，
又因为
，则
，
即
，所以，
。则
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，
又因为当
时，
，
则
，①
在等式
中，令
可得
，即
，②
联立①②可得
，
，故当
时，
，
所以，
.
10
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故答案为：
.
三、分段函数
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）设函数
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【详解】∵
，
∴
.
故选：A．
2．（2023 春·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数
是
上的增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
为
上的增函数，
所以
，解得
，所以
的取值范围是
.
故选：A.
3．（2023 春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数
满足对任意实数
，都
有
成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
满足对任意实数
，都有
成立，
11
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所以函数
在R 上递减，
所以
，
解得：
故选：D.
4．（2023 春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知定义在R 上的奇函数满足
，
当
时，
，则
（ ）
A．2
B．
C．－2
D．－
【答案】A
【详解】依题意，
，
，
函数
的周期为6，
故
，
在R 上的奇函数,
，
又
，则
．
故选：A．
5．（2023 春·江苏苏州·高一校联考期末）已知函数
，则下列
说法错误的是（ ）
A．
是单调递增函数
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，函数
为连续函数，且当
时斜率为正，当
时斜率为正，
A 正确；
对于B，
，
12
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即
，
则当
时，
，
当
时，
，
所以
，
即
，则
，故B 正确；
对于C，
, 故C 错误；
对于D，
所以
，故D 正确.
故选：C
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
的最大值为0，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若
，
即当
时
，∴
的最大值为0，满足题意；
若
，当
时，
，不满足题意；
若
，当
时
，当
时
，当
时等号成立，满足题意；
13
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若
，当
时，
，当
时，
，当
时等号成立，满足题
意；
若
，当
时，
，当
时，
，不满足题意；
所以
；
故选：A.
7．（2023 春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数
若
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【详解】当
时，
的值域为
，
当
时，
的值域为
；
当
时，
的值域为
.
要使
，则
，所以
，解得
.
故选：D.
8．（2023 春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
在
上为减函数，
函数
的图像开口向下，对称轴为
，
所以函数
在区间
上为减函数，
且
.
所以函数
在
上为减函数.
由
得
.解得
.
故选:A.
14
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四、函数的图象
1．（2023 春·云南保山·高二校联考期末）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
定义域为
，
对于AB，
，
所以
为奇函数，函数图象关于原点对称，故
都不正确；
对于C，
时，
，所以
，
所以
，故C 不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合
时，
，故D 正确.
故选：D.
2．（2023 春·广东韶关·高二统考期末）
部分图象大致是（ ）
A．
B．
15
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C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，可化为
所以
，
故
为偶函数，图形关于y 轴对称，排除B，D 选项；
令
可得，
或
，
由
，解得
，
，
由
，解得
，
所以函数最小的正零点为
，
当
时，
，
，
，排除A，
故选：C.
3．（2023 春·云南楚雄·高二统考期末）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以
是偶函数，排除C，D；
当
时，
，排除A，
16
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故选：B.
4．（2023 春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间
上的大
致图象如图所示，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，
.排除A；
由偶函数定义可得
为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当
时，
.排除D；
为奇函数，且当
时，
，
当
时，
.B 均符合题给特征.
故选：B.
5．（2023 春·河北沧州·高二统考期中）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
17
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【详解】因为
，
当
时，
，所以
，
所以，
，所以
所以
，
即
在
上恒成立，故B、D 项错误；
，
由
可得，
，
.
由
可得，
，所以
在
上单调递减；
由
可得，
，所以
在
上单调递增.
所以，
在
处取得唯一极大值，也是最大值，故A、B 错误.
故选：C.
6．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数
在
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
则
18
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则
为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除AB；
又
时
，排除C,
故选：D
五、二次函数
1．（2023 秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数
与
的图象上不存
在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
与
的图象上不存在关于
轴对称的点，
直线
关于
轴对称的直线方程为
，
则方程
在
上无解，即
在
上无解，
又函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
时，
，
时，
，
时，
，所以
的值域为
故实数
的取值范围是
.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范
围是 ．
【答案】
.
【详解】当
时，
在区间
上单调递减，符合题意；
当
时，函数图象的对称轴为直线
，
因为f（x）在区间
上单调递减，所以
，得
，所以
；
当
时，函数
在区间
上单调递减，符合题意．
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
19
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3．（2023 春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知函数
在区间
上的
最小值为1，则实数
的值为 .
【答案】
【详解】函数
图象的对称轴为
，
当
，即
时，
，解得
；
当
，即
时，
，解得
（舍去）或
（舍去），
综上：
.
