高三数学 · 高考一轮·概率统计专题

2026-2027学年第3周 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

概率统计是高考数学的压轴大题常客，新高考卷几乎每年稳占一道 12 分大题，且常与"生活情境 + 递推 + 期望"结合。一轮复习要先把"概率计算、随机变量、统计推断"三条主线彻底理清。

1. 随机事件与古典概型：古典概型核心是等可能 + 有限样本，用 P(A)=m/n。不放回抽样要小心样本空间是排列还是组合；列举法、树状图、对称性都是常用武器。

2. 独立事件与条件概率：事件独立 ⇔ P(AB)=P(A)P(B)；条件概率 P(B|A)=P(AB)/P(A)。多步决策（投篮、比赛、传输）常靠全概率公式递推：P(A_i+1)=ΣP(A_i)·P(转移)。

3. 离散型随机变量：分布列须满足 p_k≥0 且 Σp_k=1；期望 E(X)=Σx_kp_k，方差 D(X)=E(X²)−[E(X)]²。两点分布、二项分布 X~B(n,p)、超几何分布是三大常考模型。

4. 统计推断：用频率估计概率（p≈频数/总数）；样本均值、方差描述集中与离散趋势；正态分布 N(μ,σ²) 用 "3σ 原则"；回归与独立性检验是小题高频点。

5. 易错红线：① 不放回抽样误用"独立"；② 分布列漏验 Σp_k=1；③ 递推式下标从 i 还是 i+1 写反；④ 期望线性性质 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 恒成立（无需独立），常用来"绕过繁琐列举"。

二、高考真题分析

【真题1】(2024·新课标全国Ⅰ卷·第14题)

甲、乙两人各有四张卡片，甲的卡片分别标有数字 1,3,5,7，乙的卡片分别标有数字 2,4,6,8。两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，比较数字大小，数字大者得 1 分、小者得 0 分，然后各自弃置此轮所选卡片（弃置的卡片此后轮次不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为____。

解析：记甲四轮得分依次为 X₁,X₂,X₃,X₄（各取 0 或 1），总得分 X=X₁+X₂+X₃+X₄。对任一固定轮次，甲乙各随机出一张，16 种对等可能；甲获胜的情形为：甲出 3 胜乙 2（1 种）、甲出 5 胜乙 2 或 4（2 种）、甲出 7 胜乙 2/4/6（3 种），共 6 种，故单轮甲胜概率 p=6/16=3/8。四轮不放回、各轮相关，不能套二项分布，但由期望线性性得 E(X)=4×3/8=3/2。进一步利用"胜负翻转对称"——把每一轮'甲胜↔乙胜'整体对调，甲的得分分布与'乙得分=4−X'同分布，枚举可得 P(X≥2)=1/2。

答案：1/2（或 0.5）

【真题2】(2023·新课标全国Ⅰ卷·第21题)

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。甲每次命中率均为 0.6，乙每次命中率均为 0.8。由抽签确定第 1 次投篮的人选，甲、乙概率各为 0.5。

(1) 求第 2 次投篮的人是乙的概率；(2) 设 p_i 为第 i 次投篮的人是甲的概率，求 p_i；(3) 记前 n 次中甲投篮的次数为 Y，求 E(Y)。

解析：(1) 第 2 次是乙 =（第 1 次甲且甲未中）∪（第 1 次乙且乙命中）= 0.5×(1−0.6)+0.5×0.8 = 0.6。(2) 递推：p_i+1=P(甲投 i 且中)+P(乙投 i 且乙未中)=0.6p_i+0.2(1−p_i)=0.2+0.4p_i，p₁=0.5。化为 p_i+1−1/3=0.4(p_i−1/3)，故 p_i=1/3+(1/6)(2/5)ⁱ⁻¹。(3) 甲第 i 次投篮次数服从两点分布，E(Y)=Σp_i=n/3+(1/6)·[1−(2/5)ⁿ]/(1−2/5)=n/3+(5/18)[1−(2/5)ⁿ]。

答案：(1) 0.6；(2) p_i=1/3+(1/6)(2/5)ⁱ⁻¹；(3) E(Y)=n/3+(5/18)[1−(2/5)ⁿ]

【真题3】(2025·北京卷·概率统计大题)

某次考试中只有一道单选考查某知识点，甲、乙两校高一学生都参加了。随机抽查甲、乙两校高一各 100 名学生，甲校答对 80 人，乙校答对 75 人。假设学生答题相互独立，用频率估计概率。

(1) 估计甲校高一学生该题答对的概率；(2) 从甲、乙两校各随机抽 1 名，设 X 为 2 人中答对的人数，估计 P(X=2) 及 E(X)；(3) 假设未掌握该知识点则随机猜（四选一，对的概率 1/4），掌握则该校学生答对概率为 p_甲/p_乙。设甲、乙两校掌握该知识点的概率估计值分别为 p̂_甲、p̂_乙，判断 p̂_甲 与 p̂_乙 的大小（结论不要求证明）。

解析：(1) 甲校答对频率 80/100 = 0.8。(2) P(X=2)=0.8×0.75=0.6；E(X)=甲答对期望+乙答对期望=0.8+0.75=1.55。(3) 由模型：答对概率=(1−p̂)·(1/4)+p̂·p̂=p̂²−p̂/4+1/4。甲：p̂_甲²−p̂_甲/4+1/4=0.8 ⇒ p̂_甲≈0.877；乙：p̂_乙²−p̂_乙/4+1/4=0.75 ⇒ p̂_乙≈0.843。故 p̂_甲>p̂_乙。

答案：(1) 0.8；(2) P(X=2)=0.6，E(X)=1.55；(3) p̂_甲>p̂_乙

三、模拟题解答

【模拟1】同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。

解答：样本空间共 6×6=36 种等可能结果；和为 7 的组合有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 种，故 P=6/36=1/6。

答案：1/6

【模拟2】某游戏每局独立通关概率为 0.6，连玩 3 局，记 X 为通关局数。(1) 写出 X 的分布列；(2) 求 E(X)。

解答：X~B(3,0.6)。P(X=0)=0.4³=0.064；P(X=1)=C₃¹·0.6·0.4²=0.288；P(X=2)=C₃²·0.6²·0.4=0.432；P(X=3)=0.6³=0.216（验算 Σ=1）。E(X)=np=3×0.6=1.8。

答案：(1) 分布列如上；(2) E(X)=1.8

【模拟3】已知 P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.2，求 P(B|A) 与 P(A|B)。

解答：P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.2/0.5=0.4；P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.2/0.4=0.5。可见 A、B 不独立（P(AB)≠P(A)P(B)）。

答案：P(B|A)=0.4，P(A|B)=0.5

四、同步学习建议

概率统计一轮复习建议"先建模、后计算"：拿到题先判断属于古典概型、独立重复还是统计推断，再动手列式。每周做 2—3 道近三年全国卷大题，重点练递推列分布列 + 期望线性性这两个高频套路（真题2、真题3 都是范本）。

错题本要记清"哪一步误用了独立 / 哪一步递推下标写错"。下周我们将进入《高考一轮·立体几何专题》，记得关注本号更新，保持节奏不掉队。