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专题04 等式与不等式综合（含基本不等式）
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 不等式的
性质
（10 年5 考）
2019·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷、
2016·浙江卷、2016·北京卷、2016·全国卷、
2015·浙江卷
1. 梳理等式的性质，理解不等
式的概念，掌握不等式的性
质，能够利用不等式的性质比
较不等式的大小关系
2. 理解、掌握基本不等式及其
推论，会使用应用条件：“一
正，二定，三相等”，能正确
处理常数“1”求最值，能用拼
凑等思想合理使用基本不等式
求最值，能熟练掌握基本不等
式的应用，应用于函数和解析
几何的求解过程中求最值
3. 本节内容是新高考卷的常考
内容，一般会结合条件等式考
查拼凑思想来使用基本不等式
求最值，或者和其他版块关
联，难度中等偏上。
考点2 解不等式
（10 年10 考）
2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·全国新
Ⅰ卷、
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、
2018·全国卷、2017·天津卷、2015·江苏卷、
2015·广东卷
考点3 基本不等
式
（10 年4 考）
2024·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ
卷
2020·全国卷、2015·四川卷、2015·陕西卷
2015·湖南卷、2015·福建卷
考点01 不等式的性质
1．（2019·全国·高考真题）若a>b，则
A．ln(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为
，所以
，当
时，
，知A 错，因为
是增函数，所以
，故B 错；因为幂函数
是增函数，
，所以
，知C 正确；取
1
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，满足
，
，知D 错．
【详解】取
，满足
，
，知A 错，排除A；因为
，知B 错，排除B；
取
，满足
，
，知D 错，排除D，因为幂函数
是增函数，
，所以
，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算
能力素养，利用特殊值排除即可判断．
2．（2018·全国·高考真题）设
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：求出
，得到
的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，且
，所以
设
，则
，所以
单调递增，
所以
，所以选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单
2
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调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数
函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
4．（2016·浙江·高考真题）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：
，
当
时，
，
，
当
时，
，
观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式
时，一定要注意对
分为
和
两种情况进行讨论，否则很容易
出现错误．
5．（2016·北京·高考真题）已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：A：由
，得
，即
，A 不正确；
B：由
及正弦函数的单调性，可知
不一定成立；
C：由
，
，得
，故
，C 正确；
D：由
，得
，但xy 的值不一定大于1，故
不一定成立，故选C.
【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
3
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(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单
调性.
6．（2016·全国·高考真题）若
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：用特殊值法，令
，
，
得
，选项A 错误，
，选项B
错误，
，选项D 错误，
因为
选项C 正确，故选C．
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的
单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
7．（2015·浙江·高考真题）设
，
是实数，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】本题采用特殊值法：当
时，
，但
，故是不充分条件；当
时，
，但
，故是不必要条件.所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.故选D.
考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
考点02 解不等式
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
4
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2．（2024·上海·高考真题）已知
则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程
的解后可求不等式的解集.
【详解】方程
的解为
或
，
故不等式
的解集为
，
故答案为：
.
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
4．（2020·全国·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得
，得到结果.
【详解】由
解得
，
所以
，
又因为
，所以
，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
5．（2019·全国·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1)
B．(-2，1)
C．(-3，-1)
D．(3，+∞)
5
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【答案】A
【分析】先求出集合A，再求出交集．
【详解】由题意得，
，则
．故选A．
【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
6．（2019·天津·高考真题） 设
，使不等式
成立的
的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即
，
即
，
故
的取值范围是
．
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二
次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，
对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
7．（2018·全国·高考真题）已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出
的解集，从而求得集合A，之后根据集
合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式
得
，
所以
，
所以可以求得
，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确
一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
8．（2017·天津·高考真题）已知函数
设
，若关于x 的不等式
在R
上恒成立，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】A
【详解】不等式
为
(*)，
当
时，(*)式即为
，
，
又
（
时取等号），
（
时取等号），
所以
，
当
时，(*)式为
，
，
又
（当
时取等号），
（当
时取等号），
所以
，
综上
．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足
转化为
去解决，由于涉及分段函数问
题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利
用极端原理，求出对应的的范围.
9．（2015·江苏·高考真题）不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底
数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．
,
是一个递增函数；
故答案为
.
7
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考点：指数函数的单调性和特殊性
10．（2015·广东·高考真题）不等式
的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【详解】由
得：
，所以不等式
的解集为
，所以答案应填：
．
考点：一元二次不等式．
考点03 基本不等式
1．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
2．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
8
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【分析】根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出
不符合题意，
符合题意．
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
，借助基本不等式
即
可得到答案．
【详解】由题，
，则
，
所以
（当且仅当
时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
4．（2020·全国·高考真题）设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别
交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
9
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【分析】因为
，可得双曲线的渐近线方程是
，与直线
联立方程求得
，
两点坐标，即可求得
，根据
的面积为，可得
值，根据
，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
联立
，解得
故
联立
，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当
取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．（2015·四川·高考真题）如果函数
在区间
上单调递减，
则mn 的最大值为
A．16
B．18
C．25
D．
【答案】B
10
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【详解】
时，抛物线的对称轴为
.据题意，当
时，
即
.
.由
且
得
.当
时，抛物线开口向下，据题
意得，
即
.
.由
且
得
，故
应舍去.要使得
取得最大值，应有
.所以
，所以最
大值为18.选B..
考点：函数与不等式的综合应用.
6．（2015·陕西·高考真题）设
，若
，
，
，则
下列关系式中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，函数
在
上单调递增，因为
，所以
，所以
，故选C．
【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．
7．（2015·湖南·高考真题）若实数
满足
，则
的最小值为
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【详解】
，（当且仅当
时取
等号），所以
的最小值为
，故选C.
考点：基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此
可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个
变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行
求解．
8．（2015·福建·高考真题）若直线
过点
，则
的最小值等于
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
11
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【详解】试题分析：∵直线
（
，
）过点
，∴
．则
，当且仅当
时取等号．故答案为C．
考点：基本不等式.
12
