先猜一猜。

把一个正方形、一个正三角形和一个圆，都绕着各自的中心慢慢转。

转多少度，它们第一次能和原来的图形完全重合？

先想一想，再往下看。

正方形：最小转90°，第一次和原来重合。

正三角形：最小转120°，第一次和原来重合。

圆呢？

转任意角度，都和原来重合。

还记得51站吗？

图形转了一个方向，看起来完全不一样，为什么数学却说它没有变？

那一站，我们第一次开始观察：图形转动以后，什么变了，什么没有变。

到了圆这里，情况又不一样。

正方形和正三角形，都要转到某些特定角度，才能重新和原来的图形重合。

圆却可以转任意角度，都和原来的图形重合。

这是圆特别的第一处。

今天，我们先弄清楚：为什么？

先看正方形。

从中心连到一个顶点，再从中心连到一条边的中点，会发现这两段距离并不一样。

所以正方形随便转一个角度以后，原来的顶点不一定能落到顶点的位置，边也不一定能重新对上。

正方形只有转到90°的整数倍时，才会重新和原来的图形重合。

正三角形也是如此。

它只有转到120°的整数倍时，才会重新和原来的图形重合。

圆为什么不一样？

因为圆上的每一个点，到圆心的距离都一样。

绕圆心旋转时，圆心没有移动，每一个点到圆心的距离也没有改变。

所以无论转多少度，旋转后的这些点仍然落在同一个圆上。

圆转任意角度，都能和原来的图形重合。 

2. 这个“一样远”，数学里叫什么？

圆最中间的这个点，叫：圆心。

通常可以用字母 O 表示。

圆心到圆上任意一点的线段，叫：半径。

同一个圆里，所有半径都一样长。

而一条线段，如果经过圆心，并且两端都在圆上，它就叫：直径。

半径是圆心到圆周的距离。

直径是经过圆心、连接圆周两点的线段。

同一个圆里：直径的长度是半径的2倍。

所以，只要知道圆心在哪里、半径有多长，就能确定这个圆的位置和大小。

3. 怎样画出一个圆？

最常用的工具，就是圆规。

先把圆规的针尖固定在一个点上。

这个点，就是圆心。

当圆规的针尖固定在圆心时，两脚之间的距离就是半径。

然后保持这个距离不变，让带铅笔的一脚绕着针尖转一圈。

笔尖经过的每一个位置，都满足同一个条件：

到圆心的距离相等。

一个圆，就这样画出来了。

换句话说，画圆并不是凭感觉画出一条“差不多圆”的曲线。

我们其实是在寻找：所有到圆心距离一样远的点。

圆上的每一点，都遵守同一个规则：到圆心的距离一样远。 

4. 对称轴也是这样：正方形4条，正三角形3条，圆呢？

还记得54站吗？

沿着一条直线对折以后，如果两边能够完全重合，这条直线就是图形的：

对称轴。

正方形有4条对称轴。

正三角形有3条对称轴。

圆呢？

圆的每一条直径，都在一条经过圆心的直线上。

如果沿着这条经过圆心的直线对折，圆的两边都能完全重合。

而经过圆心的直线，可以朝无数个方向画。

所以：圆有无数条对称轴。

这里还要分清两个东西。

直径是线段。

对称轴是直线。

我们可以借助直径的位置找到圆的对称轴，但它们不是同一个数学对象。

转任意角度都能重合，又有无数条对称轴，说明圆的旋转对称性和轴对称性都非常强。 

5. 圆为什么看起来这么简单？

现在再回到开头的问题。

如果要告诉别人怎样画一个正方形，除了确定它在哪里、有多大，还需要考虑它朝哪个方向。

可画一个圆，只需要先确定两个条件：

圆心在哪里。

半径有多长。

至于它“朝哪个方向”，根本不用说明。

因为圆绕着圆心转任意角度，看起来都一样。

所以，圆看起来只有一条简单的曲线，却藏着非常整齐的规律。

它转任意角度都能重合。

它有无数条对称轴。

而这些现象背后，都和同一个条件有关：

圆上的每一个点，到圆心都一样远。

不过，这只是圆特别的第一层。

自己试试

① 要画一个直径10厘米的圆，圆规应该张开多少厘米？

② 一个圆里，圆心到圆上A点的距离是5厘米。圆心到圆上B点的距离是多少厘米？为什么？

（答案在文末）

知识生长点

今天，我们发现了圆的第一层规律。

圆上的每一个点，到圆心都一样远。

这个条件让圆转任意角度都能和原来的图形重合，也让它拥有无数条对称轴。

可是，把圆的一圈拉直以后，它和直径之间，会不会也藏着一个固定的关系？

下一站：

大圆小圆，周长总是直径的几倍？

附：自己试试答案

① 5厘米。

因为直径是10厘米，半径是直径的一半：

10÷2=5（厘米）

所以圆规针尖固定在圆心时，两脚之间的距离应该是5厘米。

② 5厘米。

因为同一个圆里，所有半径都一样长。

圆心到A点是5厘米，圆心到B点也是一条半径，所以也是5厘米。