故答案为：
4．（2023·江苏·高一假期作业）如果函数
定义在区间
上，求
的值域．
【答案】答案见解析
【详解】函数
，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为
，图象开口向上．
如图所示，
若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有
，此时，当
时，函数值最小，
，当
时，函数值最大，
.
∴函数的值域为
.
如图所示，
若顶点横坐标在区间
上时，有
，即
.
当
时，函数的最小值为
，当
时，最大值为
，
∴函数的值域为
；当
时，最大值为
，
所以
在
上的值域为
.
如图所示，
20
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若顶点横坐标在区间
右侧时，有
，即
.
当
，函数的最小值为
，最大值为
，
所以函数
的值域为
.
综上，当
时，函数
的值域为
.
当
时，函数
的值域为
；当
时，函数
的值域为
；当
时，
函数
的值域为
.
六、指对幂函数
1．（多选）（2023 春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知
，则实数
，
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】对于A，因为
，所以
，因为
，所以
，所以
，所以A 正确；
对于C，由
，得
，所以
，所以C 错误；
对于D，因为
，所以
，得
，所以D 正确；
对于B，因为
，所以
，所以B 错误.
故选：AD
21
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2．（多选）（2023 春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数
，设
（
，2，3）为
实数，
，且
，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．不等式
的解集为
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对A，
，
函数
的图象关于点
对称，
故A 正确；
对B，
在
上单调递增，且
，则
化为
，则
，解得
，故不等式
的解集为
，故B 正确；
对CD，
，则可得
，且
关于点
对称，在
上单调递增，可得
函数图
象如下：
均在直线
上方，其中直线
的方程为
，
则可得
，
，
所以
，
，
22
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，即
，故C 错误，D 正确.
故选：ABD.
3．（2023 春·浙江绍兴·高二统考期末）已知定义在
上的函数
满足:
为奇函数，
为偶函数，
当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】定义在
上的函数
满足：
为奇函数，
为偶函数，
可得
，
，
则
，故
，
可得
的最小正周期为4，
由于
，则
，
当
时，
，
所以
，
则
,
故选:A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知幂函数
的图象过
，
，
（
）是
函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设幂函数
，图象过
，则
，即
，
所以
且
，
为增函数，
，故有
.
为增函数，
，故有
.
所以A、B、C 错，D 对.
23
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故选：D
5．（2023·吉林白山·统考二模）函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，符合题意；
当
时，由
，得
．综上所述，
．
故选：A
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数
，且
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
，则
，即
，解得
，
所以
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
又函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，则
在
上单调递减，
所以不等式
，即
，
等价于
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：D
24
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七、函数与方程
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．2
B．
C．4
D．1
【答案】A
【详解】由
，
得
，即函数
的图象关于
对称，
要使函数
有唯一的零点，
则
，即
，得
．
故选：A．
2．（2023 春·福建福州·高二校考期末）已知函数
，则方程
的解的个数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，
则方程
的解的个数等于函数
的函数
图象交点的个数，
作出函数
的函数
图象如下图所示：
由图可知，函数
的函数
图象有且只有一个交点，
即方程
的解的个数为.
25
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故选：B.
3．（2023 春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数
，若
有四个不同的
解
且
，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
作出函数
的图象如下，
则由图象可知，
的图象与
有4 个交点，分别为
，
因为
有四个不同的解
且
，
所以
，且
，且
，
，
又因为
所以
即
，所以
，
所以
，且
，
构造函数
，
因为函数
在
上都是减函数，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
，
26
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所以
.
故选：BC.
4．（2023 春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数
，若函数
有五个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
时，
则
，
此时
，则
或
，
当
时，
则
，
此时
，则
，
故问题转为
，
共有四个零点，
画出函数图像如下可知：则
，
故答案为：
5．（2023 春·广东广州·高一校考期中）已知函数
，若关于x 的方程
有
四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设
，该直线恒过点
，方程
有四个不同的实数根，
如图作出函数
的图象，结合函数图象，则
，
所以直线
与曲线
有两个不同的公共点，
所以
在
有两个不等实根，
令
，
27
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实数a 满足
，
解得
．
故答案为：
6．（2023 春·辽宁大连·高二统考期末）已知函数
，若存在区间
，当
时，
的值域为
，且
，其中
表示不超过
的最大整数，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，
有两个实数根，
即
，设
，即
与
有2 个交点，并且满足
，
，
，
当
，
，函数
单调递增，
当
，
，函数
单调递减，
并且
，当
时，
，
如图，画出函数
的图象，
因为
，
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当
时，
，则
，不满足
，
当
，
，则
，不满足
，
当
，此时
，满足
，
，
，所以
.
