七下习题8.2:立方根要绝对值吗?连续开立方有何规律

教材原题｜习题8.2 拓广探索

8.（1）求(∛0)³，(∛8)³，(∛(－8))³，(∛27)³，(∛(－27))³的值。对于任意数a，(∛a)³等于多少？ （2）求∛(0³)，∛(2³)，∛((－2)³)，∛((－3)³)，∛(4³)的值。对于任意数a，∛(a³)等于多少？

9. 任意找一个数，比如1.234，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方……如此进行下去，你有什么发现？

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第八章《实数》第51页。上一节我们知道，先平方再开算术平方根，要留心绝对值。换成立方与立方根，规则会怎样变化？这一次，负数也能开立方，正是理解两道题的关键。

先猜一猜

负八的立方根是负二，还是正负二？把一个负数连续开立方，会不会越变越接近零？先试几个数，再检查自己的猜想能否覆盖所有情况。

01 · 第8题（1）：用定义解释运算

先开立方再立方，结果是什么？

第8题第（1）问，先求立方根：∛0＝0，∛8＝2，∛(－8)＝－2，∛27＝3，∛(－27)＝－3。再把所得结果立方，依次得到0、8、－8、27、－27。

例如，(－2)³＝－8，所以负八的立方根就是负二。把负二再立方，自然回到负八。这里结果保留负号，不会因为出现根号就变成正数。

由立方根的定义可知：对于任意实数a，(∛a)³＝a。正数、负数和零都适用，不需要附加“a非负”的限制。

02 · 第8题（2）：符号不会丢失

先立方再开立方，要不要绝对值？

第（2）问，先算根号里面的立方：0³＝0，2³＝8，(－2)³＝－8，(－3)³＝－27，4³＝64。再取立方根，依次得到0、2、－2、－3、4。

于是，对于任意实数a，∛(a³)＝a。这里不写|a|。因为立方能够保留原数的正负：正数的立方为正，负数的立方为负，零的立方为零。再开立方时，就能回到原数。

和算术平方根放在一起比较

√(a²)＝|a|，而∛(a³)＝a。例如√((－2)²)＝2，∛((－2)³)＝－2。平方会让互为相反数的两个数得到同一个结果，立方却不会。

记忆时不要只背“根号与乘方可以抵消”。先看是平方还是立方，再按定义判断。立方与开立方，在实数范围内互为逆运算。

失分提醒｜立方根只有一个

八的立方根是二，不是正负二；负八的立方根是负二，不是“没有意义”。每个实数都有唯一的实数立方根。写负数的立方时加上括号，有助于看清运算对象。

03 · 第9题：正数之外，还要检查负数和零

连续开立方，怎样做计算器实验？

第9题写的是“任意找一个数”，没有限定正数。因此不能只用教材举的1.234做实验，还要试小于1的正数、负数和零。每次都对上一次的结果取立方根，并记录开立方的次数。

先看容易算的数：8开一次立方得到2，再开一次得到约1.259921；0.125开一次得到0.5，再开一次得到约0.793701。前一组向下靠近1，后一组向上靠近1。

再看负数：－8先得到－2，再得到约－1.259921；－0.125先得到－0.5，再得到约－0.793701。它们始终是负数，靠近的是－1，而不是1或0。

连续开立方的完整规律

正数：大于1时逐渐减小，介于0与1之间时逐渐增大，都越来越接近1；等于1时保持不变。

负数：小于－1时逐渐增大，介于－1与0之间时逐渐减小，都越来越接近－1；等于－1时保持不变。零连续开立方，始终为零。

为什么负数的规律与正数对应？负数的立方根，等于它的绝对值的立方根再添上负号。例如负八与八，连续开立方得到的每一对结果都互为相反数。所以可以先观察正数的变化，再借助数轴对称理解负数。

接近，不等于有限次后恰好到达

计算器显示位数有限，足够接近1或－1的数，可能直接显示成1或－1。若初始值不是它们，精确计算中有限次开立方不会恰好得到它们。因为倒过来连续立方，1只能回到1，－1只能回到－1。

有的计算器处理负数开立方的输入方式不同。如果输入时出现错误，可以先求其绝对值的立方根，再添负号，不能因此误以为负数没有立方根。

名师追问｜“变小”指什么？

从－8到－2，数本身变大了，但绝对值变小了。讨论负数时，要区分数的大小与绝对值的大小。画一条数轴，把－8、－2、－1的位置标出来，变化方向就很清楚。

正数为什么朝着一靠近？大于一的数，立方比自身大，所以开立方会得到一个比原数小、但仍大于一的数。零与一之间的数，立方比自身小，所以开立方会得到一个比原数大、但仍小于一的数。这个比较帮助我们理解实验中的变化方向。

只观察一组数，就直接写出“所有数都会越来越小”，是不完整的归纳。可以把实验记录分成正数、负数、零三栏，再分别补上大于一、小于一或绝对值大小不同的例子。先寻找共同点，再主动寻找例外，才能把规律说准确。

名师方法｜先定义，再分类，后检验

运算题先说清立方根的含义，再按照从内到外的顺序计算；探索题既试正数也试负数，别漏掉零与不变的数；最后区分计算器的近似显示和数学上的精确结论。

当堂检测

1. ∛((－5)³)等于多少？ 2. －0.008的立方根是多少？ 3. 从－27开始连续开立方，结果逐渐增大还是减小，接近哪个数？

想好再看：－5；－0.2；逐渐增大并接近－1。

内容依据：用户提供的新人教版七年级下册数学第八章《实数》第51页，习题8.2“拓广探索”第8、9题。表中小数为计算所得的近似值。

立方根看符号，探索题要分类。