高中数学核心解题技巧120讲(第27讲)

                  第二十七讲常量与变量的转化与变换

在处理多元的函数或方程的数学问题时，常常有一个变元处于主导地位，我们称之为主元，而把其他的变元看作常量，按照主元的某种形式对问题进行整理，借以发现问题所隐含的特殊结构，以便找到相应的策略，使问题获解.这是因为，在一些数学问题中，常量与变量具有相对性，逆向思考、变换视角、反客为主，使它们相互转化，像这样一种通过确定主元来探索解题途径的方法，叫作主元法.一般原则是选次数最低的字母为主元，需要注意的是定谁为主元要因“题”而宜，并非“主元法”对所有“多元”问题都适用，有时不分主次地直接操纵“多元”反而是合理的.

例1  设不等式2x—1>m(x²-1) 对满足 |m|≤2  的一切实数m 都成立，求实数x的取值范围.

解题策略：从表层看所给的是关于x 的不等式，求的是x  的取值范围，即解不等式求得x  的取值范围.当然参数 m 必须满足|ml≤2. 但是如果通过变更主元转化为关于m  的一次函数，根据m 的范围确定参数x  的范围，这种将主元与参数进行换位思考的解题策略常常会使问题变得简单易解.

解：令f(m)=—(x²—1)m+2x—1,m∈[-2,2],则原不等式等价于 f(m)>0 在 m ∈[-2,2]         上恒成立.由于f(m)    是关于m 的一次函数或常值函数，

例2 设函数f(x)   是定义在(一∞,十∞)上的增函数.

(1)若不等式f(1-ax—x²)<f(2—a)对于任意a∈[0,1]恒成立，求实数x  的取值范围；

(2)若不等式f(1-ax-x²)<f(2—a)对于任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围.

解题策略：本例两小题所给的不等式是一样的.首先可利用函数的单调性，把函数值的相对大小转化为自变量的 相对大小，接下来就是x 和a  这两个字母中究竟谁是“主  元”.这很重要，第(1)问把 a 作为主元(变量)、x  作为常量，这  种“反客为主”的解法，体现了转化与变换的数学思想，降低了计算的烦琐和难度，也说明了变量与常量的对立统一的  辩证关系.应当指出，若以x  为变量，a  为参数，则必定要分类讨论，相比之下谁优谁劣一清二楚；第(2)问可以 x   为变  量，把不等式恒成立问题转化为函数的最值解决，分类讨论也是必需的，若用分离常数法(即参变分离),则避开了分类  讨论，解题过程较为简捷.

解：(1)解法一：∵f(x)是增函数，∴ f(1—ax—x²)<f(2—a) 对于任意a∈[0,1] 恒成立⇔1- ax—x²<2- a,  即 x²+ax+1-a>0对于任意a∈[0,1] 恒成立.

令g(a)=(x-1)a+x²+1.

当x=1时，不等式恒成立；当x>1 时，不等式恒成立；

当x<1时，只需g(a)=(x—1)a+x²+1的最小值g(1)>0, 即 x²  +x>0,

即x<-1或 x>0, 故 x<-1 或 0< x<1.

综上所述，x<-1或x>0, 即 x∈ ( 一 ∞, - 1)U(0, 十∞).

解法二：由解法一得g(a)=(x—1a+x²+1,a∈[0,1],g(a) 为关于a  的一次函数.

例3过圆x²+y²=r²内部一点M(a,b)作动弦AB,过A、B分别作圆的切线，设两条切线的交点为P.求证 点P恒在一条定直线上的运动.

解题策略：常量与变量、静止与运动的角色是相对的.同一对象，根据需要，在其中随时灵活选择和变换其角色，常得妙解，本例极具典型性.

证明：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂) 、P(xo,yo),不妨将A 、B 、P 都视为定点(视动为静),先求直线AB 的方程.

切线PA 的方程为x₁x+y₁y=r², 切线 PB的方程为x₂x+y₂y=r².

∵ P点在切线上，∴ x₁xo+y₁yo=r²,x₂xo+y₂yo=r²,

这表明点A、B 都在直线xox+yoy=r²上，故直线AB 的方程为xox+yoy=r².

又∵ 点M 在直线AB 上，∴ xoa+yob=r².

任意P(xo,yo)都满足上式，故动点P  必在直线ax+by=r² 上(换静为动).