高中数学概率六大分布:从模型识别到高考原题

若随机变量  只能取有限个值或可列无限个值，则称  为离散型随机变量。

设  的可能取值为

若

则称这组对应关系是  的概率分布，简称分布列。

分布列必须满足两条基本性质：

也就是说，概率不能为负，所有可能取值的概率加起来必须等于 。

期望刻画随机变量的平均水平：

方差刻画随机变量偏离平均值的程度：

实际计算时常用

二、六大常见离散型分布

1. 单点分布

若随机变量  只能取一个常数值 ，且

则称  服从单点分布。

此时

单点分布是一个退化情形：随机变量没有随机波动，常数也可以看成服从单点分布的随机变量。

2. 两点分布

若随机变量  只取  两个值，且

其中 ，则称  服从两点分布，也叫  分布或伯努利分布。

例如，只关心一次试验中事件  是否发生，就可以设

两点分布的期望和方差为

两点分布是一切独立重复试验的基础。

3. 二项分布

在  次独立重复试验中，每次试验中事件  发生的概率都为 。若  表示事件  发生的总次数，则

且

这里的模型关键词是：

• • 试验次数固定；
• • 每次只有“发生”或“不发生”；
• • 每次成功概率相同；
• • 各次试验相互独立。

二项分布的期望和方差为

当  时，二项分布就是两点分布。

二项分布的相邻概率还有一个常用递推关系：

它可以用来寻找最可能出现次数，考试中常用于减少计算量。

4. 泊松分布

若随机变量  的分布列为

其中 ，则称  服从参数为  的泊松分布。

泊松分布常用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数，例如电话呼叫数、印刷错误数、粒子数等。

它的期望和方差都等于参数 ：

高中阶段更常见的是它的近似作用。当  很大、 很小，且

适中时，二项分布可以用泊松分布近似：

因此，泊松分布可以理解为“大量试验中稀有事件发生次数”的近似模型。

5. 超几何分布

假设共有  件产品，其中  件是次品。从中不放回地抽取  件，用  表示抽到的次品数，则

其中

此时称  服从超几何分布。

超几何分布的期望和方差为

它与二项分布最关键的区别是：

• • 有放回抽取，各次结果独立，通常用二项分布；
• • 不放回抽取，各次结果不独立，通常用超几何分布；
• • 当总体  很大而抽取量  很小时，两者差别很小，可以用二项分布近似超几何分布。

6. 几何分布

在独立重复试验中，每次成功的概率均为 。若  表示“首次成功时已经进行的试验次数”，则

此时称  服从几何分布。

几何分布的期望和方差为

几何分布还具有无记忆性。对任意自然数 ，有

它的意思是：已经连续失败了  次，并不会让下一次更容易成功；过去的结果不会改变后续试验的独立概率。

六种分布快速对照

三、做题时快速识别

可以按下面三个问题判断：

1. 1. 试验次数是否固定？
• • 固定：考虑二项分布、超几何分布；
• • 不固定，到第一次成功为止：考虑几何分布；
• • 只做一次：考虑两点分布。
2. 2. 每次试验是否独立？
• • 有放回、相互独立：二项分布；
• • 不放回、前一次会影响下一次：超几何分布。
3. 3. 随机变量表示什么？
• • 成功总次数：二项分布；
• • 首次成功所需次数：几何分布；
• • 抽取样本中的次品数：超几何分布；
• • 稀有事件发生次数：泊松分布。

模型判断清楚后，分布列、期望、方差基本就是按公式完成。

2. 2021 年新高考 I 卷第 18 题

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有  两类问题。每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。

 类问题中的每个问题回答正确得  分，否则得  分； 类问题中的每个问题回答正确得  分，否则得  分。

已知小明能正确回答  类问题的概率为 ，能正确回答  类问题的概率为 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。

（1）若小明先回答  类问题，记  为小明的累计得分，求  的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

【解析】

（1）分布列

若先回答  类问题：

• • 第一题回答错误，累计得分为 ：

• • 第一题回答正确，第二题回答错误，累计得分为 ：

• • 两题都回答正确，累计得分为 ：

所以  的分布列为：

（2）比较期望

先回答  类问题时，

若先回答  类问题，设累计得分为 。

第一题错误得  分：

第一题正确、第二题错误，得  分：

两题都正确，得  分：

所以

因为

所以小明应当先回答  类问题。

3. 2015 年广东卷理科第 4 题

袋中共有  个除了颜色外完全相同的球，其中有  个白球、 个红球。从袋中任取  个球，求所取的  个球中恰有  个白球、 个红球的概率。

这是不放回抽取，设取出的白球数为 ，则  服从超几何分布。

所求概率为

答案：

五、总结

六种分布的判断顺序可以压缩成一句话：

先看随机变量表示什么，再看试验是否独立，最后判断参数是否需要从题目条件中转化。

几个最常见的误区：

1. 1. 把不放回抽样误当成二项分布；
2. 2. 把“首次成功的次数”误写成二项分布；
3. 3. 只写概率公式，不检查所有概率之和是否为 ；
4. 4. 在期望决策题中只看某一情况的结果，而不是比较期望；
5. 5. 使用泊松近似时忘记条件： 很大、 很小、 适中。

掌握分布列、期望和方差以后，概率题就不再是“看到题想起哪个公式”，而是可以根据试验结构判断模型。