故答案为：
7．（2023 春·河北唐山·高二校联考期末）已知定义在
上的函数
，满足
，当
时，
，若方程
在区间
内有实数解，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【详解】当
时，则
，
所以
，即
，
当
时，则
，
所以
，即
，
则
，
当
时，则
，
所以
，即
，
画出
的图象如下：
由图象可知，当
时，方程
在区间
内有实数解，
所以实数
的取值范围为
.
29
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故答案为：
八、新定义题
1．（2023 春·广东·高一统考期末）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下
图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图
是由此抽象出来的一个“心形”图形，这
个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
（当且仅当
，即
时
取等号），
在
上的最大值为
，与图象不符，A 错误；
对于B，当
时，
，与图象不符，B 错误；
对于C，
，
当
时，
；
又
过点
；
由
得：
，解得：
，即函数定义域为
；
又
，
为定义在
上的偶函数，图象关于
轴对称；
当
时，
，则函数在
上单调递增，在
上单调递减；
30
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综上所述：
与图象相符，C 正确；
对于D，由
得：
，
不存在
部分的图象，D 错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布
劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得
f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，即存在
使得
有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令
，可得
，该方程无解，
所以
不是“不动点”函数，A 错误.
对B，令
，
即
，
由
可得该方程无解，所以
不是“不动点”函数，B 错误.
对C，令
，
即
，显然
无解，所以
不是“不动点”函数，C 错误.
对D，令
，可得
，所以
为“不动点”函数，D 正确.
故选：D.
3．（2023 春·云南红河·高一统考期末）2023 年2 月27 日，学堂梁子遗址入围2022 年度全国十大考古新发
现终评项目．该遗址先后发现石制品300 多件，已知石制品化石样本中碳14 质量N 随时间t（单位：年）
的衰变规律满足
（
表示碳14 原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石
样本中的碳14 质量约是原来的
倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据：
，
）
A．8037 年
B．8138 年
C．8237 年
D．8337 年
【答案】B
31
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【详解】由题意，
，即
，
∴
，∴
，
故选：B.
4．（2023 春·江苏南京·高一校考期中）冈珀茨模型
是由冈珀茨
提出，可作为动物种
群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量
近似满足冈珀茨模型：
（当
时，表示2020 年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量
将不足2022 年初种群数量的一半（ ）
A．2031
B．2020
C．2029
D．2028
【答案】D
【详解】
，
当
时，
，
当
时，
，
年后，该物种的种群数量将不足2020 年初种群数量的一半，
，
由题可知，
是大于0 的常数，即
，两边取对数可得，
，
，
，两边取对数可得，
，解得
，
，
故
的最小值为6.
故选：D.
5．（多选）（2023 春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高
斯函数”为：设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，如：
，
，
又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按
“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，若
，则有
D．方程
的解集为
【答案】CD
32
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【详解】对选项A：取
，则
，
，错误；
对选项B：取
，
，
，错误；
对选项C：
，则
，
，故
，正确；
对选项D：
，故
，解得
，
故
或
，故
或
，正确.
故选：CD
6．（2023 春·广东汕头·高一校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解
析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为
，狄利克雷函数的发现改
变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数
有
以下四个命题，其中真命题是（ ）
A．函数
是奇函数
B．
，
C．函数
是偶函数
D．
，
，
【答案】BCD
【详解】若
是有理数，则
也是有理数，可得
，则
不是奇函数，故A 错误；
当
时，
，
，
，此时
，故B 正确；
若
是有理数，则
；若
是无理数，
，则
，又
，则
，因此
，所以函数
是偶函数，
故C 正确；
若
是有理数，
，则
均是有理数，故
；若
是无理数，
，则
均是无理数，故
，所以
，
，
，故D 正确．
故选：BCD.
7．（2023·全国·高三专题练习）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高
等数学中有着广泛应用，其定义为:
时，
.若数列
，则下列结论:①
的函数图象关于直线
对称；②
；③
；④
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；⑤
.其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①④⑤
【详解】对于①：若
，则
，
，关于
对称，
若
为无理数，则
也是无理数，
，也关于
对称，
若
，并且
是既约的真分数，则
，并且
是互质的 ，
，
也是真分数，若
不是既约分数，则
与
必定存在公约数
，不妨
假设
，则有
，即
存在大于1 的公约数，
与题设矛盾，故
也是既约分数，
，即关于
对称，故①正确；
对于②，
时，
，故②错误；
对于③，当
时，有
，
，
，但当
时
，故③错误；
对于④，
，
，
构造函数
，
，则
，
单调递增，
，即当
时
，
，
，
当
时，
，
，
，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故答案为：①④⑤
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