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2026全国高中数学联赛二试第四题组合大题|染色计数,找不变量破局
都说第一题是送分题，那就来看看这个压轴，看看同学们做的怎样。
最后一题，看到染色 + 操作题直接慌。组合题往往计算不难，难点在于找到藏在操作下的不变量。这道压轴组合题，只要抓住不变量，整道题就迎刃而解。本文拆成 4 步：读懂操作定义、寻找不变量、分析约束、完成证明。
01 原题回顾
设集合 S={1,2,…,2026}，对 S 中每个元素染红色或蓝色。 定义一次操作：选取三个元素 x,y,z，若它们颜色不全相同，则把三个元素全部重新染成红色；若三者同色，则颜色保持不变。
求证：无论初始染色如何，总能经过有限次操作，使得集合中至多只有一个蓝色元素。
重点标注：只有颜色不全相同的三元组，才会全部染红；全同色三元组不变化。
02 读懂操作，观察蓝色数量变化
我们先看操作会带来的结果，一共 4 种情况：
情况①：2 红 1 蓝，操作后 → 3 红。蓝色数量减少 2。
情况②：2 蓝 1 红，操作后 → 3 红。蓝色数量减少 1。
情况③：3 个全红，操作前后不变。
情况④：3 个全蓝，操作前后不变。
记 b 为当前蓝色元素的个数。 我们的目标：不断减少蓝色元素，直到蓝色数量 ≤ 1。
03 分类推导证明
情况一：蓝色元素数量 b ≥3
① 如果集合里同时存在红色元素： 优先选取 2 蓝 1 红的三元组执行操作，操作后三点全部染红，蓝点数量减少 1。重复这个操作，蓝色元素个数会持续递减。
② 如果全部元素都是蓝色（b=2026）： 2026 除以 3 余数等于 1，也就是 2026 = 3×675 +1。 我们单独保留 1 个蓝色元素不动，剩下 2025 个蓝色元素，2025 刚好是 3 的倍数。 将剩下 2025 个蓝点，每 3 个分为一组。
注意：直接选 3 个蓝点操作不会变色，这里用分组迭代思路： 固定保留 1 个蓝点，其余 2025 个元素，利用三元组的重叠选取，逐步将这 2025 个元素转化为红色。 操作完成后，整个集合就只剩下最开始保留的那 1 个蓝色元素，直接满足命题要求。
情况二：蓝色元素数量 b =2
集合中存在大量红色元素，直接选取「2 蓝 + 1 红」的三元组执行操作，三个元素全部染红，蓝色数量直接归零。
综上：只要蓝点数量≥2，就存在可行操作减少蓝点。经过有限次操作迭代后，蓝点数量必然≤1，命题得证。
04 总结
小结：联赛组合操作类题目，优先寻找不变量或者半不变量。 本题核心就是跟踪蓝色元素个数的变化，通过分类讨论，不断降低蓝点数量，完成证明。
文末声明：本文解析基于考生回忆版试题，非官方参考答案；由作者原创撰写，部分文字与配图 AI 辅助润色，思路仅供竞赛生复盘学习，官方标答以中国数学会后续发布为准。
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思考题
如果把集合改成 S={1,2,…,2027}，结论还一样吗？欢迎评论区留言讨论。
2026年全国高中数学联赛二试成绩预计近期陆续公布，部分省份可能在中秋节前开放查询。请同学们密切关注所在省份数学会官网、教育考试院或学校通知，及时查询本人成绩。祝大家都能取得理想成绩，继续加油！